专题六：功和能. 变力做功与能量转化
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程. 在考纲中属B 级. 对功尤其是变力做功是近年考查热点，亦是考生备考的难点.
★课前一练
1. （1999年全国）一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于
A. 物体势能的增加量 B. 物体动能的增加量
C. 物体动能的增加量加上物体势能的增加量 D. 物体动能的增加量加上克服重力所做的功 2. 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图4-1所示. 绳的P 端拴在车后的挂钩上. 设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计. 开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H. 提升时，车向左加速运动，沿水平方向从A 经过B 驶向C . 设A 到B 的距离也为H ，车过B 点
图4-1 时速度为v B . 求车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉
力对物体做的功是多少？
3. 如图4-2所示，若在湖水里固定一细长圆管，管内有一活塞，
2
它的下端位于水面上，活塞的底面积S =1 cm，质量不计. 大气压强p 0=1.0×105 Pa. 现把活塞缓慢地提高H =15 m ，则拉力对活塞做的功为
2
_______ J.（g =10 m/s）
图4-2
摩擦力做功的特点
摩擦力大小和方向的不确定性，使得摩擦力做功有其自身的特殊性。
一. 静摩擦力对物体可以做正功，可以做负功，也可以不做功；滑动摩擦力对物体可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
例1. 如图1所示，物体在水平拉力下静止在粗糙水平面上，物体与桌面间有静摩擦力，该摩擦力不做功。
图1
如图2所示，光滑水平面上物体A 、B 在外力F 作用下能保持相对静止地匀加速运动，则在此过程中，A 对B 的静摩擦力对B 做正功。
图2 如图3所示，物体A 、B 以初速度v 0滑上粗糙的水平面，能保持相对静止地减速运动，则在此过程中A 对B
的静摩擦力对B 做负功。
图3
例2. 在光滑的水平地面上有质量为M 的长平板A （如图4），平板上放一质量m 的物体B ，A 、B 之间动摩擦因数为μ。今在物体B 上加一水平恒力F ，B 和A 发生相对滑动，经过时间t ，求：（1）摩擦力对A 所做的功；（2）摩擦力对B 所做的功；（3）若长木板A 固定时B 对A 的摩擦力对A 做的功。
图4
解析
（1）平板A 在滑动摩擦力的作用下，向右做匀加速直线运动，经过时间t ，A 的位移为
11F f 2μm g 2t 2
t = s A =a A t =⋅
22M 2M
因为摩擦力F f 的方向和位移s A 相同，即对A 做正功，其大小为
W f =F f s A =
μ2m 2g 2t 2
2M
。
（2）物体B 在水平恒力F 和摩擦力的合力作用下向右做匀加速直线运动，B 的位移为
11F -F f 22
t s B =a B t =⋅
22M
'
摩擦力F f 方向和位移s B 方向相反，所以F f 对B 做负功为 W f ' =F
' ' f
' '
s B =-μmgs B 。
'
（3）若长木板A 固定，则A 的位移s A =0，所以摩擦力对A 做功为0，即对A 不做功。 二. 一对相互作用的静摩擦力做功的代数和必为零，即W f +W f ' =0
对相互有静摩擦力作用的两物体A 和B 来说，A 对B 的摩擦力和B 对A 的摩擦力是一对作用力和反作用力：大小相等，方向相反。由于两物体相对静止，其对地位移必相同，所以这一对静摩擦力一个做正功，一个做负功，且大小相等，其代数和必为零， 即
W f +W f ' =0
三. 滑动摩擦力做功与路程有关，其值等于滑动摩擦力的大小和物体沿接触面滑动的路程的乘积，即W =F f s
例3. 滑雪者从山坡上A 点由静止出发自由下滑，设动摩擦因数μ为常数，他滑到B 点时恰好停止，此时水平位移为s （如图5所示）。求 A 、B 两点间的高度差h 。
B
图5
解析：设滑雪者质量为m ，取一足够小的水平位移∆s ，对应的滑行路线可视为小直线段
∆L ，该处滑雪者所受的摩擦力为F 1=μmg cos θ=μmg
所以在∆L 段摩擦力所做的功为 ∆W f =-F f ∆L =-μmg ∆s 对滑行路线求和可得摩擦力的总功 W f =∑∆W f =-μm g s
∆s
∆L
从A 到B 的过程中，重力做功W G =mgh ，而动能的变化为∆E k =0，所以由动能定理得W G +W f =0，即mgh -μmgs =0，可解得A 、B 两点间的高度差为h =μs 。 四. 一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对位移
的乘积，即W f +W f ' =-F f ⋅s 相对
例4. 如图6，一质量为M 的木板，静止在光滑水平面上，一质量为m 的木块以水平速度v 0滑上木板。由于木块和木板间有摩擦力，使得木块在木板上滑动一段距离后就跟木板一起以相同速度运动。试求此过程中摩擦力对两物体做功的代数和。
