比例线段和黄金分割

比例线段与黄金分割学习指导

在日常生产和生活中，人们经常要接触到比与比例．在本单元中，我们将系统地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个重点，也是以后继续学习相关知识的基础．

一．知识结构

二．学习要点

1．经历现实生活中两条线段的比，了解“比”与“比例尺”的概念；

2．通过对实例的研究，初步体验“两条线段的比”与“比例线段”的相互关系； 3．“黄金分割”是《课程标准》重点提出的内容．学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带．

4．熟练掌握下列性质：

ac

（1）如果，那么adbc；

bd

ac

（2）如果adbc（a、b、c、d都不等于0），那么；

bd

acabcd

（3）如果，那么； 

bdbdacmacma

（4）如果(bdn0)，那么．

bdnbdnb

（5）如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC

51

AB0.618AB． 2

三．边读边做

1．如果选用 量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么m∶n就叫做 比；由此可知，两条线段的长度比与所采用的 没有关系．

2．在地图或工程图纸上， 长度与 长度的比通常称为比例尺．

3．四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a、b、c、d叫做 ，简称 ．

4．如果点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC∶AB= ；有一种矩形，当宽与长的比等于黄金比时，这个矩形叫做黄金矩形，请你设计一个黄金矩形，使这个黄金矩形的长等于10cm，那么它的宽等于 ．

四．解题指导

例1．如图13-1，是南京路上的沙滩排球场地，它的长26米、宽18米，用塑料布垫底、木板铺盖的保护下，堆积了厚约40厘米的中沙约300吨．露天赛场将为步行街每日上百万人次免费观看比赛提供机会，这不但为都市广场文化注入了新颖时尚的元素，也为沙滩排球的发展提供了绝佳的宣传机会．求（1）沙滩排球场地的长与宽之比；（2）沙滩排球场地的宽与对角线长度之比．

解：（1）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米，

∴

长2613

； 宽189

（2）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米，

∴对角线长度=长2宽2=26213229（米）， ∴

宽18

．

对角线29

答：沙滩排球场地的长与宽之比为

1318，沙滩排球场地的宽与对角线长度之比为． 929

例2．1米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长0.8米，此时电视发射塔在阳光下的影．．

子长100米，求这个电视塔的高度．

分析：在同一时刻下，直立在地面上的物体高度与该物体在阳光下的影子长度之比都相等．所以，根据物体高度与它在阳光下的影子长度之比相等，便可利用比例线段求得电视塔的高度．

解：根据题意，得

标杆高度电视塔高度1电视塔高度

，即， 

标杆影子长度电视塔影子长度0.8100

1100

125米． 0.8

答：电视塔的高度是125（米）． 注意：“线段的比”与“比例线段”是两个不同的概念，解题时必须注意其细微的差别．例1中“长与宽之比”和“宽与对角线之比”都是指两条线段的比；例2是指两种物体高度与它们影子长度对应成比例．

例3．已知5a=4b，求：

ababab（1）； （2）； （3）．

bbab

a4acabcd

分析：由5a=4b，容易想到，再利用“如果，那么”便可使问题顺利获解． 

b5bdbd

a4

解：由5a=4b，得．

b5

ab451ab459

∴（1）„„①； （2）；„„②；

b55b55

1

ab1

（3）①÷②=5．

9ab95

acac

注意：1．“如果，那么adbc”是一个十分重要的性质，反指“如果adbc，那么”

bdbd

亦成立．所以解题时可以根据需要，相互转化．

2．本例还可以“设元”求解（设a=4k，则b=5k），同学们不妨一试．

abbcca

例4．已知k (abc0)，求k的值．

cababbcca

解：∵k，且abc0，

cababbcca∴k，即k2．

cab

想一想：若将上例中“abc0”这个条件去掉，会发生什么变化？

acmacma

注意：“如果(bdn0)，那么”中的abc0这个条件

bdnbdnb

常常被某些同学忽视．如果去掉abc0这个条件，就必须采用分类讨论进行解决．

abc

①当abc0时，上例已作出解答；②当abc0时，有abc，此时1；综

cc

∴电视塔高度=

上所述，如果去掉abc0这个条件，k=2或-1．

例5．如图13-2，线段AB的长是为3厘米，求作以AB形．

分析：由于宽与长之比等于1（或0.618）的矩形叫

2

为长的黄金矩做黄金矩形，所

以只要先求出矩形的宽即可．

解：根据题意得 ，矩形的宽=3×0.618≈1.9厘米．以3厘米为长，1.9厘米为宽作矩形ABCD（如图13-3），则矩形ABCD就是所示所求的黄金矩形．

注意：1．由于黄金矩形的宽与长之比等于黄金比（0.618），所以只要设法求出线段AB的黄金分割点，便可使问题顺利获解．

2．如果将题目中的“以AB为长”改为“以AB为一边”，那么解题时又要从两方面进行考虑（即①AB是黄金矩形的长；②AB是黄金矩形的宽）．

比例线段与黄金分割学习指导

在日常生产和生活中，人们经常要接触到比与比例．在本单元中，我们将系统地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个重点，也是以后继续学习相关知识的基础．

