2007年第1期
内蒙古石油化工
35
用WKB方法讨论透射系数和反射系数
李根小1,霍海燕2
(1.内蒙古农业大学理学院;2.内蒙古民族高等专科学校)
摘
要
本文用WKB近似方法讨论了势垒贯穿问题系数T和其透射反射系数R之和恒等为1,即
满足恒等2(Tq-R=I,并进一步得出这一结论不仅适用于一般势垒贯穿而且在方势垒贯穿中也成立,最
后讨论了势垒贯穿的几种极限情况,例如,h—o(即经典情况),势垒高度v一∞、v—o,势垒宽度a一∞、a
--*0,等几种特殊情况下的T及R的取值问题。
关键词准经典近似;一般势垒贯穿;透射系数;反射系数;方势垒贯穿
波函数满足薛定谔方程。一般从薛定谔方程解上图甲V(x)随x绂馒父化,凼此陈转们点a,b以出波函数是很复杂的。为简单起见,我们可以利用准
外,三个区域内,可用WKB近似波函数[¨。
经典近似方法解薛定谔方程。经典情况下,薛定谔方
:
程解为甲(x)=exp[亡s]形式,把这一结论推广到量
9。cx,一方三P[Aexp(告』:pdx一罢)+Bexp
√
、11
J
x‘±7
子情况,量子情况下,薛定谔方程解相似地可以写为
(}加x+孙
㈤:
币(x)=exP[hS(r,t)]形式,两者中在经典情况下的州x)一南[cexp(i--1J;b…dx)+DeXp
S为常量,而量子情况下的S为坐标和时间的函数,(3)
而且可以用h的幂级数进行泰勒展开
㈦:|pIdx)]
;
/;\2
’
s—s。+亡8,+【亡』8z+^
(1)
州x)一万1[融p(hf:bpdX一警)+融p
√D
、
鼍7
这就是准经典近似方法。本文用准经典近似方
法来计算势垒贯穿系数,证明出在势垒贯穿中透射(寻』:pdx+和
㈤
系数T和反射系数R之和恒等于1,当v—o。时T=0
设粒子在1Kpqllx轴正方向运动,在a点过势
R=1,v—o时T一1R=0;当a一∞时T一0R=1,
垒后一部分粒子被势垒反射,一部分粒子穿过势垒a—,O时T=1R一0;当h一0时T一0R=1。到第2区,在第3区内只有透射波而没有反射波,故
1一般势垒贯穿问题
F=0。第2区的波函数可写为
1.1
一般势垒
㈣
设势垒v(x)如图1所示
以x净击胁pi.f".in一)
V
由连接公式
南c孛exo--1.…b…dx)州c・飞kp
㈦l__。bIⅢx)]一去[cle舶i。f*.in一/+czexp
(寻』:pdx+孙
ce,
得出相应的系数C。一E,C。=0则第2区的波函
数可写为
a
b
圈1
仇(x)=锕1。vE+20exo--1一b…dx)_i(E一
收稿日期:2006一07—25
万方数据
36
内蒙古石油化工2007年第1期.
