导数的概念及计算

课题：导数的概念及计算

一、学习目标：

1．了解导数概念的实际背景及导数的几何意义；

2．能根据导数定义求常见函数的导数，能利用给出的基本初等函数导数公式和导数的四则

运算法则求简单函数的导数。

二、重点、难点:

函数在某点处的切线方程与郭某点的切线方程的研究三、知识梳理：

1．导数的概念

（1）平均变化率及瞬时变化率

(1)f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率是 .

(2)f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率是

（2）f (x ) 在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率，即当∆x →0时，函数从x 0到x 0+∆x 的平均

变化率的称其为函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0) 或，即f ′(x 0) ＝.

（3）导函数（4）导数的几何意义

函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x ) 在点P(x 0，f (x 0)) 处的y ＝f (x ) 在点P(x 0，f (x 0)) 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0) ，切线方程为

2．基本初等函数的导数公式

3．导数运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝ (2)[ f (x )·g (x )]′＝； (3)⎡

f (x )⎣g (x )⎦′＝ (g (x ) ≠0) ．

四、典型例题：

例1：求下列函数的导数．

(1)y＝(1x)(1＋

；(2)y＝ln xx (3)y＝xe x ；(4)y＝tan x .

例2: 求下列函数在x ＝x 0处的导数．

f (x ) ＝e x 1－x e x

(1)1x

(x x －x 3＋x 2ln x 0＝2) ；(2)f (x ) ＝x (x 0＝1) ．

例3: 已知曲线y ＝1

.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程；

(3)求满足斜率为－1

的曲线的切线方程．

例4：已知点P 在曲线y =4

e x +1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（A ）(0,

)

（B ）[π4, π2) （C ）(π2, 3π4] （D ）[3π4

, π)

五、达标训练：

1．曲线y sin x 1π

sin x ＋cos x 2M (40) 处的切线的斜率为( )

A ．－12 B. 12 C 22

2 D. 2

2．已知函数f (x ) ＝1

3x 3－x 2＋ax ＋b 的图象在点P (0, f (0))处的切线方程为y ＝3x －2.

求实数a ，b 的值．

【收获总结】