◎Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
生物数学学报２００５，２０（２）：１７３—１７８Ｂｉｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用
王凤筵１’２张树文３
（１大连理工大学应用数学系，辽宁大连１１６０２４；２西北第二民族学院信息与计算科学系，宁夏银川７５００２１
３鞍山师范学院生物数学研究所，辽宁鞍山１１４００５）
摘要：本文研究了一类二维状态依赖脉冲微分方程的阶１周期解存在性和轨道稳定性条
件．然后。将一维固定周期脉冲的微分方程转化为二维状态依赖脉冲微分方程，研究其阶一周期
解的存在性和稳定性．作为应用，我们研究了固定周期常数收获的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程的动力学性质，
以及两个固定周期注射药物单室扩散模型的动力学性质．
关键词：脉冲半动力系统；阶ｌ周期解；轨道稳定性；吸引性
中图分类号：０１７５ＭＲ分类号：３４Ｄ０５；３４Ｄ２０文献标识码：
文章编号：１００１—９６２６（２００５）０２一０１７３～０６
ｏ引言和预备
脉冲微分方程更适用于描述一些参数在瞬间迅速的变化的演化过程。脉冲微分方程研究实际的问题，吸引了许多的学者（［１—６］）．作为脉冲半动力系统，系统的不变集在动力系统的演化中起着重要作用．特别，周期脉冲微分方程的周期解的存在性和稳定性的研究是比较困难的。本文就三个生物数学中的常用的周期脉冲微分方程作了研究，固定周期的常数放养或收获的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程，以及两个药物动力学模型的周期解的存在性和稳定性．
首先引进一些概念和记号．对于脉冲微分方程
警＝ｍ），
△。＝＿，（ｚ），ｏ∈盯，（０．１）ｚ∈盯，
其中盯是相空间舻中的（ｎ．１）一维流形．设由系统（ｏ．１）可以定义一个脉冲半动力系统记做（Ｒ“，ｆｉ）．设ｚ（ｚ）＝乒（ｚ；ｚｏ，ｚｏ），ｚ∈Ｒ＋是（ｏ．１）的解，ｚｏ∈Ｒ，。ｏ∈Ｒ“并且ｚ＞ｔｏ，
２。。，乒（对；ｚｏ，。ｏ）＝￡ｏ．设ｚ（ｚ）＝≯（ｚ；ｏ，￡ｏ），ｚ∈兄Ｐ且在时刻ｓｋ：ｏ＜ｓ１＜ｓ２＜…，熙ｓｋ
记ｓｏ＝ｏ．那么，方程的解ｚ（ｚ）＝乒（ｔ；ｏ，ｚ。）和轨线ｆｌ（。ｏ，ｚ）可以记为
邢；ｏ，训＝＜磐巩Ｌ葚≯１’
收稿日期：２００４—０１～０５作者简介：王凤筵（１９６８一），男，河南孟州人，博士研究生
第２期王风筵等；固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用１７５
（２）若皿（ｙ・）在矿，ｙＭ）上是减函数，阶ｌ周期解ｎ（酩Ⅳｉ）上方吸引的．
（３）若皿（可－）在（ｙＬ，ｙ＋］上是增函数，阶ｌ周期解Ⅱ（懿ｙ：）下方排斥的
（４）若Ⅲ（Ⅳ１）在（ⅣＬ，Ⅳ＋］上是减函数，阶１周期解Ⅱ（可；！，：）下方吸引的．
证由方程皿（Ⅳ１）＝—■在（ⅣＬ，ｙＭ）内有唯一解甜．由引理１，脉冲微分方程（１．１）有阶１周期解Ⅱ（踮Ⅳ；）．
（１）由若皿（ｙ－）在［可＋，ｙＭ）上是增函数．任取虻＜ｙｌｏ＜∥Ｍ，脉冲点（１，ｙｌｏ）被脉冲作用到初始点（ｐ，Ⅳ矗），Ⅳ南＝∥ｌｏ＋６．由皿（ｙ１）关于Ⅳ１是增函数，则皿（！，：）＝署＝击＜皿（妣）＝警，６＞跏。啪删南啪。＞跏。啪。，ｙ凇班现在记蜘１＝Ⅳ荒，由Ⅳｏ是ｙ１的增函数，我们有酊＜ｓ『１０＜ｙ１１，其中Ｆ１（ｐ，蜥１）和Ｅｌ（１，ｙ１１）在同一轨线段．重复上述过程，可以得到数列
Ⅳ王（＾一１）＝蚍¨）＋６，跏ｋ＝！，｝（¨），（足＝１，２，…）
