微积分第三版赵树源主编

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授课类型_理论课___ 授课时间 2节

授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数

§1.1集合； §1.2实数集；§1.3函数关系；§1.4函数表示法；§1.5建立函数关系的例题

本授课单元教学目标或要求：

理解集合概念，掌握集合的运算性质，了解实数集的特征。

理解函数的概念，掌握函数的表示法和函数定义域、值域的求法。学会根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 集合的概念及其运算性质；实数集的特征；函数的概念及性质；根据实际问

题建立函数关系的方法。

重点：集合的运算性质和函数的特征。

难点：邻域的理解和掌握如何根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学手段与方法：

通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和掌握集合的运算性质。通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。通过讲解第25页例1，让学生掌握根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

思考题：库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。第26页例2可做为一道思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 讨论题：将函数y73x2用分段形式表示，并绘制函数图形。

利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区别。

作业：课本第40页 8，9，14，15，23（2）、（7）、（8），28，30。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课类型_理论课___ 授课时间 2节

授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数

§1.6函数的几种简单性质； §1.7反函数，复合函数；§1.8初等函数；§1.9函数图形的简单组合与变换。

本授课单元教学目标或要求： （1）了解函数的几种简单性质； （2）熟悉反函数和复合函数的概念；

（3）熟悉六类基本初等函数的性质及其图形；

（4）了解初等函数的构成。能列出简单实际问题中的函数关系。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 讨论函数的四个性质：单调性、有界性、奇偶性和周期性。

反函数与复合函数的构成。

六类基本初等函数与初等函数的定义。

重点：函数的四个性质，初等函数的构成。

难点：函数有界性的理解，复合函数的结构，初等函数的构成。

本授课单元教学手段与方法：

1.通过定义和例题（课本第31，32页）引导学生了解函数的四个性质。 2.通过复习中学所学的六类基本初等函数内容和讲解复合函数的概念，从而引导出初等函数的定义。

3.通过对初等函数是如何合成的了解，为今后的复合函数求导打下基础。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第45页的思考题：练习B(1---18). 。 2.分段函数的定义域是如何确定的。

sinx,2x0

0x3 例：f(x)x,

5,3x

作业：课本第44页48（4）、（7）；51（2）（4）；第45页55（3）、（4）、（6）。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.1数列的极限； §2.2函数的极限

本授课单元教学目标或要求：

理解数列概念，掌握数列极限和函数极限的定义；

熟练掌握数列和函数极限的“M”定义和“”定义的描述方法，并习惯用无限接近但不一定达到的思维方法； 熟练掌握数列和函数极限的有关定理。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 数列的概念，数列和函数的“M”定义和“”定义，数列和函数极

限的有关定理，用数列和函数的“M”定义和“”定义求解和证明简单的数列和函数的极限问题，数列和函数极限的几何意义。

通过讲解第49页例1-4让学生理解和掌握数列的概念；通过P50页（1）-（3）引入数列极限的定义；通过通过P53页的例子引入函数极限的定义，分别讲解当x时的极限定义和xx0的定义以及左右极限的定义；讲解有关的极限定理；选讲课本中的有

关例题及习题。

重点：数列和函数的“M”定义和“”定义。

难点：数列和函数极限中无限接近并不一定达到的思想及其表示法。

本授课单元教学手段与方法：

首先借助图形直观感受变量的极限概念，让学生对变量在某一变化过程中的极限有感性认识，再引入极限分析上的定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：证明：

n

lin

(1

x1

)=1，lin不存在，为思考题供学生课后思考。然后，由n21xx0

教师指导解决。

讨论题：用函数的“”定义证明

lin

(x21)0

n1

利用此题熟练函数的“”定义。

作业：课本第88-89页 1（3）（4），2（1），3，4（2）。

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.3变量的极限； §2.4无穷大量与无穷小量。

本授课单元教学目标或要求：

（1）理解和掌握变量极限的定义；

（2）理解和掌握有界变量的定义及性质定理； （3）理解和掌握无穷大量与无穷小量的定义和性质； （4）理解和掌握无穷大量与无穷小量的关系； （5）理解和掌握无穷小量阶的比较。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 把前两节中讲授的各种极限统一成变量的极限； 变量极限的性质及定理； 有界变量的定义及性质定理；

无穷大量和无穷小量的定义、关系、性质及定理； 无穷小量阶的比较。

重点：变量极限的性质及定理，无穷小量的性质及阶的比较。 难点：把各种极限定义统一成变量的极限。

本授课单元教学手段与方法：

通过把前两节中的极限过程统一为“某个变化过程中”从而把极限的定义统一为变量的极限定义，反过来一一讨论和理解“某个变化过程中”在各种极限定义中的含义；

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第96-97页的思考题：练习B(5--12). 。

2.函数y

1

在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？

(x1)2

作业：课本第89-90页8、9题。

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.5极限的运算法则。

本授课单元教学目标或要求：

（1）理解和掌握极限的四则运算法则；

（2）熟练运用极限的四则运算法则求各种极限值；

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 极限的四则运算法则，加减法法则的证明，无穷小的运算性质， 应用极限的四则运算法则计算函数的极限；

重点：极限的运算法则的应用。

难点：极限的加法和减法运算法则的证明。

本授课单元教学手段与方法：

通过讲解课本中的例题及选讲习题说明极限运算法则的应用。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第91页的思考题：练习A (13--14). 。

作业：课本第90页10(1)(4)(8)(9)(14)(19)(21)(22)。 讨论题：

lin

x1

x2axb

5,求a,b的值.

1-x

通过此题加深学生对极限的理解.

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.6 两个重要的极限

本授课单元教学目标或要求：

掌握极限存在的两个准则;

熟练掌握两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程； 熟练运用两个重要极限来解决实际问题即求极限值。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 极限存在的两个准则; 两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程; 运

用两个重要极限来解决一些函数的极限问题

重点：两个重要极限及其应用。 难点：第一个重要极限的证明。

本授课单元教学手段与方法：

讲解极限存在的两个准则,并举P72页的例1,例2加以说明；给出两个重要的极限内容并给出第一个重要极限的证明;讲解课本中的例题并选讲习题.

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：求 讨论题：

lin

(

x

x1x

)，为思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 x1

lin

x0

2arcsinx

3x

利用此题熟练第一个重要极限的应用,同时应用等价无穷小来求极限。

作业：课本第92页20(1)(2)(3),21（1）（7）。

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授课类型_理论课___ 授课时间 4节

授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.7函数的连续性。

本授课单元教学目标或要求： （1）了解改变量的定义；

（2）理解和掌握函数在一点连续的定义； （3）掌握连续函数的定义；

（4）理解和掌握间断点的定义和种类； （5）掌握连续函数的运算法则;

(6)掌握闭区间上连续函数的性质定理以及其应用; (7)熟练掌握用连续函数的性质求函数的极限.

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 改变量的定义; 函数在一点连续的定义及连续函数的定义； 间断点的定义和种类；连续函数的运算法;

闭区间上连续函数的性质定理及应用. 用连续函数的性质求函数的极限

重点：函数在一点连续的定义,连续函数的运算法则,闭区间上连续函数的性质及应用。 难点：函数在一点连续的定义。

本授课单元教学手段与方法：

1.通过把函数图给出改变量的定义,并说明改变量可正可负;

2.通过连续函数的图形引入函数在某点连续的定义从而给出连续函数的定义； 3.通过间断函数的图形给出间断点的定义和类型;

4.讲解连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的性质;

5.讲解用连续函数的性质求函数极限的有关例题及其他类型的例题.

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第97-98页的思考题：练习B(13-18). 。 2.给f(0)补充定义一个什么数值,能使f(x)在x0处连续?

(1) f(x)

1xx

; (2) f(x)sinxcon

xx

作业：课本第92-94页22(2)、23(3)(4)、30(1)(2)、31、33。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

小结、习题课：口头简单小结本章所讲的基本内容和方法，并通过一些典型的例题来说明, 例1：用极限的定义证明：lin

1

0

nn2

x2-4

4 例2：用函数的定义证明：lin

x2x2

例3：求f(x)在。

例4：计算下列极限： （1）lin(1

xx

，(x),当x0时的左右极限，并说明当x0时的极限是否存xx

1111arctanx2

n)；（2）linxsin；（3）lin；

nx0x24xx21-cos2x1

0； （5）lin(1)kx(k为正整数) （4）lin

x0xsinxxx

5

例5：证明方程x-3x1至少有一个根介于1和2之间。

x

例6：函数f(x)x

x

x11x3

，在其定义域内是否连续？

x21

axb)0,求a、b的值。 例7：若lin(

xx1

先给出例题的题目，让学生思考25分钟左右，然后老师讲解例题。

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.1引出导数概念的例题； §3.2导数概念（一） 本授课单元教学目标或要求：

理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数，会求曲线的切线 理解导数的物理意义及几何意义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率；导数的定义，一些简单函数的

求导。

重点是导数的定义，难点是理解导数的实际意义是描述变量变化快慢的程度。

通过讲解引例及 例题例1到例6（课本103页、104页）引入概念，让学生理解导数

的定义及利用定义计算函数的导数。

本授课单元教学手段与方法：

从导数在物理和几何上的应用给出导数的定义，引导学生对导数有直观和深刻的认识,利用引例激发学生对学习导数的兴趣。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1．求函数f(x)sin x 的导数 解 f (x)lim

h0

sin(xh)sinxf(xh)f(x)

h0hh

1hh

lim2cos(x)sin

h0h22sinh

h

limcos(x)cosx

h02

2

即 (sin x)cos x 

用类似的方法 可求得 (cos x )sin x  作业：课本第135页 1（2）；3。

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.2导数概念（续）§3.3导数的基本公式与运算法则（一）； 本授课单元教学目标或要求：

熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则，理解导数与连续的关系。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 左、右导数的概念；导数与连续的关系；求导的基本公式和运算法则。 重点是求导的基本公式和运算法则，

难点是左右导数的求法以分段函数在分界点处可导性的讨论，商与乘积的求导法则。 通过 例题（见课本105页、106页，111页、115页）演示求导法则的应用、熟练求导计算。

本授课单元教学手段与方法：

引导学生根据上节课学的导数的定义，通过演示推导得出基本初等函数的导数公式和运算法则，并通过严格的推理来解决求导问题。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1 求函数ytanx的导数。 解： y(tanx)(

sinx(sinx)cosxsinx(cosx)2

)secx 2

cosx(cosx)

2

同理可得：(cotx)cscx 例2求函数ysecx的导数。 解： y(secx)(

1(cosx)sinx

)secxtanx cosxcos2xcos2x

同理可得：（(cscx)cscxcotx）

作业：课本135页4；136页12（4）13（9）

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.3导数的基本公式与运算法则（二）； 本授课单元教学目标或要求：

掌握复合函数、隐函数的求导，理解对数函数的求导。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容为复合函数、隐函数、对数函数的求导。

重点是复合函数求导，难点是隐函数、对数求导的方法。

通过例题 （课本117页、120页、122页）演示复合函数求解过程，特别是将函数正确分解为多个函数的复合的方法，来熟练复合函数的求导。 本授课单元教学手段与方法：

通过例题由易到难、由浅入深让学生掌握复合函数的求导过程。强调隐函数的求导思路以及对数求导法适用的对象。通过思考题来总结和提高本次课讲授的求导方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1 求曲线x22xyy22x在x2处的切线方程 解： 对方程x2xyy2x两边关于x求导得：

2

2

2x2y2xy2yy2 解得：y

2(1xy)

2x2y

当x2时，由所给曲线方程解得：

x2x2

或

y0y4

2(1xy)

2x2y

1

2

对于点（2，0）所求切线斜率k1yx2

y0

x2y0

故所求切线方程为y

1

x1 ， 2

y4

对于点（2，4），所求切线斜率k2yx2

2(1xy)

2x2y



x2y4

5 2

故所求切线方程为y

5

x1 2

作业：课本137页18（11）（12）（18）138页21（1）

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.4高阶导数 §3.5微分 本授课单元教学目标或要求：

知道高阶导数概念，会求函数的高阶导数;

理解解微分概念，会求函数的微分,理解微分的应用。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容为高阶导数的定义、高阶导数的计算、微分的概念及几何意义、微分的运算法则、微分的应用。

重点是二阶导数和微分的求法，难点为微分的几何意义与微分的应用。 例题用课本127页、131页、134页中例。 本授课单元教学手段与方法：

引导学生反复利用一阶导数来求二阶导数，从微分的实际应用给出微分的定义，让学生认识到微分可以用作近似计算，从解决问题出发给出微分的定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1 已知yarctan2x ，求y(1) 解： y(arctan2x) y(

2

14x2

216x

 )

14x2(14x2)2

y(1)

3

16x

(14x2)2

2



x1

2

16 25

例2 设隐函数yxy2xy，求dy

解： yxy2xy两端对x求微分得：dyd(xy)d(2x)dy 即：3ydyydxxdy4xdx2ydy 从而dy作业:课本140页34（1）42（5）（7）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》

2

3

2

2

3

2

2

y4x

dx 2

3y2yx

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第四章 中值定理，导数的应用 §4.1 中值定理

本授课单元教学目标或要求：

理解罗尔定理和拉格朗日定理的条件和结论，

会应用拉格朗日定理解决一些数学问题

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：罗尔定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理的证明，定理的几何意义。 . 拉格朗日中值定理的应用 重点：拉格朗日中值定理

难点：拉格朗日中值定理及其应用

本授课单元教学手段与方法：

采用发现法引导学生从几何图形上发现罗尔定理与拉格朗日中值定理的结论，通过例子和随堂练习强化所学内容的理解

本授课单元思考题、讨论题、作业：

1、当fx=x2x3x4x5时，问fx=0有几个实根（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、下列函数中，在区间1,1上满足洛尔定理条件的是（ ）

A、fxe， B、fx1x， C、fxlnx， D、fxx

x

2

作业：P193：1，2，4，6

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授课题目（教学章节或主题）：

第四章 中值定理，导数的应用

§4.1 中值定理；§4.2未定式的定值法------罗必达法则 本授课单元教学目标或要求：

了解柯西中值定理，会用洛必达法则求不定式的极限；

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：柯西中值定理及证明， 洛必达法则及证明 ，洛必达法则的推论

柯西中值：如果函数f( x )及F (x) 在闭区间[a b]上连续，在开区间 (a b ) 内可导，且F (x) (a b) 内的每一点处均不为零。那么在(a b)内至少有一点，使等式

f(b)f(a)f()



F(b)F(a)F()

成立。

罗必达法则

一、罗必达法则（1）

0型 0

设(1) 当xx0时f(x)和F(x)的极限为0;

(2) 在点x0的某些邻域内,f(x)及F(x)都存在,且F(x)0; (3) lim

xx0

f(x)f(x)f(x)

lim存在,(或为), 则lim

xxxx00F(x)F(x)F(x)

（证明见书P151） 推论 若xx0时，

f(x)0

仍为型,且f(x)，F(x)仍满足罗必塔法则条件，则:

0F(x)

xx0

lim

f(x)f(x)f(x)

limlim xxxx00F(x)F(x)F(x)

讲解书例1到例14中部分例 增加例1 求lim解: 所求极限为 li1cosx

x0sinx

型,运用罗必达法则,得: 0

1cosx(1cosx)sinx

lili0

x0x0x0sinx(sinx)cosx

注1 运用罗必达法则求极限时,能简化的,要进行简化,并要注意每次应用前要切实检查仍为待定型极限.

2xexex1

例2 求lim xx06(e1)2xexex1解: lim xx06(e1)2xexex11 =lim lim

x06(ex1)x0ex

2ex2xexex

1 =lim

x06ex

=lim

2x11



x066

重点及难点：洛必达法则的应用

本授课单元教学手段与方法：

采用求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生熟练掌握未定式极限的求法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

11

) 2

、1、lim(x

x0xx1e1 3、lim

1cos2x

x03x2

作业：P194：8（1）（3）（4）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第四章 中值定理，导数的应用

§4.2未定式的定值法------罗必达法则（续） 本授课单元教学目标或要求：

会用洛必达法则求不定式的极限；

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

. 基本内容：罗必达法则 (II) 设

(1) 当x时f(x)和F(x)的极限为0;

(2) 当xM,M0时, f(x)和F(x)都存在,且F(x)0;

f(x)f(x)f(x)

lim (3) lim存在,(或为), 则lim

xF(x)xF(x)xF(x)

二、

型 

1.罗必达法则(III)设

(1) 当xx0时,f(x),F(x);

(2) 在点x0的某一去心邻域内,f(x)及F(x)都存在,且F(x)0 (3) lim

xx0

f(x)f(x)f(x)

lim存在,(或为), 则lim

xxxx00F(x)F(x)F(x)

2. 罗必达法则(IV)设

(1) 当x时,f(x),F(x);

(2) 当xM,M0时, f(x)和F(x)都存在,且F(x)0; (3) lim

f(x)f(x)f(x)

lim存在,(或为), 则lim

xF(x)xF(x)xF(x)

lnsinlx

(l0,p0)

lnsinpx



型,运用罗必达法则(III),得: 

例1 求lim

x0

解: 所求极限为

lcoslx

lnsinlxlimlcoslxsinpx lim lim

x0lnsinpxx0pcospxx0pcospxsinlx

sinpx



lcoslxsinpx

limlim

x0x0pcospxsinlxlsinpx

1lim

x0sinlxp

lpcospxlplim1 px0lcoslxpl





三、其它待定型0,,00,1,0 它们总可以通过适当的变换为重点：罗必达法则的应用

难点：其它待定型0,,0,1,化为



0

型或型,然后再运用罗必达法则. 0

0

型或型的极限计算 0

xlnx 例2 求lim

x0

2

解: 所求极限为0型,故可化为:

lnxx112

xlnxlililimx0 lim

x0x0x2x02x3x02

2

xlnx0,0 一般的,有lim

x0



本授课单元教学手段与方法：

采用求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生熟练掌握除

0

型或型外的未定式极限求法。 0

本授课单元思考题、讨论题、作业：

1

11tx2lnxsinx

1、lim(sincos) 2、lim(cosx) 3、lim

tx0xttxlnx

作业：P194：8（6）（7）（8）（11）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版

经济应用基础（一）微积分 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.3函数的增减性

本授课单元教学目标或要求：

1. 掌握用导数判定函数单调性的方法，会求函数的单调区间。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

定理4.3 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，

（1） 如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调增加（）; （2） 如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调减少（）.

如将定理中的闭区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理3.1的结论仍成立，使定理4.3结论成立的区间，就是函数的单调区间。

讲解书例1，例2 增加下例

x3

例3 确定函数y的单调区间。 3

3x

解： 函数的定义域为(,3)(,)(3,) x3为函数的间断点。

3x2(3x2)x3(2x)9x2x4x2(3x)(3x)

y 

(3x2)2(3x2)2(3x2)2

令y0得：x10,x23,x33

用x,3,0分定义成如下区间，列表讨论如下：

所以函数的单调减少区间为(,3],[3,)，

单调增加区间为：[3,),(,),(,3]

.

