等差数列知识总结
一、一般数列有关知识 1. 数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集
{1,2,3,„,n}上的函数。 （2） 通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。
即a n =f (n ) ，如: a n =2n 2-1。 （3） 递推公式：已知数列{an }的第1项（或前几项），且任一项a n 与他的前一项a n-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。
如: a 1=1, a 2=2, a n =a n -1+a n -2(n >2) 。
2．数列的表示方法： （1） 列举法：如1，3，5，7，9，„ （2）图象法：用（n, an ）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3．数列的分类：
⎧常数列:a n =2
⎪n ⎧有穷数列递增数列:a =2n +1, a =2 ⎪n n 按项数⎨按单调性⎨2 ⎩无穷数列⎪递减数列:a n =-n +1
4．数列{an }及前n 项和之间的关系: ⎪摆动数列:a =(-1) n ⋅2n
⎩n
S n =a 1+a 2+a 3+ +a n a n =⎨
⎧S 1,(n =1)
⎩S n -S n -1,(n ≥2)
注意：检验n=1的结果是否可以合并． 二、等差数列
1. 定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
*
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N ) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广：
a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
a n -a m
；
n -m
a +b
或2A =a +b 2
=a n +a n +2
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =（2）等差中项：数列
{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1
=
4．等差数列的前n 项和公式：s n
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
（其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
5．等差数列的判定方法
*
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ a n 是等差数列．
（2） 等差中项：数列⑶数列
{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。
2
（4）数列{a n }是等差数列⇔S n =An +Bn , （其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法 定义法：若a n -a n -1=d 或
{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2．
{}
a n +1-a n =d (常数n ∈N *) ⇔ {a n }是等差数列．
7. 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称
作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为
d ）；偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（公差为2d ）
8.. 等差数列的性质：
（1）当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 222
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
公差
d ；前n 和S n =na 1+
a 1+a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ，图示：1
a 2+a n -1
(4) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
S 3m
a 1+a 2+a 3+ +a m +a m +1+ +a 2m +a 2m +1+ +a 3m
图示：
S m
S 2m -S m
S 3m -S 2m
（5）若等差数列{a n }、{b n }的前则
n 和分别为A n 、B n ，且
A n
=f (n ) ， n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) . n n 2n -1
（6）若
{a n }、{b n }为等差数列，则{a n ±b n }为等差数列
n ∈N *。
(7)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
⎧a n ≥0即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 1或求
{a n }中正负分界项
⎧a n ≤0
0， 由⎨可得S n 达到最小值时的n 值．
⎩a n +1≥0
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
p +q
2
（7）设数列{a n }是等差数列，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和，则： 1. 当项数为偶数2n 时，S 偶-S 奇=n d ，其中n 为总项数的一半，d 为公差； 2、在等差数列{a n }中，若共有奇数项2n +1项，则
⎧⎧S 奇=(n +1) a 中S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a 中⎪
⇒⎨⇒=（其中a 中是等差数列的中间一项）． ⎨S =na S -S =a S n ⎪中奇偶中⎪偶⎩偶⎩
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d (q ) 的方程；
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 典例分析
1. 等差数列{a n }中，a 2=1, S 11=33，求{a n }的通项公式。
1⎧a =⎧a 2=a 1+d 1⎪⎧a 1+d =1⎪⎪2 ∴a =a +(n -1) d =1n
解：∵⎨ ∴ 解得n 1⎨11⨯10⎨
12a +5d =3S =11a +d 1111⎩⎪⎪d =2⎩⎪2⎩
2. 等差数列{a n }前n 项和记为S n ，已知（1）求通项a n ；（2）若S n
a 10=30，a 20=50.