相应地，可以得到同一轨线的脉冲点列｛既（１，Ⅳ１ｋ）：后＝ｏ，ｌ，２，…）和初始点列｛凡（ｐ，跏ｋ）舟＝Ｏ，１，２，…）．他们的坐标满足下列不等式
Ⅳ；＜跏ｏ＜跏１＜・・・＜跏☆，！，ｉ＜Ⅳ１０＜Ⅳ１ｌ＜・・・＜Ⅳ１ｋ，耶ｋ＝ｙ１，（ｋ一１）＋６，（南＝１，２，’・’）我们发现初始点列凡（ｐ，蜘＆）和脉冲点列默（１，ｙｌｋ），（南＝ｏ，１，２，…）分别远离点Ｆ＋（ｐ，蟛）和Ｅ＋（１，Ⅳ：）．于是我们得到阶ｌ周期解Ⅱ（ｙ；ｙｉ）上方排斥的．
相似地分析，可以证明（２）（３）（４）．口
定理２设（Ｈ１）（Ｈ２）成立．设珈是ｙ１∈（！，Ｌ，ｙＭ）的增函数且皿（ｙ１）＝Ｉ鲁在（严，可Ｍ）内无解．那么，．
（１）若歹鲁５，。∈拦，。）皿（ｙ－），则系统（１・１）的任意轨线一致上行的・
（２）若＿≮≥∥一１
＾ｓｕｐ皿（Ⅳ１），则系统（１．１）的任意轨线一致下行的．证由方程皿（Ⅳ－）＝—≮在开区间（ｙＬ，ｙＭ）上无解且因Ⅲ（Ⅳ１）是其上的连续函数，所以ｙ１６（ｙ。，”誓’寿≤小（≯㈣皿（ｙ，）或寿之小戳Ｍ）ｍ（Ⅳ１）・
（１）若万ｊ≤，。∈（≯，。）皿（Ⅳ－），一个动点由初始点Ｆ（ｐ，％。）出发，沿着Ⅱ［蜘。Ⅳ－。］到达脉冲点Ｅ（１，！，１０）。在脉冲作用下，动点由脉冲点Ｅ（１，！，ｌｏ）跳跃到下一初始点Ｆ（ｐ，％１）＝Ｆ（ｐ，可１０＋６）．下面来证蜘１＜蜘ｏ．由ｐ一上＾
吣１０）＝等半≥蚶拦㈣岫－）≥当＝警半，
（２）若—≮≥ｐ一１ｓｕｐ（１２）且在（１．２）中两个等号不能同时成立．于是得到铷ｏ＜跏１，所以脉冲系统（１．１）的轨线是上行的．皿（ｙ１），类似于上面的分析，可知系统（１．１）的轨线是下行的．ｙｌ∈（Ⅳ‘，ｙ”）定理中，蜘是ｙ１的增函数，所以若选择珈作为自变量且ｙ１是珈的增函数，上述定理
第２期王风筵等：固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用
（１）如果６∈（ｏ，＋∞），方程皿（珈）＝一６在陋，＋∞）内有两个解可ｏ．根据引理１，对应地系统有阶１周期解Ⅱ（可。可１）。由定理ｌ，Ⅱ（可。可１）是轨道稳定的，所有从初始点Ｅ（珈，ｏ），ｙｏ∈［ｏ，∞）的解都轨道稳定到它．
（２）如果ｂ∈Ｉｏ，Ｋ募），方程皿（Ⅳｏ）＝一ｂ在区间［ｏ，Ⅳ；）和（踮，Ｋ］分别有解可；一和ｅ２十ｌ／
踮＋．由定理１，Ⅱ（踮＋可；＋）是轨道稳定的，所有从初始点Ｅ（如，ｏ），跏∈（缩一，∞）的解都轨道稳定到它．阶１周期解Ⅱ（鲒一Ⅳ；一）是不稳定的，所有从初始点Ｅ（ｙｏ，ｏ），珈∈［ｏ，踮一）出发的解都趋于一。。．（３）如果６：一Ｋ爿，方程皿（∥ｏ）：一６在区间［ｏ，＋。。）有唯一解缩．由定理１，Ⅱ（ｙ；Ⅳ：）是上方吸引和下方排斥的．
应用２考虑周期药物注射单室药物吸收模型．ｙ（ｚ）药物在血液中的浓度，给病人时间间隔ｒ注射药物剂量Ｄ＞ｏ，设药物被人体的吸收耗散率ｒ正比于Ⅳ（ｔ）．则这一系统的动力系统模型为磐：一ｍｔ≠后丁，（七：１，２，３，…），
△Ⅳ＝Ｄ，ｔ＝七ｒ，
作变换ｚ＝二，系统可表为
７。｛￡一下’ｆ塑一三
１ｄⅣ…’。＜ｌ，
【面２叫ｙ，
ｚ＋＝０，△Ⅳ２Ｄ，。＝１．
解初值问题黑＝一ｒ７＿Ⅳ，Ⅳ（ｏ）＝珈∈（ｏ，＋∞），得到ｙ１＝珈ｅ一”．引进函数皿（跏）＝可１一如＝如（ｅ一”一１），珈∈（ｏ，∞）．因为Ⅲ，（珈）＝堕．竽＜ｏ，所以皿（Ⅳ。）关于珈∈（ｏ，。。）减函数．得到皿（蜘）的值域（一∞，ｏ）．
现在来确定阶１周期的存在性和稳定性．根据引理ｌ，解方程皿（ｙ。）＝一Ｄ．结果如下：任意Ｄ∈（ｏ，∞），方程皿（蜘）＝一Ｄ在踟∈（ｏ，∞）内有解鳐：若兰三．由定理ｌ，阶１周期解兀（鲒ｙ：）吸引所有的轨道兀（珈可－），珈∈（ｏ，∞）．