一．知识结构

二．学习要点

1．经历现实生活中两条线段的比，了解“比”与“比例尺”的概念；

2．通过对实例的研究，初步体验“两条线段的比”与“比例线段”的相互关系； 3．“黄金分割”是《课程标准》重点提出的内容．学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带．

4．熟练掌握下列性质：

ac

（1）如果，那么adbc；

bd

ac

（2）如果adbc（a、b、c、d都不等于0），那么；

bd

acabcd

（3）如果，那么； 

bdbdacmacma

（4）如果(bdn0)，那么．

bdnbdnb

（5）如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC

51

AB0.618AB． 2

三．边读边做

1．如果选用 量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么m∶n就叫做 比；由此可知，两条线段的长度比与所采用的 没有关系．

2．在地图或工程图纸上， 长度与 长度的比通常称为比例尺．

3．四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a、b、c、d叫做 ，简称 ．

4．如果点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC∶AB= ；有一种矩形，当宽与长的比等于黄金比时，这个矩形叫做黄金矩形，请你设计一个黄金矩形，使这个黄金矩形的长等于10cm，那么它的宽等于 ．

四．解题指导

例1．如图13-1，是南京路上的沙滩排球场地，它的长26米、宽18米，用塑料布垫底、木板铺盖的保护下，堆积了厚约40厘米的中沙约300吨．露天赛场将为步行街每日上百万人次免费观看比赛提供机会，这不但为都市广场文化注入了新颖时尚的元素，也为沙滩排球的发展提供了绝佳的宣传机会．求（1）沙滩排球场地的长与宽之比；（2）沙滩排球场地的宽与对角线长度之比．

解：（1）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米，

∴

长2613

； 宽189

（2）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米，

∴对角线长度=长2宽2=26213229（米）， ∴

宽18

．

对角线29

答：沙滩排球场地的长与宽之比为

1318，沙滩排球场地的宽与对角线长度之比为． 929

例2．1米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长0.8米，此时电视发射塔在阳光下的影．．

子长100米，求这个电视塔的高度．

分析：在同一时刻下，直立在地面上的物体高度与该物体在阳光下的影子长度之比都相等．所以，根据物体高度与它在阳光下的影子长度之比相等，便可利用比例线段求得电视塔的高度．

解：根据题意，得

标杆高度电视塔高度1电视塔高度

，即， 

标杆影子长度电视塔影子长度0.8100

1100

125米． 0.8

答：电视塔的高度是125（米）． 注意：“线段的比”与“比例线段”是两个不同的概念，解题时必须注意其细微的差别．例1中“长与宽之比”和“宽与对角线之比”都是指两条线段的比；例2是指两种物体高度与它们影子长度对应成比例．

例3．已知5a=4b，求：

ababab（1）； （2）； （3）．

bbab

a4acabcd

分析：由5a=4b，容易想到，再利用“如果，那么”便可使问题顺利获解． 

b5bdbd

a4

解：由5a=4b，得．

b5

ab451ab459

∴（1）„„①； （2）；„„②；

b55b55

1

ab1

（3）①÷②=5．

9ab95

acac

注意：1．“如果，那么adbc”是一个十分重要的性质，反指“如果adbc，那么”

bdbd

亦成立．所以解题时可以根据需要，相互转化．

2．本例还可以“设元”求解（设a=4k，则b=5k），同学们不妨一试．

abbcca

例4．已知k (abc0)，求k的值．

cababbcca

解：∵k，且abc0，

cababbcca∴k，即k2．

cab

想一想：若将上例中“abc0”这个条件去掉，会发生什么变化？

acmacma

注意：“如果(bdn0)，那么”中的abc0这个条件

bdnbdnb

常常被某些同学忽视．如果去掉abc0这个条件，就必须采用分类讨论进行解决．

abc

①当abc0时，上例已作出解答；②当abc0时，有abc，此时1；综

cc

∴电视塔高度=

上所述，如果去掉abc0这个条件，k=2或-1．

例5．如图13-2，线段AB的长是为3厘米，求作以AB形．

分析：由于宽与长之比等于1（或0.618）的矩形叫

2

为长的黄金矩做黄金矩形，所

以只要先求出矩形的宽即可．

解：根据题意得 ，矩形的宽=3×0.618≈1.9厘米．以3厘米为长，1.9厘米为宽作矩形ABCD（如图13-3），则矩形ABCD就是所示所求的黄金矩形．

注意：1．由于黄金矩形的宽与长之比等于黄金比（0.618），所以只要设法求出线段AB的黄金分割点，便可使问题顺利获解．

2．如果将题目中的“以AB为长”改为“以AB为一边”，那么解题时又要从两方面进行考虑（即①AB是黄金矩形的长；②AB是黄金矩形的宽）．