=242，求n . 解：（1）由a n =a 1+(n -1) d , a 10=30, a 20=5，
⎧a 1+9d =30⎧a 1=12
得方程组⎨ 解得⎨ ∴a n =2n +10
a +19d =50d =2⎩1⎩
n (n -1) n (n -1)
d , S n =242 得方程12n +⨯2=242 （2）由S n =na 1+22
解得n =11或n =-22（舍），故n =11. 3. 若a 6+a 9+a 12+a 15=20求S 20 解法一 a n =a 1+(n -1) d
∴a 6+a 9+a 12+a 15=(a 1+5d ) +(a 1+8d ) +(a 1+11d ) +(a 1+14d ) =2(2a 1+19d ) =20 ∴2a 1+19d =10
20(a 1+a 20)
=10(2a 1+19d ) =100 那么S 20=
2
解法二：由m +n =p +q ⇒a m +a n =a p +a q
a 6+a 9+a 12+a 15=2(a 6+a 15) =2(a 1+a 20) =20∴a 1+a 20=10
20(a 1+a 20) S 20==100
2
24
4、已知等差数列5, 4, 3, 的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值。
77
25
分析：数列的首项为5，公差d =4-5=-，
77
n (n -1) 75b -5n 25151125
d ==-(n -) 2+所以S n =na 1+， 2141425615
于是，当n 取与最接近的整数即7或8时，S n 取最大值。
2
55
另解：令a n =a 1+(n -1) d =5-(n -1) =(8-n ) ≥0，得n ≤8，
77
所以a 8 = 0，S 7 = S 8为最大。
5. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式. 解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1) d
⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12则⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28⎧ a 1＋7d ＝4 ①即⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②
①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d ) ＝7 ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d ) ＝8 3
即16－25d 2＝7，解得d ＝±.
5
③
311334当d ＝ 时，a 1，a n ＝－ ＋(n －1) ·＝ n －
555555
341413344当d 时，a 1，a n ＝ ＋(n －1) ·）＝－n ＋ .
555555
分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.
解法一：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4
⎧a 3＋a 13＝8⎧a 3＝1⎧a 3＝7
代入已知得⎨ 解得⎨ 或⎨
⎩a 3·a 13＝7⎩a 13＝7⎩a 13＝1
a 13－a 37－13
由a 3＝1，a 13＝7得d ＝ ＝＝ .
10513－3334
∴a n ＝a 3＋(n －3) ＝ n － .
555
344
由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n n ＋ .
55解法二：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1) d
⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12
则⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28⎧ a 1＋7d ＝4 ①即⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②
①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d ) ＝7 ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d ) ＝8 3
即16－25d 2＝7，解得d ＝±.
5
③
311334当d ＝ 时，a 1，a n ＝－ ＋(n －1) ·＝ n －
555555
341413344当d 时，a 1，a n ＝ ＋(n －1) ·）＝－n ＋ .
555555
6．两个等差数列5，8，11，„„和3，7，11，„„都有100项，那么它们共有多少相同的项？
分析：已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{a n }，问题就转化为一个研究数列{a n }的项数问题 解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{c n }，c 1=11,
又数列5，8，11，„„的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，„„的通项公式为b n ＝4n －1. ∴数列{c n }为等差数列，且d ＝12. ∴c n ＝12n －1 又∵a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1＜302
1
得n ≤，可见已知两数列共有25个相同的项.
4解法二：∵a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m
4
则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)，即n ＝m －1(n ，m ∈N *)
3
要使n 为正整数，m 必须是3的倍数. 设m ＝3k (k ∈N *)，代入前式得n ＝4k －1
又∵1≤3k ≤100，且1≤4k －1≤100，解得1≤k ≤25 ∴共有25个相同的项.
7. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
⎧23＋（6－1）d ＞023解：由⎨ 得－4.6＜d ＜－ 答案：－4
6⎩23＋（7－1）d ＜0
8. 等差数列{a n }中，a 1 0,因此等差数列前n 项和S n
=
d 2d
n +(a 1-) n 的图像是过原点开口向下的抛物线， 22
故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）， 由于S 9 = S 11，其对称轴为n =于是，当n 取与
9+1221
=， 22
21
最接近的整数即10或11时，S n 取最大值。 2
n
9. 若一个等差数列前3项和为34, 后3项和为146, 且所有项的和为390, 求这个数列项数. 解: a 1+a 2+a 3=34, 两式相加得:3(a 1+a n ) =180, a 1+a n =60, 由S =n (a 1+a n ) =390, 得n =13
{a n }为等差数列, 前10项的和为S 10=100, 前100项的和S 100=10, 求前110项的和S 110.
