期权定价的二叉树模型
Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法
二叉树（binomial tree）模型，它假
设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型
我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是 ，基于该股票的欧式期权价格为 。经过一个时间步（至到期
日T）后该股票价格有可能上升到
相应的期权价格为
相应的期权价格为 ；也有可能下降到
. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2
所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一
个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有 股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升
到
，则该组合在期权到期日的价值为 ；如果该股票价格下降到
，则该组合在期
权到期日的价值为即有
。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，
由此可得
(8.1)
上式意味着
是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。
以 表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组
合的当前价值是
，故有
即
将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为
(8.2)
(8.3)
需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率
应该满足： .
现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
已知：且
在期权到期日，当
时，该看涨权的价值为而当
时，该看涨权的价值为
根据(8.3)和(8.2)，可得
.
上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已
经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为望股票价格为
，则股价下降的概率就是
，在时间
的期
如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有
于是，我们有
由此可得
与(8.3)比较，我们发现：概率。
，这就是参数
的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的
8.2 两步二叉树模型
在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计算的时间步长，有助于提高计算精度。
现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个时间步长 。假设一
只股票的初始价格是 ，基于该股票的欧式期权价格为 ，且每经过一个时间步，该股票价格或者增
加到当前价格的
倍，或者下降到当前价格的
倍。股票和期权价格的演化
过程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-step binomial trees）模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（no arbitrage）假设，由前向后（backward）逐步计算期权价值，我们得到
其中，
(8.4)
在(8.4)中，
(8.5)
分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上
节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。
例8.2 假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期权的价值。
分析 将初始时间到期权到期日的2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示出来。依题意，已知：
且
在期权到期日，当
时，该看跌权的价值为
当
时，该看跌权的价值为
当 时，该看跌权的价值为
根据(8.5)，可得
再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为
.
8.3 多步二叉树模型
一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。通常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。
两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。如果我们将初始时间距期权
到期日的时间T分成
个相等的时间步，则每个时间步长 。令股票的初始价格为
，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的
倍，无风险利率为的
，则在期权到期日，股票价格有
倍，或向下下降到当前价格的
种可能结果：
它们在风险中性状态下出现的概率分别是：
其中
(8.6)
令
为与 种股票价格对应的
期权价值， 为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为
股票看跌权在到期日的价值为
将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为
关于参数
(8.7)
的取值，Cox，Ross和Rubinstein给出了由股票价格波动率
确定的公式：
(8.8)
8.4 二叉树模型的美式股票期权定价
上面我们讨论了应用二叉树模型给欧式股票期权定价。实际上，二叉树模型还可给美式股票期权定价。 美式和欧式股票期权在到期日的价值是相同的。不同的是，美式股票期权的定价过程要求在到期前每一个离散时间点上判断提早执行（early exercise）是否最优，并计算对应的期权价值。
假设股票价格经历了 个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为
，这可用一个 步
二叉树描述（图形省略）。若股票的初始价格为
，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格
的
倍，或向下下降到当前价格的
倍，无风险利率为的 ，则在第
个时间步后，二叉树上产生 个节点，自上而下分别用
表示，则节点节点
对应的股票价格为期权价值用
可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即
表示。如果在
处期权没有被提早执行，则期权价值
(8.9)
(8.10)
如果在节点 处期权被提早执行是最优的，则期权价值
就是提早执行的收益（payoff），令
为期权的敲定价，对股票看涨权，有
对股票看跌权，有
(8.11)
(8.12)
显然，美式股票期权在节点
处的价值应该取
中的较大者，即
(8.13)
由于美式股票期权在期权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也
称作向后推演（backwards induction）。先由第过公式(8.9)(8.13)推出第的期权价值。
步（期权到期日）的
个节点上的期权价值通
步对应的 个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上
下面通过一个例题具体介绍美式股票期权的二叉树定价过程。
例8.3 若例7.2考察的股票期权是美式的，试对该美式股票期权定价。
分析 股票价格的演化进程见图8.5。与欧式股票期权一样，在期权到期日，该美式看跌权的价值自上而下分别为
(8.12)，可得根据式(8.9)
故有
(8.12)，可得再由式(8.9)
美式看跌权的（初始）价值为
.
期权定价的二叉树模型
Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法
二叉树（binomial tree）模型，它假
设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型
我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是 ，基于该股票的欧式期权价格为 。经过一个时间步（至到期
日T）后该股票价格有可能上升到
相应的期权价格为
相应的期权价格为 ；也有可能下降到
. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2
所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一
个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有 股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升
到
，则该组合在期权到期日的价值为 ；如果该股票价格下降到
，则该组合在期
权到期日的价值为即有
。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，
由此可得
(8.1)
上式意味着
是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下，该组合是无风险的。
以 表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组
合的当前价值是
，故有
即
将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为
(8.2)
(8.3)
需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率
应该满足： .
