1 研究柯西-黎曼不同形式的目的
1.1 柯西-黎曼定义
在一对实值函数u (x , y ) 和v (x , y ) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：
∂u ∂v =
∂x ∂y (1) ∂u ∂v =-∂y ∂x (2)
柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。
通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：f (x +iy ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 。假设u 和v 在开集C 上连续可微。则f =u +iv 是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。
1.2 柯西-黎曼不同形式
形式一：在复变函数中，设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，则柯西-黎曼方程形式是
∂u ∂v ∂u ∂v
， ==-，
∂x ∂y ∂y ∂x
简称C . -R . 方程，是它的实形式。
形式二：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) =R (cosθ+i sin θ) 是z =r (cosϕ+i sin ϕ) 在D 区域的解析函数，C . -R . 也可写成
∂u 1∂u ∂v 1∂u
， =, =-
∂v r ∂ϕ∂r r ∂ϕ
[1]
称之为它的极坐标形式。
形式三：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，z =x +iy , z =x -iy 则
__
11
x =(z +z ), y =(z -z )
22i
_
[1]
于是有
ω=f (z ) =f (x , y ) =f (
z 和z 视为独立变量且为函数，最终形式为
∂f ∂z
_
_
z +z z -z
, ). 22i
__
=0，
称之为它的复形式。
形式四：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，其可写成
⎧⎪(gradu , gradv ) =0 ⎨
gradu =gradv ⎪⎩
[1]
的形式，称之为它梯度形式。
分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。 2 研究柯西--黎曼方程的应用的目的
在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西-黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的事。反过来用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常繁琐的事。同时已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部），从而得到函数的表达式。
定理一 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内一点
[1]
x +iy 可导的充要条件是u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定理二 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内解析的充要条件是：u (x , y ) 和v (x , y ) 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定义一 如果实二元函数H (x , y ) 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普
⎧∂2u ∂2u ⎪2+2=0
[4]⎪∂x ∂y
拉斯方程∆H =0，即⎨2，则称为在区域内的调和函数。 H (x , y ) D 2
⎪∂v +∂v =0
22⎪⎩∂x ∂y
定义二 在区域D 内满足C . -R . 方程
∂u ∂v ∂u ∂v
，==-
∂x ∂y ∂y ∂x
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。
定理三 若f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域D 内解析，则在区域D 内v (x , y ) 必为
u (x , y ) 的共轭调和函数。
[4]
[4]
定理四 设u (x , y ) 是在单连通区域D 调和函数, 则存在由式
v (x , y ) =⎰(x 0, y 0) -
(x , y )
∂u ∂u
, 使u +iv =f 是D 内解dx +dy +C 所确定的函数v (x , y )
∂y ∂x
析函数
[4]
。
利用定理一可以判断函数在一点的可导性，定义二、三认识柯西-黎曼方程的性质，而利用定理二、三、四可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。
形式一：在复变函数中，设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，则柯西-黎曼方程形式是
∂u ∂v ∂u ∂v
， ==-，
∂x ∂y ∂y ∂x
简称C . -R . 方程，是它的实形式。
形式二：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) =R (cosθ+i sin θ) 是z =r (cosϕ+i sin ϕ) 在D 区域的解析函数，C . -R . 也可写成
[1]
∂u 1∂u ∂v 1∂u
， =, =-
∂v r ∂ϕ∂r r ∂ϕ
称之为它的极坐标形式。
形式三：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，z =x +iy , z =x -iy 则
__
11
x =(z +z ), y =(z -z )
22i
_
[1]
于是有
ω=f (z ) =f (x , y ) =f (
z 和z 视为独立变量且为函数，最终形式为
∂f ∂z
_
_
z +z z -z
, ). 22i
__
=0
称之为它的复形式。
形式四：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，其可写成
⎧⎪(gradu , gradv ) =0 ⎨
gradu =gradv ⎪⎩
[1]
的形式，称之为它梯度形式。
定理一 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内一点
[1]
x +iy 可导的充要条件是u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定理二 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内解析的充要条件是：u (x , y ) 和v (x , y ) 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定义一 如果实二元函数H (x , y ) 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普
⎧∂2u ∂2u ⎪2+2=0
[4]⎪∂x ∂y
拉斯方程∆H =0，即⎨2，则称为在区域内的调和函数。 H (x , y ) D 2
⎪∂v +∂v =0
22⎪⎩∂x ∂y
定义二 在区域D 内满足C . -R . 方程
∂u ∂v ∂u ∂v
，==-
∂x ∂y ∂y ∂x
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。 定理三 若f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域D 内解析，则为u (x , y ) 的共轭调和函数。
定理四 设u (x , y ) 是在单连通区域D 调和函数, 则存在由式
v (x , y ) =⎰(x 0, y 0) -
(x , y )
[4]
D 内v (x , y ) 必
[4]
∂u ∂u
dx +dy +C 所确定的函数v (x , y ) , 使u +iv =f 是D 内解析∂y ∂x
函数。
以上都附带适当证明, 还有一些经典、精辟例题。
[4]
1 研究柯西-黎曼不同形式的目的
1.1 柯西-黎曼定义