分析一:方程思想, 将题目条件应用公式表示成关于首项a 1与公差d 的两个方程. 设{a n }的首项为a 1, 公差d ,
10. 已知
1则⎧
⎪10a 1+⨯10⨯9d =100
11⎧
a 1=- ∴S 110⎪502解得:⎨⎨11099⎪100a 1+⨯100⨯99d =10⎪d =
⎩⎩
a n +a n -1+a n -2=146,
2
1
=110a 1+⨯110⨯109d =-110
2
分析二:运用前n 项和变式: S n =An 2+Bn a n 为等差数列, 故可设S n =An 2+Bn ,
100A +10B =100则⎧解得110A +B =-1 ⎨
⎩10000A +100B =10
∴S 110=1102A +110B =110(110A +B ) =-110
解法三： S 100-S 10=(a 11+a 100) ⨯90=-90∴a 11+a 100=-2∴S =110(a 1+a 110) =(a 11+a 100) ⨯110=-110
110
222
11、在等差数列{a n}中，a 5=11, a 8=5， （1）求该数列的通项公式；（2）求其前n 项和S n的最大值；（3）求T n 分析：（1）d
{}
=|a 1|+|a 2|+ +|a n |。
a 5-a 8
=-2，所以a n =a 5+(n -5) d =21-2n ；
5-8
21
（2）a n =21-2n ≥0⇔n ≤，所以前10项的和最大；
2
（3）因为a 10>0, a 11
n (11+21-2n )
=16n -n 2； ①当n ≤ 10时，a n >0, T n =a 1+a 2+ +a n =S n =
2
(n -10)(-1+21-2n )
=n 2-20n +160 ②当n > 10时，T n =a 1+a 2+ +a 10-(a 11+a 12+ +a n ) =60-
2
=
⎧16n -n 2(n ∈N *,1≤n ≤10) T n =⎨2
*
⎩n -20n +160(n ∈N , n ≥10) 12数列和.
分析:本题考查数列的基础知识, 以及含绝对值的数列前n 项和的求法. 在求和前前首先要确定, 从哪一项开始该项的值为负, 然后将和分段表示.
22
解:(1)n ≥2时a n =S n -S n -1=(100n -n ) -[100(n -1) -(n -1) ]=101-2n 又 a 1=S 1=100⨯1-12=99=101-2⨯1
{b n }的前n 项{a n }的前n 项和S n =100n -n 2(n ∈N ) (1) {a n }是什么数列? (2)设b n =a n , 求数列
∴数列{a n }的通项为a n =101-2n (n ∈N *)
又a n +1-a n =-2为常数{a n }是首项为, ∴数列a 1=99, 公差d =-2的等差数列.
(2)令a n =101-2n ≥0得, n ≤50. 5, n ∈N *, ∴n ≤50(n ∈N *) ①当1≤n ≤50时a n >0, 此时
{b n }的前n 项和S '=a
n 2
1
+a 2+ a n =a 1+a2+ +an =S n =100n -n 2
'②当n ≥51时, {b n }的前n 项和为S n
由①②得数列
=a 1+a 2+ a n =a 1+a2+ +a50-(a51+a52+ +an )
=S 50+(S 50-S n ) =2S 50-S n =2⨯2500-(100n -n 2) =5000-100n +n 2
100n -n {b n }的前n 项和为S '=⎧⎨
n
(n ∈N *, 1≤n ≤50)
2*
⎩5000-100n +n (n ∈N , n ≥51)
13、在等差数列{a n}中，a 5=11, a 8=5，
=|a 1|+|a 2|+ +|a n |。
（1）求该数列的通项公式；（2）求其前n 项和S n的最大值；（3）求T n 分析：（1）d
a 5-a 8
=-2，所以a n =a 5+(n -5) d =21-2n ；
5-8
21
（2）a n =21-2n ≥0⇔n ≤，所以前10项的和最大；
2
（3）因为a 10>0, a 11
n (11+21-2n )
=16n -n 2； ①当n ≤ 10时，a n >0, T n =a 1+a 2+ +a n =S n =
2
(n -10)(-1+21-2n ) 2
=n -20n +160 ②当n > 10时，T n =a 1+a 2+ +a 10-(a 11+a 12+ +a n ) =60-
2
=
⎧16n -n 2(n ∈N *,1≤n ≤10) T n =⎨2
*
⎩n -20n +160(n ∈N , n ≥10)
=2n 2+n +1；求通项公式。
解：当n =1时 a 1=S 1=4，
当n ≥2时 a n =S n -S n -1=4n -1，
(n =1) ． 显然a 1不适合a n =4n -1∴a =⎧4
⎨
14. 数列的前n 项的和 S n
n
⎩4n -1
(n ≥2)
14. 若数列{a n }成等差数列，且S m =n , S n =m (m ≠n ) ，求S n +m ． 解：（法一）基本量法（略）； （法二）设S n
2
⎪⎩Am +Bm =n (2)
m ≠n ， ∴(m +n ) A +B =-1，∴S n +m =(n +m ) 2A +(n +m ) B =-(n +m ) ．
