函数值域求法总结
1. 直接观察法------对简单的函数观察法。例y =x ；y =3-x 的值域。
2. 配方法---------二次函数值域最基本的方法之一。例y =x
2
1
-2x +5, x ∈[-1, 2]的值域。配方y =(x -1) 2+4∵
x ∈[-1, 2]值域[4,8]
1+x +x 2y =
1+x 3. 判别式法-------二次函数或分式函数(分子或分母中有一个是二次) 都可通用，例的值
2
域。原函数化x 一元二次方程(y -1) x +(y -1) x =0 分类讨论1) 当y=1时； 2) 当y ≠1时, ∵x ∈R ∴△≥0
例y =x +解得1-
x (2-x ) 的值域。原平方整理转化2x 2-2(y +1) x +y 2=0∵x ∈R ∴△≥0∆=4(y +1) 2-8y ≥0
2
2≤y ≤1+
-2(y +1) x +y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保
2≤y ≤1+。可采取如下方法进一步确定原函数的值域。
但∵定义域0≤x ≤2 由∆≥0, 仅保证关于x 的方程2x 实根在区间[0，2]上, 故不能确定此函数的值域1-∵0≤x ≤2∴y =x +
x (2-x ) ≥0
∴y min =0, y =1+2代入方程解
部分剔除。
x 1=
2+2-242
2
∈[0, 2]
原函数的值域
[0, 1+2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数定义域，将扩大的 4. 反函数法---------求其反函数的定义域来确定原函数的值域。(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例y=
3x +45x +6
值域。由原函数的反函数
y =
34-6y 3⎫⎛x ≠ -∞, ⎪
5⎭ 5故所求函数的值域⎝5x -3，其定义域为
x
5. 函数有界性法---------利用函数的有界性，反客为主来确定值域。（a 、sin 例
y =
e x -1
e x +1的值域。原函数式得
x 、cos x 等）
e x =
y +1y -1
∵e >0∴
x
y +1
>0y -1解得
-1
(-1, 1)
例
y =
cos x
sin x -3
的值域。由原函数式得
y s i n x -c o s x =3y ，可化为y 2+1s i n x (x +β) =3y 即
sin x (x +β) =
3y y 2+1
∵x ∈R ∴sin x (x +β) ∈[-1, 1] 即
-1≤
3y y 2+1
≤1
⎡22⎤
, ⎢-⎥⎣44⎥⎦ 解值域为⎢
6. 函数单调性法 求复合函数值域利用单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。
例y =2
x -5
, 33⎥+log 3x -1(2≤x ≤10) 的值域。y 在[2,10]上都是增函数, 值域⎢
⎣8⎦
⎡1
⎤
y =
例y =x +1-x -1的值域。原函数可化+1+x -1 令y 1
2
=+1, y 2=x -1，显然y 1, y 2在
2=[1, +∞]为无上界增函数
y 在[1, +∞]上也为无上界增函数, 所以当x=1时，y =y 1+y 2有最小值2，原函数有最大值显然y >0，故值域(0, 2]
7. 换元法----------复合函数通过换元可变为简单函数，函数解析式含有根式、三角函数、复合函数等。
1232
y =t +t +1=(t +) +2
24 故 例y =x +x -1的值域。令x -1=t ，(t ≥0) 则x =t +1 ∵值域为[1, +∞)
x ∈-, ⎥
⎣122⎦的值域。y =(sinx +1)(cosx +1) =sin x cos x +sin x +cos x +1 令 例y =(sinx +1)(cosx +1) ，⎢
⎡ππ⎤
sin x +cos x =t
，则
1
s x i c n x o =(t 2-1)
2
11
y =(t 2-1) +t +1=(t +1) 2
22
由
t =sin x +cos x =sin(x
⎡3⎤3⎡ππ⎤2, +⎥⎢+x ∈⎢-, ⎥≤t ≤2+π/4) 且⎣122⎦得222⎢4⎥。 ⎦∴值域⎣
+
ab , a +b +c ≥33abc (a , b , c ∈R ) 求最值，特
8. 均值不等式法-----------利用基本不等式a +b ≥2
征和式时积为定值，积式时和为定值，有时需拆项、添项和两边平方等技巧。 9. 求导法--------求导数的极值和最值法，是一种普遍方法。
10. 数形结合法-------函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，用数形结合法。
22
例y =(x -2) +(x +8) 的值域。原函数化y =|x -2|+|x +8|可看成数轴上点P （x ）到定点A(2)，B (-8) 间的距
离之和。故值域[10, +∞]
222222
例y =x -6x +13+x +4x +5的值域。原函数可变y =(x -3) +(0-2) +(x +2) +(0+1) 可看成x 轴上点P (x , 0)
22
到两定点A (3, 2), B (-2, -1) 的距离之和，y min =|AB |=(3+2) +(2+1) =43，故值域[22
例y =x -6x +13-x +4x +5的值域。函数变形y =
43, +∞]
x -3) 2+(0-2) 2-(x +2) 2+(0-1) 2可看成定点A （3,2）到点P （x,0）距
AB ，有
离与定点B (-2, 1) 到点P (x , 0) 距离之差。即y =|AP |-|BP |, 由图可知1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点
' ，根据三角形两边之差小于第三边P ' ，则构成∆ABP
||AP ' |-|BP ' ||
有
||AP |-|BP ||=|AB |=26
综上值域
(-26, 26]
11. 多种方法综合运用-------求值域先关注定义域！
（1） 先看是否单调函数 （2） 常见非单调函数（在有限区间上）求值域（反比例、二次、三角等） （3） 换元转化法为（2）需关注新元范围！ （4） 平均不等式 （5） 几何法：和直线斜率、截距等熟悉曲线联系！（6）求导法 求导数的极值和最值法