图6
解析：设木块与木板的共同速度为v ，以木块和木板整体为研究对象，则由动量守恒定律可得 v =
mv 0
①
m +M
摩擦力对木板做正功，对木块做负功。由动能定理得
1
Mv 2 ② 2
1212
W 2=-F f s 2=mv -mv 0 ③
22
W 1=F f s 1=
由①②③可知，摩擦力对两物体做功的代数和为 W 1+W 2=-F f (s 2-s 1) =-F f s 相对=-
M 12
④ ⋅mv 0
m +M 2
上式即表明：一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积。
五. 对于与外界无能量交换的孤立系统而言，滑动摩擦产生的热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积，即Q =F f ⋅s 相对
例5. 如图7（a ）所示，质量为M =3kg 的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为m =1kg 的小铁块，现给铁块一个水平向左速度v 0=4m /s ，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求整个过程中，系统机械能转化为内能的多少？
图7
解析：在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩到最短时和铁块最终停在木板右端对系统的共同速度（铁块与木板的速度相同），由动量守恒定律得 代入数据得 v 1=v 2=1m /s
从开始滑动到弹簧压缩到最短的过程中（如图7b ），摩擦力铁块做负功W 1=-F f s 1；摩擦力对木板做正功W 2=F f s 2
从弹簧压缩最短到铁块最终停在木板右端的过程中（如图7c ），摩擦力对铁块做正功
' ' ' W 1' =F f ⋅s 1；摩擦力对木板做负功W 2=-F f ⋅s 2
故整个过程中，摩擦力做功的代数和为（弹簧力做功代数和为零） W f =W 1+W 2+W 1+W 2
=-F f (s 1-s 2) -F f (s 2-s 1) =-F f (2L ) （式中2L 就是铁块在木板上滑过的路程） 根据动能定理有 W f =
'
'
'
'
1122(m +M ) v 2-mv 0=-6J 。 22
由功能关系可知，对于与外界无能量交换的孤立系统而言，系统克服摩擦力做功将这
6J 的动能转化为了系统的内能，即Q =F f (2L ) =F f ⋅s 相对=6J ，这表明滑动摩擦产生的
热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积。
六. 系统机械能的损失等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积，即
∆E =F f ⋅s 相对
例6. 设木块与木板间的摩擦系数为μ，则木块在木板上滑动过程中，在摩擦力作用下，木板做匀加速运动，木块做匀减速运动直至达到共同速度v 为止。
图8
以木块和木板整体为研究对象，由动量守恒定律可得v = 这一过程中，木板的位移为
2
v 2v 2mMv 0
s 1= ==2
2a 122μ(m +M ) g M
mv 0
m +M
木块的位移为
222
v 2-v 0v 2-v 0(M 2+2mM ) v 0
== s 2= 2a 22(-μg ) 2μ(m +M ) 2g
摩擦力对木板做正功 W 1=F f s 1=对木块做负功
mM 12
⋅mv 0
(m +M ) 22
M 2+2mM 12
⋅mv 0 W 2=-F f s 2=
(m +M ) 22
则摩擦力对两物体做功的代数和为 W 1+W 2=-F f (s 2-s 1) =-F f s 相对=- 整个过程中木板动能的增量为 ∆E k 1=
M 12
① ⋅mv 0
m +M 2
1mM 12Mv 2=⋅mv 0 22(m +M ) 2
木块动能的增量为 ∆E k 2
1212M 2+2mM 12=mv -mv 0=-⋅mv 0 22(m +M ) 22
系统动能的总增量为 ∆E k =∆E k 1+∆E k 2=-
M 12
② ⋅mv 0
m +M 2
上述①、②表明：系统机械能的减少刚好与一对摩擦力做功的代数和的绝对值对等。
变力做功与能量转化 ★案例探究
［例1］用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比. 在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
命题意图：考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的能力.B 级要求. 错解分析：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代. （2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度-时间图象
求位移的方式，根据F -x 图象求功. 解题方法与技巧：解法一：（平均力法）
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成
正比，F =-f =kx , 可用平均阻力来代替.
