分离参数法求变量x 范围
1已知任意a ∈[-1, 1], 函数f (x ) =x 2+(a -4)x +4-2a 的值总是大于0，求x 的范围
2设不等式对于满足的一切m 的值都成立, 求x 的取值范围.
3. 已知函数f (x )=x 3+3ax -1, g (x )=f '(x )-ax -5，其中f ' (x )是f (x )的导函数.
（1）对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
4. 对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>2a+x恒成立的x 的取值范围。
5. 已知函数f (x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数，且f (1)=1，若a , b ∈[-1, ]1，a +b ≠0，有f (a ) +f (b ) >0，（1）证明f (x ) 在[-1,1]上的单调性；（2）若f (x ) ≤m 2-2a m +1对所有a ∈[-1,1]恒成立，a +b
求m 的取值范围
6、已知函数（Ⅰ）若函数（Ⅱ）设函数
的图象在，. 处的切线与直线平行，求实数的值； 成立，求实数的取值范围； ，对满足的一切的值，都有
5 已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1
（I ）讨论函数f (x ) 的单调性；
（II ）设a
19.(本小题9分)
x 2
(a >0, 且a ≠1) 。 已知f (x -5) =log a 10-x 22
（1） 求f(x)的解析是，并写出定义域；
（2） 判断f(x)的奇偶性并证明；
（3） 当a>1时，求使f(x)≥0成立的x 的集合。
110．（１0分）已知≤a ≤1，若函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1，3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，3
令g (a )=M (a )-N (a )．
（1）求g (a )的函数表达式；
1 （2）判断函数g (a )在区间[，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值 . 3
20．(10分) 已知函数f (x ) ＝2|x ＋1|＋ax (x ∈R ) ．
(1) 证明：当 a ＞2时，f (x ) 在 R 上是增函数．
(2) 若函数f (x ) 存在两个零点，求a 的取值范围．
5．已知二次函数f (x ) =ax +2ax +1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为
6．一元二次方程x
22+(a 2-1) x +a -2=0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是
7．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ）满足f (-1) =0, f (1) =1, 且对任意实数x 都有f (x ) -x ≥0, 求f (x ) 的解析式.
⎧log 2x (x >0) 18. 已知函数f (x ) =⎨x (x ≤0) ⎩3
(1)作出f (x ) 的大致图像；
(2) 关于x 的方程f (x ) +x -a =0有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围
8．a >0，当x ∈[-1, 1]时，函数
时相应的x 的值.
9．已知
f (x ) =-x 2-ax +b 的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值f (x ) =-4x 2+4ax -4a -a 2在区间[0，1]上的最大值是－5，求a 的值
（12）.(2015全国2理科) ．设函数f’(x)是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，f （-1）=0，当x >0时，xf (x ) -f (x ) 0成立的x 的取值范围是
（A ） （B ）（C ） （D ） '
17、（本小题满分13分）已知函数f (x ) =x ⋅(x -4)
（1）
（2）
10．函数y =画出函数的图象； 利用图象回答：当k 为何值时，方程x ⋅(x -4)=k 有一个解？有两个解？有三个解？ f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时, f (x ) =2x -x 2，
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当x ∈[a , b ]时, f (x ) 的值域为[, ]？若存在，f (x ) 的解析式；（Ⅰ）求x
b a
求出所有的a ，b 的值；若不存在，说明理由.
已知函数
（Ⅰ）若函数（Ⅱ）设函数，的图象在，对满足. 处的切线与直线平行，求实数的值； 成立，求实数的取值范围； 的一切的值，都有
（Ⅱ）
令 则依题意：对满足，即 的一切
的值，
都有 ，即解得：
13. 对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>2a+x恒成立的x 的取值范围。
13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
2⎧x >3或x 0⎧⎪x -4x +3>0即解得： ⎨⎨2⎨x >1或x ⎩x -1>0
∴x3.
