垦堕墼墼垦垦垦蚕蚕墅邕盖茎盘业！嫩幽盟业
基于抛物线切点弦性质的拓展性研究
周丽
（江苏省宜兴中等专业学校
摘
江苏宜兴
２１
科教研究
４２０６）
要：在直线ｚ＝－ｍ（ｍ＞０）上任取一点Ｐ作抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞ｏ）的切线，切点为Ａ．Ｂ，则直线ＡＢ过定点（ｍ，０）。过抛物线
Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０１的外任一点Ｐ作抛物线的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，弦ＡＢ的中点Ｑ，则ＰＱ平行于ｘ轴；Ｐ与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分。
切点弦性质关键词：抛物线
中图分类号：Ｇ６４２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－－９７９５（２０１２）０９Ｃａ）一００３６－－０２抛物线是圆锥曲线中重要的一支内容。抛物线切点弦蕴涵着抛物线的许多别具一格的几何性质，体现了数与形的完美结合，也折射出数学世界内在的美。笔者也尝试对抛物线切点弦性质做一些拓展性的归纳与思考。
性质１：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线任一点Ｐ作抛物线的切线，切点分别是Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过焦点。
证明：设切点分别为Ａ（工ｌ，Ｙ１），Ｂ（Ｘ２Ｙ：），
则切线方程为，ＹＹｌ＝ｐ（ｘ＋一）ＹＹ２＝ｐ（ｘ＋Ｘ２），
由于Ｐ（一：Ｐ，粥）是两切线的交点，所以满足：
虬ｙ。＝ｐ（一詈＋五），甄咒２ｐ（一ｉＰ＋屯），
从而得切点弦ＡＢ的方程为％ｙ＝ｐ（一ｉＰ＋ｘ），故直线ＡＢ过焦点。
性质２：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的对称轴上任一点Ｐ（－ｍ，０）（ｍ＞０）作抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ，则直线ＡＢ过定点
（ｍ，０）。
证明：设切点Ａ（ｘｏ，Ｙｏ），则切线方程为ＹＹｏ＝ｐ（ｘ＋Ｘｏ）
由于切线过点Ｐ（一ｍ，０），所以０＝ｐ（一ｍ＋Ｘｏ）。
得Ｘ。＝ｍ，因此直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍ，故直线ＡＢ过定点（班，Ｏ）
性质１，２：都是切点弦过定点的问题，这两条性质从结构也证
明上看，如此相似，不得不产生联想，假如说把它们结合起来呢？
推论：在直线ｘ＝一ｍ（ｍ＞０）上任取一点Ｐ作抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞ｏ）的切线，切点为Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点（聊，０）。
证：设切点分别为Ａ（ＸＩＹ。），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２），
则切线方程为瞒＝ｐ（ｘ＋Ｘ１），ＹＹ２＝ｐ（ｘ＋ｘ２），