如图4-3，第一次击入深度为x 1, 平均阻力F 1=做功为W 1=F 1x 1=
1kx 1, 2
12
kx 1. 2
1k （x 2+x 1）, 2
图
4-3
第二次击入深度为x 1到x 2, 平均阻力F 2=位移为x 2-x 1, 做功为W 2=F 2（x 2-x 1）=
两次做功相等：W 1=W 2. 解后有：x 2=2x 1=1.41 cm,
1
k （x 22-x 12）. 2
Δx =x 2-x 1=0.41 cm. 解法二：（图象法）
因为阻力F =kx , 以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F -x 图象（图4-4）. 曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功.
由于两次做功相等，故有： S 1=S 2（面积），即：
121 kx 1=k （x 2+x 1）（x 2-x 1）, 22
所以Δx =x 2-x 1=0.41 cm
［例2］如图4-5所示，置于水平面的平行金属导轨不光滑，导轨一端连接电阻R ，其他电阻不计，垂直于导轨平面有一匀强磁场，磁感应强度为B ，当一质量为m 的金属棒ab 在水平恒力F 作用下由静止向右滑动时
A. 外力F 对ab 棒做的功等于电路中产生的电能 B. 只有在棒ab 做匀速运动时，外力F 做的功才等于电路中产生的电能
C. 无论棒ab 做何运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能
D. 棒ab 匀速运动的速度越大，机械能转化为电能的效率越高
图
4-4
图4-5
命题意图：考查考生理解能力、分析综合及推理能力.B 级要求. 错解分析：对整个物理情景理解不透，对整个物理过程中能量的转化及传递途径理解不透.
解题方法与技巧：（能量守恒法） 在导体棒的运动过程中外力做的功，用来克服由于发生电磁感应而产生的感应电流的安培力的那一部分转化为电能，又因为有摩擦，还需克服摩擦力做功，转化成内能. 所以A 、B 错，C 对；又当匀速运动时，由能量转化的观点，可知
(Blv ) 2
P B 2l 2电==η=v , B 、l 、F 、R 一定，所以η ∝v , 即v 越大η越大，D 对. P 机Fv FR
故CD 正确. ★锦囊妙计
变力做功的求解方法
对于变力做功一般不能依定义式W =Fs cos θ直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解.
1. 平均力法：
如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W=F s cos θ求解.
2. 图象法：
如果参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小
图4-6 随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象. 如图4-6，那
么图线下方所围成的面积，即为变力做的功.
3. 动能定理法：
在某些问题中，由于力F 大小或方向的变化，导致无法直接由W =Fs cos θ求变力F 做功的值. 此时，我们可由其做功的结果——动能的变化来求变力F 的功：W =ΔE k .
