线线垂直测试题
1. 如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
M, N分别是AB, PC的中点.
(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥DC ；
P
N
D
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.
(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB ； A
3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：PA ⊥CD
；
4．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．
(1)求证：AC ⊥B 1C ；
（2）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD.
5．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB =90o ，PM //BC ，PM =1，BC =2．又AC =1，∠ACB =120o ，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．
（1）求证：PC ⊥AC ； （2）求三棱锥V B -MAC 的体积.
A
B
6．如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, CA =CB , AB =
AA 1, ∠BAA 1=
60. 1
; AC 1
(1)证明:AB ⊥
(2)若AB =CB =, 求三棱柱ABC -A
1B 1C 1的体积. =2, AC 1
π
2 7．如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC , CE ∥BG ，且∠BCD =∠BCE =
平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2. ，
（1）求证: EC ⊥CD ；
（2）求证：AG ∥平面BDE ；
（3）求：几何体EG-ABCD 的体积.
线线垂直答案
1. （1）设PD 的中点为E ，连AE, NE，则易得四边形AMNE 是平行四边形，则 MN ∥AE ， MN ⊄平面PAD , AE ⊂平面PAD ， 所以 MN ∥平面PAD
（2）∵PA ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD
又AD ⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD 平面PAD ，∵ AE ⊂平面PAD
∴CD ⊥AE ∵MN ∥AE ∴MN ⊥DC
2．(1)证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，
G 为AD 的中点，得BG ⊥AD.
又平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，∴BG ⊥平面PAD.
(2)证明：连结PG ，因为△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，得PG ⊥AD.
由(1)知BG ⊥AD ，
∵PG∩BG＝G ，PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB
∴AD ⊥平面PGB.
∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB.
3．证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．
因为底面ABCD 是正方形，
所以AC 与BD 互相平分．
又因为F 是BD 中点，
所以F 是AC 中点．
在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，
所以EF ∥PA ．
又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，
所以EF ∥平面PAD ． 4分
（Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，
又CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，
所以CD ⊥面PAD ．
又因为PA ⊂平面PAD ，
所以CD ⊥PA ．即PA ⊥CD ． 9分
4．.(1)证明：在△ABC 中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
222所以AC +BC=AB，所以AC ⊥BC ．
因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，所以CC 1⊥AC ，
因为BC ∩AC=C，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ．
所以AC ⊥B 1C ． 6分
（2）连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．
因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，
DE 为△ABC 1的中位线，所以DE//AC1．
因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD ． 12分
5. （1）证明：∵PC ⊥BC , PC ⊥AB ，又AB ⋂BC =B
∴ PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AC 5分
（2）过M 做MN ⊥BC , 连接AN ，
则CN =PM =1，MN ⊥平面ABC, ∠AMN =60o 7分
在∆ACN 中，由余弦定理得， AN 2=AC 2+CN 2-2AC ⋅CN cos 120o =3
在Rt ∆AMN 中，AN =3, ∠AMN =60o , ∴MN =1
∴点M 到平面ACB 的距离为1，
而
S ∆ACB =1 10分 AC ⋅CB sin1202 .
∴V B -ACM =V M -ACB =1S ∆ACB ⋅MN 12分
36. (1)取AB 的中点O , 连接OC 、OA 1、A 1B ,
因为CA=CB,所以OC ⊥AB , 由于AB =AA 1, ∠BAA 1=60, 故∆AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB , 因为OC OA 1=O ，
所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊆面OA 1C ，故AB ⊥AC .
(2)由题设知∆ABC 与∆AA 1B 都是边长为2的等边三角形，
所以OC =OA =AC +OA 1，故OA 1⊥OC . 1=又AC 1122
因为OC
AB =O , 所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为棱柱ABC -A 1BC 的高，11
ABC 又∆ABC 的面积S =ABC -A 1BC 的体积V =S 11ABC ⨯OA 1=3.
7．（1
）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，
平面ABCD ∩平面BCEG =BC , CE ⊥BC , CE ⊂平面BCEG ,
∴EC ⊥平面ABCD ，3分
又CD ⊂平面BCDA , 故 EC⊥CD4分
（2）证明：在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，连DM ，则由已知知；MG =MN
，MN ∥BC ∥DA , 且MN =AD =BC 1
2
∴MG ∥AD , MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM 6分
∵DM ⊆平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE 8分
11（3）解：V EG -ABCD =V D -BCEG +V G -ABD =S BCEG ⋅DC +S ∆ABD ⋅BG 10分 33
12+1117=⨯⨯2⨯2+⨯⨯1⨯2⨯1= 12分 32323
线线垂直测试题
1. 如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
M, N分别是AB, PC的中点.
