《对数与对数运算》
教案
XX 大学数学与统计学院
XXX
一、教学目标
1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能；
2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力；
3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。
二、教学理念
为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
三、教法学法分析
1、教法分析
新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析
“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。
四、教材分析
本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
五、教学重点与难点
重点 ：（1）对数的定义；
（2）指数式与对数式的相互转化及其条件。 难点 ：（1）对数概念的理解；
（2）对数运算性质的理解； （3）换底公式的应用。
六、课时安排：1个课时 七、教学过程
（一）创设情境，引入课题
问题：我们能从关系y =13⨯1.01x 中，算出任意一个年头x 的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿„„”，该如何解决？
抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。
（二）讲授新课 1．对数的定义
x
一般地，如果a =N (a >0, 且a ≠1), 那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记
作
x =log a N (a >0, 且a ≠1, N >0) ，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2. 两种特殊的对数
① 当底数为10时，称这种对数为常用对数，记为lg N =log 10N ；
时，称这种对数为自然对数，记为② 当底数为无理数e =2. 71828
ln N =lo g e N 。
3．指数式与对数式的相互转化及其条件 当a >0, 且a ≠1时，有如下关系
a x =N
x =log a N
底数底数 指数 对数 幂 真数
通过以上直观图示可以看出，指数式与对数式虽然表示的是两种不同的运
算，但都表示a , x , N 三个数之间的数量关系，在a >0, 且a ≠1的条件下，这两种运算可以相互转化，它们互为逆运算。
例1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 （1）54=625； （2）2-6=
m
1
； 64
⎛1⎫
(3) ⎪=5.73； （4）log 116=-4；
⎝3⎭2（5）lg 0.01=-2； （6）ln10=2.303 解：（1）log 5625=4 （2）log 2
1
=-6 64
-4
⎛1⎫
（3）log 15.73=m （4） ⎪=16
⎝2⎭3（5）10-2=0.01 （6）e 2.303=10 课堂练习1：把下列指数式写成对数式
(1)2=8 (2) 2=
3
5
1
-113
= 2 (3) 2= (4) 273
23
-1
课堂练习2：把下列对数式写成指数式
11(3) l o =-(4)2log =-4 (1)log39=2 (2) l o g 1=253235
481
4. 探究对数运算的特殊性质 ① 负数和零没有对数，即N >0； ② 1的对数为0，即log a 1=0； ③ 底数的对数为1，即log a a =1；
④ 两种对数恒等式：a log a N =N 和log a a N =N 。 5. 探究对数的运算法则
由指数函数与对数函数的关系，可以很容易得到对数的运算性质，看如下的一个例子：
当a >0，且a ≠1，M >0，N >0时，由于
a m ∙a n =a m +n
故可以设
M =a m ，N =a n
那么
MN =a m +n
由对数的定义可以得到
log a M =m ，log a N =n ，
log a M ∙N =m +n
将m 和n 分别带入，那么可以得到如下结论：
log a M ∙N =log a M +log a N
可以以此为例，让学生在课堂上推导出如下运算性质的另外两个公式： 对数运算性质：
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：
（1）log a M ∙N =log a M +log a N （2）log a
M
=log a M -log a N N
（3）log a M n =n log a M （n ∈R ） 6. 引入实例，加深对公式的理解 例2．求下列各式的值 （1）log 2(47⨯25) ；
（2）lg ；
解：（1） log 4 7 ⨯ （2） lg 2 5) 2(
=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7⨯2+5⨯1
=19
=lg 102=5
25
7. 探究换底公式的推导及其推论
换底公式：
log a N =
log m N
；m >0，且m ≠1；N >0) ((a >0，且a ≠1
log m a
证明： 设
log a N =x ，
则
两边取以m 为底的对数得：
log m a x =log m N ， ∴x log m a =log m N ，
从而得：
log m N x = ，
log m a
log m N
∴ log a N =．
log m a
课堂练习3：换底公式的推论
1k k
log a n M =log a M l o g =l o g n M a M a
n n 8. 列举生活实例，加深对公式的理解
例3．生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。
解：我们先推算生物死亡t 年后每克组织中的碳14含量，设生物死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳14含量P 有如下关系。
a x =N ，
因此，生物死亡t 年后体内碳14的含量P =x t 。
由于大约每过5730年，死亡生物体内的碳14含量衰减为原来的一半，所以
1
=x 5730， 2
于是
x =1⎛1⎫= ⎪2⎝2⎭
15730
，
⎛1⎫
这样生物死亡t 年后体内碳14的含量P = ⎪
⎝2⎭⎛1⎫
由对数与指数的关系，指数式P = ⎪
⎝2⎭
t 5730
t 5730
。
可写成对数式
P
t =log
5730
2
湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P =0. 767，那么由计算器可得
t ≈2193
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址。 课堂练习4：求下列各式的值：
（1）log 2(27⨯92) （2）lg1002 （3）lg 0.00001 （4
）八、小结
1. 对数的定义（包括什么是底数，什么真数） 2. 指数与对数的相互转换，条件是什么？ 3. 对数公式的掌握（包括换底公式及其推论） 4. 各种对数公式的应用
九、作业
P 68练习题2、3、4
十、板书
