竞赛试题选讲之六：立体几何
一、选择题部分
1. （2006吉林预赛）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使l 与直线AC 和直 线BC 1所成的角均为60°，则这样的直线l 的条数为 （ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3
2. （2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，P 为棱
AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面AB C 1D 1
均成30角，则这样的直线l 的条数为（B ）
A. 1 B .2 C. 3 D .4
3．(集训试题) 设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式
A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．既有最大值又有最小值，两者不等 D ．是一个与面QPS 无关的常数 0111 ++PQ PR PS （ ）
解：设正三棱锥P-ABC 中，各侧棱两两夹角为α，PC 与面PAB 所成角为β，则v S-PQR =△PQR 1S 311(PQ ·PRsin α) ·PS ·sin β。另一方面，记O 到各面的距离为d ，则32
1111d 1v S-PQR =vO-PQR +vO-PRS +vO-PQS S △PQR ·d=△PRS ·d+S △PRS ·d+△PQS ·d=⋅PQ ·PRsin 333332
d 1d 1α+⋅PS ·PRsin α+⋅PQ ·PS ·sin α，故有：PQ ·PR ·PS ·sin β3232·h=
=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS) ，即111sin β++==常数。故选D 。 PQ PR PS d
4．（2006年江苏）过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD -A 1BC 11D 1的12条棱所在直
线成等角的直线共有（C ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 共5页 第1页
D ．无数多条
5. （2006天津）已知P 为四面体S -ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距
离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ D ）
A ．圆或椭圆 B ．椭圆或双曲线
C ．双曲线或抛物线 D ．抛物线或椭圆
6．（2006年南昌市）四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是单位正方形(A , B , C , D 按反时针方
向排列), 侧棱PB 垂直于底面, 且PB ＝, 记∠APD =θ, 则sin θ＝（C ）
A ．2 2B ．3 3C ．5 5D ．6 6
7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形
(4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B ）
A ．(1)(2)(5) B ．(1)(2)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(3)(4)(5)
【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。
∴选 【 B 】
8．(2005全国) 如图，ABCD -A 'B 'C 'D '为正方体。任作平面α与对角线A C '垂直，使得α
与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l . 则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥A -A 'BD 与C '-D 'B 'C 后，得到一个以平行平面A 'BD 与D 'B 'C 为上、下底面的几何体V ，V 的
每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的
每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V
的侧面沿棱A 'B '剪开，展平在一张平面上，得到一个
A 'B 'B 1A 1，而多边形W 的周界展开后便成为一条与A 'A 1平行的线段（如图中
，显然E 'E 1=A 'A 1，故l 为定值. E 'E 1）
当E '位于A 'B '中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，
易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为
共5页 第2页 232故S 不为定值。
选l 与l ，2436
B.
9. （2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C ）
A ．2006 B ．1003 2C ．1003-1003 D ．1003-1002. 22
解： 正2n 边形A 1A 2 A 2n ，对角线共有 1⨯2n ⨯(2n -3) =n (2n -3) 条. 2
计算与一边A 1A 2平行的对角线条数，因A 1A 2//A n +1A n +2，与A 1A 2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C.
10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图
形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有条.
解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，
2 共C 24 =12⨯23=276，其中所有的棱都在原立方体的表面，
有36条. 原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以 连5⨯8=20条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此 2
之外的直线都在原立方体的内部.
二、填空题部分
1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s , 则s 的最大值为_1_. 2
2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在
盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 44-31π 3
3．（2006年上海）在△ABC 中，已知∠A =30︒, ∠B =105︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，
与边AB 或者BC 相交于点E ，使得∠CDE =60︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则
⎛CD ⎫
． = ⎪AC ⎝⎭
4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米，
n 平方米，p 平方米，则它的体积为
立方米．
共5页 第3页 2 m )
5．（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊
接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R 1，能包容此框架的最小球的半径为R 2，则R 1等于 . 3R 2
6．（2006年江苏）长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，已知AB 1=4，AD 1=3，则对角线AC 1的
取值范围是 (4, 5) ．
7．(2005全国) 如图，四面体DABC 的体积为1AC ，且满足∠ACB =45︒, AD +BC +=3, 62则CD =解： 3. 111AD ⋅(⋅BC ⋅AC ⋅sin 45︒) ≥V DABC =, 326
即AD ⋅BC ⋅AC
2≥1. 第7题图
又3=AD +BC +AC
2≥AD ⋅BC ⋅
AC
2AC 2≥3, 等号当且仅当AD =BC ==1时成立，这时AB =1, AD ⊥面ABC ，∴DC =3.
8．（2004 全国）如图、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，二面角A -BD 1-A 1的度数是____.
