高中数学选修2-3随机变量及其分布测试题
一、选择题，共12小题。
1. ①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②长江上某水文站观察到一天中的水位X ；③某
超市一天中的顾客量X 其中的X 是连续型随机变量的是 （ ） A ．① B ．② C ．③ D ．①②③
2. 袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 （ ） A ．取到的球的个数
B ．取到红球的个数
D ．至少取到一个红球的概率
C ．至少取到一个红球
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则 “X >4”表示试验的结果为 （ ） A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C ．第一枚为6点，第二枚为1点 D ．第一枚为4点，第二枚为1点 4. 随机变量X 的分布列为P （X =k ）=
c 15
，k =1、2、3、4，其中c 为常数，则P （
22k (k +1)
的值为 （ ）
A ．
4523
B ． C ． D ． 5634
111
，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是. 现在三234
5. 甲射击命中目标的概率是
人同时射击目标，则目标被击中的概率为 （ ）
3247
A. C. 43510
6．已知随机变量X 的分布列为P (X =k )=
A ．6
1
, k =1,2,3, 则D (3X +5)等于 （ ） 3
B ．9 C ．3 D ．4
7. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码， 则EX = （ ）
A ．4 B ．5 C ．4.5 D ．4.75
3
8．某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的
5
概率为 （ ）
A ．
81543627 B ． C ． D ． [1**********]5
9. 将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的 值为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10．已知X ～B (n ，p ) ，EX =8，DX =1.6，则n 与p 的值分别是 （ ）
A ．100、0.08 B ．20、0.4 C ．10、0.2 D ．10、0.8 11．随机变量X
N (μ, σ2) ，则随着σ的增大，概率P (|X -μ|
A ．单调增加 B ．单调减小 C ．保持不变 D ．增减不定
12．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为 （ ） A ．0.4 B ．1.2 C ．0. 4 D ．0.6
3
二. 填空题，共4小题。
13. 一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们的颜 色相同的情况下，该颜色是白色的概率是 ．
14．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽 得次品数为X ，则E (5X +1）=________________．
15．设一次试验成功的概率为P ，进行100次独立重复试验，当P =________时，成功次数 的标准差最大，其最大值是________________． 16．已知随机变量X 的分布列为且EX =1.1，则 DX =________________．
三．解答题。
17．某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布N （70, 100），如果规定低于60分为不
及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多 少？（参考数据：P (μ-σ
18. 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工 作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统 N 2正常工作. 已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统
N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2．
19. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概 率为0.7，求
（1）他罚球1次的得分X 的数学期望； （2）他罚球2次的得分Y 的数学期望； （3）他罚球3次的得分 的数学期望．
(N1) (N2)
A A
B B C
C
20. 某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其
中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否 则都不参加．设每人成绩合格的概率为（1）三人至少有一人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数X 的分布列和数学期望．
2
，求 3
21．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若
行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计) ．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场 与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车 路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费) ，这个司机一次接送旅客 的行车路程X 是一个随机变量．设他所收租车费为η (1)求租车费η关于行车路程X 的关系式； (2)若随机变量X 的分布列为
求所收租车费η(3)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途 中因故停车累计最多几分钟?
1
22. 袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是，从B 中
3 摸出一个红球的概率为p ．
(1) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)记5次之内(含5次) 摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布率及数学期望E X． (2) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红 球的概率是
2
，求p 的值． 5
选修2-3随机变量及其分布参考答案
一、选择题
BBCBA ACACD CB
二、填空题
13.
12
14. 3 15. p =，最大值是5 16．0.4932
三、解答题
17. 解：因为由题意得：μ=70，σ=10
P (μ-σ
1-0. 6826
＝0.1587， 21-0. 9544
=0. 0228． （2）
2
（1）
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28% ． 18. 解:记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0. 80， P (B )=0. 90，P (C )=0. 90．
(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A ) P (B ) P (C )=0. 648, 故系统N 1正常工作的概率为0. 648．
(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A ) ·［1－P (B ⋅C ) ］ =P (A ) ·［1－P (B ) P (C ) ］
=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90) ］=0.792. 故系统N 2正常工作的概率为0.792.
19. 解：（１）因为P (X =1) =0.7，P (X =0) =0.3，所以
EX =1×P (X =1) ＋0×P (X =0) =0.7．
（２）Y 的概率分布为
所以 EY =0⨯0.09＋1⨯0.42＋2⨯0.49＝1.4． （３）η的概率分布为
所以 E η=0⨯0.027＋1⨯0.189＋2⨯0.441+3⨯0.343=2.1.
