2015高考理科数学试题全国II 卷
理科试题
本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 球的表面积公式
P (A +B ) =P (A ) +P (B )
S =4πR 2
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
P (A . B ) =P (A ). P (B )
其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是
k k n -k
P (k ) =C P (1-P ) n n
4
V =πR 3
3
其中Ｒ表示球的半径
一．选择题
（1）已知集合M ={x |x 1}，则M
N =
（A ）∅ （B ）{x |0
（2）函数y =sin 2x cos 2x 的最小正周期是
（A ）2π （B ）4π （C ）
ππ
（D ） 42
（3）
3
= 2
(1-i )
33
i （B ）-i （C ）i （D ）-i 22
（A ）
（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积
的比为
（A ）
3399
（B ） （C ） （D ）
8161632
x 2
+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭（5）已知∆ABC 的顶点B 、C 在椭圆3
圆的另外一个焦点在BC 边上，则∆ABC 的周长是
（A
） （B ）6 （C
） （D ）12
（6）函数y =ln x +1(x >0) 的反函数为
（A ）y =e x +1(x ∈R ) （B ）y =e x -1(x ∈R ) （C ）y =e
x +1
(x >1) （D ）y =e x -1(x >1)
β所成的角分别为（7）如图，平面α⊥平面β，A ∈α, B ∈β, AB 与两平面α、
过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ' 、B ', 则AB :A ' B ' =
ππ
和。46
（A ）2:1 （B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3
A （8）函数y =f (x ) 的图像与函数g (x ) =log 2x (x >0) 的图像关于原点对称，则f (x ) 的表达式为
（A ）f (x ) =
11
(x >0) （B ）f (x ) =(x
（C ）f (x ) =-log 2x (x >0) （D ）f (x ) =-log 2(-x )(x
4x 2y 2
（9）已知双曲线2-2=1的一条渐近线方程为y =x ，则双曲线的离心率为
3a b
（A ）
5453
（B ） （C ） （D ） 3342
（10）若f (sinx ) =3-cos2x , 则f (cosx ) =
（A ）3-cos 2x （B ）3-sin 2x （C ）3+cos 2x （D ）3+sin 2x
（11）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
S 31S =, 则6= S 63S 12
（A ）
1113
（B ） （C ） （D ）
38910
（12）函数f (x ) =
∑x -n 的最小值为
n =1
19
（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45
理科数学
第ＩＩ卷（非选择题，共90分）
注意事项： 本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在(x +) 的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）
（14）已知∆ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB =1, BC =4, 则边BC 上的中线AD 的长为＿＿＿＿＿＿＿。
（15）
过点的直线l 将圆(x -2) +y =4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =____.
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000
频率/组距
0.00050.00040.00030.00020.0001
月收入（元）
[***********]004000
4
1
x
10
22
人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分）已知向量a =(sinθ,1), b =(1,cosθ), -若a ⊥b , 求θ; （II ）求a +b 的最大值。
（18）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（II ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
π
2
π
2
. （I ）
E 分（19）（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC , D 、
别为BB 1、AC 1的中点。（I ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；（II
）设AA 1-AD -C 1的大小。 1=AC =, 求二面角A （20）（本小题１２分）设函数f (x ) =(x +1)ln(x +1). 若对所有的x ≥0, 都有f (x ) ≥ax 成立，求实数a 的取值范围。
（21）（本小题满分为１４分）已知抛物线x =4y 的焦点为F ，A 、B
是热线上的两动点，且AF =λFB (λ>0). 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。（I ）证明FM . AB 为定值；（II ）设∆ABM 的面积为S ，写出S =f (λ) 的表达式，并求S 的最小值。
（22）（本小题满分１２分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程 x 2-a n x -a n =0
2
C 1
1
B 1
D
E
B
A
C
有一根为S n -1, n =1,2,3,...