⎧An 2+Bn =m =An 2+Bn ，则⎪⎨
(1)
(1)-(2)得：(n 2-m 2) A +(n -m ) B =m -n ，
15. （1）设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13
（2）指出S 1，S 2，S 3，„S n 中哪一个值最大，并说明理由。
2a 1+11d >0， 解：（1）S 12=12a 1+12⨯11d >0，S 13=13a 1+12⨯13d
22⎩a 1+6d
24
（2）：由S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 70, a 7
S a 7n +14*
16．设S n 和T n 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有n = ，则11=．
T n 4n +27b 113
a S
说明：n =2n -1．
b n T 2n -1
17. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+pn ，数列{b n }的前n 项和T n =3n 2-2n ，
（1）若a 10=b 10，求p 的值； （2）取数列{b n }中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列{c n },
由
a 3=a 1+2d =12, 代入得：-
求数列{c n }的通项公式. 答案：（1）36 （2）c n
2
=12n -11
18. 等差数列{a n }中，前n 项和S n ，若m>1，且a m-1+am+1－a m =0，S 2m-1=38，则m ＝____________.
19. 等差数列{a n }中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a 1=1，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为2n +1项，
(n +1)(a 1+a 2n +1) n (a 2+a 2n )
=77，S 偶==66
22
S n +177∴奇==， ∴n =6，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且a 7=11． S 偶n 66
则
S 奇=
2a 20. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝，求数列{a n }的前n 项和.
a n ＋2分析：要求数列{a n a n +1}的前n 项和，需要先求数列{a n }的通项公式. 111
解：由已知得＝＋
a n 2a n ＋1
111
∴{ }为首项为 ＝1，公差为 的等差数列. a n a 12n ＋1112∴＝1＋(n －1) ×＝ ，∴a n ＝ a n 22n ＋1S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n +1＝
444
＋＋„＋ 2×33×4n （n ＋1）
2(n －1) 11111111
＝4[( －) ＋（ － ）＋„＋( －)]＝4( －) ＝.
2334n n ＋12n ＋1n ＋121：已知数列
{a n }，a n ∈N *, S n =1(a n +2) 2
8
{a n }是等差数列；(2)若b n =1a n -30，求数列{b n }的前n 项和的最小值。
2
思路分析：本题可以根据定义证明是等差数列，然后求数列{b n }的前n 项和的最值。
（1） 求证：解：（1）a n +1=S n +1-S n
1111
=(a n +1+2) 2-(a n +2) 2=(a n +1+2) 2-(a n +2) 2, 8888
8a n +1=(a n +1+2) 2-(a n +2) 2,
(a n +1-2) 2-(a n +2) 2=0,(a n +1+a n )(a n +1-a n -4) =0, a n ∈N *,∴a n +1+a n ≠0, a n +1-a n =4,
∴数列{a n }是等差数列
（2）由（1）得a 1=S 1=(a 1+2) 2, 。
18
1
∴a 1=2, ∴a n =4n -2, ∴b n =a n -30=2n -31.
2
由b n =2n -31可知{b n }是等差数列，b 1=-29，公差d=2，
n (n -1)
∴数列{b n }的前n 项和T n =-29n +⨯2=n 2-n -29n =n 2-30n =(n -15) 2-225,
2
22．已知数列
{a n }的首项a 1=3, 通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n S n -1(n ≥2)
⎧1⎫
⎬是等差数列, 并求公差;(2)求数列{a n }的通项公式; ⎩S n ⎭
(1)求证:⎨
⎧a n =S n -S n -111111
⇒2S n -2S n -1=S n S n -1⇒-=-, 而=, 解:(1)当n ≥2时, ⎨
S n S n -12S 13⎩2a n =S n S n -1⎧1⎫11
∴⎨⎬, d =-的等差数列.