应用３考虑周期药物注射单室药物吸收模型．ｙ（ｚ）药物在血液中的浓度，给病人时间间隔ｒ注射药物剂量Ｄ＞ｏ，设药物被人体的吸收耗散率正比于Ⅳ（ｚ）且反比Ｋ＋可，就是说是Ｍｉｃｈａｕｅｌｉｓ—Ｍｅｎｔｅｎ型饱和反应，这一模型表示如下：
等＝蔫，ｚ≠帆（ｋ１１２】３＇…）
△可＝’Ｄ，Ｚ＝后７－．
作变量代换ｚ＝二，上述系统可表示为
ｆ坚：三
｛嵩１【面一而’ｄⅣ一％ｙ二蠢ｙ。＜１，“、～
ｚ＋＝０，△！，＝＿Ｄ，ｚ＝１．
１７８生物数学学报第２０卷解初值问题赛＝妄等罟，可（。）＝蜘∈（。，＋。。）．解得Ｋｆｎｙ，＋ｓ／，＝一％ｒ＋ｍ｝ｎ珈＋妣弓进函数皿（珈）＝ｙ１一可ｏ蜘＞ｏ成立罢＝揣＜ｏ，所以ｙ１＜弧同时皿（蜘）关于珈∈（ｏ，。。）是减函数．于是２，所有系统的轨道趋于＋∞．
参考文献
ＢａｉｎｏＶ
ＪｏｈｎⅣｏ∈［ｏ，＋。。），计算皿，（蜘），有皿，（ｙｏ）＝羔掣掣＜ｏ．因为对于得到皿（Ⅳｏ）的值域Ｒ（ｍ（珈））＝（一‰ｒ，ｏ），根据引理１，解方程皿（如）＝一Ｄ．结果如下；如果Ｄ∈（ｏ，‰ｒ），方程皿（Ⅳｏ）＝一Ｄ仅有一个解在（ｏ，∞）内，记为粥．由定理１，踮是吸引的．可以解出ｖ；＝Ｆ五磊毳基医百－如果Ｄ∈［‰ｒ，。。），方程皿（Ⅳｏ）＝一Ｄ在（ｏ，。。）内无解．由定理ＤＤ，ｓｉｍｅｏｎｏＶＰｓ．ｓ驴ｔｅｍ叫ｉ纳Ｊｍｐｕ？ｓｉｕｅ上劲七ｃｔ：＆ｎｂｉ“坷，２ⅥｅＤｒⅣｎｎｄＥｑｔ上Ⅱｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ
Ａｐｐｆｉｃ口￡ｉＤｎｓ［ＭＪ
ＰＥＲＩｏＤＩｃｙｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，１９８９．ＤｒｕｍｉｂａｉｎｏＶＰｓｉｍｅｏｎｏＶ．，ｒｎｐｕｆｓ而ｅｙｏｒｋ：ＪｏｈｎＤ僻ｒｅｎ“ａｆＥｇｕⅡ“Ｄｎ５：尸ｅｒｉＤｄｃｓｏｆｔ‘ｔｉＤｎｓｎｎｄＮｅｗＷｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，１９８９．Ｌａｋｍｅｃｈｅａｎｄ【３】Ａｂｄｅｌｋａｄｅｒ
ＴＩＯＮＳ０ＦＯｖｉｄｅＡｒｉｎｏ，ＢＩＦｕＲｃＡＴＩｏＮｏＦＮｏＮＴＲＩｖＩＡＬｓｏＬｕ—ＩＭＰＵＬＳＩＶＥＤＩＦＦＥＲＥＮＴＩＡＬＥＱＵＡＴＩＯＮＳＡＲＩＳＩＮＧＣＨＥＭＯＴＨＥＲＡＰＥＵＴＩＣＴＲＥＡＴ—
ｏｆＭＥＮＴ，Ｄｙｎａｍｉｃｓ
Ｘｉｎｚｈｉ
ｇｒｏｗｔｈｃｏｎ￡ｉｎｕｏｕｓｐ】．Ｄｉｓｃ他把日托ｄ，ｍｐ“ｂｉ＂ｅｓ妒｝ｅｍｓ，２０００，７，２６５—２８７．ｔｏＬｉｕ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉｆｆ色ｒｅｎｔｉａｌｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｓ【ｊ】．Ｄ掣ｎｎｍｉｃｓⅡｎｄ＆曲ｉ“ｔ掣ｏ，ｓ”ｔｅ竹１ｓ，１９９４，９（２）：１６３—１７４．
Ｄ．ＥｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏＩｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｏｆｄｉＨ．ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈ
Ａｐｐｆ，１９８５，１２５：１９２—２０２．ＨｉｒｓｔｏｖａＳＧ，ＢａｉｎｏｖＤｉｍｐｕｌｓｉｖｅｅｆ强ｃｔ［Ｊ］．Ｊ＾，ｄｆ＾Ａｎｎｆ