由于两切线交于直线ｘ＝－ｍ上的一点ｐ（一所，Ｙ。），所以满足‰Ｍ＝ｐ（一ｍ＋ｘＩ），ＹｏＹ２＝ｐ（一ｍ＋屯），
从而得切点弦ＡＢ的方程为ＹｏＹ＝ｐ（一ｍ＋石），故直线ＡＢ过定点（ｍ，０），假如这条推论还有怀疑，我们不妨从另一角度来进行论证：
证明：设切点分别为Ａ（ｘ。，Ｙ，），Ｂ（ｘ：，Ｙ２）。
则有ｙ；＝２肌①，胪２
２肼：②删Ａ（易巾，Ｂ（丢㈦，
两式相减得：（Ｍ—ｙ：）（ｙ．＋ｙ：）＝２ｐ（五一屯），等三詈＝而２ｐ
，
３６
万方数据
中国科教创新导刊
ＣｈｉｎａＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ
设霓为直线ＡＢ的斜率，Ⅲ，ｌｌ
ｋ＝，。２１．ｐ．ｉ，
所以直籼施一＝羔”旁，令ｙ。０得叫・２赢＿ｚ７仁一荔，令舢纠・２羔Ｘ旁－，＂１仁一芳，
设直线ＡＢ与ｘ菇的交点为Ｇ，Ｇ（一鼍等，ｏ），
又切线ＰＡ，ＰＢ的方程分别为：
瞒刊ｘ＋旁２③，拶：叫Ｈ旁④
自③，④联端ｙ得石＝筹沪半，所州芳，半）。
从这部分论证我们进一步推论：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外由上面的证明中我们发现Ｐ点坐标为（鼍孑，Ｙｌ＋２Ｙ２），而ＡＢ中
性质３：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的外任一ＡＰｆｆ－抛物线的两条
由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的如图，过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外一点Ｐ（位于Ｙ轴左边）作抛物Ｊ＿，于Ｍ，过
Ｊ＿，于Ｎ，Ｇ为直线ＡＢ与ｘ轴的交点，则Ｐ（芝争，且≯），
Ｇ（一等，ｏ），Ｍ。，瓦Ｙ１Ｙ２㈨，Ｎ（Ｙ２１Ｙｐ２啦
过Ｐ作ＰＲⅣ轴交抛物线于Ｒ，交ＡＢ于Ｑ，则Ｒ（等竽，半）
（下转３８页）
－－ＡＰ（位于Ｙ轴左边）作抛物线的切线，切点为Ａ，Ｂ，则ＡＢ与ｘ轴的
交点Ｇ的横坐标与点Ｐ的横坐标互为相反数。
点的纵坐标也为型ｉ丛，所以我们得到一条新的结论。点的纵坐标也为丛｛丝，所以我们得到一条新的结论。
切线，切点分别为Ａ，Ｂ，弦ＡＢ的中点Ｑ，则ＰＱ平行十Ｘ轴。
距离相等。那么，从性质１，２的联系来看，直线Ｘ＝一ｍ上的点是否也有类似的性质呢？经过尝试，我们可以证得：
线的切线，切点为Ａ，Ｂ，过Ｐ作ｘ轴的垂线，，过Ａ作ＡＭＢ作ＢＮ
匿堡墼垦窭兰釜业！型！！业型！
科教研究
（１）“当胛无限增大时寸直观语言“要多大有多大”寸数学语
ｆ）：一ｃ＋搬
言对于任意给定的Ⅳ＞０，当门＞Ｎ时。”
第二年（胛＝２）时，根据需求函数确定价格，即：只＝ａ一６Ｑ２。
（２）ｘ。无限趋近常数彳ｊ直观语言ｘ。与彳的距离要多近就有
只又影响第三年的供给，依次下去……则得第ｒｔ年
多近ｊＸｎ与Ａ的距离在数学上用ＩＸｎ－－ＡＩ来表示，即Ｉ％一彳Ｉ的
只：口一ｂＱ，Ｑ＋，：－－Ｃ＋织，
值要多小就有多小一用ｓ表示距离小的程度，对于任意的占（＞ｏ），Ｉ％一ＡＩ＜ｓ。
即匕ｒｉ鬲…ｉ鬲）。即‰一篇…丽ａ＋ｂｃ）．ｂｄ（Ｐ．。
结合（１）（２）便能容易的得出数列极限的ｓ—Ｎ定义ａ
由此，可得
定义２（ｓ—Ｎ定义）：设数列｛瓦｝和常数彳，如果对于任意的正
＆。＝丽ａ＋ｂｃ＋（一ｂｄ）”（曰一丽ａ＋ｂｃ）．。