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————一
o)exp(旨』:lpdx)]
一南c詈唧㈢:lp|dx)-i融p
㈨:lpIdx)]
㈩
再由连接公式
去h唧㈨砖一等)+czexp
(寻肛x十等卜
而1。ECI-12-C2exp(T--i”Xldx)一i(cl--c2)eXp
㈦㈡dx)]
㈣
得出第1区和第2区的波函数分别为
¨x)=忑1[№p(HpdX一等)+胁pP√
…J‘
1’
㈦:pd)(+和
㈤
纵x,一高c学唧㈤ⅢxhA—
B,exp(告』:Ipldx)]
=南[里e南(-1胪b川可。
2…’\1h恤)唧Ja~/
‘
(音j':Ipldx)
一iEexp
(音j':Ipldx)exp
(}肌dx)]
㈣,
设8一舢pldx
A=iE[-1exp(一p)一exp(B)](11)
B=--iEElexp(一B)+exp(8)]
(12)
则入射波、反射波和透射波分别为
吣,=会…p㈨吣一等)
(13)
删=去唧(船ax一等)P(14)
√
…J1
‘’
州2=媾『≈1-e—q㈣
删一去唧㈨吣一等)P…o
(15)
√
o
1’
则反射系数R为
万方数据
T=黔E[赢卜∥Ⅲ,
故T+R一1
因此在一般势垒贯穿中透射系数T及反射系数
R之和恒为1。
1.2
当h—o(在经典情况下)
A)当V>E时,IPI一~/2m(V--E)>0T=0
R一1(h—O时B一。。)
B)当V<E时连接公式不成立,因此不予以讨
论。
1.3
V的极限情况
A)当V一∞时,iPI一√2m(V—E)
p一∞
T一0
R=1
从经典理论的角度来说粒子能量小于势垒高度时粒子全反射没有一个粒子能穿过势垒。
B)当v—O时,P—o
8一o
T_--1
R=0
没有势垒时入射粒子全部都透射出去,没有粒
子反射回来。
1.4
a的极限情况
A)当a—o。时,p一。。T=0
R=1
势垒宽度无限大时入射粒子无法透射出去。
B)当a—o时,dx—o
p一旨J。IpIdx—o
T=1
R=0
2方势垒贯穿问题
2.1
方势垒
Vo
斟2
一般势垒的V随x缓慢变化,而方势垒中各个区域的V是常量,如图2所示,因此P和lP1分别可表
示为
P一√2mE
(18)p----i
lPI—i√2m(Vo--E)
(19)
p—lI:#2m(Vo--E)。dx:#—2—m1(V-o--一E)a
(20)
2007年第1期李根小等用WKB方法讨论透射系数和反射系数
37
则反射系数R和透射系数T为
由于一般势垒中V(x)随X缓慢变化,因此一般‘。。。●●●●。●_。●-●●。_。。。。_●。。。。。。。。。。。。。。。。。一
势垒贯穿的穿透系数可用WKB近似方法计算。本
R一1--expf~2√2m(V。--E)a
———1■一
(21)
文用WKB近似方法讨论了势垒贯穿问题。在一般。。。-●___________'__。_'__。。。。。●。。。。。_。。。_——势垒贯穿中T+R一1,当h—o时,T一0
R一1(V、
T=exp
一———百—一
2√2m(Vo--E)a
(22)
E),在经典不允许区内入射粒子出现全反射现象;
故T+R一1。
当V一∞时,T=0
R一1,当V—o时,T=1
R一0
方势垒中T和R之和为1,与一般势垒不同的是
入射粒子全部透射出去;当a一。。时,T=oR一1;
在一般势垒中p为变量而方势垒中是常量。从以上当a—o时,T一1R—o。在方势垒中恒等式T+R
结论中看出任意势垒贯穿中T和R之和恒等于1。
=1同样成立,而且h—o时E>V。时,T=1R一0。
2.2
h一0时
当E<Vo时,T=0
R=1,当Vo--+OO时,T=0
R=一厂———————一
1;当Vo—o时,T一1
R一0,当a—o。时,T一0
R
A)当V。>E时,p=}√2m(Vo-E)一oo
e_28一
一1;当a—o时,T_--1R一0。从以上讨论得知不论
O]
势垒形状如何其透射和反射系数之和恒等于1。势垒T一0
R一1
贯穿系数T随势垒变宽或变高而减小。在经典情况势垒高于粒子能量时,没有粒子能通过势垒。下,粒子能量大于势垒高度时粒子全部透射过去,反B)当V。dE时,连接公式不成立。
之出现全反射现象。在量子情况下,不论粒子能量大2.3
V。的极限情况于或小于势垒高度总会有一部分粒子透射过去而有
A)当V。一∞时,p—,∞
T一0
R=1
一部分反射回来,体现了经典与量子之差异。
。●。-__________●___。__。。。_-。_●__-_●●_-___——
B)当V。一。时,x/2m(V。--E)a是二阶小量,在撰写本文时,内蒙古师范大学物理系老师们h为一阶小量,可认为B—oT一1
R一0
给于大力支持和帮助,在此表示最诚挚的谢意。
2.4势垒高度a的极限情况
A)当a一。。时,p=型垒丛竽一∞
参考文献
●。。。。。。。。●_______●__-●。。●-。。。。。。。。。。。’。‘——
T—o
[1]高等量子力学.内蒙古大学自编教材,17~18.