ＳａｎｙｉＴａｎｇ，ＬａｎｓｕｎＣｈｅｎ．Ｄｅｎｓｉｔｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｂｉｒｔｈｒａｔｅ，ｂｉｒｔｈｐｕｌｓｅｓａｎｄｔｈｅｉｒｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｄｙｎａ肌ｉｃｃｏｎｓｅ．ｑｕｅｎｃｅｓ［Ｊ】．Ｊ＾彳Ⅱｔ＾Ｂｉｏｆ，２００２，４４，１８５一１９９．
ＣｏｎｖｅｒｓｉｏｎｆｒｏｍＦｉｘｅｄＰｅｒｉｏｄｉｃＩｍｐｕｌｓｉｖｅＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓｔｏ
Ｓｔａｔｅ—ＤｅｐｅｎｄｅｎｔＩｍｐｕｌｓｉＶｅＥｑｕａｔｉｏｎｓＡｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＷＡＮＧＦｅｎｇ—ｙａｎｌ，２ＺＨＡＮＧＳｈｕ—ｗｅｎ３
（１Ｄｅｐ口ｒｔｍｅｎｔ。，ＡｐｐｆｉｅｄＭｏｔ＾ｅｍａｔｉｃｓ，Ｄ。ｆｉ凸ｎｕ礼ｉ＂ｅｒｓｉｔ可Ｄ，Ｔｅｃ＾ｎｏｆ。ｇ可，ＤⅡ“口几Ｌｉａｏｎｉｎ目１１６０２４Ｇ＾ｉｎｎ）（２Ｄｅｐ口ｒ加１ｅ凡ｆｏ，ｈ，，Ｄｒｍ口ｆ而ｎ口ｎｄ口ＤｍｐⅡ亡ｅｒ５ｒｃ诧礼ｃｅ，丁＾ｅｓｅｃ。礼ｄⅣ。ｒ玑叫ｅｓ≠矿礼∞ｅｒ“ｆ可／口ｒＪ７Ｉ彳锄。ｒｉ≠ｉｅ５，
ｙｉｎｃ＾ｕ口礼Ⅳ打ｌｇ茁ｉｎ７５００２１Ｇ＾ｉｎ。）
Ｇｈｉｎ。１（３ＪｎｓｔｉｔｕｄｅＤ，Ｂｉ０７ｎ口ｔ＾ｅｍａｔｉｃｓ，Ａｎｓ＾口ｎⅣｏｒｍａｆｕ礼ｉｕｅｒｓｉｔ可，ＬｉＢ。ｎｉｎ口Ａｎ５＾ｎ札１１４００５
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉ８ｐａｐｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｓａｋｉｎｄｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｉｍｐｕｌｓｉｖｅｄｉ矗’ｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｏ
ｓｔａｔｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｉｍｐｕｌｓｉｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙｕｓｉｎｇｓｏｍｅｔｈｅｏｒｅｍｓｌｗｈｉｃｈｈａｖｅｂｅｅｎｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｆｏｒｔｈｅｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｉｒｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓｏｆｓｔａｔｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｉｍｐｕｌｓｉｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｅｅａｓｉｌｙｕｎ．ｄｅｒｓｔａｎｄｔｈｅｓｅｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏＩｕｔｉｏｎｓ’ｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｔｈｅｉｒｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓａｐｏｐｕＩａｔｉｏｎｅｘｐｌｏｉｔａｔｉｖｅｍｏｄｅｌｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｐｅｒｉｏｄｉｃｈａｒｖｅｓｔａｎｄｔｗｏｍｅｄｉｃａｍｅｎｔａｌｄｙｎａｒｎｊｃｓ’ｍｏｄｅｌｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
