解码专训一：圆中常见的计算题型
名师点金：圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量；利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．
有关角度的计算
1．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为三个切点．若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为( )
A ．76° B ．68° C ．52° D ．38°
(第1题)
(第2题)
2．如图，有一圆通过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与弧AC 相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则弧AD 所对圆心角的度数为( )
A ．23° B ．28° C ．30° D ．37°
3．(2014·娄底) 如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.
(1)求证：△ABD ≌△CDB ；
(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．
(第3题)
半径、弦长的计算
4．(2014·南京) 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB ＝22 cm ，∠BCD ＝22°30′，则⊙O 的半径为________cm .
(第4题)
(第5题)
5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B ︵是CF 的中点，弦CF 交AB 于点E. 若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.
6．如图，已知⊙O 中直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm . 求直径AB 的长．
(第6题)
面积的计算
7．(2015·丽水) 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.
(1)求证：DF ⊥AC ；
(2)若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝22.5°，求阴影部分的面积．
(第7题)
解码专训一
1．A 2. B
3．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°，
⎧AB ＝CD ，⎪在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，⎨ ⎪⎩BD ＝DB ，
∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL ) ．
(2)解：∵BE 是切线，∴AB ⊥BE ，∴∠ABE ＝90°.
∵∠DBE ＝37°，∴∠ABD ＝53°.
∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ＝90°－53°＝37°，
∴∠ADC 的度数为37°.
4．2 点拨：连接OB ，∵∠BCD ＝22°30′，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝45°. ∵AB ⊥CD ，∴BE 11＝AE ＝×2＝cm ) ，△BOE 为等腰直角三角形，∴OB ＝2 cm ，故答案22
为2.
5．3
6．解：连接OC. ∵∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°.
∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°，∴∠D ＝30°
.
1∵OD ＝30 cm ，∴OC ＝15 cm ， 2
∴AB ＝2OC ＝30 cm
.
(第7题)
7．(1)证明：如图，连接OD ，
∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB.
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.
∴∠ODB ＝∠ACB. ∴OD ∥AC.
∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD. ∴DF ⊥AC.
(2)解：如图，连接OE ，
∵DF ⊥AC ，∠CDF ＝22.5°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，∴∠BAC ＝45°. ∵OA ＝OE ，∴∠AOE ＝90°.
∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE ＝4π，S △AOE ＝8. ∴S 阴影＝S 扇形AOE －S △AOE ＝4π－8.
解码专训一：圆中常见的计算题型
名师点金：圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量；利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．
有关角度的计算
1．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为三个切点．若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为( )
A ．76° B ．68° C ．52° D ．38°
(第1题)
(第2题)
2．如图，有一圆通过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与弧AC 相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则弧AD 所对圆心角的度数为( )
A ．23° B ．28° C ．30° D ．37°
3．(2014·娄底) 如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.
(1)求证：△ABD ≌△CDB ；
(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．
(第3题)
半径、弦长的计算
4．(2014·南京) 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB ＝22 cm ，∠BCD ＝22°30′，则⊙O 的半径为________cm .
(第4题)
(第5题)
5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B ︵是CF 的中点，弦CF 交AB 于点E. 若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.
6．如图，已知⊙O 中直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm . 求直径AB 的长．
(第6题)
面积的计算
7．(2015·丽水) 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.
(1)求证：DF ⊥AC ；
(2)若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝22.5°，求阴影部分的面积．
(第7题)
解码专训一
1．A 2. B
3．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°，
⎧AB ＝CD ，⎪在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，⎨ ⎪⎩BD ＝DB ，
∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL ) ．
(2)解：∵BE 是切线，∴AB ⊥BE ，∴∠ABE ＝90°.
∵∠DBE ＝37°，∴∠ABD ＝53°.
∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ＝90°－53°＝37°，
∴∠ADC 的度数为37°.
4．2 点拨：连接OB ，∵∠BCD ＝22°30′，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝45°. ∵AB ⊥CD ，∴BE 11＝AE ＝×2＝cm ) ，△BOE 为等腰直角三角形，∴OB ＝2 cm ，故答案22
为2.
5．3
6．解：连接OC. ∵∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°.
∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°，∴∠D ＝30°
.
1∵OD ＝30 cm ，∴OC ＝15 cm ， 2
∴AB ＝2OC ＝30 cm
.
(第7题)
7．(1)证明：如图，连接OD ，
∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB.
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.
∴∠ODB ＝∠ACB. ∴OD ∥AC.
∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD. ∴DF ⊥AC.
(2)解：如图，连接OE ，
∵DF ⊥AC ，∠CDF ＝22.5°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，∴∠BAC ＝45°. ∵OA ＝OE ，∴∠AOE ＝90°.
∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE ＝4π，S △AOE ＝8. ∴S 阴影＝S 扇形AOE －S △AOE ＝4π－8.