函数值域求法总结
1. 直接观察法------对简单的函数观察法。例y =x ；y =3-x 的值域。
2. 配方法---------二次函数值域最基本的方法之一。例y =x
2
1
-2x +5, x ∈[-1, 2]的值域。配方y =(x -1) 2+4∵
x ∈[-1, 2]值域[4,8]
1+x +x 2y =
1+x 3. 判别式法-------二次函数或分式函数(分子或分母中有一个是二次) 都可通用，例的值
2
域。原函数化x 一元二次方程(y -1) x +(y -1) x =0 分类讨论1) 当y=1时； 2) 当y ≠1时, ∵x ∈R ∴△≥0
例y =x +解得1-
x (2-x ) 的值域。原平方整理转化2x 2-2(y +1) x +y 2=0∵x ∈R ∴△≥0∆=4(y +1) 2-8y ≥0
2
2≤y ≤1+
-2(y +1) x +y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保
2≤y ≤1+。可采取如下方法进一步确定原函数的值域。
但∵定义域0≤x ≤2 由∆≥0, 仅保证关于x 的方程2x 实根在区间[0，2]上, 故不能确定此函数的值域1-∵0≤x ≤2∴y =x +
x (2-x ) ≥0
∴y min =0, y =1+2代入方程解
部分剔除。
x 1=
2+2-242
2
∈[0, 2]
原函数的值域
[0, 1+2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数定义域，将扩大的 4. 反函数法---------求其反函数的定义域来确定原函数的值域。(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例y=
3x +45x +6
值域。由原函数的反函数
y =
34-6y 3⎫⎛x ≠ -∞, ⎪
5⎭ 5故所求函数的值域⎝5x -3，其定义域为
x
5. 函数有界性法---------利用函数的有界性，反客为主来确定值域。（a 、sin 例
y =
e x -1
e x +1的值域。原函数式得
x 、cos x 等）
e x =
y +1y -1
∵e >0∴
x
y +1
>0y -1解得
-1
(-1, 1)
例
y =
cos x
sin x -3
的值域。由原函数式得
y s i n x -c o s x =3y ，可化为y 2+1s i n x (x +β) =3y 即
sin x (x +β) =
3y y 2+1
∵x ∈R ∴sin x (x +β) ∈[-1, 1] 即
-1≤
3y y 2+1
≤1
⎡22⎤
, ⎢-⎥⎣44⎥⎦ 解值域为⎢
6. 函数单调性法 求复合函数值域利用单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。
例y =2
x -5
, 33⎥+log 3x -1(2≤x ≤10) 的值域。y 在[2,10]上都是增函数, 值域⎢
⎣8⎦
⎡1
⎤
y =
例y =x +1-x -1的值域。原函数可化+1+x -1 令y 1
2
=+1, y 2=x -1，显然y 1, y 2在
2=[1, +∞]为无上界增函数
y 在[1, +∞]上也为无上界增函数, 所以当x=1时，y =y 1+y 2有最小值2，原函数有最大值显然y >0，故值域(0, 2]
7. 换元法----------复合函数通过换元可变为简单函数，函数解析式含有根式、三角函数、复合函数等。
1232
y =t +t +1=(t +) +2
24 故 例y =x +x -1的值域。令x -1=t ，(t ≥0) 则x =t +1 ∵值域为[1, +∞)
x ∈-, ⎥
⎣122⎦的值域。y =(sinx +1)(cosx +1) =sin x cos x +sin x +cos x +1 令 例y =(sinx +1)(cosx +1) ，⎢
⎡ππ⎤
sin x +cos x =t
，则
1
s x i c n x o =(t 2-1)
2
11
y =(t 2-1) +t +1=(t +1) 2
22
由
t =sin x +cos x =sin(x
⎡3⎤3⎡ππ⎤2, +⎥⎢+x ∈⎢-, ⎥≤t ≤2+π/4) 且⎣122⎦得222⎢4⎥。 ⎦∴值域⎣
+
ab , a +b +c ≥33abc (a , b , c ∈R ) 求最值，特
8. 均值不等式法-----------利用基本不等式a +b ≥2
征和式时积为定值，积式时和为定值，有时需拆项、添项和两边平方等技巧。 9. 求导法--------求导数的极值和最值法，是一种普遍方法。
10. 数形结合法-------函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，用数形结合法。
22
例y =(x -2) +(x +8) 的值域。原函数化y =|x -2|+|x +8|可看成数轴上点P （x ）到定点A(2)，B (-8) 间的距
离之和。故值域[10, +∞]
222222
例y =x -6x +13+x +4x +5的值域。原函数可变y =(x -3) +(0-2) +(x +2) +(0+1) 可看成x 轴上点P (x , 0)
22
到两定点A (3, 2), B (-2, -1) 的距离之和，y min =|AB |=(3+2) +(2+1) =43，故值域[22
例y =x -6x +13-x +4x +5的值域。函数变形y =
43, +∞]
x -3) 2+(0-2) 2-(x +2) 2+(0-1) 2可看成定点A （3,2）到点P （x,0）距
AB ，有
离与定点B (-2, 1) 到点P (x , 0) 距离之差。即y =|AP |-|BP |, 由图可知1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点
' ，根据三角形两边之差小于第三边P ' ，则构成∆ABP
||AP ' |-|BP ' ||
有
||AP |-|BP ||=|AB |=26
综上值域
(-26, 26]
11. 多种方法综合运用-------求值域先关注定义域！
（1） 先看是否单调函数 （2） 常见非单调函数（在有限区间上）求值域（反比例、二次、三角等） （3） 换元转化法为（2）需关注新元范围！ （4） 平均不等式 （5） 几何法：和直线斜率、截距等熟悉曲线联系！（6）求导法 求导数的极值和最值法