4. 功能关系法：
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度. 由此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解. ★功和能基础训练 一、选择题
1．在地面15 m高处，某人将一质量为4 kg的物体以5 m/s的速度抛出，人对物体做的功是 （ ）
A．20 J B．50 J C．588 J D．638 J
2．对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是 （ ）
A．动量在改变，动能也在改变 B．动量改变，动能不变 C．动量不变，动能改变 D．动能、动量都不变
3．火车质量是飞机的110倍，火车的速度只有飞机速度的1/12，火车和飞机的动量分别为p 1和p 2；动能分别为E K1和E K2，那么 （ ）
A ．p 1＞p 2，E K1＜E K2 B．p 1＞p 2，E K1＞E K2 C ．p 1＜p 2，E K1＜E K2 D．p 1＜p 2，E K1＞E K2
4．关于动量与动能，下列说法中正确的是 （ ）
A．一个物体动量越大时，动能越大
B．动量相等的物体，如果质量相等，那么它们的动能也相等 C．动能相等的物体，如果质量相等那么它们的动量也相同
D ．动能越大的物体，动量也越大
5．关于力对物体做功，如下说法正确的是 （ ）
A．滑动摩擦力对物体一定做负功 B．静摩擦力对物体可能做正功
C．作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零 D．合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态
二、填空题
1．质量为5 g和10 g的两个小球，如果它们的动量相等，它们的动能之比是 ；如果它们的动能相等，它们的动量之比是 ．
2．风力发电机把通过风轮的风的一部分动能转化为电能．设风轮直径为d 、风能的利用率为η，空气密度为ρ．当风速为v 时，该风力发电机的功率为 ．
3．如图8-4所示，光滑水平面上，一小球在穿过O 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉为为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R /2的圆周匀速运动．在上图8-4 述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为 ．
三、计算题
1．如图8-5所示，A B 和C D 为半径为R =l m 的1/4圆弧形光滑轨道，B C为一段长2m 的水平轨道．质
B C
量为2 kg的物体从轨道A 端由静止释放，若物体与
图8-5
水平轨道B C 间的动摩擦因数为0.1，求：（l ）物体第1次沿C D弧形轨道可上升的最大高度．（2）物体最终停下来的位置与B 点的距离．
2．如图8-6所示，质量为m 的物体，放于水平面上，物体上竖
直固定一长度为l 、劲度系数为k 的轻质弹簧．现用手拉住弹簧上端P 缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离．在这一过程
图8-6
中，若P 端上移的距离为H ，求物体重力势能的增加量．
3．如图8-7所示，有一半径为R 的半圆形圆柱面MPQ ，质量为
2m 的A 球与质量为m 的B 球，用轻质绳连接后挂在圆柱面边缘．现将A 球从边缘M 点由静止释放，若不计一切摩擦，求A 球沿圆柱面滑到最低点P 时的速度大小． 图8-7 ★歼灭难点训练
1. 一辆汽车在平直公路上从速度v 0开始加速行驶，经时间t 后，前进了距离s , 此时恰好达到其最大速度v max , 设此过程中发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受阻力恒为F , 则在这段时间里，发动机所做的功为
A. Fs B. Pt
C.
11 mv2max +Fs -mv 02 22
D. F ·
v m ax v 0
·t 2
2. 如图4-7所示，质量为m 的物体被细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，O 为一光滑孔，当拉力为F 时，转动半径为R ；当拉力为8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为
R
，在此过程中，外力对物体做的功为 2
B.7FR /4
C.3FR /2
D.4FR
A.7FR /2
图4—7 图4—8
3. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点. 如图4-8所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ, 则拉力F 所做的功为
A. mgL cos θ B. mgL （1-cos θ） C. FL sin θ D. FL θ
4. 挂在竖直墙上的画长1.8 m,画面质量为100 g,下面画轴质量为200 g,今将它沿墙缓
2
慢卷起，g =10 m/s. 需做__________ J的功.
5. 用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧
对应的圆心角为60°，如图4-9所示，则在此过程，力F 对物体做的功为________.若将推力改为水平恒力F ，则此过程力F 对物体做的功为__________.
图4-9
6. （2001年全国高考，22题）一个圆柱形的竖直的井里存有
一定量的水，井的侧面和底部是密闭的. 在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底. 在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动. 开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图4-10所示. 现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F ，使活塞缓慢向上移动. 已知管筒半径ｒ＝ 0.100 m ，井的半径R ＝2ｒ，水的密度
335
ρ＝1.00×10 kg/m，大气压p 0＝1.00×10Pa. 求活塞上升H ＝9.00 m的过程中拉力F 所做的功. （井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长. 不计活塞质量，不计摩擦，
重力加
速度g 取10 m/s）
2
专题六：功和能. 变力做功与能量转化
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程. 在考纲中属B 级. 对功尤其是变力做功是近年考查热点，亦是考生备考的难点.