[2]
周世勋.量子力学基础.高等教育出版社,1996.4R一1
44—50。
B)当a—O时,e-2p一1
T一1R一0
[3]
关洪.量子力学基础.高等教育出版社,1999.641—
从以上讨论得知势垒穿透系数T随势垒高度的
44.
增高而减小,随垒高变低而增大;随a的加宽而减
[4]曾谨言.量子力学.科学出版社,1981.774—79.小,反之增大。[5]
胡诗可,吴邦惠,吕晓夫.高等量子力学.四JlI大学出3结果与讨论
版社1990.12259—268.
Discussionofthepenetrationandreflectioncoefficientwith
W.K.B
method
LIGen—ziao,HUoHai—Y口豫
(InnerMongoliaagriculturaluniversityhuhhot010018)
Abstract:Thepaperdiscusses
the
problemsaboutbarrierpenetrationwithW。K.Bapproximate
method,thenprovesthatthesumofthepenetrationcoefficientandreflectioncoefficientalwaysmake1in
the
course
ofgeneralbarrierpenetration,itmeansT+R一1isperpetual.Onthisbase,wetestifiedthat
thelawispropernotonlyingeneralbarrierpenetrationbutalsoinsquarebarrierpenetration.Finallytalk
over
somelimitingcase
ofbarrierpenetration,such
as
whenhtend
to
zero,whenVotend
to
infinitionand
zero
andwhen
a
tendtoinfinitionandzero.andanalysesTandRinthisspecialcondition.
Keywords:quasi—classicalapproximation;generalbarrierpenetration;penetrationcoefficient;re—
flectioncoefficient;squarebarrierpenetration.
万方数据
用WKB方法讨论透射系数和反射系数
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
李根小, 霍海燕, LI Gen-xiao, HUO Hai-Yan
李根小,LI Gen-xiao(内蒙古农业大学理学院), 霍海燕,HUO Hai-Yan(内蒙古民族高等专科学校)
内蒙古石油化工
INNER MONGOLIA PETROCHEMICAL INDUSTRY2007,33(1)
参考文献(5条)1. 高等量子力学
2. 周世勋 量子力学基础 19963. 关洪 量子力学基础 19994. 曾谨言 量子力学 1981
5. 胡诗可;吴邦惠;吕晓夫 高等量子力学 1990
本文读者也读过(10条)
1. 贾春生. 邹霞 超对称WKB近似与一维无限深势阱[期刊论文]-光子学报2001,30(7)2. 林琼桂 若干二维问题的WKB近似能级[期刊论文]-大学物理2002,21(1)
3. 王薇. 马中凡. Wang Wei. Ma Zhongfan 超对称WKB近似简介[期刊论文]-首都师范大学学报(自然科学版)2005,26(4)
4. 谢志堃. Xie Zhikun 传输线方法求解平板介质的反射和透射系数[期刊论文]-绍兴文理学院学报(自然科学版)2001,21(10)
