三角形全等与中点问题
题目中出现等腰三角形，怎么处理？
1．等边对等角 2．等角对等边
3．等腰三角形“三线合一”
等腰三角形“三线合一”
常用来证：垂直、角平分线、中点。
题目中出现中点，又咋办呢？
1．倍长中线(普通的一个中点时)
2．连出“三线合一”的线(出现底边上的中点时) 3．连斜边上的中线(出现斜边上的中点时) 4、构造中位线(出现多个中点时)
【例1】已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，DB 交AC 于F ，且AF 平分BD 、CE 交AD 于G ，求证：CG ＝GE 。
【例2】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD ，垂足为F 。求证：∠AEF ＝∠BEF 。
【例3】如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F ，且AF ＝EF 。求证：BE ＝AC 。
【例4】已知：如图，△ABC 中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点。 求证：PM ⊥DE 。
【例5】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN ＝CM 。试判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
【例6】已知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，在Rt △ADE 中，AD ＝DE ，连结EC ，取 EC 的中点M ，连结DM 和BM 。
⑴若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；
⑵如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。
本节课总结：
1．遇到等腰三角形，果断想到“三线合一”。想要证明垂直、角平分线、中点也应考虑到“三线合一”。
2．遇到中点想到基本的几种处理方法： 倍长中线(普通的一个中点时)
连出“三线合一”的线(出现底边上的中点时) 连斜边上的中线(出现斜边上的中点时) 构造中位线(出现多个中点时)
课后练习
1．已知：如图，AB ＝AE ，AF 是∠BAE 的角平分线，∠B ＝∠E ，
BC ＝ED ，则下列结论一定正确的是( ) A ．CF ＝FD C ．∠BAF ＝∠C
B ．CF ≠FD D ．∠BAF ＜∠C
C
B
A
E
F
D
2．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，AC ＝8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD ＝CE ，连接DE 、DF 、EF 。在此运动变化的过程中，下列结论正确的有( )
①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形； ③四边形CDFE 的面积保持不变． A ．①② C ．②③
B ．①③ D ．①②③
3．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ，AC 与BD 相交于点F ，E 是BC 的中点，∠CBD ＝15°，则∠CFE ＝( ) A ．65° C ．75°
4．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点，则下列结论一定正确的是( ) A ．AC ⊥DE C ．AE ＝CD
∠ABC =90°，O 为AC 中5．如图，等腰直角△ABC 中，AB =BC ，
E
B
A
F
A B
F
E
D
B ．70° D ．80°
C
B ．CD ⊥AB D ．AE ＝BD
A
E
点，点E 、F 分别在OC 、OB 的延长线上，OE ＝OF ，则下列结论一定正确的是( ) A ．AF ⊥BE C ．∠F ＝30°
B ．BC ＝1 D ．∠EBC ＝15°
F
B
6．已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，并且∠CAB 是∠EAD 的2倍，则在△ABC 中，BD 一定是( ) A ．∠ABD 的角平分线
C ．既是∠ABD 的角平分线又是AC 的中线
E
A
D
B ．AC 的中线 D ．无法确定
B
7．如图，已知Rt △ABC 中∠ACB =90°，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E 。BF ∥AC ，交CE 的延长线于点F 。则AC 与BF 的关系是( )
A ．AC =2BF B ．2AC =3BF C ．AC =3BF D ．3AC =4BF
8．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，AF ⊥BE 于G ，则下列结论一定正确的是( )
A ．DH ＝DF C ．BG ＝AF
B ．G 是HE 的中点 D ．DH ＜DF
A
C E
D
B
F
H
B
E
C
D F
9．如图，D 是等腰直角三角形ABC 的底边BC 的中点，P 是BC 上的另一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则△DEF 是( ) 。 A ．等边三角形
B ．锐角三角形
B
A
F
C
D P
C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形
∠ACB =90°，P 为10．如图，等腰直角△ABC 中，AC =BC ，
△ABC 内部一点，C P =( ) 满足PB =PC ，AP =AC ，则∠B
A
A ．10° C ．20°
B ．15° D ．25°
B C