★课前一练
1. （1999年全国）一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于
A. 物体势能的增加量 B. 物体动能的增加量
C. 物体动能的增加量加上物体势能的增加量 D. 物体动能的增加量加上克服重力所做的功 2. 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图4-1所示. 绳的P 端拴在车后的挂钩上. 设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计. 开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H. 提升时，车向左加速运动，沿水平方向从A 经过B 驶向C . 设A 到B 的距离也为H ，车过B 点
图4-1 时速度为v B . 求车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉
力对物体做的功是多少？
3. 如图4-2所示，若在湖水里固定一细长圆管，管内有一活塞，
2
它的下端位于水面上，活塞的底面积S =1 cm，质量不计. 大气压强p 0=1.0×105 Pa. 现把活塞缓慢地提高H =15 m ，则拉力对活塞做的功为
2
_______ J.（g =10 m/s）
图4-2
摩擦力做功的特点
摩擦力大小和方向的不确定性，使得摩擦力做功有其自身的特殊性。
一. 静摩擦力对物体可以做正功，可以做负功，也可以不做功；滑动摩擦力对物体可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
例1. 如图1所示，物体在水平拉力下静止在粗糙水平面上，物体与桌面间有静摩擦力，该摩擦力不做功。
图1
如图2所示，光滑水平面上物体A 、B 在外力F 作用下能保持相对静止地匀加速运动，则在此过程中，A 对B 的静摩擦力对B 做正功。
图2 如图3所示，物体A 、B 以初速度v 0滑上粗糙的水平面，能保持相对静止地减速运动，则在此过程中A 对B
的静摩擦力对B 做负功。
图3
例2. 在光滑的水平地面上有质量为M 的长平板A （如图4），平板上放一质量m 的物体B ，A 、B 之间动摩擦因数为μ。今在物体B 上加一水平恒力F ，B 和A 发生相对滑动，经过时间t ，求：（1）摩擦力对A 所做的功；（2）摩擦力对B 所做的功；（3）若长木板A 固定时B 对A 的摩擦力对A 做的功。
图4
解析
（1）平板A 在滑动摩擦力的作用下，向右做匀加速直线运动，经过时间t ，A 的位移为
11F f 2μm g 2t 2
t = s A =a A t =⋅
22M 2M
因为摩擦力F f 的方向和位移s A 相同，即对A 做正功，其大小为
W f =F f s A =
μ2m 2g 2t 2
2M
。
（2）物体B 在水平恒力F 和摩擦力的合力作用下向右做匀加速直线运动，B 的位移为
11F -F f 22
t s B =a B t =⋅
22M
'
摩擦力F f 方向和位移s B 方向相反，所以F f 对B 做负功为 W f ' =F
' ' f
' '
s B =-μmgs B 。
'
（3）若长木板A 固定，则A 的位移s A =0，所以摩擦力对A 做功为0，即对A 不做功。 二. 一对相互作用的静摩擦力做功的代数和必为零，即W f +W f ' =0
对相互有静摩擦力作用的两物体A 和B 来说，A 对B 的摩擦力和B 对A 的摩擦力是一对作用力和反作用力：大小相等，方向相反。由于两物体相对静止，其对地位移必相同，所以这一对静摩擦力一个做正功，一个做负功，且大小相等，其代数和必为零， 即
W f +W f ' =0
三. 滑动摩擦力做功与路程有关，其值等于滑动摩擦力的大小和物体沿接触面滑动的路程的乘积，即W =F f s
例3. 滑雪者从山坡上A 点由静止出发自由下滑，设动摩擦因数μ为常数，他滑到B 点时恰好停止，此时水平位移为s （如图5所示）。求 A 、B 两点间的高度差h 。
B
图5
解析：设滑雪者质量为m ，取一足够小的水平位移∆s ，对应的滑行路线可视为小直线段
∆L ，该处滑雪者所受的摩擦力为F 1=μmg cos θ=μmg
所以在∆L 段摩擦力所做的功为 ∆W f =-F f ∆L =-μmg ∆s 对滑行路线求和可得摩擦力的总功 W f =∑∆W f =-μm g s
∆s
∆L
从A 到B 的过程中，重力做功W G =mgh ，而动能的变化为∆E k =0，所以由动能定理得W G +W f =0，即mgh -μmgs =0，可解得A 、B 两点间的高度差为h =μs 。 四. 一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对位移
的乘积，即W f +W f ' =-F f ⋅s 相对
例4. 如图6，一质量为M 的木板，静止在光滑水平面上，一质量为m 的木块以水平速度v 0滑上木板。由于木块和木板间有摩擦力，使得木块在木板上滑动一段距离后就跟木板一起以相同速度运动。试求此过程中摩擦力对两物体做功的代数和。
图6
解析：设木块与木板的共同速度为v ，以木块和木板整体为研究对象，则由动量守恒定律可得 v =