ｔｏｒｙ．ＩｍｐｕｌｓｉＶｅｓｅｍｉ—ｄｙｎａｍｉｃａｌｓｙｓｔｅｍ；ｏｒｄｅｒ１ｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｔｒａｊｅｃ—
固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用
作者：
作者单位：王凤筵， 张树文， WANG Feng-yan， ZHANG Shu-wen王凤筵,WANG Feng-yan(大连理工大学,应用数学系,辽宁,大连,116024;西北第二民族学院
,信息与计算科学系,宁夏,银川,750021)， 张树文,ZHANG Shu-wen(鞍山师范学院,生物数学
研究所,辽宁,鞍山,114005)
生物数学学报
JOURNAL OF BIOMATHEMATICS
2005,20(2)
5次刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
参考文献(6条)
1. Bainov D D;Simeonov P S System with Impulsive Effect:Stability, Theory and Equations 1989
2. Drumi bainov P Simeonov Impulsive Differential Equations: Periodc Solutions and Applications 1989
3. Abdelkader Lakmeche;Ovide Arino BIFURCATION OF NON TRIVIAL PERIODIC SOLUTIONS OF IMPULSIVE
DIFFERENTIAL EQUATIONS ARISING CHEMOTHERAPEUTIC TREATMENT,Dynamics of Continuous[外文期刊] 2000(2)
4. XINZHI LIU Stability results for impulsive differential systems with application to population topopulation growth models 1994
5. Hirstova S G;Bainov D D Existence of periodic solutions of nonlinear systems of differentialequations with impulsive effect 1985
6. Sanyi Tang;Lansun Chen Density-dependent birth rate,birth pulses and their population dynamicconsequences [外文期刊] 2002(2)
引证文献(5条)
1. 李畅通 一类具有脉冲的捕食与被捕食系统的动态行为[期刊论文]-西安工程大学学报 2010(5)
2. 戴飞. 李畅通 具有害虫综合控制策略的捕食系统的动态行为[期刊论文]-纺织高校基础科学学报 2012(1)