解：连结D 1C , 作CE ⊥BD 1，垂足为E ，延长CE 交A 1B 于F ，则FE ⊥BD 1， 连结AE ，由对称性知AE ⊥BD 1, ∴∠FEA 是二面角
A -BD 1-A 1的平面角. 连结AC ，设AB=1，则
AC =AD 1=BD 1=
共5页 第4页
在
Rt ∆ABD 1中，AE =AB ⋅AD 1 =BD 122222 4-2AE +CE -AC 2AE -AC 1. 在∆AEC 中, cos ∠AEC ====-2AE ⋅CE 2AE 22
3
∴∠AEC =1200, 而∠FEA 是∠AEC 的补角，∴∠FEA =600. 共5页 第5页
竞赛试题选讲之六：立体几何
一、选择题部分
1. （2006吉林预赛）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使l 与直线AC 和直 线BC 1所成的角均为60°，则这样的直线l 的条数为 （ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3
2. （2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，P 为棱
AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面AB C 1D 1
均成30角，则这样的直线l 的条数为（B ）
A. 1 B .2 C. 3 D .4
3．(集训试题) 设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式
A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．既有最大值又有最小值，两者不等 D ．是一个与面QPS 无关的常数 0111 ++PQ PR PS （ ）
解：设正三棱锥P-ABC 中，各侧棱两两夹角为α，PC 与面PAB 所成角为β，则v S-PQR =△PQR 1S 311(PQ ·PRsin α) ·PS ·sin β。另一方面，记O 到各面的距离为d ，则32
1111d 1v S-PQR =vO-PQR +vO-PRS +vO-PQS S △PQR ·d=△PRS ·d+S △PRS ·d+△PQS ·d=⋅PQ ·PRsin 333332
d 1d 1α+⋅PS ·PRsin α+⋅PQ ·PS ·sin α，故有：PQ ·PR ·PS ·sin β3232·h=
=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS) ，即111sin β++==常数。故选D 。 PQ PR PS d
4．（2006年江苏）过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD -A 1BC 11D 1的12条棱所在直
线成等角的直线共有（C ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 共5页 第1页
D ．无数多条
5. （2006天津）已知P 为四面体S -ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距
离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ D ）
A ．圆或椭圆 B ．椭圆或双曲线
C ．双曲线或抛物线 D ．抛物线或椭圆
6．（2006年南昌市）四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是单位正方形(A , B , C , D 按反时针方
向排列), 侧棱PB 垂直于底面, 且PB ＝, 记∠APD =θ, 则sin θ＝（C ）
A ．2 2B ．3 3C ．5 5D ．6 6
7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形
(4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B ）
A ．(1)(2)(5) B ．(1)(2)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(3)(4)(5)
【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。
∴选 【 B 】
8．(2005全国) 如图，ABCD -A 'B 'C 'D '为正方体。任作平面α与对角线A C '垂直，使得α
与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l . 则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥A -A 'BD 与C '-D 'B 'C 后，得到一个以平行平面A 'BD 与D 'B 'C 为上、下底面的几何体V ，V 的
每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的
每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V
的侧面沿棱A 'B '剪开，展平在一张平面上，得到一个
A 'B 'B 1A 1，而多边形W 的周界展开后便成为一条与A 'A 1平行的线段（如图中
，显然E 'E 1=A 'A 1，故l 为定值. E 'E 1）
当E '位于A 'B '中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，
易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为
共5页 第2页 232故S 不为定值。
选l 与l ，2436
B.
9. （2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C ）
A ．2006 B ．1003 2C ．1003-1003 D ．1003-1002. 22
解： 正2n 边形A 1A 2 A 2n ，对角线共有 1⨯2n ⨯(2n -3) =n (2n -3) 条. 2
计算与一边A 1A 2平行的对角线条数，因A 1A 2//A n +1A n +2，与A 1A 2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C.
10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图
形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有条.
解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，
2 共C 24 =12⨯23=276，其中所有的棱都在原立方体的表面，
有36条. 原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以 连5⨯8=20条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此 2
之外的直线都在原立方体的内部.
二、填空题部分
1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s , 则s 的最大值为_1_. 2
2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在
盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 44-31π 3
3．（2006年上海）在△ABC 中，已知∠A =30︒, ∠B =105︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，
与边AB 或者BC 相交于点E ，使得∠CDE =60︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则
⎛CD ⎫
． = ⎪AC ⎝⎭
4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米，
n 平方米，p 平方米，则它的体积为
立方米．
共5页 第3页 2 m )
5．（2006陕西赛区预赛）用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊
接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为R 1，能包容此框架的最小球的半径为R 2，则R 1等于 . 3R 2
6．（2006年江苏）长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，已知AB 1=4，AD 1=3，则对角线AC 1的
取值范围是 (4, 5) ．
7．(2005全国) 如图，四面体DABC 的体积为1AC ，且满足∠ACB =45︒, AD +BC +=3, 62则CD =解： 3. 111AD ⋅(⋅BC ⋅AC ⋅sin 45︒) ≥V DABC =, 326
即AD ⋅BC ⋅AC
2≥1. 第7题图
又3=AD +BC +AC
2≥AD ⋅BC ⋅
AC
2AC 2≥3, 等号当且仅当AD =BC ==1时成立，这时AB =1, AD ⊥面ABC ，∴DC =3.
8．（2004 全国）如图、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，二面角A -BD 1-A 1的度数是____.
解：连结D 1C , 作CE ⊥BD 1，垂足为E ，延长CE 交A 1B 于F ，则FE ⊥BD 1， 连结AE ，由对称性知AE ⊥BD 1, ∴∠FEA 是二面角
A -BD 1-A 1的平面角. 连结AC ，设AB=1，则
AC =AD 1=BD 1=
共5页 第4页
在
Rt ∆ABD 1中，AE =AB ⋅AD 1 =BD 122222 4-2AE +CE -AC 2AE -AC 1. 在∆AEC 中, cos ∠AEC ====-2AE ⋅CE 2AE 22
3
∴∠AEC =1200, 而∠FEA 是∠AEC 的补角，∴∠FEA =600. 共5页 第5页