mv 0
①
m +M
摩擦力对木板做正功，对木块做负功。由动能定理得
1
Mv 2 ② 2
1212
W 2=-F f s 2=mv -mv 0 ③
22
W 1=F f s 1=
由①②③可知，摩擦力对两物体做功的代数和为 W 1+W 2=-F f (s 2-s 1) =-F f s 相对=-
M 12
④ ⋅mv 0
m +M 2
上式即表明：一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积。
五. 对于与外界无能量交换的孤立系统而言，滑动摩擦产生的热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积，即Q =F f ⋅s 相对
例5. 如图7（a ）所示，质量为M =3kg 的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为m =1kg 的小铁块，现给铁块一个水平向左速度v 0=4m /s ，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求整个过程中，系统机械能转化为内能的多少？
图7
解析：在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩到最短时和铁块最终停在木板右端对系统的共同速度（铁块与木板的速度相同），由动量守恒定律得 代入数据得 v 1=v 2=1m /s
从开始滑动到弹簧压缩到最短的过程中（如图7b ），摩擦力铁块做负功W 1=-F f s 1；摩擦力对木板做正功W 2=F f s 2
从弹簧压缩最短到铁块最终停在木板右端的过程中（如图7c ），摩擦力对铁块做正功
' ' ' W 1' =F f ⋅s 1；摩擦力对木板做负功W 2=-F f ⋅s 2
故整个过程中，摩擦力做功的代数和为（弹簧力做功代数和为零） W f =W 1+W 2+W 1+W 2
=-F f (s 1-s 2) -F f (s 2-s 1) =-F f (2L ) （式中2L 就是铁块在木板上滑过的路程） 根据动能定理有 W f =
'
'
'
'
1122(m +M ) v 2-mv 0=-6J 。 22
由功能关系可知，对于与外界无能量交换的孤立系统而言，系统克服摩擦力做功将这
6J 的动能转化为了系统的内能，即Q =F f (2L ) =F f ⋅s 相对=6J ，这表明滑动摩擦产生的
热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积。
六. 系统机械能的损失等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积，即
∆E =F f ⋅s 相对
例6. 设木块与木板间的摩擦系数为μ，则木块在木板上滑动过程中，在摩擦力作用下，木板做匀加速运动，木块做匀减速运动直至达到共同速度v 为止。
图8
以木块和木板整体为研究对象，由动量守恒定律可得v = 这一过程中，木板的位移为
2
v 2v 2mMv 0
s 1= ==2
2a 122μ(m +M ) g M
mv 0
m +M
木块的位移为
222
v 2-v 0v 2-v 0(M 2+2mM ) v 0
== s 2= 2a 22(-μg ) 2μ(m +M ) 2g
摩擦力对木板做正功 W 1=F f s 1=对木块做负功
mM 12
⋅mv 0
(m +M ) 22
M 2+2mM 12
⋅mv 0 W 2=-F f s 2=
(m +M ) 22
则摩擦力对两物体做功的代数和为 W 1+W 2=-F f (s 2-s 1) =-F f s 相对=- 整个过程中木板动能的增量为 ∆E k 1=
M 12
① ⋅mv 0
m +M 2
1mM 12Mv 2=⋅mv 0 22(m +M ) 2
木块动能的增量为 ∆E k 2
1212M 2+2mM 12=mv -mv 0=-⋅mv 0 22(m +M ) 22
系统动能的总增量为 ∆E k =∆E k 1+∆E k 2=-
M 12
② ⋅mv 0
m +M 2
上述①、②表明：系统机械能的减少刚好与一对摩擦力做功的代数和的绝对值对等。
变力做功与能量转化 ★案例探究
［例1］用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比. 在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
命题意图：考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的能力.B 级要求. 错解分析：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代. （2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度-时间图象
求位移的方式，根据F -x 图象求功. 解题方法与技巧：解法一：（平均力法）
铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成
正比，F =-f =kx , 可用平均阻力来代替.