3. 杨小平. 唐三一 混合害虫模型的最优控制策略[期刊论文]-纺织高校基础科学学报 2010(1)
4. 梁菊花. 唐三一 具有综合控制策略的离散宿主病原体模型[期刊论文]-生物数学学报 2008(2)
5. 曾广钊 状态依赖脉冲微分方程的周期解的存在性及其在害虫治理中的应用[期刊论文]-生物数学学报 2007(4)
引用本文格式：王凤筵. 张树文. WANG Feng-yan. ZHANG Shu-wen 固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用[期刊论文]-生物数学学报 2005(2)
◎Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
生物数学学报２００５，２０（２）：１７３—１７８Ｂｉｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用
王凤筵１’２张树文３
（１大连理工大学应用数学系，辽宁大连１１６０２４；２西北第二民族学院信息与计算科学系，宁夏银川７５００２１
３鞍山师范学院生物数学研究所，辽宁鞍山１１４００５）
摘要：本文研究了一类二维状态依赖脉冲微分方程的阶１周期解存在性和轨道稳定性条
件．然后。将一维固定周期脉冲的微分方程转化为二维状态依赖脉冲微分方程，研究其阶一周期
解的存在性和稳定性．作为应用，我们研究了固定周期常数收获的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程的动力学性质，
以及两个固定周期注射药物单室扩散模型的动力学性质．
关键词：脉冲半动力系统；阶ｌ周期解；轨道稳定性；吸引性
中图分类号：０１７５ＭＲ分类号：３４Ｄ０５；３４Ｄ２０文献标识码：
文章编号：１００１—９６２６（２００５）０２一０１７３～０６
ｏ引言和预备
脉冲微分方程更适用于描述一些参数在瞬间迅速的变化的演化过程。脉冲微分方程研究实际的问题，吸引了许多的学者（［１—６］）．作为脉冲半动力系统，系统的不变集在动力系统的演化中起着重要作用．特别，周期脉冲微分方程的周期解的存在性和稳定性的研究是比较困难的。本文就三个生物数学中的常用的周期脉冲微分方程作了研究，固定周期的常数放养或收获的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程，以及两个药物动力学模型的周期解的存在性和稳定性．
首先引进一些概念和记号．对于脉冲微分方程
警＝ｍ），
△。＝＿，（ｚ），ｏ∈盯，（０．１）ｚ∈盯，
其中盯是相空间舻中的（ｎ．１）一维流形．设由系统（ｏ．１）可以定义一个脉冲半动力系统记做（Ｒ“，ｆｉ）．设ｚ（ｚ）＝乒（ｚ；ｚｏ，ｚｏ），ｚ∈Ｒ＋是（ｏ．１）的解，ｚｏ∈Ｒ，。ｏ∈Ｒ“并且ｚ＞ｔｏ，
２。。，乒（对；ｚｏ，。ｏ）＝￡ｏ．设ｚ（ｚ）＝≯（ｚ；ｏ，￡ｏ），ｚ∈兄Ｐ且在时刻ｓｋ：ｏ＜ｓ１＜ｓ２＜…，熙ｓｋ
记ｓｏ＝ｏ．那么，方程的解ｚ（ｚ）＝乒（ｔ；ｏ，ｚ。）和轨线ｆｌ（。ｏ，ｚ）可以记为
邢；ｏ，训＝＜磐巩Ｌ葚≯１’
收稿日期：２００４—０１～０５作者简介：王凤筵（１９６８一），男，河南孟州人，博士研究生
第２期王风筵等；固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用１７５
（２）若皿（ｙ・）在矿，ｙＭ）上是减函数，阶ｌ周期解ｎ（酩Ⅳｉ）上方吸引的．
（３）若皿（可－）在（ｙＬ，ｙ＋］上是增函数，阶ｌ周期解Ⅱ（懿ｙ：）下方排斥的
（４）若Ⅲ（Ⅳ１）在（ⅣＬ，Ⅳ＋］上是减函数，阶１周期解Ⅱ（可；！，：）下方吸引的．