本授课单元教学手段与方法：

采用呈现法，通过图形示例，引导学生发现函数的单调性与导数符号的关系。 本授课单元思考题、讨论题、作业：

1、下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（

）．

A．sinx B．e x C．x 2 2、确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间 2、 求证 ： ln

x

x1

x1

(x1)

作业：P195：9（1）（5）（6）；10

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版

D．3 - x

经济应用基础（一）微积分 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.4函数的极值

本授课单元教学目标或要求：

理解函数的极值概念，掌握用导数求函数的极值的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：函数极值的定义，函数取得极值的必要条件与充分条件 函数极值的定义

定义4.1 设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，对于该邻域内（除x0外）的任一x，

(1)如果都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是f(x)的极大值； (2)如果都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是f(x)的极小值.

函数的极大值与极小值称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

定理4.4 （极值的必要条件）

设函数f(x)在x0处可导，如果f(x)在x0处取得极值，则f(x0)0 使f(x0)0，则称x0为函数f(x)的一个驻点 .

定理4.5（极值存在的一阶充分条件）

设函数f(x)在x0处连续，在(x0,x0)(x0,x0)（为某个正数）上可导 （1）如果在f(x)0， f(x)由正变负，则x0是f(x)的一个极大值点；

（2）如果在f(x)0，f(x)由负变正，则x0是f(x)的一个极小值点； （3）如果

f(x)不变，则x0不是f(x)的极值点.

例1 求函数f(x)(x2)2(x1)3的极值。 解： 函数的定义域为(,)且在(,)内可导，

2

f(x)(x2)(x1)(5x4)，令f(x)0得：x12,x2

4

,x31 5

用x12,x2

4

,x31分定义域(,)成如下区间，讨论如下： 5

由表可知，函数在x2时取得极大植f(2)0， 在x

定理4.6（极值存在的二阶充分条件）

设函数f(x)在x0存在二阶导数，且f(x0)0 f(x)0，则： (1)如果f(x0)0，则x0是f(x)的一个极大值点；

(2) 如果f(x0)0，则x0是f(x)的一个极小值点； (3) 如果f(x0)0，无法确定。

例5 函数f(x)x410x25 的极值

解： 函数的定义域为(,)，f(x)4x320x4x(x25)， 令

44

时取得极小值f()8.39808 55

f(x)0，得：x15,x20,x35，f(x)12x220

当x1时，f()400，所以x15为极小值点； 当x20时，f(0)200，所以x20为极大值点； 当x35时，f()400，所以x3为极小值点。 故函数的极小值为f(5)f()20，极大值为f(0)5

本授课单元教学手段与方法：

采用呈现法，通过图形示例，引导学生了解极值与导数符号的关系。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 1、yxe

2x2

的极大值与极小值。

2

3

2、求函数f(x)(x1)1的极值

作业：P195：12（1）（4）（6）；13（4）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版

经济应用基础（一）微积分 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用

§4.5 最大值与最小值，极值的应用问题 本授课单元教学目标或要求：

掌握求最值的方法，并会求解简单的应用问题（包括经济分析中的问题）。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：.

基本内容：求函数在闭区间[a,b]上的最值，极值应用问题

1． 函数在闭区间[a,b]上的最值

函数在闭区间[a,b]上的最值是指整个区间上的所有函数值当中的最值，是个全局性的概念，根据函数在闭区间[a,b]连续的性质，它的最值要么在端点取得，要么为函数有区间内的极值点上取得，从而得出求闭区间上最值的方法：

(1) 求区间端点处的函数值f(a),f(b)； (2) 求f(x)在(a,b)内驻点处的函数值f(xi)； (3) 求f(x)在(a,b)内不可导点处的函数值f(xj)；

(4) 比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，最大者为最大值. 例7 求函数f(x)x48x21在区间[3,3]上的最大值和最小值 解： f(x)4x316x4x(x2)(x2) 令f(x)0，得驻点x12,x20,x32， 计算f(2)f(2)15,f(0)1,f(3)f(3)10

比较上述各值的大小，得函数在区间[3,3]上的最大值为f(3)f(3)10，

最小值为f(2)f(2)15 2． 实际问题中最值的求法

在实际应用问题中，如果(a,b)内部只有一个驻点x0，而从该实际本身又可以知道在

(a,b)内函数的最大值（或最小值）确实存在，那么f(x0)就是所要求的最大值（或最

小值），不需要再算f(a),f(b)进行比较了。

例9 书P166 例10 书P167

重点：求最值的方法; 难点为将实际问题转化成数学模型

本授课单元教学手段与方法：

结合图例讲解法帮助学习理解求最值过程，通过例子讲解将问题转为函数上求最值问题的要点。

制作ppt课件利用投影显示问题 本授课单元思考题、讨论题、作业：

. 1、已知某厂生产x件产品的成本为：C(x)2500200x问；（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？

2

2、求函数f(x)x3x2在区间[3,4]上的最大与最小值。

12

x（元） 40

作业：P195：14（1）（3）；15；23

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版

经济应用基础（一）微积分 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.6 边际分析与弹性分析介绍 本授课单元教学目标或要求：

了解导数在经济中的应用------边际与弹性

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：. 基本内容：

1、需求（价格）弹性

设某商品的市场需求量为q，价格为P，需求函数q=q(P)可导，则称

q'(p)

Epp

q(p)

为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。

其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或减少）|Ep|%。 2、三个边际函数 （1） 边际成本：

边际成本是总成本函数C（q）关于产量q的导数，记为MC，则有MC=C'（q）。

经济意义：当产量为p时，再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。

（2） 边际收入：

边际收入是总收入函数R（q）对销售量q的导数，记为MR。 经济意义：当销售量q时，再销售一个商品所增加的收入。 （3） 边际利润：

利润函数L=L（q）对销售量q 的导数，称为边际利润，记为ML。 由于利润函数L（q）=R(q)-c(q), 则有L´（q）=R´(q)-c´(q) 本授课单元教学手段与方法：

结合经济问题，使学生体会数学在经济科学中的应用 本授课单元思考题、讨论题、作业：

一、选择题：

1、函数y=x²-4x+5在区间（0，+∞）内[ ]

A、单调增加 B、先单调增加后单调减少 C、先单调减少后单调增加 D、单调减少 2、下列结论中正确的是（ ）。

A、函数的驻点一定是极值点 B、函数的极值点一定是驻点

C、函数的极值点处导数必为0 D、函数的导数为0的点一定是驻点 3、设需求函数q=100e

p2

,则需求弹性EP=（ ）

A、50e

p2

B、100pe



p2

C、



p1



2 D、2

二、填空题

1、f(x)在（a,b）内 有f '(X)=0,则f 2、函数f(x)= x²-1的单调下降区间是 。 3、已知需求函数q(p)103p

23

，EP= 。

作业：P199：37；38

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分 §5.1 不定积分概念

§5.2 不定积分的基本性质 §5.3 基本积分公式

本授课单元教学目标或要求：

1.理解原函数与不定积分概念，知道不定积分与导数（微分）之 间的关系 2.了解不定积分的定义与几何意义，掌握不定积分的基本性质。 熟练掌握积分基本公式，掌握不定积分的直接积分法。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：原函数，不定积分的定义和几何意义，不定积分的性质和基本积分公式。 重点：不定积分的概念，不定积分的直接积分法 难点： 不定积分的 直接积分法

本授课单元教学手段与方法：

通过 讲解第202页例2和例3让学生理解不定积分的概念，原函数与不定积分的关系。通过讲解第205页例题让学生理解不定积分的几何意义。通过讲解第207页例1~例6，让学生掌握 利用基本积分公式直接求不定积分的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P223：1（2）；2（3），（5），（7）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章不 定 积 分 §5.4 换元积分法（第一类换元法）

本授课单元教学目标或要求：

理解不定积分的第一类换元积分法的实质

掌握用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 第一类换元积分方法(凑微分法)，讲解适用凑微分法的一些典型函数的积分 重点与难点：不定积分的第一类换元积分法（凑微分法）

通过 讲解第209页例1到例6让学生理解凑微分法求不定积分的实质，注意不定积分换元，要还原回原变量的函数

本授课单元教学手段与方法：

提示换元积分方法是复合函数求导的逆运算，强调多练来掌握用凑微分法求不定积分的思路和方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业:

P224：3（3）， （8），（26），（31）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

第五版—— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分

§5. 4 换元积分法（第二类换元法） 本授课单元教学目标或要求：

熟练掌握不定积分的第二类换元积分法的实质及解题思路， 会用三角变换法求一些特定根式的不定积分

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：第二类换元法 ，讲解适用第二类换元法的一些典型函数的积分

重点： 不定积分的第二类换元积分法

注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数

难点： 不定积分的第二类换元法的适用范围及中间变量的选择。

本授课单元教学手段与方法：

通过 讲解第212页例2到例3让学生理解换元法求不定积分的实质， 并掌握用换元法求不定积分的思路和方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P225：4（3）， （5），（6），（11）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） —— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分 §5.5 分部积分法 本授课单元教学目标或要求：

掌握分部积分法求不定积分的实质（两个函数乘积求导数公式的逆用） 会求被积函数是以下类型的不定积分 ： 1.幂函数与指数函数相乘。 2.幂函数与对数函数相乘。 3.幂函数与正、余弦函数相乘。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：第二类换元法 ，讲解适用分部积分法的一些典型函数的积分

重点：不定积分的 分部积分法的应用技巧。

难点： 不定积分的分部积分法中U，V 两函数的选取

通过分析和讲解第213页例1，引导学生做逆向思维，从而得出分部积分公式。

本授课单元教学手段与方法：

从两个函数乘积的求导数公式出发，导出分部积分公式。通过示例和练习来掌握分部积分法中U，V 两函数的选取，从而掌握分部积分的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P225：4（3）， （5），（6），（11）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） —— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