20. 解：用A 、B 、C 表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A ) =P(B ) =P(C )=
2
. 3
（1）至少有1人成绩合格的概率是
126
． 1-P (ABC ) =1-P (A ) P (B ) P (C ) =1-() 3=
327（2）X 的可能取值为0、1、2、3.
P (X =0) =P (ABC ) +P (ABC ) +P (ABC )
1221215
=() +2) (3) ；
3333327P (X =1) =P (ABC ) +P (ABC ) +P (ABC )
21211210
； =() 2⋅+() 2⋅+() 2⋅=
33333327
P (X =2) =P (ABC ) =P (A ) P (B ) P (C ) =P (X =3) =P (ABC ) =P (A ) P (B ) P (C ) =所以X 的分布列是
4； 278． 27
Ｘ Ｐ
Ｘ的期望为EX =0⨯
０ １ ２ ３
5 2710 274 278 27
5104842
． +1⨯+2⨯+3⨯=
2727272727
21. 解：(1)依题意得 η=2(X -4) +10，即η=2X +2.
(2)EX =15⨯0. 1+16⨯0. 5+17⨯0. 3+18⨯0. 1=16. 4 ∵ η=2X +2
∴ E η=2E η+2=34.8（元） 故所收租车费η的数学期望为34. 8元．
(3)由38=2 X +2，得X =18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
⎛1⎫⎛2⎫18
22. 解: (1)（i ）C ⨯ ⎪⨯ ⎪⨯=．
⎝3⎭⎝3⎭381
24
22
(ii)随机变量X 的取值为0，1，2，3.
k k
由n 次独立重复试验概率公式P n (k )=C n p (1-p )
n -k
，得
32⎛1⎫
； P (X =0)=C ⨯ 1-⎪=
⎝3⎭243
05
5
1⎫8011⎛； P (X =1)=C 5⨯⨯ 1-⎪=3⎝3⎭24380⎛1⎫⎛1⎫
； P (X =2)=C 52⨯ ⎪⨯ 1-⎪=
33243⎝⎭⎝⎭117⎛1⎫
P (X =3) =C ⨯ ⎪⨯(1-) 2=．
381⎝3⎭
3
5
32
3
4
随机变量X 的分布列是
X P
X 的数学期望是：EX =
1
2
3
328080
[1**********] 81
[1**********]
． ⨯0+⨯1+⨯2+⨯3=
[1**********]81
(2)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球．
1
m +2mp
132
由. =，得p =
303m 5
高中数学选修2-3随机变量及其分布测试题
一、选择题，共12小题。
1. ①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②长江上某水文站观察到一天中的水位X ；③某
超市一天中的顾客量X 其中的X 是连续型随机变量的是 （ ） A ．① B ．② C ．③ D ．①②③
2. 袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 （ ） A ．取到的球的个数
B ．取到红球的个数
D ．至少取到一个红球的概率
C ．至少取到一个红球
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则 “X >4”表示试验的结果为 （ ） A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C ．第一枚为6点，第二枚为1点 D ．第一枚为4点，第二枚为1点 4. 随机变量X 的分布列为P （X =k ）=
c 15
，k =1、2、3、4，其中c 为常数，则P （
22k (k +1)
的值为 （ ）
A ．
4523
B ． C ． D ． 5634
111
，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是. 现在三234
5. 甲射击命中目标的概率是
人同时射击目标，则目标被击中的概率为 （ ）
3247
A. C. 43510
6．已知随机变量X 的分布列为P (X =k )=
A ．6
1
, k =1,2,3, 则D (3X +5)等于 （ ） 3
B ．9 C ．3 D ．4
7. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码， 则EX = （ ）
A ．4 B ．5 C ．4.5 D ．4.75
3
8．某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的
5
概率为 （ ）
A ．
81543627 B ． C ． D ． [1**********]5
9. 将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的 值为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10．已知X ～B (n ，p ) ，EX =8，DX =1.6，则n 与p 的值分别是 （ ）
A ．100、0.08 B ．20、0.4 C ．10、0.2 D ．10、0.8 11．随机变量X
N (μ, σ2) ，则随着σ的增大，概率P (|X -μ|
A ．单调增加 B ．单调减小 C ．保持不变 D ．增减不定
12．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为 （ ） A ．0.4 B ．1.2 C ．0. 4 D ．0.6
3
二. 填空题，共4小题。
13. 一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们的颜 色相同的情况下，该颜色是白色的概率是 ．
14．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽 得次品数为X ，则E (5X +1）=________________．
15．设一次试验成功的概率为P ，进行100次独立重复试验，当P =________时，成功次数 的标准差最大，其最大值是________________． 16．已知随机变量X 的分布列为且EX =1.1，则 DX =________________．
三．解答题。
17．某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布N （70, 100），如果规定低于60分为不
及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多 少？（参考数据：P (μ-σ
18. 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工 作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统 N 2正常工作. 已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，分别求系统
N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2．
19. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概 率为0.7，求
（1）他罚球1次的得分X 的数学期望； （2）他罚球2次的得分Y 的数学期望； （3）他罚球3次的得分 的数学期望．
(N1) (N2)
A A
B B C
C
20. 某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其
中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否 则都不参加．设每人成绩合格的概率为（1）三人至少有一人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数X 的分布列和数学期望．
2
，求 3
21．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若
行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计) ．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场 与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车 路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费) ，这个司机一次接送旅客 的行车路程X 是一个随机变量．设他所收租车费为η (1)求租车费η关于行车路程X 的关系式； (2)若随机变量X 的分布列为
求所收租车费η(3)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途 中因故停车累计最多几分钟?