如图4-3，第一次击入深度为x 1, 平均阻力F 1=做功为W 1=F 1x 1=
1kx 1, 2
12
kx 1. 2
1k （x 2+x 1）, 2
图
4-3
第二次击入深度为x 1到x 2, 平均阻力F 2=位移为x 2-x 1, 做功为W 2=F 2（x 2-x 1）=
两次做功相等：W 1=W 2. 解后有：x 2=2x 1=1.41 cm,
1
k （x 22-x 12）. 2
Δx =x 2-x 1=0.41 cm. 解法二：（图象法）
因为阻力F =kx , 以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F -x 图象（图4-4）. 曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功.
由于两次做功相等，故有： S 1=S 2（面积），即：
121 kx 1=k （x 2+x 1）（x 2-x 1）, 22
所以Δx =x 2-x 1=0.41 cm
［例2］如图4-5所示，置于水平面的平行金属导轨不光滑，导轨一端连接电阻R ，其他电阻不计，垂直于导轨平面有一匀强磁场，磁感应强度为B ，当一质量为m 的金属棒ab 在水平恒力F 作用下由静止向右滑动时
A. 外力F 对ab 棒做的功等于电路中产生的电能 B. 只有在棒ab 做匀速运动时，外力F 做的功才等于电路中产生的电能
C. 无论棒ab 做何运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能
D. 棒ab 匀速运动的速度越大，机械能转化为电能的效率越高
图
4-4
图4-5
命题意图：考查考生理解能力、分析综合及推理能力.B 级要求. 错解分析：对整个物理情景理解不透，对整个物理过程中能量的转化及传递途径理解不透.
解题方法与技巧：（能量守恒法） 在导体棒的运动过程中外力做的功，用来克服由于发生电磁感应而产生的感应电流的安培力的那一部分转化为电能，又因为有摩擦，还需克服摩擦力做功，转化成内能. 所以A 、B 错，C 对；又当匀速运动时，由能量转化的观点，可知
(Blv ) 2
P B 2l 2电==η=v , B 、l 、F 、R 一定，所以η ∝v , 即v 越大η越大，D 对. P 机Fv FR
故CD 正确. ★锦囊妙计
变力做功的求解方法
对于变力做功一般不能依定义式W =Fs cos θ直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解.
1. 平均力法：
如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W=F s cos θ求解.
2. 图象法：
如果参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小
图4-6 随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象. 如图4-6，那
么图线下方所围成的面积，即为变力做的功.
3. 动能定理法：
在某些问题中，由于力F 大小或方向的变化，导致无法直接由W =Fs cos θ求变力F 做功的值. 此时，我们可由其做功的结果——动能的变化来求变力F 的功：W =ΔE k .