（I ）求a 1, a 2; （II ）求{a n }的通项公式
2015高考理科数学参考答案全国II 卷
一、选择题：
1．D 2．D 3． A 4．A 5． C 6．B 7． A 8．D 9． A 10．C 11．A 12．C 二、填空题： 13．45 14．
15
．
2
三、
17. -
π
4
1
18． E ξ=1.2
1750
19．∠A 1FE=60° 20．（－∞，1]
21．0, λ=1 时 S 的最小值是4 22．a 11=2，a 112=6，a n ＝n （n ＋1)
． 25
16
2015高考理科数学试题全国II 卷
理科试题
本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 球的表面积公式
P (A +B ) =P (A ) +P (B )
S =4πR 2
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
P (A . B ) =P (A ). P (B )
其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是
k k n -k
P (k ) =C P (1-P ) n n
4
V =πR 3
3
其中Ｒ表示球的半径
一．选择题
（1）已知集合M ={x |x 1}，则M
N =
（A ）∅ （B ）{x |0
（2）函数y =sin 2x cos 2x 的最小正周期是
（A ）2π （B ）4π （C ）
ππ
（D ） 42
（3）
3
= 2
(1-i )
33
i （B ）-i （C ）i （D ）-i 22
（A ）
（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积
的比为
（A ）
3399
（B ） （C ） （D ）
8161632
x 2
+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭（5）已知∆ABC 的顶点B 、C 在椭圆3
圆的另外一个焦点在BC 边上，则∆ABC 的周长是
（A
） （B ）6 （C
） （D ）12
（6）函数y =ln x +1(x >0) 的反函数为
（A ）y =e x +1(x ∈R ) （B ）y =e x -1(x ∈R ) （C ）y =e
x +1
(x >1) （D ）y =e x -1(x >1)
β所成的角分别为（7）如图，平面α⊥平面β，A ∈α, B ∈β, AB 与两平面α、
过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ' 、B ', 则AB :A ' B ' =
ππ
和。46
（A ）2:1 （B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3
A （8）函数y =f (x ) 的图像与函数g (x ) =log 2x (x >0) 的图像关于原点对称，则f (x ) 的表达式为
（A ）f (x ) =
11
(x >0) （B ）f (x ) =(x
（C ）f (x ) =-log 2x (x >0) （D ）f (x ) =-log 2(-x )(x
4x 2y 2
（9）已知双曲线2-2=1的一条渐近线方程为y =x ，则双曲线的离心率为
3a b
（A ）
5453
（B ） （C ） （D ） 3342
（10）若f (sinx ) =3-cos2x , 则f (cosx ) =
（A ）3-cos 2x （B ）3-sin 2x （C ）3+cos 2x （D ）3+sin 2x
（11）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
S 31S =, 则6= S 63S 12
（A ）
1113
（B ） （C ） （D ）
38910
（12）函数f (x ) =
∑x -n 的最小值为
n =1
19
（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45
理科数学
第ＩＩ卷（非选择题，共90分）
注意事项： 本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在(x +) 的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）
（14）已知∆ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB =1, BC =4, 则边BC 上的中线AD 的长为＿＿＿＿＿＿＿。
（15）
过点的直线l 将圆(x -2) +y =4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =____.
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000
频率/组距
0.00050.00040.00030.00020.0001
月收入（元）
[***********]004000
4
1
x
10
22
人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分）已知向量a =(sinθ,1), b =(1,cosθ), -若a ⊥b , 求θ; （II ）求a +b 的最大值。
（18）（本小题满分１２分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。（I ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（II ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
π
2
π
2
. （I ）
E 分（19）（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC , D 、
别为BB 1、AC 1的中点。（I ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；（II
）设AA 1-AD -C 1的大小。 1=AC =, 求二面角A （20）（本小题１２分）设函数f (x ) =(x +1)ln(x +1). 若对所有的x ≥0, 都有f (x ) ≥ax 成立，求实数a 的取值范围。
（21）（本小题满分为１４分）已知抛物线x =4y 的焦点为F ，A 、B
是热线上的两动点，且AF =λFB (λ>0). 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。（I ）证明FM . AB 为定值；（II ）设∆ABM 的面积为S ，写出S =f (λ) 的表达式，并求S 的最小值。
（22）（本小题满分１２分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程 x 2-a n x -a n =0
2
C 1
1
B 1
D
E
B
A
C
有一根为S n -1, n =1,2,3,...
（I ）求a 1, a 2; （II ）求{a n }的通项公式
2015高考理科数学参考答案全国II 卷
一、选择题：
1．D 2．D 3． A 4．A 5． C 6．B 7． A 8．D 9． A 10．C 11．A 12．C 二、填空题： 13．45 14．
15
．
2
三、
17. -
π
4
1
18． E ξ=1.2
1750
19．∠A 1FE=60° 20．（－∞，1]
21．0, λ=1 时 S 的最小值是4 22．a 11=2，a 112=6，a n ＝n （n ＋1)
． 25
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