5. 毛凌锋. 卫建林. 穆甫臣. 谭长华. 许铭真 镜像势引起的势垒降低对超薄栅MOS结构的直接隧穿电流的影响[期刊论文]-半导体学报2001,22(8)
6. 张长命. 刘永智. 张晓霞. 甘小勇 反WKB方法的改进[期刊论文]-应用光学2004,25(4)
7. 谢长珍. 周胜海 求解量子力学中微扰问题的迭代变分法[期刊论文]-信阳师范学院学报(自然科学版)1998,11(1)8. 魏明. 吉世印. Wei Ming. Ji Shiyin 量子力学中近似法与递推及迭代计算[期刊论文]-哈尔滨师范大学自然科学学报2006,22(5)
9. 陈立锋. 马玉涛. 田立林 考虑量子力学效应的超薄栅氧nMOSFET's直接隧穿电流二维模型[期刊论文]-半导体学报2002,23(4)
10. 魏明. 吉世印. WEI Ming. JI Shi-yin 量子力学中近似法的递推及迭代计算[期刊论文]-沈阳师范大学学报(自然科学版)2007,25(1)
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_nmgsyhg200701016.aspx
2007年第1期
内蒙古石油化工
35
用WKB方法讨论透射系数和反射系数
李根小1,霍海燕2
(1.内蒙古农业大学理学院;2.内蒙古民族高等专科学校)
摘
要
本文用WKB近似方法讨论了势垒贯穿问题系数T和其透射反射系数R之和恒等为1,即
满足恒等2(Tq-R=I,并进一步得出这一结论不仅适用于一般势垒贯穿而且在方势垒贯穿中也成立,最
后讨论了势垒贯穿的几种极限情况,例如,h—o(即经典情况),势垒高度v一∞、v—o,势垒宽度a一∞、a
--*0,等几种特殊情况下的T及R的取值问题。
关键词准经典近似;一般势垒贯穿;透射系数;反射系数;方势垒贯穿
波函数满足薛定谔方程。一般从薛定谔方程解上图甲V(x)随x绂馒父化,凼此陈转们点a,b以出波函数是很复杂的。为简单起见,我们可以利用准
外,三个区域内,可用WKB近似波函数[¨。
经典近似方法解薛定谔方程。经典情况下,薛定谔方
:
程解为甲(x)=exp[亡s]形式,把这一结论推广到量
9。cx,一方三P[Aexp(告』:pdx一罢)+Bexp
√
、11
J
x‘±7
子情况,量子情况下,薛定谔方程解相似地可以写为
(}加x+孙
㈤:
币(x)=exP[hS(r,t)]形式,两者中在经典情况下的州x)一南[cexp(i--1J;b…dx)+DeXp
S为常量,而量子情况下的S为坐标和时间的函数,(3)
而且可以用h的幂级数进行泰勒展开
㈦:|pIdx)]
;
/;\2
’
s—s。+亡8,+【亡』8z+^
(1)
州x)一万1[融p(hf:bpdX一警)+融p
√D
、
鼍7
这就是准经典近似方法。本文用准经典近似方
法来计算势垒贯穿系数,证明出在势垒贯穿中透射(寻』:pdx+和
㈤
系数T和反射系数R之和恒等于1,当v—o。时T=0
设粒子在1Kpqllx轴正方向运动,在a点过势
R=1,v—o时T一1R=0;当a一∞时T一0R=1,
垒后一部分粒子被势垒反射,一部分粒子穿过势垒a—,O时T=1R一0;当h一0时T一0R=1。到第2区,在第3区内只有透射波而没有反射波,故
1一般势垒贯穿问题
F=0。第2区的波函数可写为
1.1
一般势垒
㈣
设势垒v(x)如图1所示
以x净击胁pi.f".in一)
V
由连接公式
南c孛exo--1.…b…dx)州c・飞kp
㈦l__。bIⅢx)]一去[cle舶i。f*.in一/+czexp
(寻』:pdx+孙
ce,
得出相应的系数C。一E,C。=0则第2区的波函
数可写为
a
b
圈1
仇(x)=锕1。vE+20exo--1一b…dx)_i(E一
收稿日期:2006一07—25
万方数据
36
内蒙古石油化工2007年第1期.