数ｓ，总存在正整数Ｎ，使得当，？＞Ｎ时，恒有ｌ
Ｘｎ—Ａ
Ｉ＜ｓ成立，
特别地，如果对某商品得知，
则称数列｛Ｘｎ｝以彳为极限，记作
只＝０．６，ａ＝１．４，ｂ＝０．０２５，Ｃ＝２，ｄ＝３０，
。ｌｉ．＋ｒａ。Ｘｎ＝爿或ｘ。ｊＡ（刀一∞）。
则只＝万２９一万８（一矿３
Ｉ，Ｈ＝ｌ，２，．
１．Ｒ７ｋ…ｌｉｍＰ．＝９“０．８２８６
ｏ通
Ｈ—÷∞
通过定义的讲解，使学生认识到对数列求极限是一个不断变化的过程，要用动的观点来认识数列极限的概念。要求学生掌握极过上述分析，此商品的价格将稳定在０．８２８６单位价格。３．５课后作业
限的思想，不要求掌握极限的￡一Ｎ定义以及用ｓ—Ｎ定义证明某要求学生课后查阅数学家Ｃａｕｃｈｙ，Ａｕｇｕｓｔｉｎ—Ｌｏｕｉｓ的生平以及些数列的极限。
３．４数列极限的应用一蛛网模型
对数学的贡献，特别了解数列极限的ｓ—Ｎ定义是如何建立起来由一般市场规律，不考虑科技因素等其他因素影响，一种商品
的，这样学生通过自己查阅就能了解数学家的工作以及数学概念若供大干求，则价格就会降低。随着价格的降低，需求量会随之上的发展过程。
升，同时供给量随之减少。当价格降到一定程度后，就会出现明显
供不应求的局面，这时价格会上升。随着价格的上升，需求量会随４结语
之降低，同时供给量随之增加。当价格升到一定程度后，会出现明通过上述一系列的教学内容的设计，使得学生对于数列极限显供大于求的局面，价格又会降低……如此循环往复，商品的价格这个概念有了比较全面的了解，不再畏惧数列极限这个概念的高会围绕“价值”上下波动。
度抽象性了。对于微积分课程中其他的基本概念也可以采用上述我们要用数学对上述问题进行量化。为简单起见，我们取需求的方法，以达到教学目的。
函数和供应函数分别为线性函数如下：
参考文献
需求函数为：Ｐ＝ａ－６蜴供庳函数为：Ｑ
２一ｃ＋ｄＰ，其中，
［１】张从军，等．微积分【Ｍ］．２版．复旦大学出版社，２００９．
［２】顾静相，等．经济应用数学【Ｍ】．２版．高等教育出版社，２００８．ａ，ｂ，Ｃ，ｄ为非负实数。
【３】张从军，等．常见经济问题的数学解析【Ｍ】．东南大学出版社
２００４．
第一年（ｎ＝１）时，设价格为只，需求为Ｑｌ，则有只＝ａ一６Ｑｌ。
供应商根据第一年的价格只来制定第二年（ｎ＝２）时的产量，即
（上接３６页）
又由性质４知Ｑ是ＡＢ的中点，显然Ｐ是ＭＮ的中点，
啡Ｉ学一矧：址訾业：学，
ⅢＩＩＰＱ是直角梯形的中位线，．’．ＩＡＭ卜ｌ删Ｉ＝２ＩＰＱＩ，．＋．ＩＰＱｌ＝２Ｉ瑚１
．‘．Ｒ是ＰＱ的中点。也就是说过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（Ｐ＞０）外一点Ｐ作抛物线的切线，Ｐ与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分。
又阻ＭＩ＝石ｙ１２一瓦Ｙ，Ｙｚ＝芷≯，Ｉ驯＝豸一等＝芷≯，
抛物线切点弦的性质既相互独立，又相互联系，彼此蕴涵，无不反映了抛物线切点弦的独特魅力。相信它还有更多引人入胜的一ＭＩ＋例＝血皆＝掣，．・．Ｉ删怛一例。
特性期待着我们去探索，去发掘。
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Ｈｅｒａｌｄ
万方数据
中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ
Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ
垦堕墼墼垦垦垦蚕蚕墅邕盖茎盘业！嫩幽盟业
基于抛物线切点弦性质的拓展性研究
周丽
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摘
江苏宜兴
２１
科教研究
４２０６）
要：在直线ｚ＝－ｍ（ｍ＞０）上任取一点Ｐ作抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞ｏ）的切线，切点为Ａ．Ｂ，则直线ＡＢ过定点（ｍ，０）。过抛物线
Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０１的外任一点Ｐ作抛物线的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，弦ＡＢ的中点Ｑ，则ＰＱ平行于ｘ轴；Ｐ与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分。
切点弦性质关键词：抛物线
中图分类号：Ｇ６４２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－－９７９５（２０１２）０９Ｃａ）一００３６－－０２抛物线是圆锥曲线中重要的一支内容。抛物线切点弦蕴涵着抛物线的许多别具一格的几何性质，体现了数与形的完美结合，也折射出数学世界内在的美。笔者也尝试对抛物线切点弦性质做一些拓展性的归纳与思考。
性质１：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的准线任一点Ｐ作抛物线的切线，切点分别是Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过焦点。
证明：设切点分别为Ａ（工ｌ，Ｙ１），Ｂ（Ｘ２Ｙ：），
则切线方程为，ＹＹｌ＝ｐ（ｘ＋一）ＹＹ２＝ｐ（ｘ＋Ｘ２），
由于Ｐ（一：Ｐ，粥）是两切线的交点，所以满足：
虬ｙ。＝ｐ（一詈＋五），甄咒２ｐ（一ｉＰ＋屯），
从而得切点弦ＡＢ的方程为％ｙ＝ｐ（一ｉＰ＋ｘ），故直线ＡＢ过焦点。
性质２：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的对称轴上任一点Ｐ（－ｍ，０）（ｍ＞０）作抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ，则直线ＡＢ过定点
（ｍ，０）。
证明：设切点Ａ（ｘｏ，Ｙｏ），则切线方程为ＹＹｏ＝ｐ（ｘ＋Ｘｏ）
由于切线过点Ｐ（一ｍ，０），所以０＝ｐ（一ｍ＋Ｘｏ）。
得Ｘ。＝ｍ，因此直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍ，故直线ＡＢ过定点（班，Ｏ）
性质１，２：都是切点弦过定点的问题，这两条性质从结构也证
明上看，如此相似，不得不产生联想，假如说把它们结合起来呢？
推论：在直线ｘ＝一ｍ（ｍ＞０）上任取一点Ｐ作抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞ｏ）的切线，切点为Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点（聊，０）。
