轨迹方程的求法

轨迹方程的求法

求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易

于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。也叫直译法；

例1、如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O24,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线

，使得PM。试建立适当的坐标系求动点P的轨迹方程。 PM、

PN(M、N分别为切点）

◎◎双曲线的两焦点分别是F1、F2，其中F1是抛物线y双曲线上．

（1）求点F1的坐标； （2）求点F2的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线． 评析：

1

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

14

(x1)1的焦点，两点A(3,2)、B(1,2)都在该

2

2．定义法：动点的轨迹符合某种已知几何曲线的定义，可知轨迹方程的形式，再利用待定系数法求出方程

的相关系数，这种方法叫做定义法．

例2、已知ABC中，A、B、C所对应的边为a、b、c，且acb,a、c、b成等差数列，|AB|2，求顶点

C的轨迹方程。

◎◎一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB||BC|6，O'切直线l于点A，又过B、C作O'异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。

三．代入法：动点P所满足的条件不易找出，但形成轨迹的动点P(x,y)跟随另一动点Q(x',y')的运

动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x'、y'表示为x、y的关系，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程,这种求轨迹方程的法叫代入法。代入法也称相关点法（影子问题）。

1

例3、已知抛物线y2x1，定点A(3,1)。B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA，当

2

B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

2

◎◎P为双曲线xy21上一动点，F1,F2是曲线的两个焦点，求PF1F2的重心M的轨迹方程。

9

评析：一般地,定比分点问题、对称问题或能转化为这两2

类的轨迹问题，都可用相关点法。

四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标x、纵坐标y之间的关系.可借助中间变量t（参

数），使x、y之间建立起联系：

xf(t)yg(t)

（t为参数），则已得动点的参数方程。若消去参数，则得轨迹的普

通方程方程。注意：参数既可最后消，也可在中间过程中消去。

例4、设点A和B为抛物线 y24px(p0)上除原点O以外的两个动点，已知OAOB,OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

◎◎过点A(1,0)，斜率为k的直线l与抛物线C:y24x交于P、Q两点。若曲线C的焦点F与

P、Q、R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型.由于选参灵活，技巧性强，也是较难掌握的一类问题。

2.用什么变量为参数，要看动点随什么关键量的变化而变化。常见的参数有：斜率、截距、定比分、角、点的某个坐标等。

3.要特别注意消去参数前后保持范围的等价性。

【4.多个参数问题中，根据方程的观点，引入 n个参数，需建立n1个方程，才能消去参数。（特殊情况下，能整体处理时方程个数可减少）】

五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法。也可

以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。交轨法实际是参数法。

例5 、抛物线y24px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出3 交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

六．点差法：也叫中点弦法。顾名思义，用来求解二次曲线（除圆以外）弦的中点轨迹问题。

例6、倾斜角为

◎◎已知抛物线y4x。求过焦点的弦的中点M的轨迹方程。

2



4

的直线交椭圆

x

2

2

y1于A、B。求线段AB的中点M的轨迹方程。

4

◎◎已知双曲线

x

2

2

2

y1。A、B

在双曲线上，且线段AB的中点为M(1,2)。求直线AB的方程。

七、向量法：条件用向量形式表述。



例6 、设x,yR,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量axi(y2)j,



bxi(y2)j,且|a||b|8.

（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程;

（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设OPOAOB,是否存在这样的直线l,使得四边形



OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由。



◎◎设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN2MP

（I）当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；

（II）设A(x1，y1)，B(x

2



,PM⊥PF。

，y2)D，x(

3

y，)3

是曲线C4 上的三点，且AFBFDF成等差数列，当AD的



垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，求B点的坐标。

评析：（1）与向量相关的一类求轨迹问题是高考的重点。

（2）这类题通常有两个向量条件：一个是向量的相等关系：用来找动点的坐标关系。另一个是实数的相等关系：用来列方程.

巩固练习：

1

、方程y （ ） A、双曲线 B、半圆 C、两条射线 D、抛物线

2、方程[(x1)2(y2)2](x2y2)0表示的图形是： （ ） A、两条相交直线 B、两条直线与点（1，－2） C、两条平行线 D、四条直线

3、动点P与定点A(1,0)、B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程是： （ ）

2

A、x2+y2=1 B、x2+y2=1(x≠±1） C、x2+y2=1(x≠1） D、y=x

4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A、x2+y2=2(x+y) B、x2+y2=2|x+y| C、x2+y2=2(|x|+|y|) D、x2+y2=2(x－y) 5、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是：（ ） A、中心在原点的椭圆 B、中心在（5，0）的椭圆 C、中点在原点的双曲线 D、中心在（5，0）的双曲线