S 32⎩n ⎭1115-3n 6118(2) =+(n -1) ⨯(-) =, ∴S n =∴当n ≥2时, a n =S n S n -1=
S n S 126⎧3(∴a ⎪n =1), n =18⎩(3n -5)(3n -18)
(n ≥2) 5-3n 2(3n -5)(3n -8)
等差数列知识总结
一、一般数列有关知识 1. 数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集
{1,2,3,„,n}上的函数。 （2） 通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。
即a n =f (n ) ，如: a n =2n 2-1。 （3） 递推公式：已知数列{an }的第1项（或前几项），且任一项a n 与他的前一项a n-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。
如: a 1=1, a 2=2, a n =a n -1+a n -2(n >2) 。
2．数列的表示方法： （1） 列举法：如1，3，5，7，9，„ （2）图象法：用（n, an ）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3．数列的分类：
⎧常数列:a n =2
⎪n ⎧有穷数列递增数列:a =2n +1, a =2 ⎪n n 按项数⎨按单调性⎨2 ⎩无穷数列⎪递减数列:a n =-n +1
4．数列{an }及前n 项和之间的关系: ⎪摆动数列:a =(-1) n ⋅2n
⎩n
S n =a 1+a 2+a 3+ +a n a n =⎨
⎧S 1,(n =1)
⎩S n -S n -1,(n ≥2)
注意：检验n=1的结果是否可以合并． 二、等差数列
1. 定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
*
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N ) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广：
a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
a n -a m
；
n -m
a +b
或2A =a +b 2
=a n +a n +2
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =（2）等差中项：数列
{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1
=
4．等差数列的前n 项和公式：s n
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
（其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
5．等差数列的判定方法
*
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ a n 是等差数列．
（2） 等差中项：数列⑶数列
{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。
2
（4）数列{a n }是等差数列⇔S n =An +Bn , （其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法 定义法：若a n -a n -1=d 或
{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2．
{}
a n +1-a n =d (常数n ∈N *) ⇔ {a n }是等差数列．
7. 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称
作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为
d ）；偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（公差为2d ）
8.. 等差数列的性质：
（1）当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 222
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
公差
d ；前n 和S n =na 1+
a 1+a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2= ，图示：1
a 2+a n -1
(4) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
S 3m
a 1+a 2+a 3+ +a m +a m +1+ +a 2m +a 2m +1+ +a 3m
图示：
S m
S 2m -S m
S 3m -S 2m
（5）若等差数列{a n }、{b n }的前则
n 和分别为A n 、B n ，且
A n
=f (n ) ， n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) . n n 2n -1
（6）若
{a n }、{b n }为等差数列，则{a n ±b n }为等差数列
n ∈N *。
(7)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
⎧a n ≥0即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 1或求
{a n }中正负分界项
⎧a n ≤0
0， 由⎨可得S n 达到最小值时的n 值．
⎩a n +1≥0
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
p +q
2
（7）设数列{a n }是等差数列，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和，则： 1. 当项数为偶数2n 时，S 偶-S 奇=n d ，其中n 为总项数的一半，d 为公差； 2、在等差数列{a n }中，若共有奇数项2n +1项，则
⎧⎧S 奇=(n +1) a 中S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a 中⎪
⇒⎨⇒=（其中a 中是等差数列的中间一项）． ⎨S =na S -S =a S n ⎪中奇偶中⎪偶⎩偶⎩
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d (q ) 的方程；
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 典例分析
1. 等差数列{a n }中，a 2=1, S 11=33，求{a n }的通项公式。
1⎧a =⎧a 2=a 1+d 1⎪⎧a 1+d =1⎪⎪2 ∴a =a +(n -1) d =1n
解：∵⎨ ∴ 解得n 1⎨11⨯10⎨
12a +5d =3S =11a +d 1111⎩⎪⎪d =2⎩⎪2⎩
2. 等差数列{a n }前n 项和记为S n ，已知（1）求通项a n ；（2）若S n
a 10=30，a 20=50.