授课类型 习题课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分 本授课单元教学目标或要求：

1．理解不定积分的直接积分法的本质，

2．理解不定积分的换元积分法的实质， 第一类换元法积分法和第二类换元积分法的不同思路，注意观察被积函数特点，正确使用第一，二类换元积分法 。

3．理解不定积分的分部积分法的实质，注意观察被积函数特点，正确选择U。V 。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

讲解综合各种积分方法积分的例子（例题略）

重点：不定积分的直接积分法，换元积分法（第一类换元积分法，第二类换元积分法），分

部积分法 。

难点： 换元积分法（第一类换元积分法，第二类换元积分法），分部积分法等的计算技巧

以及这些方法的综合运用。

本授课单元教学手段与方法：

讲解和结合堂上练习、讨论的方法

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P223：1（2）；2（3），（5），（7）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

—— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型___理论课__ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§6.1 引出定积分概念的例题 §6.2 定积分定义

本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容:由引例1、2给出定积分定义61；定积分的几何意义。 重点：分析理解引例，并归纳总结出定义定积分的四个步骤。 难点：对于定积分定义的理解并强调掌握下列两点：

(1)定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

bf(x)dxbf(t)dtbf(u)du



a



a



a

(2)无界函数是不可积的 即函数f(x)有界是可积的必要条件 有限区间上的连

续函数是可积的 有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的

本授课单元教学手段与方法：

通过对几何与物理方面的典型例题的分析，并利用图例讲解法，引导学生积极思考，抽象归结出定积分的定义。

制作ppt课件形象直观地展示定义定积分的四个步骤，有助学生理解并掌握定积分的定

义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：利用定积分的定义计算



1

exdx

解答：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点

为xi

i

,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/n取ixi作和式： n

n

Lim

0

i1

111e[(e)n1]

f(i)xiLimeLimeLime1 1000nni1ni1

en1

n

n

inin

1n1n

所以：



1

exdx=e-1

课后作业：P266 1 (1) （2）.

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型___理论课______ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§6 3 定积分的基本性质 本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握定积分的7条性质，能正确利用这些性质进行计算和比较积分的大小。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：定积分的7个基本性质。

重点：重点讲授性质3（ 如果积分区间[a, b]被点c分成两个小区间[a, c]与[c, b] 定积分的可加性）并要强调说明不论a b c的相对位置如何 上式总成立。强调学生注意在计算分段函数的定积分时，这个性质是非常重要的.

难点：性质6(积分估值定理)和性质7（积分中值定理）。 例 题: 比较下列积分的大小

(1)



2

xdx 2sinxdx



时 xsin x 所以

解 因为当0x

2

(2)





2

xdx2sinxdx



sinxdx 

2



2

sinxdx

解 因为当

2

2

x0时 sin x0 当0x

时 sin x0 所以

2

sinxdx0

2



sinxdx0 从而sinxdx2sinxdx

2



本授课单元教学手段与方法：

在深刻理解定积分定义的基础上利用极限的相关性质推导证明定积分的性质。利用例题的运算加深对性质的理解。

本授课单元思考题、讨论题、作业：  思考题:（利用估计积分值） 证明 21

0

3

2

dx2xx2



1 2

91证：2xx29x在0,1 上最大值为，最小值为2 442

∴ 2



12xx2

3



1

2

课后作业：P266 2 (2) (4) 3 (2)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型____理论课_____ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§64 定积分与不定积分的关系

本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握变上限的定积分的定义，理解并能正确利用原函数存在定理；能正确运用牛顿莱布尼茨公式进行计算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：变上限的定积分的定义；定理61(变上限的定积分的导数)； 定理

62(原函数存在定理) ；定理63(莱布尼茨公式)。

本节的重点：定理61(变上限的定积分的导数)和定理63(莱布尼茨公式)。

本节的难点：理解定理61(变上限的定积分的导数)的证明及定理的重要意义（一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系）；正确运用牛顿莱布尼茨公式进行计算。

例题:

x2

d例1 已知p(x)cos2tdt 求p(x) 例2 求[sintdt]

x

dxx

1

01x2

解 p(x)dcos2tdt] 解 dsintdt]d[sintdt

dxxdxxdxx



x2

sintdt]

中ux2)

xdusintdt] (其d2 sinx[costdt]

dx0dx1

uxdd2 sinxsintdt]du [costdt]

du0dxdx1

sinxsin u2x



及书中例3和例4。讲授例4时强调应注意的问题 如果函数在所讨论的区间上不满足可积条件 则牛顿莱布尼茨公式不能用

课堂练习：计算(1)解答：解：原式

(

a

)dx (2)

2

5

x3 x21

a

(ax4ax31x2)01a2

326

15x2151221[x2ln(x21)]51(25ln26) 解：原式 dx(1)dx020x2120x2122

本授课单元教学手段与方法：

本节通过重点讲授定理的推导演算，积极引导学生通过严格的逻辑推理得到积分基本公

式，并通过例题的演算加强对定理的理解以及掌握公式的运用。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

思考题:怎样计算下列极限

(1)lim0

x0



x

cos2tdtx

x0

2

解答：

lim

x0

costdtx

lim

[cos2tdt]

x

x0

(x)2

cosx1 limx01

课后作业：P266 4 (2) (4)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）－同济大学第五版

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授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§65 定积分的换元积分法

本授课单元教学目标或要求：

理解定积分的换元公式的证明，并能熟练运用定积分的换元公式进行计算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 定积分的换元公式。

重点：利用定积分的换元积分法进行计算，重点讲授例题。

难点：正确定积分的换元积分法：强调在利用公式计算时，注意：

1. 利用定积分的换元积分法时, 对被积函数进行变换的同时, 也要把原来积分变量的上下限作相应的变换, 即换元必换限.

2. 求出变换后函数的原函数, 直接将新变量的上下限分别代入, 相减即可, 免去像不定积分换元法那样还原到原来变量的麻烦

3. 公式从左到右使用时, 相当于不定积分的第二换元积分法, 从右到左使用时, 相当于不定积分的第一换元法. 书本P244例1例2例3

补充例题：例(4)



ln2

1dx (5)

x



1

x2dx

x

令1u 解 ： 原式

1

1

2u2 解4xdx令x2sinu udu00u211

 6(2u2arctanu)022arctan12(2sin2u)0

2

32



本授课单元教学手段与方法： 通过大量的例题由易到难、由浅入深让学生掌握定积分的换元积分法。强调换元积分法的运用思路及注意事项，通过补充例题来总结和加强定积分的换元积分法的运用。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 课后作业：P267 5 (2) (4) (6) .

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

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授课题目（教学章节或主题）： 第六章 定积分

§66 定积分的分部积分法

本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握定积分分部积分公式，能正确利用其性质进行计算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：定积分的分部积分法。

本节的重点：利用定积分的分部积分法进行计算.

本节的难点：在利用定积分的分部积分法进行计算时，正确选择函数u(x)、v(x)。 例题 书本P246 例2。 补充例题;

(2)



2

arccosxdx (3)2xsinxdx



解



2

arccosxdxxarccosx

20

x

2

1dx x2

解





2

xsinxdx2xdcosx





20

2



本授课单元教学手段与方法：

通过回顾不定积分分部法则的应用原则，使学生掌握五种情况下怎样正确选择函数u(x)、v(x)，从而利用定积分的分部积分法求解定积分。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

课后作业：P267 7 (2) (4) (6) (8)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

22

arccos(x)01 22122

21 xcosxcosxdxsinx0



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授课题目（教学章节或主题）： 第六章 定积分 §6.7 定积分的应用

本授课单元教学目标或要求：

能正确利用进行平面图形的面积公式(1)(2)进行计算；会求旋转体和已知平行截面面积的立体的体积。掌握定积分在经济中的应用。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：平面图形的面积公式(1)(2); 旋转体和已知平行截面面积的立体的体

积;已知平行截面面积的立体的体积;经济应用问题举例.

本节的重点：平面图形的面积公式的运用；旋转体和已知平行截面面积的立体的体积

的求解;。

本节的难点：利用平面图形的面积公式计算时怎样正确选择积分变量；旋转体体积计

算公式的创建过程。 例题：求由曲线yx28与直线2xy80、y4所围成的图形的面积

解:

3

412S[(y4)]dy[(y8)1y24y]828

82343

4

本授课单元教学手段与方法：

制作ppt课件直观形象演示公式推导过程，激发学生的学习兴趣和主导性，提高学生的解决实际问题的能力。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 课后作业：P268 15 (2) (4) （7） (8)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）

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授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§69 广义积分与函数(§68 定积分的近似计算 不要求讲授)

本授课单元教学目标或要求：

理解无限区间上的广义积分积分的定义；无界函数广义积分的定义；了解函数。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：无限区间上的广义积分的定义；无界函数广义积分的定义；函数的定义。

本节的重点与难点：由定积分概念的推广得到无限区间上的广义积分积分的定义和无

界函数广义积分的定义。

讲授书本例1、例2。 补充例题： (1)





1

dx x

解 因为(2)

1





1

dxlimb1dxlim2(1)

b1bdx

0x1dx1dx解 lim2(1)2 0lim000

本授课单元教学手段与方法：

在深刻理解定积分定义的基础上利用极限得到广义积分的定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

课后作业：P270 22 (2) (4) 233(2)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）

____

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授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数

§1.1集合； §1.2实数集；§1.3函数关系；§1.4函数表示法；§1.5建立函数关系的例题

本授课单元教学目标或要求：

理解集合概念，掌握集合的运算性质，了解实数集的特征。

理解函数的概念，掌握函数的表示法和函数定义域、值域的求法。学会根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 集合的概念及其运算性质；实数集的特征；函数的概念及性质；根据实际问