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————一
o)exp(旨』:lpdx)]
一南c詈唧㈢:lp|dx)-i融p
㈨:lpIdx)]
㈩
再由连接公式
去h唧㈨砖一等)+czexp
(寻肛x十等卜
而1。ECI-12-C2exp(T--i”Xldx)一i(cl--c2)eXp
㈦㈡dx)]
㈣
得出第1区和第2区的波函数分别为
¨x)=忑1[№p(HpdX一等)+胁pP√
…J‘
1’
㈦:pd)(+和
㈤
纵x,一高c学唧㈤ⅢxhA—
B,exp(告』:Ipldx)]
=南[里e南(-1胪b川可。
2…’\1h恤)唧Ja~/
‘
(音j':Ipldx)
一iEexp
(音j':Ipldx)exp
(}肌dx)]
㈣,
设8一舢pldx
A=iE[-1exp(一p)一exp(B)](11)
B=--iEElexp(一B)+exp(8)]
(12)
则入射波、反射波和透射波分别为
吣,=会…p㈨吣一等)
(13)
删=去唧(船ax一等)P(14)
√
…J1
‘’
州2=媾『≈1-e—q㈣
删一去唧㈨吣一等)P…o
(15)
√
o
1’
则反射系数R为
万方数据
T=黔E[赢卜∥Ⅲ,
故T+R一1
因此在一般势垒贯穿中透射系数T及反射系数
R之和恒为1。
1.2
当h—o(在经典情况下)
A)当V>E时,IPI一~/2m(V--E)>0T=0
R一1(h—O时B一。。)
B)当V<E时连接公式不成立,因此不予以讨
论。
1.3
V的极限情况
A)当V一∞时,iPI一√2m(V—E)
p一∞
T一0
R=1
从经典理论的角度来说粒子能量小于势垒高度时粒子全反射没有一个粒子能穿过势垒。
B)当v—O时,P—o
8一o
T_--1
R=0
没有势垒时入射粒子全部都透射出去,没有粒
子反射回来。
1.4
a的极限情况
A)当a—o。时,p一。。T=0
R=1
势垒宽度无限大时入射粒子无法透射出去。
B)当a—o时,dx—o
p一旨J。IpIdx—o
T=1
R=0
2方势垒贯穿问题
2.1
方势垒
Vo
斟2
一般势垒的V随x缓慢变化,而方势垒中各个区域的V是常量,如图2所示,因此P和lP1分别可表
示为
P一√2mE
(18)p----i
lPI—i√2m(Vo--E)
(19)
p—lI:#2m(Vo--E)。dx:#—2—m1(V-o--一E)a
(20)
2007年第1期李根小等用WKB方法讨论透射系数和反射系数
37
则反射系数R和透射系数T为
由于一般势垒中V(x)随X缓慢变化,因此一般‘。。。●●●●。●_。●-●●。_。。。。_●。。。。。。。。。。。。。。。。。一
势垒贯穿的穿透系数可用WKB近似方法计算。本
R一1--expf~2√2m(V。--E)a
———1■一
(21)
文用WKB近似方法讨论了势垒贯穿问题。在一般。。。-●___________'__。_'__。。。。。●。。。。。_。。。_——势垒贯穿中T+R一1,当h—o时,T一0
R一1(V、
T=exp
一———百—一
2√2m(Vo--E)a
(22)
E),在经典不允许区内入射粒子出现全反射现象;
故T+R一1。
当V一∞时,T=0
R一1,当V—o时,T=1
R一0
方势垒中T和R之和为1,与一般势垒不同的是
入射粒子全部透射出去;当a一。。时,T=oR一1;
在一般势垒中p为变量而方势垒中是常量。从以上当a—o时,T一1R—o。在方势垒中恒等式T+R
结论中看出任意势垒贯穿中T和R之和恒等于1。
=1同样成立,而且h—o时E>V。时,T=1R一0。
2.2
h一0时
当E<Vo时,T=0
R=1,当Vo--+OO时,T=0
R=一厂———————一
1;当Vo—o时,T一1
R一0,当a—o。时,T一0
R
A)当V。>E时,p=}√2m(Vo-E)一oo
e_28一
一1;当a—o时,T_--1R一0。从以上讨论得知不论
O]
势垒形状如何其透射和反射系数之和恒等于1。势垒T一0
R一1
贯穿系数T随势垒变宽或变高而减小。在经典情况势垒高于粒子能量时,没有粒子能通过势垒。下,粒子能量大于势垒高度时粒子全部透射过去,反B)当V。dE时,连接公式不成立。
之出现全反射现象。在量子情况下,不论粒子能量大2.3
V。的极限情况于或小于势垒高度总会有一部分粒子透射过去而有
A)当V。一∞时,p—,∞
T一0
R=1
一部分反射回来,体现了经典与量子之差异。