=242，求n . 解：（1）由a n =a 1+(n -1) d , a 10=30, a 20=5，
⎧a 1+9d =30⎧a 1=12
得方程组⎨ 解得⎨ ∴a n =2n +10
a +19d =50d =2⎩1⎩
n (n -1) n (n -1)
d , S n =242 得方程12n +⨯2=242 （2）由S n =na 1+22
解得n =11或n =-22（舍），故n =11. 3. 若a 6+a 9+a 12+a 15=20求S 20 解法一 a n =a 1+(n -1) d
∴a 6+a 9+a 12+a 15=(a 1+5d ) +(a 1+8d ) +(a 1+11d ) +(a 1+14d ) =2(2a 1+19d ) =20 ∴2a 1+19d =10
20(a 1+a 20)
=10(2a 1+19d ) =100 那么S 20=
2
解法二：由m +n =p +q ⇒a m +a n =a p +a q
a 6+a 9+a 12+a 15=2(a 6+a 15) =2(a 1+a 20) =20∴a 1+a 20=10
20(a 1+a 20) S 20==100
2
24
4、已知等差数列5, 4, 3, 的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值。
77
25
分析：数列的首项为5，公差d =4-5=-，
77
n (n -1) 75b -5n 25151125
d ==-(n -) 2+所以S n =na 1+， 2141425615
于是，当n 取与最接近的整数即7或8时，S n 取最大值。
2
55
另解：令a n =a 1+(n -1) d =5-(n -1) =(8-n ) ≥0，得n ≤8，
77
所以a 8 = 0，S 7 = S 8为最大。
5. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式. 解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1) d
⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12则⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28⎧ a 1＋7d ＝4 ①即⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②
①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d ) ＝7 ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d ) ＝8 3
即16－25d 2＝7，解得d ＝±.
5
③
311334当d ＝ 时，a 1，a n ＝－ ＋(n －1) ·＝ n －
555555
341413344当d 时，a 1，a n ＝ ＋(n －1) ·）＝－n ＋ .
555555
分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.
解法一：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4
⎧a 3＋a 13＝8⎧a 3＝1⎧a 3＝7
代入已知得⎨ 解得⎨ 或⎨
⎩a 3·a 13＝7⎩a 13＝7⎩a 13＝1
a 13－a 37－13
由a 3＝1，a 13＝7得d ＝ ＝＝ .
10513－3334
∴a n ＝a 3＋(n －3) ＝ n － .
555
344
由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n n ＋ .
55解法二：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1) d
⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12
则⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28⎧ a 1＋7d ＝4 ①即⎨ ⎩（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②
①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d ) ＝7 ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d ) ＝8 3
即16－25d 2＝7，解得d ＝±.
5
③
311334当d ＝ 时，a 1，a n ＝－ ＋(n －1) ·＝ n －
555555
341413344当d 时，a 1，a n ＝ ＋(n －1) ·）＝－n ＋ .
555555
6．两个等差数列5，8，11，„„和3，7，11，„„都有100项，那么它们共有多少相同的项？
分析：已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{a n }，问题就转化为一个研究数列{a n }的项数问题 解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{c n }，c 1=11,
又数列5，8，11，„„的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，„„的通项公式为b n ＝4n －1. ∴数列{c n }为等差数列，且d ＝12. ∴c n ＝12n －1 又∵a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1＜302
1
得n ≤，可见已知两数列共有25个相同的项.
4解法二：∵a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m
4
则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)，即n ＝m －1(n ，m ∈N *)
3
要使n 为正整数，m 必须是3的倍数. 设m ＝3k (k ∈N *)，代入前式得n ＝4k －1
又∵1≤3k ≤100，且1≤4k －1≤100，解得1≤k ≤25 ∴共有25个相同的项.
7. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
⎧23＋（6－1）d ＞023解：由⎨ 得－4.6＜d ＜－ 答案：－4
6⎩23＋（7－1）d ＜0
8. 等差数列{a n }中，a 1 0,因此等差数列前n 项和S n
=
d 2d
n +(a 1-) n 的图像是过原点开口向下的抛物线， 22
故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）， 由于S 9 = S 11，其对称轴为n =于是，当n 取与
9+1221
=， 22
21
最接近的整数即10或11时，S n 取最大值。 2
n
9. 若一个等差数列前3项和为34, 后3项和为146, 且所有项的和为390, 求这个数列项数. 解: a 1+a 2+a 3=34, 两式相加得:3(a 1+a n ) =180, a 1+a n =60, 由S =n (a 1+a n ) =390, 得n =13
{a n }为等差数列, 前10项的和为S 10=100, 前100项的和S 100=10, 求前110项的和S 110.