题建立函数关系的方法。

重点：集合的运算性质和函数的特征。

难点：邻域的理解和掌握如何根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学手段与方法：

通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和掌握集合的运算性质。通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。通过讲解第25页例1，让学生掌握根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

思考题：库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。第26页例2可做为一道思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 讨论题：将函数y73x2用分段形式表示，并绘制函数图形。

利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区别。

作业：课本第40页 8，9，14，15，23（2）、（7）、（8），28，30。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第一章 函数

§1.6函数的几种简单性质； §1.7反函数，复合函数；§1.8初等函数；§1.9函数图形的简单组合与变换。

本授课单元教学目标或要求： （1）了解函数的几种简单性质； （2）熟悉反函数和复合函数的概念；

（3）熟悉六类基本初等函数的性质及其图形；

（4）了解初等函数的构成。能列出简单实际问题中的函数关系。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 讨论函数的四个性质：单调性、有界性、奇偶性和周期性。

反函数与复合函数的构成。

六类基本初等函数与初等函数的定义。

重点：函数的四个性质，初等函数的构成。

难点：函数有界性的理解，复合函数的结构，初等函数的构成。

本授课单元教学手段与方法：

1.通过定义和例题（课本第31，32页）引导学生了解函数的四个性质。 2.通过复习中学所学的六类基本初等函数内容和讲解复合函数的概念，从而引导出初等函数的定义。

3.通过对初等函数是如何合成的了解，为今后的复合函数求导打下基础。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第45页的思考题：练习B(1---18). 。 2.分段函数的定义域是如何确定的。

sinx,2x0

0x3 例：f(x)x,

5,3x

作业：课本第44页48（4）、（7）；51（2）（4）；第45页55（3）、（4）、（6）。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.1数列的极限； §2.2函数的极限

本授课单元教学目标或要求：

理解数列概念，掌握数列极限和函数极限的定义；

熟练掌握数列和函数极限的“M”定义和“”定义的描述方法，并习惯用无限接近但不一定达到的思维方法； 熟练掌握数列和函数极限的有关定理。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 数列的概念，数列和函数的“M”定义和“”定义，数列和函数极

限的有关定理，用数列和函数的“M”定义和“”定义求解和证明简单的数列和函数的极限问题，数列和函数极限的几何意义。

通过讲解第49页例1-4让学生理解和掌握数列的概念；通过P50页（1）-（3）引入数列极限的定义；通过通过P53页的例子引入函数极限的定义，分别讲解当x时的极限定义和xx0的定义以及左右极限的定义；讲解有关的极限定理；选讲课本中的有

关例题及习题。

重点：数列和函数的“M”定义和“”定义。

难点：数列和函数极限中无限接近并不一定达到的思想及其表示法。

本授课单元教学手段与方法：

首先借助图形直观感受变量的极限概念，让学生对变量在某一变化过程中的极限有感性认识，再引入极限分析上的定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：证明：

n

lin

(1

x1

)=1，lin不存在，为思考题供学生课后思考。然后，由n21xx0

教师指导解决。

讨论题：用函数的“”定义证明

lin

(x21)0

n1

利用此题熟练函数的“”定义。

作业：课本第88-89页 1（3）（4），2（1），3，4（2）。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.3变量的极限； §2.4无穷大量与无穷小量。

本授课单元教学目标或要求：

（1）理解和掌握变量极限的定义；

（2）理解和掌握有界变量的定义及性质定理； （3）理解和掌握无穷大量与无穷小量的定义和性质； （4）理解和掌握无穷大量与无穷小量的关系； （5）理解和掌握无穷小量阶的比较。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 把前两节中讲授的各种极限统一成变量的极限； 变量极限的性质及定理； 有界变量的定义及性质定理；

无穷大量和无穷小量的定义、关系、性质及定理； 无穷小量阶的比较。

重点：变量极限的性质及定理，无穷小量的性质及阶的比较。 难点：把各种极限定义统一成变量的极限。

本授课单元教学手段与方法：

通过把前两节中的极限过程统一为“某个变化过程中”从而把极限的定义统一为变量的极限定义，反过来一一讨论和理解“某个变化过程中”在各种极限定义中的含义；

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第96-97页的思考题：练习B(5--12). 。

2.函数y

1

在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？

(x1)2

作业：课本第89-90页8、9题。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.5极限的运算法则。

本授课单元教学目标或要求：

（1）理解和掌握极限的四则运算法则；

（2）熟练运用极限的四则运算法则求各种极限值；

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 极限的四则运算法则，加减法法则的证明，无穷小的运算性质， 应用极限的四则运算法则计算函数的极限；

重点：极限的运算法则的应用。

难点：极限的加法和减法运算法则的证明。

本授课单元教学手段与方法：

通过讲解课本中的例题及选讲习题说明极限运算法则的应用。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第91页的思考题：练习A (13--14). 。

作业：课本第90页10(1)(4)(8)(9)(14)(19)(21)(22)。 讨论题：

lin

x1

x2axb

5,求a,b的值.

1-x

通过此题加深学生对极限的理解.

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.6 两个重要的极限

本授课单元教学目标或要求：

掌握极限存在的两个准则;

熟练掌握两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程； 熟练运用两个重要极限来解决实际问题即求极限值。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 极限存在的两个准则; 两个重要的极限以及第一个重要极限的证明过程; 运

用两个重要极限来解决一些函数的极限问题

重点：两个重要极限及其应用。 难点：第一个重要极限的证明。

本授课单元教学手段与方法：

讲解极限存在的两个准则,并举P72页的例1,例2加以说明；给出两个重要的极限内容并给出第一个重要极限的证明;讲解课本中的例题并选讲习题.

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：求 讨论题：

lin

(

x

x1x

)，为思考题供学生课后思考。然后，由教师指导解决。 x1

lin

x0

2arcsinx

3x

利用此题熟练第一个重要极限的应用,同时应用等价无穷小来求极限。

作业：课本第92页20(1)(2)(3),21（1）（7）。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

§2.7函数的连续性。

本授课单元教学目标或要求： （1）了解改变量的定义；

（2）理解和掌握函数在一点连续的定义； （3）掌握连续函数的定义；

（4）理解和掌握间断点的定义和种类； （5）掌握连续函数的运算法则;

(6)掌握闭区间上连续函数的性质定理以及其应用; (7)熟练掌握用连续函数的性质求函数的极限.

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 改变量的定义; 函数在一点连续的定义及连续函数的定义； 间断点的定义和种类；连续函数的运算法;

闭区间上连续函数的性质定理及应用. 用连续函数的性质求函数的极限

重点：函数在一点连续的定义,连续函数的运算法则,闭区间上连续函数的性质及应用。 难点：函数在一点连续的定义。

本授课单元教学手段与方法：

1.通过把函数图给出改变量的定义,并说明改变量可正可负;

2.通过连续函数的图形引入函数在某点连续的定义从而给出连续函数的定义； 3.通过间断函数的图形给出间断点的定义和类型;

4.讲解连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的性质;

5.讲解用连续函数的性质求函数极限的有关例题及其他类型的例题.

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

1.指导学生完成课本第97-98页的思考题：练习B(13-18). 。 2.给f(0)补充定义一个什么数值,能使f(x)在x0处连续?

(1) f(x)

1xx

; (2) f(x)sinxcon

xx

作业：课本第92-94页22(2)、23(3)(4)、30(1)(2)、31、33。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课类型_理论课___ 授课时间 2节

授课题目（教学章节或主题）： 第二章 极限与连续

小结、习题课：口头简单小结本章所讲的基本内容和方法，并通过一些典型的例题来说明, 例1：用极限的定义证明：lin

1

0

nn2

x2-4

4 例2：用函数的定义证明：lin

x2x2

例3：求f(x)在。

例4：计算下列极限： （1）lin(1

xx

，(x),当x0时的左右极限，并说明当x0时的极限是否存xx

1111arctanx2

n)；（2）linxsin；（3）lin；

nx0x24xx21-cos2x1

0； （5）lin(1)kx(k为正整数) （4）lin

x0xsinxxx

5

例5：证明方程x-3x1至少有一个根介于1和2之间。

x

例6：函数f(x)x

x

x11x3

，在其定义域内是否连续？

x21

axb)0,求a、b的值。 例7：若lin(

xx1

先给出例题的题目，让学生思考25分钟左右，然后老师讲解例题。

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.1引出导数概念的例题； §3.2导数概念（一） 本授课单元教学目标或要求：

理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数，会求曲线的切线 理解导数的物理意义及几何意义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率；导数的定义，一些简单函数的

求导。

重点是导数的定义，难点是理解导数的实际意义是描述变量变化快慢的程度。

通过讲解引例及 例题例1到例6（课本103页、104页）引入概念，让学生理解导数

的定义及利用定义计算函数的导数。

本授课单元教学手段与方法：

从导数在物理和几何上的应用给出导数的定义，引导学生对导数有直观和深刻的认识,利用引例激发学生对学习导数的兴趣。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1．求函数f(x)sin x 的导数 解 f (x)lim

h0

sin(xh)sinxf(xh)f(x)

h0hh

1hh

lim2cos(x)sin

h0h22sinh

h

limcos(x)cosx

h02

2

即 (sin x)cos x 

用类似的方法 可求得 (cos x )sin x  作业：课本第135页 1（2）；3。

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.2导数概念（续）§3.3导数的基本公式与运算法则（一）； 本授课单元教学目标或要求：

熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则，理解导数与连续的关系。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 左、右导数的概念；导数与连续的关系；求导的基本公式和运算法则。 重点是求导的基本公式和运算法则，