证：设切点分别为Ａ（ＸＩＹ。），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２），
则切线方程为瞒＝ｐ（ｘ＋Ｘ１），ＹＹ２＝ｐ（ｘ＋ｘ２），
由于两切线交于直线ｘ＝－ｍ上的一点ｐ（一所，Ｙ。），所以满足‰Ｍ＝ｐ（一ｍ＋ｘＩ），ＹｏＹ２＝ｐ（一ｍ＋屯），
从而得切点弦ＡＢ的方程为ＹｏＹ＝ｐ（一ｍ＋石），故直线ＡＢ过定点（ｍ，０），假如这条推论还有怀疑，我们不妨从另一角度来进行论证：
证明：设切点分别为Ａ（ｘ。，Ｙ，），Ｂ（ｘ：，Ｙ２）。
则有ｙ；＝２肌①，胪２
２肼：②删Ａ（易巾，Ｂ（丢㈦，
两式相减得：（Ｍ—ｙ：）（ｙ．＋ｙ：）＝２ｐ（五一屯），等三詈＝而２ｐ
，
３６
万方数据
中国科教创新导刊
ＣｈｉｎａＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ
设霓为直线ＡＢ的斜率，Ⅲ，ｌｌ
ｋ＝，。２１．ｐ．ｉ，
所以直籼施一＝羔”旁，令ｙ。０得叫・２赢＿ｚ７仁一荔，令舢纠・２羔Ｘ旁－，＂１仁一芳，
设直线ＡＢ与ｘ菇的交点为Ｇ，Ｇ（一鼍等，ｏ），
又切线ＰＡ，ＰＢ的方程分别为：
瞒刊ｘ＋旁２③，拶：叫Ｈ旁④
自③，④联端ｙ得石＝筹沪半，所州芳，半）。
从这部分论证我们进一步推论：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外由上面的证明中我们发现Ｐ点坐标为（鼍孑，Ｙｌ＋２Ｙ２），而ＡＢ中
性质３：过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的外任一ＡＰｆｆ－抛物线的两条
由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的如图，过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外一点Ｐ（位于Ｙ轴左边）作抛物Ｊ＿，于Ｍ，过
Ｊ＿，于Ｎ，Ｇ为直线ＡＢ与ｘ轴的交点，则Ｐ（芝争，且≯），
Ｇ（一等，ｏ），Ｍ。，瓦Ｙ１Ｙ２㈨，Ｎ（Ｙ２１Ｙｐ２啦
过Ｐ作ＰＲⅣ轴交抛物线于Ｒ，交ＡＢ于Ｑ，则Ｒ（等竽，半）
（下转３８页）
－－ＡＰ（位于Ｙ轴左边）作抛物线的切线，切点为Ａ，Ｂ，则ＡＢ与ｘ轴的
交点Ｇ的横坐标与点Ｐ的横坐标互为相反数。
点的纵坐标也为型ｉ丛，所以我们得到一条新的结论。点的纵坐标也为丛｛丝，所以我们得到一条新的结论。
切线，切点分别为Ａ，Ｂ，弦ＡＢ的中点Ｑ，则ＰＱ平行十Ｘ轴。
距离相等。那么，从性质１，２的联系来看，直线Ｘ＝一ｍ上的点是否也有类似的性质呢？经过尝试，我们可以证得：
线的切线，切点为Ａ，Ｂ，过Ｐ作ｘ轴的垂线，，过Ａ作ＡＭＢ作ＢＮ
匿堡墼垦窭兰釜业！型！！业型！
科教研究
（１）“当胛无限增大时寸直观语言“要多大有多大”寸数学语
ｆ）：一ｃ＋搬
言对于任意给定的Ⅳ＞０，当门＞Ｎ时。”
第二年（胛＝２）时，根据需求函数确定价格，即：只＝ａ一６Ｑ２。
（２）ｘ。无限趋近常数彳ｊ直观语言ｘ。与彳的距离要多近就有
只又影响第三年的供给，依次下去……则得第ｒｔ年
多近ｊＸｎ与Ａ的距离在数学上用ＩＸｎ－－ＡＩ来表示，即Ｉ％一彳Ｉ的
只：口一ｂＱ，Ｑ＋，：－－Ｃ＋织，
值要多小就有多小一用ｓ表示距离小的程度，对于任意的占（＞ｏ），Ｉ％一ＡＩ＜ｓ。
即匕ｒｉ鬲…ｉ鬲）。即‰一篇…丽ａ＋ｂｃ）．ｂｄ（Ｐ．。