三角形全等与中点问题
题目中出现等腰三角形，怎么处理？
1．等边对等角 2．等角对等边
3．等腰三角形“三线合一”
等腰三角形“三线合一”
常用来证：垂直、角平分线、中点。
题目中出现中点，又咋办呢？
1．倍长中线(普通的一个中点时)
2．连出“三线合一”的线(出现底边上的中点时) 3．连斜边上的中线(出现斜边上的中点时) 4、构造中位线(出现多个中点时)
【例1】已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，DB 交AC 于F ，且AF 平分BD 、CE 交AD 于G ，求证：CG ＝GE 。
【例2】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD ，垂足为F 。求证：∠AEF ＝∠BEF 。
【例3】如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F ，且AF ＝EF 。求证：BE ＝AC 。
【例4】已知：如图，△ABC 中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点。 求证：PM ⊥DE 。
【例5】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN ＝CM 。试判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
【例6】已知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，在Rt △ADE 中，AD ＝DE ，连结EC ，取 EC 的中点M ，连结DM 和BM 。
⑴若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；
⑵如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。
本节课总结：
1．遇到等腰三角形，果断想到“三线合一”。想要证明垂直、角平分线、中点也应考虑到“三线合一”。
2．遇到中点想到基本的几种处理方法： 倍长中线(普通的一个中点时)
连出“三线合一”的线(出现底边上的中点时) 连斜边上的中线(出现斜边上的中点时) 构造中位线(出现多个中点时)
课后练习
1．已知：如图，AB ＝AE ，AF 是∠BAE 的角平分线，∠B ＝∠E ，
BC ＝ED ，则下列结论一定正确的是( ) A ．CF ＝FD C ．∠BAF ＝∠C
B ．CF ≠FD D ．∠BAF ＜∠C
C
B
A
E
F
D
2．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，AC ＝8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD ＝CE ，连接DE 、DF 、EF 。在此运动变化的过程中，下列结论正确的有( )
①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形； ③四边形CDFE 的面积保持不变． A ．①② C ．②③
B ．①③ D ．①②③
3．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ，AC 与BD 相交于点F ，E 是BC 的中点，∠CBD ＝15°，则∠CFE ＝( ) A ．65° C ．75°
4．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点，则下列结论一定正确的是( ) A ．AC ⊥DE C ．AE ＝CD
∠ABC =90°，O 为AC 中5．如图，等腰直角△ABC 中，AB =BC ，
E
B
A
F
A B
F
E
D
B ．70° D ．80°
C
B ．CD ⊥AB D ．AE ＝BD
A
E
点，点E 、F 分别在OC 、OB 的延长线上，OE ＝OF ，则下列结论一定正确的是( ) A ．AF ⊥BE C ．∠F ＝30°
B ．BC ＝1 D ．∠EBC ＝15°
F
B
6．已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，并且∠CAB 是∠EAD 的2倍，则在△ABC 中，BD 一定是( ) A ．∠ABD 的角平分线
C ．既是∠ABD 的角平分线又是AC 的中线
E
A
D
B ．AC 的中线 D ．无法确定
B
7．如图，已知Rt △ABC 中∠ACB =90°，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E 。BF ∥AC ，交CE 的延长线于点F 。则AC 与BF 的关系是( )
A ．AC =2BF B ．2AC =3BF C ．AC =3BF D ．3AC =4BF
8．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，AF ⊥BE 于G ，则下列结论一定正确的是( )
A ．DH ＝DF C ．BG ＝AF
B ．G 是HE 的中点 D ．DH ＜DF
A
C E
D
B
F
H
B
E
C
D F
9．如图，D 是等腰直角三角形ABC 的底边BC 的中点，P 是BC 上的另一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则△DEF 是( ) 。 A ．等边三角形
B ．锐角三角形
B
A
F
C
D P
C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形
∠ACB =90°，P 为10．如图，等腰直角△ABC 中，AC =BC ，
△ABC 内部一点，C P =( ) 满足PB =PC ，AP =AC ，则∠B
A
A ．10° C ．20°
B ．15° D ．25°
B C