4. 已知函数f (x )=x 3+3ax -1, g (x )=f '(x )-ax -5，其中f ' (x )是f (x )的导函数.
（1）对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
令ϕ(a )=(3-x )a +3x 2-5，(-1≤a ≤1)，则对-1≤a ≤1，恒有g (x )
⎧⎧3x 2-x -2
解得-2
⎛2⎫故x ∈ -,1⎪时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
解法2. 考虑不等式g (x )=3x 2-ax +3a -5
由-1≤a ≤1知, ∆=a 2-36a +60>0, 于是, 不等式的解为
.
为此, 设g (
a )=h (
a )=不等式化为g (a )
g (a )max
2由于g (
a )=在-1≤a ≤1上是增函数, 则g (a )max =g (1)=-, 32在-1≤a ≤1上是减函数, 则h (a )min =h (1)=1. 所以, -
a )=3⎛2⎫故x ∈ -,1⎪时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出f (x ) 的最大值即可。
（1） 简证：任取x 1, x 2∈[-1,1]且x 1
f (x 1) +f (x 2) >0 ∴(x 1-x 2)(f (x 1) +f (-x 2) )>0 又 f (x ) 是奇函数 x 1-x 2
∴(x 1-x 2)(f (x 1) -f (x 2) )>0 ∴f (x ) 在[-1,1]上单调递增。
（2） 解： f (x ) ≤m 2-2am +1对所有x ∈[-1,1]，a ∈[-1,1]恒成立，即
m 2-2am +1≥f max ， f max =f (1)=1 ∴m 2-2am +1≥1∴m 2-2am ≥0
1⎧a ≤-⎪⎧g (-1) =1+2a ≥0⎪22即g (a ) =-2am +m ≥0在[-1,1]上恒成立。∴⎨ ∴⎨ 1⎩g (1)=1-2a ≥0⎪a ≤⎪⎩2
11∴-≤a ≤。 22
分离参数法求变量x 范围
1已知任意a ∈[-1, 1], 函数f (x ) =x 2+(a -4)x +4-2a 的值总是大于0，求x 的范围
2设不等式对于满足的一切m 的值都成立, 求x 的取值范围.
3. 已知函数f (x )=x 3+3ax -1, g (x )=f '(x )-ax -5，其中f ' (x )是f (x )的导函数.
（1）对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
4. 对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>2a+x恒成立的x 的取值范围。
5. 已知函数f (x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数，且f (1)=1，若a , b ∈[-1, ]1，a +b ≠0，有f (a ) +f (b ) >0，（1）证明f (x ) 在[-1,1]上的单调性；（2）若f (x ) ≤m 2-2a m +1对所有a ∈[-1,1]恒成立，a +b
求m 的取值范围
6、已知函数（Ⅰ）若函数（Ⅱ）设函数
的图象在，. 处的切线与直线平行，求实数的值； 成立，求实数的取值范围； ，对满足的一切的值，都有
5 已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1
（I ）讨论函数f (x ) 的单调性；
（II ）设a
19.(本小题9分)
x 2
(a >0, 且a ≠1) 。 已知f (x -5) =log a 10-x 22
（1） 求f(x)的解析是，并写出定义域；
（2） 判断f(x)的奇偶性并证明；
（3） 当a>1时，求使f(x)≥0成立的x 的集合。
110．（１0分）已知≤a ≤1，若函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1，3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，3
令g (a )=M (a )-N (a )．
（1）求g (a )的函数表达式；
1 （2）判断函数g (a )在区间[，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值 . 3
20．(10分) 已知函数f (x ) ＝2|x ＋1|＋ax (x ∈R ) ．
(1) 证明：当 a ＞2时，f (x ) 在 R 上是增函数．
(2) 若函数f (x ) 存在两个零点，求a 的取值范围．
5．已知二次函数f (x ) =ax +2ax +1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为
6．一元二次方程x
22+(a 2-1) x +a -2=0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是
7．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ）满足f (-1) =0, f (1) =1, 且对任意实数x 都有f (x ) -x ≥0, 求f (x ) 的解析式.