难点是左右导数的求法以分段函数在分界点处可导性的讨论，商与乘积的求导法则。 通过 例题（见课本105页、106页，111页、115页）演示求导法则的应用、熟练求导计算。

本授课单元教学手段与方法：

引导学生根据上节课学的导数的定义，通过演示推导得出基本初等函数的导数公式和运算法则，并通过严格的推理来解决求导问题。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1 求函数ytanx的导数。 解： y(tanx)(

sinx(sinx)cosxsinx(cosx)2

)secx 2

cosx(cosx)

2

同理可得：(cotx)cscx 例2求函数ysecx的导数。 解： y(secx)(

1(cosx)sinx

)secxtanx cosxcos2xcos2x

同理可得：（(cscx)cscxcotx）

作业：课本135页4；136页12（4）13（9）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.3导数的基本公式与运算法则（二）； 本授课单元教学目标或要求：

掌握复合函数、隐函数的求导，理解对数函数的求导。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容为复合函数、隐函数、对数函数的求导。

重点是复合函数求导，难点是隐函数、对数求导的方法。

通过例题 （课本117页、120页、122页）演示复合函数求解过程，特别是将函数正确分解为多个函数的复合的方法，来熟练复合函数的求导。 本授课单元教学手段与方法：

通过例题由易到难、由浅入深让学生掌握复合函数的求导过程。强调隐函数的求导思路以及对数求导法适用的对象。通过思考题来总结和提高本次课讲授的求导方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1 求曲线x22xyy22x在x2处的切线方程 解： 对方程x2xyy2x两边关于x求导得：

2

2

2x2y2xy2yy2 解得：y

2(1xy)

2x2y

当x2时，由所给曲线方程解得：

x2x2

或

y0y4

2(1xy)

2x2y

1

2

对于点（2，0）所求切线斜率k1yx2

y0

x2y0

故所求切线方程为y

1

x1 ， 2

y4

对于点（2，4），所求切线斜率k2yx2

2(1xy)

2x2y



x2y4

5 2

故所求切线方程为y

5

x1 2

作业：课本137页18（11）（12）（18）138页21（1）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版

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授课类型_理论课___ 授课时间 2节

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 导数与微分

§3.4高阶导数 §3.5微分 本授课单元教学目标或要求：

知道高阶导数概念，会求函数的高阶导数;

理解解微分概念，会求函数的微分,理解微分的应用。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容为高阶导数的定义、高阶导数的计算、微分的概念及几何意义、微分的运算法则、微分的应用。

重点是二阶导数和微分的求法，难点为微分的几何意义与微分的应用。 例题用课本127页、131页、134页中例。 本授课单元教学手段与方法：

引导学生反复利用一阶导数来求二阶导数，从微分的实际应用给出微分的定义，让学生认识到微分可以用作近似计算，从解决问题出发给出微分的定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：

例1 已知yarctan2x ，求y(1) 解： y(arctan2x) y(

2

14x2

216x

 )

14x2(14x2)2

y(1)

3

16x

(14x2)2

2



x1

2

16 25

例2 设隐函数yxy2xy，求dy

解： yxy2xy两端对x求微分得：dyd(xy)d(2x)dy 即：3ydyydxxdy4xdx2ydy 从而dy作业:课本140页34（1）42（5）（7）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》

2

3

2

2

3

2

2

y4x

dx 2

3y2yx

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第四章 中值定理，导数的应用 §4.1 中值定理

本授课单元教学目标或要求：

理解罗尔定理和拉格朗日定理的条件和结论，

会应用拉格朗日定理解决一些数学问题

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：罗尔定理，罗尔定理、拉格朗日中值定理的证明，定理的几何意义。 . 拉格朗日中值定理的应用 重点：拉格朗日中值定理

难点：拉格朗日中值定理及其应用

本授课单元教学手段与方法：

采用发现法引导学生从几何图形上发现罗尔定理与拉格朗日中值定理的结论，通过例子和随堂练习强化所学内容的理解

本授课单元思考题、讨论题、作业：

1、当fx=x2x3x4x5时，问fx=0有几个实根（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、下列函数中，在区间1,1上满足洛尔定理条件的是（ ）

A、fxe， B、fx1x， C、fxlnx， D、fxx

x

2

作业：P193：1，2，4，6

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》――同济大学第五版

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第四章 中值定理，导数的应用

§4.1 中值定理；§4.2未定式的定值法------罗必达法则 本授课单元教学目标或要求：

了解柯西中值定理，会用洛必达法则求不定式的极限；

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：柯西中值定理及证明， 洛必达法则及证明 ，洛必达法则的推论

柯西中值：如果函数f( x )及F (x) 在闭区间[a b]上连续，在开区间 (a b ) 内可导，且F (x) (a b) 内的每一点处均不为零。那么在(a b)内至少有一点，使等式

f(b)f(a)f()



F(b)F(a)F()

成立。

罗必达法则

一、罗必达法则（1）

0型 0

设(1) 当xx0时f(x)和F(x)的极限为0;

(2) 在点x0的某些邻域内,f(x)及F(x)都存在,且F(x)0; (3) lim

xx0

f(x)f(x)f(x)

lim存在,(或为), 则lim

xxxx00F(x)F(x)F(x)

（证明见书P151） 推论 若xx0时，

f(x)0

仍为型,且f(x)，F(x)仍满足罗必塔法则条件，则:

0F(x)

xx0

lim

f(x)f(x)f(x)

limlim xxxx00F(x)F(x)F(x)

讲解书例1到例14中部分例 增加例1 求lim解: 所求极限为 li1cosx

x0sinx

型,运用罗必达法则,得: 0

1cosx(1cosx)sinx

lili0

x0x0x0sinx(sinx)cosx

注1 运用罗必达法则求极限时,能简化的,要进行简化,并要注意每次应用前要切实检查仍为待定型极限.

2xexex1

例2 求lim xx06(e1)2xexex1解: lim xx06(e1)2xexex11 =lim lim

x06(ex1)x0ex

2ex2xexex

1 =lim

x06ex

=lim

2x11



x066

重点及难点：洛必达法则的应用

本授课单元教学手段与方法：

采用求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生熟练掌握未定式极限的求法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

11

) 2

、1、lim(x

x0xx1e1 3、lim

1cos2x

x03x2

作业：P194：8（1）（3）（4）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第四章 中值定理，导数的应用

§4.2未定式的定值法------罗必达法则（续） 本授课单元教学目标或要求：

会用洛必达法则求不定式的极限；

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

. 基本内容：罗必达法则 (II) 设

(1) 当x时f(x)和F(x)的极限为0;

(2) 当xM,M0时, f(x)和F(x)都存在,且F(x)0;

f(x)f(x)f(x)

lim (3) lim存在,(或为), 则lim

xF(x)xF(x)xF(x)

二、

型 

1.罗必达法则(III)设

(1) 当xx0时,f(x),F(x);

(2) 在点x0的某一去心邻域内,f(x)及F(x)都存在,且F(x)0 (3) lim

xx0

f(x)f(x)f(x)

lim存在,(或为), 则lim

xxxx00F(x)F(x)F(x)

2. 罗必达法则(IV)设

(1) 当x时,f(x),F(x);

(2) 当xM,M0时, f(x)和F(x)都存在,且F(x)0; (3) lim

f(x)f(x)f(x)

lim存在,(或为), 则lim

xF(x)xF(x)xF(x)

lnsinlx

(l0,p0)

lnsinpx



型,运用罗必达法则(III),得: 

例1 求lim

x0

解: 所求极限为

lcoslx

lnsinlxlimlcoslxsinpx lim lim

x0lnsinpxx0pcospxx0pcospxsinlx

sinpx



lcoslxsinpx

limlim

x0x0pcospxsinlxlsinpx

1lim

x0sinlxp

lpcospxlplim1 px0lcoslxpl





三、其它待定型0,,00,1,0 它们总可以通过适当的变换为重点：罗必达法则的应用

难点：其它待定型0,,0,1,化为



0

型或型,然后再运用罗必达法则. 0

0

型或型的极限计算 0

xlnx 例2 求lim

x0

2

解: 所求极限为0型,故可化为:

lnxx112

xlnxlililimx0 lim

x0x0x2x02x3x02

2

xlnx0,0 一般的,有lim

x0



本授课单元教学手段与方法：

采用求解教学方法帮助学生解决极限计算问题，通过大量例子巩固和提高运算技能和技巧的教学方法，使学生熟练掌握除

0

型或型外的未定式极限求法。 0

本授课单元思考题、讨论题、作业：

1

11tx2lnxsinx

1、lim(sincos) 2、lim(cosx) 3、lim

tx0xttxlnx

作业：P194：8（6）（7）（8）（11）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.3函数的增减性

本授课单元教学目标或要求：

1. 掌握用导数判定函数单调性的方法，会求函数的单调区间。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

定理4.3 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，

（1） 如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调增加（）; （2） 如果在(a,b)内f(x)0，则f(x)在a,b上单调减少（）.

如将定理中的闭区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理3.1的结论仍成立，使定理4.3结论成立的区间，就是函数的单调区间。

讲解书例1，例2 增加下例

x3

例3 确定函数y的单调区间。 3

3x

解： 函数的定义域为(,3)(,)(3,) x3为函数的间断点。

3x2(3x2)x3(2x)9x2x4x2(3x)(3x)

y 

(3x2)2(3x2)2(3x2)2

令y0得：x10,x23,x33

用x,3,0分定义成如下区间，列表讨论如下：

所以函数的单调减少区间为(,3],[3,)，

单调增加区间为：[3,),(,),(,3]

.