。●。-__________●___。__。。。_-。_●__-_●●_-___——
B)当V。一。时,x/2m(V。--E)a是二阶小量,在撰写本文时,内蒙古师范大学物理系老师们h为一阶小量,可认为B—oT一1
R一0
给于大力支持和帮助,在此表示最诚挚的谢意。
2.4势垒高度a的极限情况
A)当a一。。时,p=型垒丛竽一∞
参考文献
●。。。。。。。。●_______●__-●。。●-。。。。。。。。。。。’。‘——
T—o
[1]高等量子力学.内蒙古大学自编教材,17~18.
[2]
周世勋.量子力学基础.高等教育出版社,1996.4R一1
44—50。
B)当a—O时,e-2p一1
T一1R一0
[3]
关洪.量子力学基础.高等教育出版社,1999.641—
从以上讨论得知势垒穿透系数T随势垒高度的
44.
增高而减小,随垒高变低而增大;随a的加宽而减
[4]曾谨言.量子力学.科学出版社,1981.774—79.小,反之增大。[5]
胡诗可,吴邦惠,吕晓夫.高等量子力学.四JlI大学出3结果与讨论
版社1990.12259—268.
Discussionofthepenetrationandreflectioncoefficientwith
W.K.B
method
LIGen—ziao,HUoHai—Y口豫
(InnerMongoliaagriculturaluniversityhuhhot010018)
Abstract:Thepaperdiscusses
the
problemsaboutbarrierpenetrationwithW。K.Bapproximate
method,thenprovesthatthesumofthepenetrationcoefficientandreflectioncoefficientalwaysmake1in
the
course
ofgeneralbarrierpenetration,itmeansT+R一1isperpetual.Onthisbase,wetestifiedthat
thelawispropernotonlyingeneralbarrierpenetrationbutalsoinsquarebarrierpenetration.Finallytalk
over
somelimitingcase
ofbarrierpenetration,such
as
whenhtend
to
zero,whenVotend
to
infinitionand
zero
andwhen
a
tendtoinfinitionandzero.andanalysesTandRinthisspecialcondition.
Keywords:quasi—classicalapproximation;generalbarrierpenetration;penetrationcoefficient;re—
flectioncoefficient;squarebarrierpenetration.
万方数据
用WKB方法讨论透射系数和反射系数
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
李根小, 霍海燕, LI Gen-xiao, HUO Hai-Yan
李根小,LI Gen-xiao(内蒙古农业大学理学院), 霍海燕,HUO Hai-Yan(内蒙古民族高等专科学校)
内蒙古石油化工
INNER MONGOLIA PETROCHEMICAL INDUSTRY2007,33(1)
参考文献(5条)1. 高等量子力学
2. 周世勋 量子力学基础 19963. 关洪 量子力学基础 19994. 曾谨言 量子力学 1981
5. 胡诗可;吴邦惠;吕晓夫 高等量子力学 1990
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9. 陈立锋. 马玉涛. 田立林 考虑量子力学效应的超薄栅氧nMOSFET's直接隧穿电流二维模型[期刊论文]-半导体学报2002,23(4)
10. 魏明. 吉世印. WEI Ming. JI Shi-yin 量子力学中近似法的递推及迭代计算[期刊论文]-沈阳师范大学学报(自然科学版)2007,25(1)
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