现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
已知：且
在期权到期日，当
时，该看涨权的价值为而当
时，该看涨权的价值为
根据(8.3)和(8.2)，可得
.
上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已
经隐含在股票价格中了。不妨令股价上升的概率为望股票价格为
，则股价下降的概率就是
，在时间
的期
如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有
于是，我们有
由此可得
与(8.3)比较，我们发现：概率。
，这就是参数
的含义，我们称之为风险中性状态下股价上升的
8.2 两步二叉树模型
在一步二叉树模型中，股票和期权的价格只经过一个时间步的演化，如果初始时间距期权到期日的时间间隔太长，有可能造成计算误差太大的缺陷。因此，在初始时间与期权到期日之间增加离散的时间点，缩短计算的时间步长，有助于提高计算精度。
现在我们将初始时间距期权到期日的时间T分成两个相等的时间步，则每个时间步长 。假设一
只股票的初始价格是 ，基于该股票的欧式期权价格为 ，且每经过一个时间步，该股票价格或者增
加到当前价格的
倍，或者下降到当前价格的
倍。股票和期权价格的演化
过程可通过如图8.3所示的二叉树表示出来，这种含有两个时间步长的二叉树称为两步二叉树（Two-step binomial trees）模型。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
类似于一步二叉树模型的期权定价方法，采用无套利（no arbitrage）假设，由前向后（backward）逐步计算期权价值，我们得到
其中，
(8.4)
在(8.4)中，
(8.5)
分别是风险中性状态下最后一个时间步股价到达上
节点，中间节点和下节点的概率。因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的期望价值贴现。
例8.2 假设一只股票的初始价格是$50，且每过1年该股票价格或者上升20%，或者下降20%，无风险利率为5%，现有一个基于该股票，敲定价为$52且2年后到期的欧式看跌权，试用二叉树模型确定该期权的价值。
分析 将初始时间到期权到期日的2年时间分成相等的两个时间步，则股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示出来。依题意，已知：
且
在期权到期日，当
时，该看跌权的价值为
当
时，该看跌权的价值为
当 时，该看跌权的价值为
根据(8.5)，可得
再由(8.4)，即可求得该看跌权的初始价值为
.
8.3 多步二叉树模型
一步和两步二叉树模型太简单了，实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。通常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。
两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。如果我们将初始时间距期权
到期日的时间T分成
个相等的时间步，则每个时间步长 。令股票的初始价格为
，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的
倍，无风险利率为的
，则在期权到期日，股票价格有
倍，或向下下降到当前价格的
种可能结果：
它们在风险中性状态下出现的概率分别是：
其中
(8.6)
令
为与 种股票价格对应的
期权价值， 为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为
股票看跌权在到期日的价值为
将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为
关于参数
(8.7)
的取值，Cox，Ross和Rubinstein给出了由股票价格波动率
确定的公式：
(8.8)
8.4 二叉树模型的美式股票期权定价
上面我们讨论了应用二叉树模型给欧式股票期权定价。实际上，二叉树模型还可给美式股票期权定价。 美式和欧式股票期权在到期日的价值是相同的。不同的是，美式股票期权的定价过程要求在到期前每一个离散时间点上判断提早执行（early exercise）是否最优，并计算对应的期权价值。
假设股票价格经历了 个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为
，这可用一个 步
二叉树描述（图形省略）。若股票的初始价格为
，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格
的
倍，或向下下降到当前价格的
倍，无风险利率为的 ，则在第
个时间步后，二叉树上产生 个节点，自上而下分别用
表示，则节点节点
对应的股票价格为期权价值用
可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即
表示。如果在
处期权没有被提早执行，则期权价值
(8.9)
(8.10)
如果在节点 处期权被提早执行是最优的，则期权价值
就是提早执行的收益（payoff），令
为期权的敲定价，对股票看涨权，有
对股票看跌权，有
(8.11)
(8.12)
显然，美式股票期权在节点
处的价值应该取
中的较大者，即
(8.13)
由于美式股票期权在期权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也
称作向后推演（backwards induction）。先由第过公式(8.9)(8.13)推出第的期权价值。
步（期权到期日）的
个节点上的期权价值通
步对应的 个节点上的期权价值，依此下去，我们可以得到初始时间上
下面通过一个例题具体介绍美式股票期权的二叉树定价过程。
例8.3 若例7.2考察的股票期权是美式的，试对该美式股票期权定价。
分析 股票价格的演化进程见图8.5。与欧式股票期权一样，在期权到期日，该美式看跌权的价值自上而下分别为
(8.12)，可得根据式(8.9)
故有
(8.12)，可得再由式(8.9)
美式看跌权的（初始）价值为
.