分析一:方程思想, 将题目条件应用公式表示成关于首项a 1与公差d 的两个方程. 设{a n }的首项为a 1, 公差d ,
10. 已知
1则⎧
⎪10a 1+⨯10⨯9d =100
11⎧
a 1=- ∴S 110⎪502解得:⎨⎨11099⎪100a 1+⨯100⨯99d =10⎪d =
⎩⎩
a n +a n -1+a n -2=146,
2
1
=110a 1+⨯110⨯109d =-110
2
分析二:运用前n 项和变式: S n =An 2+Bn a n 为等差数列, 故可设S n =An 2+Bn ,
100A +10B =100则⎧解得110A +B =-1 ⎨
⎩10000A +100B =10
∴S 110=1102A +110B =110(110A +B ) =-110
解法三： S 100-S 10=(a 11+a 100) ⨯90=-90∴a 11+a 100=-2∴S =110(a 1+a 110) =(a 11+a 100) ⨯110=-110
110
222
11、在等差数列{a n}中，a 5=11, a 8=5， （1）求该数列的通项公式；（2）求其前n 项和S n的最大值；（3）求T n 分析：（1）d
{}
=|a 1|+|a 2|+ +|a n |。
a 5-a 8
=-2，所以a n =a 5+(n -5) d =21-2n ；
5-8
21
（2）a n =21-2n ≥0⇔n ≤，所以前10项的和最大；
2
（3）因为a 10>0, a 11
n (11+21-2n )
=16n -n 2； ①当n ≤ 10时，a n >0, T n =a 1+a 2+ +a n =S n =
2
(n -10)(-1+21-2n )
=n 2-20n +160 ②当n > 10时，T n =a 1+a 2+ +a 10-(a 11+a 12+ +a n ) =60-
2
=
⎧16n -n 2(n ∈N *,1≤n ≤10) T n =⎨2
*
⎩n -20n +160(n ∈N , n ≥10) 12数列和.
分析:本题考查数列的基础知识, 以及含绝对值的数列前n 项和的求法. 在求和前前首先要确定, 从哪一项开始该项的值为负, 然后将和分段表示.
22
解:(1)n ≥2时a n =S n -S n -1=(100n -n ) -[100(n -1) -(n -1) ]=101-2n 又 a 1=S 1=100⨯1-12=99=101-2⨯1
{b n }的前n 项{a n }的前n 项和S n =100n -n 2(n ∈N ) (1) {a n }是什么数列? (2)设b n =a n , 求数列
∴数列{a n }的通项为a n =101-2n (n ∈N *)
又a n +1-a n =-2为常数{a n }是首项为, ∴数列a 1=99, 公差d =-2的等差数列.
(2)令a n =101-2n ≥0得, n ≤50. 5, n ∈N *, ∴n ≤50(n ∈N *) ①当1≤n ≤50时a n >0, 此时
{b n }的前n 项和S '=a
n 2
1
+a 2+ a n =a 1+a2+ +an =S n =100n -n 2
'②当n ≥51时, {b n }的前n 项和为S n
由①②得数列
=a 1+a 2+ a n =a 1+a2+ +a50-(a51+a52+ +an )
=S 50+(S 50-S n ) =2S 50-S n =2⨯2500-(100n -n 2) =5000-100n +n 2
100n -n {b n }的前n 项和为S '=⎧⎨
n
(n ∈N *, 1≤n ≤50)
2*
⎩5000-100n +n (n ∈N , n ≥51)
13、在等差数列{a n}中，a 5=11, a 8=5，
=|a 1|+|a 2|+ +|a n |。
（1）求该数列的通项公式；（2）求其前n 项和S n的最大值；（3）求T n 分析：（1）d
a 5-a 8
=-2，所以a n =a 5+(n -5) d =21-2n ；
5-8
21
（2）a n =21-2n ≥0⇔n ≤，所以前10项的和最大；
2
（3）因为a 10>0, a 11
n (11+21-2n )
=16n -n 2； ①当n ≤ 10时，a n >0, T n =a 1+a 2+ +a n =S n =
2
(n -10)(-1+21-2n ) 2
=n -20n +160 ②当n > 10时，T n =a 1+a 2+ +a 10-(a 11+a 12+ +a n ) =60-
2
=
⎧16n -n 2(n ∈N *,1≤n ≤10) T n =⎨2
*
⎩n -20n +160(n ∈N , n ≥10)
=2n 2+n +1；求通项公式。
解：当n =1时 a 1=S 1=4，
当n ≥2时 a n =S n -S n -1=4n -1，
(n =1) ． 显然a 1不适合a n =4n -1∴a =⎧4
⎨
14. 数列的前n 项的和 S n
n
⎩4n -1
(n ≥2)
14. 若数列{a n }成等差数列，且S m =n , S n =m (m ≠n ) ，求S n +m ． 解：（法一）基本量法（略）； （法二）设S n
2
⎪⎩Am +Bm =n (2)
m ≠n ， ∴(m +n ) A +B =-1，∴S n +m =(n +m ) 2A +(n +m ) B =-(n +m ) ．
⎧An 2+Bn =m =An 2+Bn ，则⎪⎨
(1)
