可分解的高次不等式的解法

可分解的高次不等式的解法

解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不等式组或者用列表法或者用数轴标根法求解。本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。

例1 解不等式x3x2x40

x30x30

解法一：原不等式可化为或

x2x40x2x40

x3x3

或，即3x2或x4

x2或x42x4

∴原不等式的解集为x|3x2或x4

即

【评注】 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法。

解法二：不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。

x

从上表可看出x3x2x40的解集为x|3x2或x4 解法三：先在数轴上标出零点（标出根）。 根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式x3x2x4的正负号

（如上图），再根据题目要求，直接写出解集为x|3x2或x4

【评注】这种方法常称为是“数轴标根法”，有些书上称为是“串针引线法”。这种方法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼。这样的“线”也可看成是函数

yx3x2x4的图象草图。(y轴未画)

通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下：

①将不等式等价化为xx1xx2„xxn0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求出对应方程xx1xx2„xxn0的根（或称零点），并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧fx有相同因式xx1时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶

n

数时，曲线在x1点处不穿过数轴）

④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.

例2 解不等式x2x3x10

2

3

解析 ①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为1,22,3

【评注】∵3是三重根，∴在C处来回穿三次，∵2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但x2满足“=”的条件，不能漏掉.

x23x4

例3 解不等式0

xx2x3

解析 先将原不等式等价化为不等式x23x4xx2x30且



x3,x0,x2，

即xx2x3x1x40且x3,x0,x2，用“数轴标根法”

∴原不等式的解是,31,02,4

【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.

例4 解关于x的不等式：xx212xa0.

解析 此不等式是含参数a的高次不等式，xa是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对a的所处位置进行讨论

①将二次项系数化“+”并分解为：x4x3xa0； ②相应方程的根为：3,4,a； ③讨论：

ⅰ）当a4，即a4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为3,4a,.

ⅱ）当3a4，即4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为3,a4,

ⅲ）当a3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为a,34,



ⅳ0）当a4，即a4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为3,

ⅴ）当a3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为4,。

综上所得，当a4时，原不等式的解集为3,4a,； 当4a3时，原不等式的解集为3,a4,； 当a3时，原不等式的解集为a,34,； 当a4时，原不等式的解集为3,； 当a3时，原不等式的解集为4,。

【评注】此题意在于让大家熟练用“数轴标根法”解高次不等式，培养分类讨论的思想，题中对当a3与a4时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论。

可分解的高次不等式的解法

解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不等式组或者用列表法或者用数轴标根法求解。本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。

例1 解不等式x3x2x40

x30x30

解法一：原不等式可化为或

x2x40x2x40

x3x3

或，即3x2或x4

x2或x42x4

∴原不等式的解集为x|3x2或x4

即

【评注】 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法。

解法二：不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。

x

从上表可看出x3x2x40的解集为x|3x2或x4 解法三：先在数轴上标出零点（标出根）。 根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式x3x2x4的正负号

（如上图），再根据题目要求，直接写出解集为x|3x2或x4

【评注】这种方法常称为是“数轴标根法”，有些书上称为是“串针引线法”。这种方法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼。这样的“线”也可看成是函数

yx3x2x4的图象草图。(y轴未画)

通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下：

①将不等式等价化为xx1xx2„xxn0(0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求出对应方程xx1xx2„xxn0的根（或称零点），并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧fx有相同因式xx1时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶

n

数时，曲线在x1点处不穿过数轴）

④若不等式（x的系数化“+”后）是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.

例2 解不等式x2x3x10

2

3

解析 ①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为1,22,3

【评注】∵3是三重根，∴在C处来回穿三次，∵2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但x2满足“=”的条件，不能漏掉.

x23x4

例3 解不等式0

xx2x3

解析 先将原不等式等价化为不等式x23x4xx2x30且



x3,x0,x2，

即xx2x3x1x40且x3,x0,x2，用“数轴标根法”

∴原不等式的解是,31,02,4

【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.

例4 解关于x的不等式：xx212xa0.

解析 此不等式是含参数a的高次不等式，xa是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对a的所处位置进行讨论

①将二次项系数化“+”并分解为：x4x3xa0； ②相应方程的根为：3,4,a； ③讨论：

ⅰ）当a4，即a4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为3,4a,.

ⅱ）当3a4，即4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为3,a4,

ⅲ）当a3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为a,34,



ⅳ0）当a4，即a4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为3,

ⅴ）当a3，即a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为4,。

综上所得，当a4时，原不等式的解集为3,4a,； 当4a3时，原不等式的解集为3,a4,； 当a3时，原不等式的解集为a,34,； 当a4时，原不等式的解集为3,； 当a3时，原不等式的解集为4,。

【评注】此题意在于让大家熟练用“数轴标根法”解高次不等式，培养分类讨论的思想，题中对当a3与a4时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论。