6、已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是 （ ） A、(x－2)2+y2=4 B、(x－2)2+y2=4(0≤x＜1) C、(x－1)2+y2=4 D、(x－1)2+y2=4(0≤x＜1)

7、已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是： （ ） A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 8、若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆

9、点M到F（3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M的轨迹方程是：（ ） A、y2=12x B、y2=12x(x>0) C、y2=6x D、y2=6x(x>0)

10、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（ ） A、x2+y2=

12

B、x2+y2=

14

C、x2+y2=

12

(x

12

) D、x2+y2=

14

（x

14

)

物线顶点的轨迹方程是 （ ） 11、抛物线过点M（2，－4），且以x轴为准线，此抛5 A、(x－2)2+(y+4)2=16 (y¹0) B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (y¹0) C、(x－2)2－(y+4)2=16 D、(x－2)2+4(y+4)2=16

22

12、椭圆C与椭圆(x3)(y2)1关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

94

2222

A、(x+2)+(y+3)=1 B、(x-2)+(y-3)=1

4994

C、(x+2)

9

2

+

(y+3)

4

2

=1 D、

(x-2)

4

2

+

(y-3)

9

2

=1

13、设A1、A2是椭圆

x

2

9



y

2

4

=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的

轨迹方程为 ( ) A.x

2

9



y

2

4

1 B.

y

2

9



x

2

4

1 C.

x

2

9



y

2

4

1 D.

y

2

9



x

2

4

1

14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为

程为 ( )

12

，则椭圆方

A.

2x

2

25



2y

2

75

1 B.

2x

2

75



2y

2

25

1 C.

x

2

25



y

2

75

1 D.

x

2

75



y

2

25

1

15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P

的轨迹方程为 （ ） A、x2+y2=2a2 B、x2+y2=4a2 C、x2－y2=4a2 D、x2－y2=a2

16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 17、过原点的动椭圆的一个焦点为F（1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为。 18、曲线x2+4y2=4关于点M（3，5）对称的曲线方程为 。 19、经过抛物线y=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 。 20、倾斜角为



4

2

的直线交椭圆

x

2

4

+y=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。

2

21、两条直线ax+y+1=0和x－ay－1=0(a≠±1）的交点的轨迹方程是 。

6

轨迹方程的求法

求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易

于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。也叫直译法；

例1、如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O24,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线

，使得PM。试建立适当的坐标系求动点P的轨迹方程。 PM、

PN(M、N分别为切点）

◎◎双曲线的两焦点分别是F1、F2，其中F1是抛物线y双曲线上．

（1）求点F1的坐标； （2）求点F2的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线． 评析：

1

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

14

(x1)1的焦点，两点A(3,2)、B(1,2)都在该

2

2．定义法：动点的轨迹符合某种已知几何曲线的定义，可知轨迹方程的形式，再利用待定系数法求出方程

的相关系数，这种方法叫做定义法．

例2、已知ABC中，A、B、C所对应的边为a、b、c，且acb,a、c、b成等差数列，|AB|2，求顶点

C的轨迹方程。

◎◎一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB||BC|6，O'切直线l于点A，又过B、C作O'异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。

三．代入法：动点P所满足的条件不易找出，但形成轨迹的动点P(x,y)跟随另一动点Q(x',y')的运

动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x'、y'表示为x、y的关系，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程,这种求轨迹方程的法叫代入法。代入法也称相关点法（影子问题）。

1

例3、已知抛物线y2x1，定点A(3,1)。B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BPPA，当

2

B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

2

◎◎P为双曲线xy21上一动点，F1,F2是曲线的两个焦点，求PF1F2的重心M的轨迹方程。

9

评析：一般地,定比分点问题、对称问题或能转化为这两2

类的轨迹问题，都可用相关点法。

四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标x、纵坐标y之间的关系.可借助中间变量t（参

数），使x、y之间建立起联系：

xf(t)yg(t)

（t为参数），则已得动点的参数方程。若消去参数，则得轨迹的普

通方程方程。注意：参数既可最后消，也可在中间过程中消去。

例4、设点A和B为抛物线 y24px(p0)上除原点O以外的两个动点，已知OAOB,OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

◎◎过点A(1,0)，斜率为k的直线l与抛物线C:y24x交于P、Q两点。若曲线C的焦点F与

P、Q、R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型.由于选参灵活，技巧性强，也是较难掌握的一类问题。