本授课单元教学手段与方法：

采用呈现法，通过图形示例，引导学生发现函数的单调性与导数符号的关系。 本授课单元思考题、讨论题、作业：

1、下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（

）．

A．sinx B．e x C．x 2 2、确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间 2、 求证 ： ln

x

x1

x1

(x1)

作业：P195：9（1）（5）（6）；10

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《高等数学》―――同济大学第五版

D．3 - x

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授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.4函数的极值

本授课单元教学目标或要求：

理解函数的极值概念，掌握用导数求函数的极值的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：函数极值的定义，函数取得极值的必要条件与充分条件 函数极值的定义

定义4.1 设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，对于该邻域内（除x0外）的任一x，

(1)如果都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是f(x)的极大值； (2)如果都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是f(x)的极小值.

函数的极大值与极小值称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

定理4.4 （极值的必要条件）

设函数f(x)在x0处可导，如果f(x)在x0处取得极值，则f(x0)0 使f(x0)0，则称x0为函数f(x)的一个驻点 .

定理4.5（极值存在的一阶充分条件）

设函数f(x)在x0处连续，在(x0,x0)(x0,x0)（为某个正数）上可导 （1）如果在f(x)0， f(x)由正变负，则x0是f(x)的一个极大值点；

（2）如果在f(x)0，f(x)由负变正，则x0是f(x)的一个极小值点； （3）如果

f(x)不变，则x0不是f(x)的极值点.

例1 求函数f(x)(x2)2(x1)3的极值。 解： 函数的定义域为(,)且在(,)内可导，

2

f(x)(x2)(x1)(5x4)，令f(x)0得：x12,x2

4

,x31 5

用x12,x2

4

,x31分定义域(,)成如下区间，讨论如下： 5

由表可知，函数在x2时取得极大植f(2)0， 在x

定理4.6（极值存在的二阶充分条件）

设函数f(x)在x0存在二阶导数，且f(x0)0 f(x)0，则： (1)如果f(x0)0，则x0是f(x)的一个极大值点；

(2) 如果f(x0)0，则x0是f(x)的一个极小值点； (3) 如果f(x0)0，无法确定。

例5 函数f(x)x410x25 的极值

解： 函数的定义域为(,)，f(x)4x320x4x(x25)， 令

44

时取得极小值f()8.39808 55

f(x)0，得：x15,x20,x35，f(x)12x220

当x1时，f()400，所以x15为极小值点； 当x20时，f(0)200，所以x20为极大值点； 当x35时，f()400，所以x3为极小值点。 故函数的极小值为f(5)f()20，极大值为f(0)5

本授课单元教学手段与方法：

采用呈现法，通过图形示例，引导学生了解极值与导数符号的关系。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 1、yxe

2x2

的极大值与极小值。

2

3

2、求函数f(x)(x1)1的极值

作业：P195：12（1）（4）（6）；13（4）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用

§4.5 最大值与最小值，极值的应用问题 本授课单元教学目标或要求：

掌握求最值的方法，并会求解简单的应用问题（包括经济分析中的问题）。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：.

基本内容：求函数在闭区间[a,b]上的最值，极值应用问题

1． 函数在闭区间[a,b]上的最值

函数在闭区间[a,b]上的最值是指整个区间上的所有函数值当中的最值，是个全局性的概念，根据函数在闭区间[a,b]连续的性质，它的最值要么在端点取得，要么为函数有区间内的极值点上取得，从而得出求闭区间上最值的方法：

(1) 求区间端点处的函数值f(a),f(b)； (2) 求f(x)在(a,b)内驻点处的函数值f(xi)； (3) 求f(x)在(a,b)内不可导点处的函数值f(xj)；

(4) 比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，最大者为最大值. 例7 求函数f(x)x48x21在区间[3,3]上的最大值和最小值 解： f(x)4x316x4x(x2)(x2) 令f(x)0，得驻点x12,x20,x32， 计算f(2)f(2)15,f(0)1,f(3)f(3)10

比较上述各值的大小，得函数在区间[3,3]上的最大值为f(3)f(3)10，

最小值为f(2)f(2)15 2． 实际问题中最值的求法

在实际应用问题中，如果(a,b)内部只有一个驻点x0，而从该实际本身又可以知道在

(a,b)内函数的最大值（或最小值）确实存在，那么f(x0)就是所要求的最大值（或最

小值），不需要再算f(a),f(b)进行比较了。

例9 书P166 例10 书P167

重点：求最值的方法; 难点为将实际问题转化成数学模型

本授课单元教学手段与方法：

结合图例讲解法帮助学习理解求最值过程，通过例子讲解将问题转为函数上求最值问题的要点。

制作ppt课件利用投影显示问题 本授课单元思考题、讨论题、作业：

. 1、已知某厂生产x件产品的成本为：C(x)2500200x问；（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？

（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？

2

2、求函数f(x)x3x2在区间[3,4]上的最大与最小值。

12

x（元） 40

作业：P195：14（1）（3）；15；23

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 同济大学《高等数学》第四、五版

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 中值定理，导数的应用 §4.6 边际分析与弹性分析介绍 本授课单元教学目标或要求：

了解导数在经济中的应用------边际与弹性

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：. 基本内容：

1、需求（价格）弹性

设某商品的市场需求量为q，价格为P，需求函数q=q(P)可导，则称

q'(p)

Epp

q(p)

为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。

其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或减少）|Ep|%。 2、三个边际函数 （1） 边际成本：

边际成本是总成本函数C（q）关于产量q的导数，记为MC，则有MC=C'（q）。

经济意义：当产量为p时，再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。

（2） 边际收入：

边际收入是总收入函数R（q）对销售量q的导数，记为MR。 经济意义：当销售量q时，再销售一个商品所增加的收入。 （3） 边际利润：

利润函数L=L（q）对销售量q 的导数，称为边际利润，记为ML。 由于利润函数L（q）=R(q)-c(q), 则有L´（q）=R´(q)-c´(q) 本授课单元教学手段与方法：

结合经济问题，使学生体会数学在经济科学中的应用 本授课单元思考题、讨论题、作业：

一、选择题：

1、函数y=x²-4x+5在区间（0，+∞）内[ ]

A、单调增加 B、先单调增加后单调减少 C、先单调减少后单调增加 D、单调减少 2、下列结论中正确的是（ ）。

A、函数的驻点一定是极值点 B、函数的极值点一定是驻点

C、函数的极值点处导数必为0 D、函数的导数为0的点一定是驻点 3、设需求函数q=100e

p2

,则需求弹性EP=（ ）

A、50e

p2

B、100pe



p2

C、



p1



2 D、2

二、填空题

1、f(x)在（a,b）内 有f '(X)=0,则f 2、函数f(x)= x²-1的单调下降区间是 。 3、已知需求函数q(p)103p

23

，EP= 。

作业：P199：37；38

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分 §5.1 不定积分概念

§5.2 不定积分的基本性质 §5.3 基本积分公式

本授课单元教学目标或要求：

1.理解原函数与不定积分概念，知道不定积分与导数（微分）之 间的关系 2.了解不定积分的定义与几何意义，掌握不定积分的基本性质。 熟练掌握积分基本公式，掌握不定积分的直接积分法。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：原函数，不定积分的定义和几何意义，不定积分的性质和基本积分公式。 重点：不定积分的概念，不定积分的直接积分法 难点： 不定积分的 直接积分法

本授课单元教学手段与方法：

通过 讲解第202页例2和例3让学生理解不定积分的概念，原函数与不定积分的关系。通过讲解第205页例题让学生理解不定积分的几何意义。通过讲解第207页例1~例6，让学生掌握 利用基本积分公式直接求不定积分的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P223：1（2）；2（3），（5），（7）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

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授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章不 定 积 分 §5.4 换元积分法（第一类换元法）

本授课单元教学目标或要求：

理解不定积分的第一类换元积分法的实质

掌握用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 第一类换元积分方法(凑微分法)，讲解适用凑微分法的一些典型函数的积分 重点与难点：不定积分的第一类换元积分法（凑微分法）

通过 讲解第209页例1到例6让学生理解凑微分法求不定积分的实质，注意不定积分换元，要还原回原变量的函数

本授课单元教学手段与方法：

提示换元积分方法是复合函数求导的逆运算，强调多练来掌握用凑微分法求不定积分的思路和方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业:

P224：3（3）， （8），（26），（31）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

第五版—— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分

§5. 4 换元积分法（第二类换元法） 本授课单元教学目标或要求：

熟练掌握不定积分的第二类换元积分法的实质及解题思路， 会用三角变换法求一些特定根式的不定积分

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：第二类换元法 ，讲解适用第二类换元法的一些典型函数的积分

重点： 不定积分的第二类换元积分法

注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数

难点： 不定积分的第二类换元法的适用范围及中间变量的选择。

本授课单元教学手段与方法：

通过 讲解第212页例2到例3让学生理解换元法求不定积分的实质， 并掌握用换元法求不定积分的思路和方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P225：4（3）， （5），（6），（11）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） —— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分 §5.5 分部积分法 本授课单元教学目标或要求：

掌握分部积分法求不定积分的实质（两个函数乘积求导数公式的逆用） 会求被积函数是以下类型的不定积分 ： 1.幂函数与指数函数相乘。 2.幂函数与对数函数相乘。 3.幂函数与正、余弦函数相乘。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：第二类换元法 ，讲解适用分部积分法的一些典型函数的积分

重点：不定积分的 分部积分法的应用技巧。

难点： 不定积分的分部积分法中U，V 两函数的选取

通过分析和讲解第213页例1，引导学生做逆向思维，从而得出分部积分公式。

本授课单元教学手段与方法：

从两个函数乘积的求导数公式出发，导出分部积分公式。通过示例和练习来掌握分部积分法中U，V 两函数的选取，从而掌握分部积分的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P225：4（3）， （5），（6），（11）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） —— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