《对数与对数运算》
教案
XX 大学数学与统计学院
XXX
一、教学目标
1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能；
2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力；
3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。
二、教学理念
为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
三、教法学法分析
1、教法分析
新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析
“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。
四、教材分析
本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
五、教学重点与难点
重点 ：（1）对数的定义；
（2）指数式与对数式的相互转化及其条件。 难点 ：（1）对数概念的理解；
（2）对数运算性质的理解； （3）换底公式的应用。
六、课时安排：1个课时 七、教学过程
（一）创设情境，引入课题
问题：我们能从关系y =13⨯1.01x 中，算出任意一个年头x 的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿„„”，该如何解决？
抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。
（二）讲授新课 1．对数的定义
x
一般地，如果a =N (a >0, 且a ≠1), 那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记
作
x =log a N (a >0, 且a ≠1, N >0) ，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2. 两种特殊的对数
① 当底数为10时，称这种对数为常用对数，记为lg N =log 10N ；
时，称这种对数为自然对数，记为② 当底数为无理数e =2. 71828
ln N =lo g e N 。
3．指数式与对数式的相互转化及其条件 当a >0, 且a ≠1时，有如下关系
a x =N
x =log a N
底数底数 指数 对数 幂 真数
通过以上直观图示可以看出，指数式与对数式虽然表示的是两种不同的运
算，但都表示a , x , N 三个数之间的数量关系，在a >0, 且a ≠1的条件下，这两种运算可以相互转化，它们互为逆运算。
例1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 （1）54=625； （2）2-6=
m
1
； 64
⎛1⎫
(3) ⎪=5.73； （4）log 116=-4；
⎝3⎭2（5）lg 0.01=-2； （6）ln10=2.303 解：（1）log 5625=4 （2）log 2
1
=-6 64
-4
⎛1⎫
（3）log 15.73=m （4） ⎪=16
⎝2⎭3（5）10-2=0.01 （6）e 2.303=10 课堂练习1：把下列指数式写成对数式
(1)2=8 (2) 2=
3
5
1
-113
= 2 (3) 2= (4) 273
23
-1
课堂练习2：把下列对数式写成指数式
11(3) l o =-(4)2log =-4 (1)log39=2 (2) l o g 1=253235
481
4. 探究对数运算的特殊性质 ① 负数和零没有对数，即N >0； ② 1的对数为0，即log a 1=0； ③ 底数的对数为1，即log a a =1；
④ 两种对数恒等式：a log a N =N 和log a a N =N 。 5. 探究对数的运算法则
由指数函数与对数函数的关系，可以很容易得到对数的运算性质，看如下的一个例子：
当a >0，且a ≠1，M >0，N >0时，由于
a m ∙a n =a m +n
故可以设
M =a m ，N =a n
那么
MN =a m +n
由对数的定义可以得到
log a M =m ，log a N =n ，
log a M ∙N =m +n
将m 和n 分别带入，那么可以得到如下结论：
log a M ∙N =log a M +log a N
可以以此为例，让学生在课堂上推导出如下运算性质的另外两个公式： 对数运算性质：
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：
（1）log a M ∙N =log a M +log a N （2）log a
M
=log a M -log a N N
（3）log a M n =n log a M （n ∈R ） 6. 引入实例，加深对公式的理解 例2．求下列各式的值 （1）log 2(47⨯25) ；
（2）lg ；
解：（1） log 4 7 ⨯ （2） lg 2 5) 2(
=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7⨯2+5⨯1
=19
=lg 102=5
25
7. 探究换底公式的推导及其推论
换底公式：
log a N =
log m N
；m >0，且m ≠1；N >0) ((a >0，且a ≠1
log m a
证明： 设
log a N =x ，
则
两边取以m 为底的对数得：
log m a x =log m N ， ∴x log m a =log m N ，
从而得：
log m N x = ，
log m a
log m N
∴ log a N =．
log m a
课堂练习3：换底公式的推论
1k k
log a n M =log a M l o g =l o g n M a M a
n n 8. 列举生活实例，加深对公式的理解
例3．生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。
解：我们先推算生物死亡t 年后每克组织中的碳14含量，设生物死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳14含量P 有如下关系。
a x =N ，
因此，生物死亡t 年后体内碳14的含量P =x t 。
由于大约每过5730年，死亡生物体内的碳14含量衰减为原来的一半，所以
1
=x 5730， 2
于是
x =1⎛1⎫= ⎪2⎝2⎭
15730
，
⎛1⎫
这样生物死亡t 年后体内碳14的含量P = ⎪
⎝2⎭⎛1⎫
由对数与指数的关系，指数式P = ⎪
⎝2⎭
t 5730
t 5730
。
可写成对数式
P
t =log
5730
2
湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P =0. 767，那么由计算器可得
t ≈2193
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址。 课堂练习4：求下列各式的值：
（1）log 2(27⨯92) （2）lg1002 （3）lg 0.00001 （4
）八、小结
1. 对数的定义（包括什么是底数，什么真数） 2. 指数与对数的相互转换，条件是什么？ 3. 对数公式的掌握（包括换底公式及其推论） 4. 各种对数公式的应用
九、作业
P 68练习题2、3、4
十、板书