证由方程皿（Ⅳ１）＝—■在（ⅣＬ，ｙＭ）内有唯一解甜．由引理１，脉冲微分方程（１．１）有阶１周期解Ⅱ（踮Ⅳ；）．
（１）由若皿（ｙ－）在［可＋，ｙＭ）上是增函数．任取虻＜ｙｌｏ＜∥Ｍ，脉冲点（１，ｙｌｏ）被脉冲作用到初始点（ｐ，Ⅳ矗），Ⅳ南＝∥ｌｏ＋６．由皿（ｙ１）关于Ⅳ１是增函数，则皿（！，：）＝署＝击＜皿（妣）＝警，６＞跏。啪删南啪。＞跏。啪。，ｙ凇班现在记蜘１＝Ⅳ荒，由Ⅳｏ是ｙ１的增函数，我们有酊＜ｓ『１０＜ｙ１１，其中Ｆ１（ｐ，蜥１）和Ｅｌ（１，ｙ１１）在同一轨线段．重复上述过程，可以得到数列
Ⅳ王（＾一１）＝蚍¨）＋６，跏ｋ＝！，｝（¨），（足＝１，２，…）
相应地，可以得到同一轨线的脉冲点列｛既（１，Ⅳ１ｋ）：后＝ｏ，ｌ，２，…）和初始点列｛凡（ｐ，跏ｋ）舟＝Ｏ，１，２，…）．他们的坐标满足下列不等式
Ⅳ；＜跏ｏ＜跏１＜・・・＜跏☆，！，ｉ＜Ⅳ１０＜Ⅳ１ｌ＜・・・＜Ⅳ１ｋ，耶ｋ＝ｙ１，（ｋ一１）＋６，（南＝１，２，’・’）我们发现初始点列凡（ｐ，蜘＆）和脉冲点列默（１，ｙｌｋ），（南＝ｏ，１，２，…）分别远离点Ｆ＋（ｐ，蟛）和Ｅ＋（１，Ⅳ：）．于是我们得到阶ｌ周期解Ⅱ（ｙ；ｙｉ）上方排斥的．
相似地分析，可以证明（２）（３）（４）．口
定理２设（Ｈ１）（Ｈ２）成立．设珈是ｙ１∈（！，Ｌ，ｙＭ）的增函数且皿（ｙ１）＝Ｉ鲁在（严，可Ｍ）内无解．那么，．
（１）若歹鲁５，。∈拦，。）皿（ｙ－），则系统（１・１）的任意轨线一致上行的・
（２）若＿≮≥∥一１
＾ｓｕｐ皿（Ⅳ１），则系统（１．１）的任意轨线一致下行的．证由方程皿（Ⅳ－）＝—≮在开区间（ｙＬ，ｙＭ）上无解且因Ⅲ（Ⅳ１）是其上的连续函数，所以ｙ１６（ｙ。，”誓’寿≤小（≯㈣皿（ｙ，）或寿之小戳Ｍ）ｍ（Ⅳ１）・
（１）若万ｊ≤，。∈（≯，。）皿（Ⅳ－），一个动点由初始点Ｆ（ｐ，％。）出发，沿着Ⅱ［蜘。Ⅳ－。］到达脉冲点Ｅ（１，！，１０）。在脉冲作用下，动点由脉冲点Ｅ（１，！，ｌｏ）跳跃到下一初始点Ｆ（ｐ，％１）＝Ｆ（ｐ，可１０＋６）．下面来证蜘１＜蜘ｏ．由ｐ一上＾
吣１０）＝等半≥蚶拦㈣岫－）≥当＝警半，
（２）若—≮≥ｐ一１ｓｕｐ（１２）且在（１．２）中两个等号不能同时成立．于是得到铷ｏ＜跏１，所以脉冲系统（１．１）的轨线是上行的．皿（ｙ１），类似于上面的分析，可知系统（１．１）的轨线是下行的．ｙｌ∈（Ⅳ‘，ｙ”）定理中，蜘是ｙ１的增函数，所以若选择珈作为自变量且ｙ１是珈的增函数，上述定理
第２期王风筵等：固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用
（１）如果６∈（ｏ，＋∞），方程皿（珈）＝一６在陋，＋∞）内有两个解可ｏ．根据引理１，对应地系统有阶１周期解Ⅱ（可。可１）。由定理ｌ，Ⅱ（可。可１）是轨道稳定的，所有从初始点Ｅ（珈，ｏ），ｙｏ∈［ｏ，∞）的解都轨道稳定到它．
（２）如果ｂ∈Ｉｏ，Ｋ募），方程皿（Ⅳｏ）＝一ｂ在区间［ｏ，Ⅳ；）和（踮，Ｋ］分别有解可；一和ｅ２十ｌ／
踮＋．由定理１，Ⅱ（踮＋可；＋）是轨道稳定的，所有从初始点Ｅ（如，ｏ），跏∈（缩一，∞）的解都轨道稳定到它．阶１周期解Ⅱ（鲒一Ⅳ；一）是不稳定的，所有从初始点Ｅ（ｙｏ，ｏ），珈∈［ｏ，踮一）出发的解都趋于一。。．（３）如果６：一Ｋ爿，方程皿（∥ｏ）：一６在区间［ｏ，＋。。）有唯一解缩．由定理１，Ⅱ（ｙ；Ⅳ：）是上方吸引和下方排斥的．
应用２考虑周期药物注射单室药物吸收模型．ｙ（ｚ）药物在血液中的浓度，给病人时间间隔ｒ注射药物剂量Ｄ＞ｏ，设药物被人体的吸收耗散率ｒ正比于Ⅳ（ｔ）．则这一系统的动力系统模型为磐：一ｍｔ≠后丁，（七：１，２，３，…），