4. 功能关系法：
能是物体做功的本领，功是能量转化的量度. 由此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解. ★功和能基础训练 一、选择题
1．在地面15 m高处，某人将一质量为4 kg的物体以5 m/s的速度抛出，人对物体做的功是 （ ）
A．20 J B．50 J C．588 J D．638 J
2．对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是 （ ）
A．动量在改变，动能也在改变 B．动量改变，动能不变 C．动量不变，动能改变 D．动能、动量都不变
3．火车质量是飞机的110倍，火车的速度只有飞机速度的1/12，火车和飞机的动量分别为p 1和p 2；动能分别为E K1和E K2，那么 （ ）
A ．p 1＞p 2，E K1＜E K2 B．p 1＞p 2，E K1＞E K2 C ．p 1＜p 2，E K1＜E K2 D．p 1＜p 2，E K1＞E K2
4．关于动量与动能，下列说法中正确的是 （ ）
A．一个物体动量越大时，动能越大
B．动量相等的物体，如果质量相等，那么它们的动能也相等 C．动能相等的物体，如果质量相等那么它们的动量也相同
D ．动能越大的物体，动量也越大
5．关于力对物体做功，如下说法正确的是 （ ）
A．滑动摩擦力对物体一定做负功 B．静摩擦力对物体可能做正功
C．作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零 D．合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态
二、填空题
1．质量为5 g和10 g的两个小球，如果它们的动量相等，它们的动能之比是 ；如果它们的动能相等，它们的动量之比是 ．
2．风力发电机把通过风轮的风的一部分动能转化为电能．设风轮直径为d 、风能的利用率为η，空气密度为ρ．当风速为v 时，该风力发电机的功率为 ．
3．如图8-4所示，光滑水平面上，一小球在穿过O 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉为为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R /2的圆周匀速运动．在上图8-4 述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为 ．
三、计算题
1．如图8-5所示，A B 和C D 为半径为R =l m 的1/4圆弧形光滑轨道，B C为一段长2m 的水平轨道．质
B C
量为2 kg的物体从轨道A 端由静止释放，若物体与
图8-5
水平轨道B C 间的动摩擦因数为0.1，求：（l ）物体第1次沿C D弧形轨道可上升的最大高度．（2）物体最终停下来的位置与B 点的距离．
2．如图8-6所示，质量为m 的物体，放于水平面上，物体上竖
直固定一长度为l 、劲度系数为k 的轻质弹簧．现用手拉住弹簧上端P 缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离．在这一过程
图8-6
中，若P 端上移的距离为H ，求物体重力势能的增加量．
3．如图8-7所示，有一半径为R 的半圆形圆柱面MPQ ，质量为
2m 的A 球与质量为m 的B 球，用轻质绳连接后挂在圆柱面边缘．现将A 球从边缘M 点由静止释放，若不计一切摩擦，求A 球沿圆柱面滑到最低点P 时的速度大小． 图8-7 ★歼灭难点训练
1. 一辆汽车在平直公路上从速度v 0开始加速行驶，经时间t 后，前进了距离s , 此时恰好达到其最大速度v max , 设此过程中发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受阻力恒为F , 则在这段时间里，发动机所做的功为
A. Fs B. Pt
C.
11 mv2max +Fs -mv 02 22
D. F ·
v m ax v 0
·t 2
2. 如图4-7所示，质量为m 的物体被细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，O 为一光滑孔，当拉力为F 时，转动半径为R ；当拉力为8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为
R
，在此过程中，外力对物体做的功为 2
B.7FR /4
C.3FR /2
D.4FR
A.7FR /2
图4—7 图4—8
3. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点. 如图4-8所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ, 则拉力F 所做的功为
A. mgL cos θ B. mgL （1-cos θ） C. FL sin θ D. FL θ
4. 挂在竖直墙上的画长1.8 m,画面质量为100 g,下面画轴质量为200 g,今将它沿墙缓
2
慢卷起，g =10 m/s. 需做__________ J的功.
5. 用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧
对应的圆心角为60°，如图4-9所示，则在此过程，力F 对物体做的功为________.若将推力改为水平恒力F ，则此过程力F 对物体做的功为__________.
图4-9
6. （2001年全国高考，22题）一个圆柱形的竖直的井里存有
一定量的水，井的侧面和底部是密闭的. 在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底. 在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动. 开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图4-10所示. 现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F ，使活塞缓慢向上移动. 已知管筒半径ｒ＝ 0.100 m ，井的半径R ＝2ｒ，水的密度
335
ρ＝1.00×10 kg/m，大气压p 0＝1.00×10Pa. 求活塞上升H ＝9.00 m的过程中拉力F 所做的功. （井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长. 不计活塞质量，不计摩擦，
重力加
速度g 取10 m/s）
2