结合（１）（２）便能容易的得出数列极限的ｓ—Ｎ定义ａ
由此，可得
定义２（ｓ—Ｎ定义）：设数列｛瓦｝和常数彳，如果对于任意的正
＆。＝丽ａ＋ｂｃ＋（一ｂｄ）”（曰一丽ａ＋ｂｃ）．。
数ｓ，总存在正整数Ｎ，使得当，？＞Ｎ时，恒有ｌ
Ｘｎ—Ａ
Ｉ＜ｓ成立，
特别地，如果对某商品得知，
则称数列｛Ｘｎ｝以彳为极限，记作
只＝０．６，ａ＝１．４，ｂ＝０．０２５，Ｃ＝２，ｄ＝３０，
。ｌｉ．＋ｒａ。Ｘｎ＝爿或ｘ。ｊＡ（刀一∞）。
则只＝万２９一万８（一矿３
Ｉ，Ｈ＝ｌ，２，．
１．Ｒ７ｋ…ｌｉｍＰ．＝９“０．８２８６
ｏ通
Ｈ—÷∞
通过定义的讲解，使学生认识到对数列求极限是一个不断变化的过程，要用动的观点来认识数列极限的概念。要求学生掌握极过上述分析，此商品的价格将稳定在０．８２８６单位价格。３．５课后作业
限的思想，不要求掌握极限的￡一Ｎ定义以及用ｓ—Ｎ定义证明某要求学生课后查阅数学家Ｃａｕｃｈｙ，Ａｕｇｕｓｔｉｎ—Ｌｏｕｉｓ的生平以及些数列的极限。
３．４数列极限的应用一蛛网模型
对数学的贡献，特别了解数列极限的ｓ—Ｎ定义是如何建立起来由一般市场规律，不考虑科技因素等其他因素影响，一种商品
的，这样学生通过自己查阅就能了解数学家的工作以及数学概念若供大干求，则价格就会降低。随着价格的降低，需求量会随之上的发展过程。
升，同时供给量随之减少。当价格降到一定程度后，就会出现明显
供不应求的局面，这时价格会上升。随着价格的上升，需求量会随４结语
之降低，同时供给量随之增加。当价格升到一定程度后，会出现明通过上述一系列的教学内容的设计，使得学生对于数列极限显供大于求的局面，价格又会降低……如此循环往复，商品的价格这个概念有了比较全面的了解，不再畏惧数列极限这个概念的高会围绕“价值”上下波动。
度抽象性了。对于微积分课程中其他的基本概念也可以采用上述我们要用数学对上述问题进行量化。为简单起见，我们取需求的方法，以达到教学目的。
函数和供应函数分别为线性函数如下：
参考文献
需求函数为：Ｐ＝ａ－６蜴供庳函数为：Ｑ
２一ｃ＋ｄＰ，其中，
［１】张从军，等．微积分【Ｍ］．２版．复旦大学出版社，２００９．
［２】顾静相，等．经济应用数学【Ｍ】．２版．高等教育出版社，２００８．ａ，ｂ，Ｃ，ｄ为非负实数。
【３】张从军，等．常见经济问题的数学解析【Ｍ】．东南大学出版社
２００４．
第一年（ｎ＝１）时，设价格为只，需求为Ｑｌ，则有只＝ａ一６Ｑｌ。
供应商根据第一年的价格只来制定第二年（ｎ＝２）时的产量，即
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又由性质４知Ｑ是ＡＢ的中点，显然Ｐ是ＭＮ的中点，
啡Ｉ学一矧：址訾业：学，
ⅢＩＩＰＱ是直角梯形的中位线，．’．ＩＡＭ卜ｌ删Ｉ＝２ＩＰＱＩ，．＋．ＩＰＱｌ＝２Ｉ瑚１
．‘．Ｒ是ＰＱ的中点。也就是说过抛物线Ｙ２＝２ｐｘ（Ｐ＞０）外一点Ｐ作抛物线的切线，Ｐ与切点弦中点的连线恰好被抛物线平分。
又阻ＭＩ＝石ｙ１２一瓦Ｙ，Ｙｚ＝芷≯，Ｉ驯＝豸一等＝芷≯，
抛物线切点弦的性质既相互独立，又相互联系，彼此蕴涵，无不反映了抛物线切点弦的独特魅力。相信它还有更多引人入胜的一ＭＩ＋例＝血皆＝掣，．・．Ｉ删怛一例。
特性期待着我们去探索，去发掘。
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