△Ⅳ＝Ｄ，ｔ＝七ｒ，
作变换ｚ＝二，系统可表为
７。｛￡一下’ｆ塑一三
１ｄⅣ…’。＜ｌ，
【面２叫ｙ，
ｚ＋＝０，△Ⅳ２Ｄ，。＝１．
解初值问题黑＝一ｒ７＿Ⅳ，Ⅳ（ｏ）＝珈∈（ｏ，＋∞），得到ｙ１＝珈ｅ一”．引进函数皿（跏）＝可１一如＝如（ｅ一”一１），珈∈（ｏ，∞）．因为Ⅲ，（珈）＝堕．竽＜ｏ，所以皿（Ⅳ。）关于珈∈（ｏ，。。）减函数．得到皿（蜘）的值域（一∞，ｏ）．
现在来确定阶１周期的存在性和稳定性．根据引理ｌ，解方程皿（ｙ。）＝一Ｄ．结果如下：任意Ｄ∈（ｏ，∞），方程皿（蜘）＝一Ｄ在踟∈（ｏ，∞）内有解鳐：若兰三．由定理ｌ，阶１周期解兀（鲒ｙ：）吸引所有的轨道兀（珈可－），珈∈（ｏ，∞）．
应用３考虑周期药物注射单室药物吸收模型．ｙ（ｚ）药物在血液中的浓度，给病人时间间隔ｒ注射药物剂量Ｄ＞ｏ，设药物被人体的吸收耗散率正比于Ⅳ（ｚ）且反比Ｋ＋可，就是说是Ｍｉｃｈａｕｅｌｉｓ—Ｍｅｎｔｅｎ型饱和反应，这一模型表示如下：
等＝蔫，ｚ≠帆（ｋ１１２】３＇…）
△可＝’Ｄ，Ｚ＝后７－．
作变量代换ｚ＝二，上述系统可表示为
ｆ坚：三
｛嵩１【面一而’ｄⅣ一％ｙ二蠢ｙ。＜１，“、～
ｚ＋＝０，△！，＝＿Ｄ，ｚ＝１．
１７８生物数学学报第２０卷解初值问题赛＝妄等罟，可（。）＝蜘∈（。，＋。。）．解得Ｋｆｎｙ，＋ｓ／，＝一％ｒ＋ｍ｝ｎ珈＋妣弓进函数皿（珈）＝ｙ１一可ｏ蜘＞ｏ成立罢＝揣＜ｏ，所以ｙ１＜弧同时皿（蜘）关于珈∈（ｏ，。。）是减函数．于是２，所有系统的轨道趋于＋∞．
参考文献
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ＪｏｈｎⅣｏ∈［ｏ，＋。。），计算皿，（蜘），有皿，（ｙｏ）＝羔掣掣＜ｏ．因为对于得到皿（Ⅳｏ）的值域Ｒ（ｍ（珈））＝（一‰ｒ，ｏ），根据引理１，解方程皿（如）＝一Ｄ．结果如下；如果Ｄ∈（ｏ，‰ｒ），方程皿（Ⅳｏ）＝一Ｄ仅有一个解在（ｏ，∞）内，记为粥．由定理１，踮是吸引的．可以解出ｖ；＝Ｆ五磊毳基医百－如果Ｄ∈［‰ｒ，。。），方程皿（Ⅳｏ）＝一Ｄ在（ｏ，。。）内无解．由定理ＤＤ，ｓｉｍｅｏｎｏＶＰｓ．ｓ驴ｔｅｍ叫ｉ纳Ｊｍｐｕ？ｓｉｕｅ上劲七ｃｔ：＆ｎｂｉ“坷，２ⅥｅＤｒⅣｎｎｄＥｑｔ上Ⅱｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
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固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用
作者：
作者单位：王凤筵， 张树文， WANG Feng-yan， ZHANG Shu-wen王凤筵,WANG Feng-yan(大连理工大学,应用数学系,辽宁,大连,116024;西北第二民族学院
,信息与计算科学系,宁夏,银川,750021)， 张树文,ZHANG Shu-wen(鞍山师范学院,生物数学
研究所,辽宁,鞍山,114005)
生物数学学报
JOURNAL OF BIOMATHEMATICS
2005,20(2)
5次刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
参考文献(6条)
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引用本文格式：王凤筵. 张树文. WANG Feng-yan. ZHANG Shu-wen 固定周期脉冲微分方程到状态依赖脉冲的转化及应用[期刊论文]-生物数学学报 2005(2)