⎧log 2x (x >0) 18. 已知函数f (x ) =⎨x (x ≤0) ⎩3
(1)作出f (x ) 的大致图像；
(2) 关于x 的方程f (x ) +x -a =0有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围
8．a >0，当x ∈[-1, 1]时，函数
时相应的x 的值.
9．已知
f (x ) =-x 2-ax +b 的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值f (x ) =-4x 2+4ax -4a -a 2在区间[0，1]上的最大值是－5，求a 的值
（12）.(2015全国2理科) ．设函数f’(x)是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，f （-1）=0，当x >0时，xf (x ) -f (x ) 0成立的x 的取值范围是
（A ） （B ）（C ） （D ） '
17、（本小题满分13分）已知函数f (x ) =x ⋅(x -4)
（1）
（2）
10．函数y =画出函数的图象； 利用图象回答：当k 为何值时，方程x ⋅(x -4)=k 有一个解？有两个解？有三个解？ f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时, f (x ) =2x -x 2，
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当x ∈[a , b ]时, f (x ) 的值域为[, ]？若存在，f (x ) 的解析式；（Ⅰ）求x
b a
求出所有的a ，b 的值；若不存在，说明理由.
已知函数
（Ⅰ）若函数（Ⅱ）设函数，的图象在，对满足. 处的切线与直线平行，求实数的值； 成立，求实数的取值范围； 的一切的值，都有
（Ⅱ）
令 则依题意：对满足，即 的一切
的值，
都有 ，即解得：
13. 对于满足|a|≤2的所有实数a, 求使不等式x 2+ax+1>2a+x恒成立的x 的取值范围。
13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,
设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
2⎧x >3或x 0⎧⎪x -4x +3>0即解得： ⎨⎨2⎨x >1或x ⎩x -1>0
∴x3.
4. 已知函数f (x )=x 3+3ax -1, g (x )=f '(x )-ax -5，其中f ' (x )是f (x )的导函数.
（1）对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
令ϕ(a )=(3-x )a +3x 2-5，(-1≤a ≤1)，则对-1≤a ≤1，恒有g (x )
⎧⎧3x 2-x -2
解得-2
⎛2⎫故x ∈ -,1⎪时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
解法2. 考虑不等式g (x )=3x 2-ax +3a -5
由-1≤a ≤1知, ∆=a 2-36a +60>0, 于是, 不等式的解为
.
为此, 设g (
a )=h (
a )=不等式化为g (a )
g (a )max
2由于g (
a )=在-1≤a ≤1上是增函数, 则g (a )max =g (1)=-, 32在-1≤a ≤1上是减函数, 则h (a )min =h (1)=1. 所以, -
a )=3⎛2⎫故x ∈ -,1⎪时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )
14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出f (x ) 的最大值即可。
（1） 简证：任取x 1, x 2∈[-1,1]且x 1
f (x 1) +f (x 2) >0 ∴(x 1-x 2)(f (x 1) +f (-x 2) )>0 又 f (x ) 是奇函数 x 1-x 2
∴(x 1-x 2)(f (x 1) -f (x 2) )>0 ∴f (x ) 在[-1,1]上单调递增。
（2） 解： f (x ) ≤m 2-2am +1对所有x ∈[-1,1]，a ∈[-1,1]恒成立，即
m 2-2am +1≥f max ， f max =f (1)=1 ∴m 2-2am +1≥1∴m 2-2am ≥0
1⎧a ≤-⎪⎧g (-1) =1+2a ≥0⎪22即g (a ) =-2am +m ≥0在[-1,1]上恒成立。∴⎨ ∴⎨ 1⎩g (1)=1-2a ≥0⎪a ≤⎪⎩2
11∴-≤a ≤。 22