在一对实值函数u (x , y ) 和v (x , y ) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：
∂u ∂v =
∂x ∂y (1) ∂u ∂v =-∂y ∂x (2)
柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。
通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：f (x +iy ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 。假设u 和v 在开集C 上连续可微。则f =u +iv 是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。
1.2 柯西-黎曼不同形式
形式一：在复变函数中，设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，则柯西-黎曼方程形式是
∂u ∂v ∂u ∂v
， ==-，
∂x ∂y ∂y ∂x
简称C . -R . 方程，是它的实形式。
形式二：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) =R (cosθ+i sin θ) 是z =r (cosϕ+i sin ϕ) 在D 区域的解析函数，C . -R . 也可写成
∂u 1∂u ∂v 1∂u
， =, =-
∂v r ∂ϕ∂r r ∂ϕ
[1]
称之为它的极坐标形式。
形式三：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，z =x +iy , z =x -iy 则
__
11
x =(z +z ), y =(z -z )
22i
_
[1]
于是有
ω=f (z ) =f (x , y ) =f (
z 和z 视为独立变量且为函数，最终形式为
∂f ∂z
_
_
z +z z -z
, ). 22i
__
=0，
称之为它的复形式。
形式四：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，其可写成
⎧⎪(gradu , gradv ) =0 ⎨
gradu =gradv ⎪⎩
[1]
的形式，称之为它梯度形式。
分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。 2 研究柯西--黎曼方程的应用的目的
在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西-黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的事。反过来用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常繁琐的事。同时已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部），从而得到函数的表达式。
定理一 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内一点
[1]
x +iy 可导的充要条件是u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定理二 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内解析的充要条件是：u (x , y ) 和v (x , y ) 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定义一 如果实二元函数H (x , y ) 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普
⎧∂2u ∂2u ⎪2+2=0
[4]⎪∂x ∂y
拉斯方程∆H =0，即⎨2，则称为在区域内的调和函数。 H (x , y ) D 2
⎪∂v +∂v =0
22⎪⎩∂x ∂y
定义二 在区域D 内满足C . -R . 方程
∂u ∂v ∂u ∂v
，==-
∂x ∂y ∂y ∂x
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。
定理三 若f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域D 内解析，则在区域D 内v (x , y ) 必为
u (x , y ) 的共轭调和函数。
[4]
[4]
定理四 设u (x , y ) 是在单连通区域D 调和函数, 则存在由式
v (x , y ) =⎰(x 0, y 0) -
(x , y )
∂u ∂u
, 使u +iv =f 是D 内解dx +dy +C 所确定的函数v (x , y )
∂y ∂x
析函数
[4]
。
利用定理一可以判断函数在一点的可导性，定义二、三认识柯西-黎曼方程的性质，而利用定理二、三、四可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。
形式一：在复变函数中，设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，则柯西-黎曼方程形式是
∂u ∂v ∂u ∂v
， ==-，
∂x ∂y ∂y ∂x
简称C . -R . 方程，是它的实形式。
形式二：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) =R (cosθ+i sin θ) 是z =r (cosϕ+i sin ϕ) 在D 区域的解析函数，C . -R . 也可写成
[1]
∂u 1∂u ∂v 1∂u
， =, =-
∂v r ∂ϕ∂r r ∂ϕ
称之为它的极坐标形式。
形式三：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，z =x +iy , z =x -iy 则
__
11
x =(z +z ), y =(z -z )
22i
_
[1]
于是有
ω=f (z ) =f (x , y ) =f (
z 和z 视为独立变量且为函数，最终形式为
∂f ∂z
_
_
z +z z -z
, ). 22i
__
=0
称之为它的复形式。
形式四：设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) ，其可写成
⎧⎪(gradu , gradv ) =0 ⎨
gradu =gradv ⎪⎩
[1]
的形式，称之为它梯度形式。
定理一 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内一点
[1]
x +iy 可导的充要条件是u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定理二 设函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 定义在区域D 内，则f (z ) 在D 内解析的充要条件是：u (x , y ) 和v (x , y ) 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v [4]
，。 ==-
∂x ∂y ∂y ∂x
定义一 如果实二元函数H (x , y ) 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普
⎧∂2u ∂2u ⎪2+2=0
[4]⎪∂x ∂y
拉斯方程∆H =0，即⎨2，则称为在区域内的调和函数。 H (x , y ) D 2
⎪∂v +∂v =0
22⎪⎩∂x ∂y
定义二 在区域D 内满足C . -R . 方程
∂u ∂v ∂u ∂v
，==-
∂x ∂y ∂y ∂x
的两个调和函数u , v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。 定理三 若f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域D 内解析，则为u (x , y ) 的共轭调和函数。
定理四 设u (x , y ) 是在单连通区域D 调和函数, 则存在由式
v (x , y ) =⎰(x 0, y 0) -
(x , y )
[4]
D 内v (x , y ) 必
[4]
∂u ∂u
dx +dy +C 所确定的函数v (x , y ) , 使u +iv =f 是D 内解析∂y ∂x
函数。
以上都附带适当证明, 还有一些经典、精辟例题。
[4]