(1)-(2)得：(n 2-m 2) A +(n -m ) B =m -n ，
15. （1）设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13
（2）指出S 1，S 2，S 3，„S n 中哪一个值最大，并说明理由。
2a 1+11d >0， 解：（1）S 12=12a 1+12⨯11d >0，S 13=13a 1+12⨯13d
22⎩a 1+6d
24
（2）：由S 12=6(a 6+a 7)>0，S 13=13a 70, a 7
S a 7n +14*
16．设S n 和T n 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有n = ，则11=．
T n 4n +27b 113
a S
说明：n =2n -1．
b n T 2n -1
17. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+pn ，数列{b n }的前n 项和T n =3n 2-2n ，
（1）若a 10=b 10，求p 的值； （2）取数列{b n }中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列{c n },
由
a 3=a 1+2d =12, 代入得：-
求数列{c n }的通项公式. 答案：（1）36 （2）c n
2
=12n -11
18. 等差数列{a n }中，前n 项和S n ，若m>1，且a m-1+am+1－a m =0，S 2m-1=38，则m ＝____________.
19. 等差数列{a n }中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a 1=1，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为2n +1项，
(n +1)(a 1+a 2n +1) n (a 2+a 2n )
=77，S 偶==66
22
S n +177∴奇==， ∴n =6，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且a 7=11． S 偶n 66
则
S 奇=
2a 20. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝，求数列{a n }的前n 项和.
a n ＋2分析：要求数列{a n a n +1}的前n 项和，需要先求数列{a n }的通项公式. 111
解：由已知得＝＋
a n 2a n ＋1
111
∴{ }为首项为 ＝1，公差为 的等差数列. a n a 12n ＋1112∴＝1＋(n －1) ×＝ ，∴a n ＝ a n 22n ＋1S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n +1＝
444
＋＋„＋ 2×33×4n （n ＋1）
2(n －1) 11111111
＝4[( －) ＋（ － ）＋„＋( －)]＝4( －) ＝.
2334n n ＋12n ＋1n ＋121：已知数列
{a n }，a n ∈N *, S n =1(a n +2) 2
8
{a n }是等差数列；(2)若b n =1a n -30，求数列{b n }的前n 项和的最小值。
2
思路分析：本题可以根据定义证明是等差数列，然后求数列{b n }的前n 项和的最值。
（1） 求证：解：（1）a n +1=S n +1-S n
1111
=(a n +1+2) 2-(a n +2) 2=(a n +1+2) 2-(a n +2) 2, 8888
8a n +1=(a n +1+2) 2-(a n +2) 2,
(a n +1-2) 2-(a n +2) 2=0,(a n +1+a n )(a n +1-a n -4) =0, a n ∈N *,∴a n +1+a n ≠0, a n +1-a n =4,
∴数列{a n }是等差数列
（2）由（1）得a 1=S 1=(a 1+2) 2, 。
18
1
∴a 1=2, ∴a n =4n -2, ∴b n =a n -30=2n -31.
2
由b n =2n -31可知{b n }是等差数列，b 1=-29，公差d=2，
n (n -1)
∴数列{b n }的前n 项和T n =-29n +⨯2=n 2-n -29n =n 2-30n =(n -15) 2-225,
2
22．已知数列
{a n }的首项a 1=3, 通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n S n -1(n ≥2)
⎧1⎫
⎬是等差数列, 并求公差;(2)求数列{a n }的通项公式; ⎩S n ⎭
(1)求证:⎨
⎧a n =S n -S n -111111
⇒2S n -2S n -1=S n S n -1⇒-=-, 而=, 解:(1)当n ≥2时, ⎨
S n S n -12S 13⎩2a n =S n S n -1⎧1⎫11
∴⎨⎬, d =-的等差数列.
S 32⎩n ⎭1115-3n 6118(2) =+(n -1) ⨯(-) =, ∴S n =∴当n ≥2时, a n =S n S n -1=
S n S 126⎧3(∴a ⎪n =1), n =18⎩(3n -5)(3n -18)
(n ≥2) 5-3n 2(3n -5)(3n -8)