授课类型 习题课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第五章 不 定 积 分 本授课单元教学目标或要求：

1．理解不定积分的直接积分法的本质，

2．理解不定积分的换元积分法的实质， 第一类换元法积分法和第二类换元积分法的不同思路，注意观察被积函数特点，正确使用第一，二类换元积分法 。

3．理解不定积分的分部积分法的实质，注意观察被积函数特点，正确选择U。V 。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

讲解综合各种积分方法积分的例子（例题略）

重点：不定积分的直接积分法，换元积分法（第一类换元积分法，第二类换元积分法），分

部积分法 。

难点： 换元积分法（第一类换元积分法，第二类换元积分法），分部积分法等的计算技巧

以及这些方法的综合运用。

本授课单元教学手段与方法：

讲解和结合堂上练习、讨论的方法

本授课单元思考题、讨论题、作业：

P223：1（2）；2（3），（5），（7）

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

—— 同济大学应用数学系主编

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段

与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型___理论课__ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§6.1 引出定积分概念的例题 §6.2 定积分定义

本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容:由引例1、2给出定积分定义61；定积分的几何意义。 重点：分析理解引例，并归纳总结出定义定积分的四个步骤。 难点：对于定积分定义的理解并强调掌握下列两点：

(1)定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

bf(x)dxbf(t)dtbf(u)du



a



a



a

(2)无界函数是不可积的 即函数f(x)有界是可积的必要条件 有限区间上的连

续函数是可积的 有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的

本授课单元教学手段与方法：

通过对几何与物理方面的典型例题的分析，并利用图例讲解法，引导学生积极思考，抽象归结出定积分的定义。

制作ppt课件形象直观地展示定义定积分的四个步骤，有助学生理解并掌握定积分的定

义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题：利用定积分的定义计算



1

exdx

解答：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点

为xi

i

,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/n取ixi作和式： n

n

Lim

0

i1

111e[(e)n1]

f(i)xiLimeLimeLime1 1000nni1ni1

en1

n

n

inin

1n1n

所以：



1

exdx=e-1

课后作业：P266 1 (1) （2）.

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型___理论课______ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§6 3 定积分的基本性质 本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握定积分的7条性质，能正确利用这些性质进行计算和比较积分的大小。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：定积分的7个基本性质。

重点：重点讲授性质3（ 如果积分区间[a, b]被点c分成两个小区间[a, c]与[c, b] 定积分的可加性）并要强调说明不论a b c的相对位置如何 上式总成立。强调学生注意在计算分段函数的定积分时，这个性质是非常重要的.

难点：性质6(积分估值定理)和性质7（积分中值定理）。 例 题: 比较下列积分的大小

(1)



2

xdx 2sinxdx



时 xsin x 所以

解 因为当0x

2

(2)





2

xdx2sinxdx



sinxdx 

2



2

sinxdx

解 因为当

2

2

x0时 sin x0 当0x

时 sin x0 所以

2

sinxdx0

2



sinxdx0 从而sinxdx2sinxdx

2



本授课单元教学手段与方法：

在深刻理解定积分定义的基础上利用极限的相关性质推导证明定积分的性质。利用例题的运算加深对性质的理解。

本授课单元思考题、讨论题、作业：  思考题:（利用估计积分值） 证明 21

0

3

2

dx2xx2



1 2

91证：2xx29x在0,1 上最大值为，最小值为2 442

∴ 2



12xx2

3



1

2

课后作业：P266 2 (2) (4) 3 (2)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型____理论课_____ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§64 定积分与不定积分的关系

本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握变上限的定积分的定义，理解并能正确利用原函数存在定理；能正确运用牛顿莱布尼茨公式进行计算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：变上限的定积分的定义；定理61(变上限的定积分的导数)； 定理

62(原函数存在定理) ；定理63(莱布尼茨公式)。

本节的重点：定理61(变上限的定积分的导数)和定理63(莱布尼茨公式)。

本节的难点：理解定理61(变上限的定积分的导数)的证明及定理的重要意义（一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系）；正确运用牛顿莱布尼茨公式进行计算。

例题:

x2

d例1 已知p(x)cos2tdt 求p(x) 例2 求[sintdt]

x

dxx

1

01x2

解 p(x)dcos2tdt] 解 dsintdt]d[sintdt

dxxdxxdxx



x2

sintdt]

中ux2)

xdusintdt] (其d2 sinx[costdt]

dx0dx1

uxdd2 sinxsintdt]du [costdt]

du0dxdx1

sinxsin u2x



及书中例3和例4。讲授例4时强调应注意的问题 如果函数在所讨论的区间上不满足可积条件 则牛顿莱布尼茨公式不能用

课堂练习：计算(1)解答：解：原式

(

a

)dx (2)

2

5

x3 x21

a

(ax4ax31x2)01a2

326

15x2151221[x2ln(x21)]51(25ln26) 解：原式 dx(1)dx020x2120x2122

本授课单元教学手段与方法：

本节通过重点讲授定理的推导演算，积极引导学生通过严格的逻辑推理得到积分基本公

式，并通过例题的演算加强对定理的理解以及掌握公式的运用。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

思考题:怎样计算下列极限

(1)lim0

x0



x

cos2tdtx

x0

2

解答：

lim

x0

costdtx

lim

[cos2tdt]

x

x0

(x)2

cosx1 limx01

课后作业：P266 4 (2) (4)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）－同济大学第五版

授课类型_____理论课___ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§65 定积分的换元积分法

本授课单元教学目标或要求：

理解定积分的换元公式的证明，并能熟练运用定积分的换元公式进行计算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容: 定积分的换元公式。

重点：利用定积分的换元积分法进行计算，重点讲授例题。

难点：正确定积分的换元积分法：强调在利用公式计算时，注意：

1. 利用定积分的换元积分法时, 对被积函数进行变换的同时, 也要把原来积分变量的上下限作相应的变换, 即换元必换限.

2. 求出变换后函数的原函数, 直接将新变量的上下限分别代入, 相减即可, 免去像不定积分换元法那样还原到原来变量的麻烦

3. 公式从左到右使用时, 相当于不定积分的第二换元积分法, 从右到左使用时, 相当于不定积分的第一换元法. 书本P244例1例2例3

补充例题：例(4)



ln2

1dx (5)

x



1

x2dx

x

令1u 解 ： 原式

1

1

2u2 解4xdx令x2sinu udu00u211

 6(2u2arctanu)022arctan12(2sin2u)0

2

32



本授课单元教学手段与方法： 通过大量的例题由易到难、由浅入深让学生掌握定积分的换元积分法。强调换元积分法的运用思路及注意事项，通过补充例题来总结和加强定积分的换元积分法的运用。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 课后作业：P267 5 (2) (4) (6) .

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型______理论课_____ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第六章 定积分

§66 定积分的分部积分法

本授课单元教学目标或要求：

深刻理解并掌握定积分分部积分公式，能正确利用其性质进行计算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：定积分的分部积分法。

本节的重点：利用定积分的分部积分法进行计算.

本节的难点：在利用定积分的分部积分法进行计算时，正确选择函数u(x)、v(x)。 例题 书本P246 例2。 补充例题;

(2)



2

arccosxdx (3)2xsinxdx



解



2

arccosxdxxarccosx

20

x

2

1dx x2

解





2

xsinxdx2xdcosx





20

2



本授课单元教学手段与方法：

通过回顾不定积分分部法则的应用原则，使学生掌握五种情况下怎样正确选择函数u(x)、v(x)，从而利用定积分的分部积分法求解定积分。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

课后作业：P267 7 (2) (4) (6) (8)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）――同济大学第五版

22

arccos(x)01 22122

21 xcosxcosxdxsinx0



经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型__理论__________ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第六章 定积分 §6.7 定积分的应用

本授课单元教学目标或要求：

能正确利用进行平面图形的面积公式(1)(2)进行计算；会求旋转体和已知平行截面面积的立体的体积。掌握定积分在经济中的应用。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：平面图形的面积公式(1)(2); 旋转体和已知平行截面面积的立体的体

积;已知平行截面面积的立体的体积;经济应用问题举例.

本节的重点：平面图形的面积公式的运用；旋转体和已知平行截面面积的立体的体积

的求解;。

本节的难点：利用平面图形的面积公式计算时怎样正确选择积分变量；旋转体体积计

算公式的创建过程。 例题：求由曲线yx28与直线2xy80、y4所围成的图形的面积

解:

3

412S[(y4)]dy[(y8)1y24y]828

82343

4

本授课单元教学手段与方法：

制作ppt课件直观形象演示公式推导过程，激发学生的学习兴趣和主导性，提高学生的解决实际问题的能力。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 课后作业：P268 15 (2) (4) （7） (8)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）

经济应用基础（一）微积分课程教案

授课类型_______理论课_____ 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：

第六章 定积分

§69 广义积分与函数(§68 定积分的近似计算 不要求讲授)

本授课单元教学目标或要求：

理解无限区间上的广义积分积分的定义；无界函数广义积分的定义；了解函数。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

本节的基本内容：无限区间上的广义积分的定义；无界函数广义积分的定义；函数的定义。

本节的重点与难点：由定积分概念的推广得到无限区间上的广义积分积分的定义和无

界函数广义积分的定义。

讲授书本例1、例2。 补充例题： (1)





1

dx x

解 因为(2)

1





1

dxlimb1dxlim2(1)

b1bdx

0x1dx1dx解 lim2(1)2 0lim000

本授课单元教学手段与方法：

在深刻理解定积分定义的基础上利用极限得到广义积分的定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

课后作业：P270 22 (2) (4) 233(2)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 《微积分全程学习指导与解题能力训练》 《高等数学》（上）