1
22. 袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是，从B 中
3 摸出一个红球的概率为p ．
(1) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)记5次之内(含5次) 摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布率及数学期望E X． (2) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红 球的概率是
2
，求p 的值． 5
选修2-3随机变量及其分布参考答案
一、选择题
BBCBA ACACD CB
二、填空题
13.
12
14. 3 15. p =，最大值是5 16．0.4932
三、解答题
17. 解：因为由题意得：μ=70，σ=10
P (μ-σ
1-0. 6826
＝0.1587， 21-0. 9544
=0. 0228． （2）
2
（1）
答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28% ． 18. 解:记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0. 80， P (B )=0. 90，P (C )=0. 90．
(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A ) P (B ) P (C )=0. 648, 故系统N 1正常工作的概率为0. 648．
(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A ) ·［1－P (B ⋅C ) ］ =P (A ) ·［1－P (B ) P (C ) ］
=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90) ］=0.792. 故系统N 2正常工作的概率为0.792.
19. 解：（１）因为P (X =1) =0.7，P (X =0) =0.3，所以
EX =1×P (X =1) ＋0×P (X =0) =0.7．
（２）Y 的概率分布为
所以 EY =0⨯0.09＋1⨯0.42＋2⨯0.49＝1.4． （３）η的概率分布为
所以 E η=0⨯0.027＋1⨯0.189＋2⨯0.441+3⨯0.343=2.1.
20. 解：用A 、B 、C 表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A ) =P(B ) =P(C )=
2
. 3
（1）至少有1人成绩合格的概率是
126
． 1-P (ABC ) =1-P (A ) P (B ) P (C ) =1-() 3=
327（2）X 的可能取值为0、1、2、3.
P (X =0) =P (ABC ) +P (ABC ) +P (ABC )
1221215
=() +2) (3) ；
3333327P (X =1) =P (ABC ) +P (ABC ) +P (ABC )
21211210
； =() 2⋅+() 2⋅+() 2⋅=
33333327
P (X =2) =P (ABC ) =P (A ) P (B ) P (C ) =P (X =3) =P (ABC ) =P (A ) P (B ) P (C ) =所以X 的分布列是
4； 278． 27
Ｘ Ｐ
Ｘ的期望为EX =0⨯
０ １ ２ ３
5 2710 274 278 27
5104842
． +1⨯+2⨯+3⨯=
2727272727
21. 解：(1)依题意得 η=2(X -4) +10，即η=2X +2.
(2)EX =15⨯0. 1+16⨯0. 5+17⨯0. 3+18⨯0. 1=16. 4 ∵ η=2X +2
∴ E η=2E η+2=34.8（元） 故所收租车费η的数学期望为34. 8元．
(3)由38=2 X +2，得X =18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
⎛1⎫⎛2⎫18
22. 解: (1)（i ）C ⨯ ⎪⨯ ⎪⨯=．
⎝3⎭⎝3⎭381
24
22
(ii)随机变量X 的取值为0，1，2，3.
k k
由n 次独立重复试验概率公式P n (k )=C n p (1-p )
n -k
，得
32⎛1⎫
； P (X =0)=C ⨯ 1-⎪=
⎝3⎭243
05
5
1⎫8011⎛； P (X =1)=C 5⨯⨯ 1-⎪=3⎝3⎭24380⎛1⎫⎛1⎫
； P (X =2)=C 52⨯ ⎪⨯ 1-⎪=
33243⎝⎭⎝⎭117⎛1⎫
P (X =3) =C ⨯ ⎪⨯(1-) 2=．
381⎝3⎭
3
5
32
3
4
随机变量X 的分布列是
X P
X 的数学期望是：EX =
1
2
3
328080
[1**********] 81
[1**********]
． ⨯0+⨯1+⨯2+⨯3=
[1**********]81
(2)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球．
1
m +2mp
132
由. =，得p =
303m 5