2.用什么变量为参数，要看动点随什么关键量的变化而变化。常见的参数有：斜率、截距、定比分、角、点的某个坐标等。

3.要特别注意消去参数前后保持范围的等价性。

【4.多个参数问题中，根据方程的观点，引入 n个参数，需建立n1个方程，才能消去参数。（特殊情况下，能整体处理时方程个数可减少）】

五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法。也可

以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。交轨法实际是参数法。

例5 、抛物线y24px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出3 交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

六．点差法：也叫中点弦法。顾名思义，用来求解二次曲线（除圆以外）弦的中点轨迹问题。

例6、倾斜角为

◎◎已知抛物线y4x。求过焦点的弦的中点M的轨迹方程。

2



4

的直线交椭圆

x

2

2

y1于A、B。求线段AB的中点M的轨迹方程。

4

◎◎已知双曲线

x

2

2

2

y1。A、B

在双曲线上，且线段AB的中点为M(1,2)。求直线AB的方程。

七、向量法：条件用向量形式表述。



例6 、设x,yR,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量axi(y2)j,



bxi(y2)j,且|a||b|8.

（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程;

（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设OPOAOB,是否存在这样的直线l,使得四边形



OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由。



◎◎设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN2MP

（I）当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；

（II）设A(x1，y1)，B(x

2



,PM⊥PF。

，y2)D，x(

3

y，)3

是曲线C4 上的三点，且AFBFDF成等差数列，当AD的



垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，求B点的坐标。

评析：（1）与向量相关的一类求轨迹问题是高考的重点。

（2）这类题通常有两个向量条件：一个是向量的相等关系：用来找动点的坐标关系。另一个是实数的相等关系：用来列方程.

巩固练习：

1

、方程y （ ） A、双曲线 B、半圆 C、两条射线 D、抛物线

2、方程[(x1)2(y2)2](x2y2)0表示的图形是： （ ） A、两条相交直线 B、两条直线与点（1，－2） C、两条平行线 D、四条直线

3、动点P与定点A(1,0)、B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则P点的轨迹方程是： （ ）

2

A、x2+y2=1 B、x2+y2=1(x≠±1） C、x2+y2=1(x≠1） D、y=x

4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A、x2+y2=2(x+y) B、x2+y2=2|x+y| C、x2+y2=2(|x|+|y|) D、x2+y2=2(x－y) 5、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是：（ ） A、中心在原点的椭圆 B、中心在（5，0）的椭圆 C、中点在原点的双曲线 D、中心在（5，0）的双曲线

6、已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是 （ ） A、(x－2)2+y2=4 B、(x－2)2+y2=4(0≤x＜1) C、(x－1)2+y2=4 D、(x－1)2+y2=4(0≤x＜1)

7、已知M（－2，0），N（2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P的轨迹是： （ ） A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 8、若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆

9、点M到F（3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M的轨迹方程是：（ ） A、y2=12x B、y2=12x(x>0) C、y2=6x D、y2=6x(x>0)

10、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（ ） A、x2+y2=

12

B、x2+y2=

14

C、x2+y2=

12

(x

12

) D、x2+y2=

14

（x

14

)

物线顶点的轨迹方程是 （ ） 11、抛物线过点M（2，－4），且以x轴为准线，此抛5 A、(x－2)2+(y+4)2=16 (y¹0) B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (y¹0) C、(x－2)2－(y+4)2=16 D、(x－2)2+4(y+4)2=16

22

12、椭圆C与椭圆(x3)(y2)1关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

94

2222

A、(x+2)+(y+3)=1 B、(x-2)+(y-3)=1

4994

C、(x+2)

9

2

+

(y+3)

4

2

=1 D、

(x-2)

4

2

+

(y-3)

9

2

=1

13、设A1、A2是椭圆

x

2

9



y

2

4

=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的

轨迹方程为 ( ) A.x

2

9



y

2

4

1 B.

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2

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2

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x

2

9



y

2

4

1 D.

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2

9

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x

2

4

1

14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为

程为 ( )

12

，则椭圆方

A.

2x

2

25



2y

2

75

1 B.

2x

2

75



2y

2

25

1 C.

x

2

25



y

2

75

1 D.

x

2

75



y

2

25

1

15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P

的轨迹方程为 （ ） A、x2+y2=2a2 B、x2+y2=4a2 C、x2－y2=4a2 D、x2－y2=a2

16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 17、过原点的动椭圆的一个焦点为F（1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为。 18、曲线x2+4y2=4关于点M（3，5）对称的曲线方程为 。 19、经过抛物线y=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 。 20、倾斜角为



4

2

的直线交椭圆

x

2

4

+y=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。

2

21、两条直线ax+y+1=0和x－ay－1=0(a≠±1）的交点的轨迹方程是 。

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