(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥DC ；
P
N
D
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.
(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB ； A
3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：PA ⊥CD
；
4．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．
(1)求证：AC ⊥B 1C ；
（2）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD.
5．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB =90o ，PM //BC ，PM =1，BC =2．又AC =1，∠ACB =120o ，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．
（1）求证：PC ⊥AC ； （2）求三棱锥V B -MAC 的体积.
A
B
6．如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, CA =CB , AB =
AA 1, ∠BAA 1=
60. 1
; AC 1
(1)证明:AB ⊥
(2)若AB =CB =, 求三棱柱ABC -A
1B 1C 1的体积. =2, AC 1
π
2 7．如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC , CE ∥BG ，且∠BCD =∠BCE =
平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2. ，
（1）求证: EC ⊥CD ；
（2）求证：AG ∥平面BDE ；
（3）求：几何体EG-ABCD 的体积.
线线垂直答案
1. （1）设PD 的中点为E ，连AE, NE，则易得四边形AMNE 是平行四边形，则 MN ∥AE ， MN ⊄平面PAD , AE ⊂平面PAD ， 所以 MN ∥平面PAD
（2）∵PA ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD
又AD ⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD 平面PAD ，∵ AE ⊂平面PAD
∴CD ⊥AE ∵MN ∥AE ∴MN ⊥DC
2．(1)证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，
G 为AD 的中点，得BG ⊥AD.
又平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，∴BG ⊥平面PAD.
(2)证明：连结PG ，因为△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，得PG ⊥AD.
由(1)知BG ⊥AD ，
∵PG∩BG＝G ，PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB
∴AD ⊥平面PGB.
∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB.
3．证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．
因为底面ABCD 是正方形，
所以AC 与BD 互相平分．
又因为F 是BD 中点，
所以F 是AC 中点．
在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，
所以EF ∥PA ．
又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，
所以EF ∥平面PAD ． 4分
（Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，
又CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，
所以CD ⊥面PAD ．
又因为PA ⊂平面PAD ，
所以CD ⊥PA ．即PA ⊥CD ． 9分
4．.(1)证明：在△ABC 中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
222所以AC +BC=AB，所以AC ⊥BC ．
因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，所以CC 1⊥AC ，
因为BC ∩AC=C，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ．
所以AC ⊥B 1C ． 6分
（2）连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ．
因为直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，
DE 为△ABC 1的中位线，所以DE//AC1．
因为DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ，所以AC 1∥平面B 1CD ． 12分
5. （1）证明：∵PC ⊥BC , PC ⊥AB ，又AB ⋂BC =B
∴ PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AC 5分
（2）过M 做MN ⊥BC , 连接AN ，
则CN =PM =1，MN ⊥平面ABC, ∠AMN =60o 7分
在∆ACN 中，由余弦定理得， AN 2=AC 2+CN 2-2AC ⋅CN cos 120o =3
在Rt ∆AMN 中，AN =3, ∠AMN =60o , ∴MN =1
∴点M 到平面ACB 的距离为1，
而
S ∆ACB =1 10分 AC ⋅CB sin1202 .
∴V B -ACM =V M -ACB =1S ∆ACB ⋅MN 12分
36. (1)取AB 的中点O , 连接OC 、OA 1、A 1B ,
因为CA=CB,所以OC ⊥AB , 由于AB =AA 1, ∠BAA 1=60, 故∆AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB , 因为OC OA 1=O ，
所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊆面OA 1C ，故AB ⊥AC .
(2)由题设知∆ABC 与∆AA 1B 都是边长为2的等边三角形，
所以OC =OA =AC +OA 1，故OA 1⊥OC . 1=又AC 1122
因为OC
AB =O , 所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为棱柱ABC -A 1BC 的高，11
ABC 又∆ABC 的面积S =ABC -A 1BC 的体积V =S 11ABC ⨯OA 1=3.
7．（1
）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，
平面ABCD ∩平面BCEG =BC , CE ⊥BC , CE ⊂平面BCEG ,
∴EC ⊥平面ABCD ，3分
又CD ⊂平面BCDA , 故 EC⊥CD4分
（2）证明：在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，连DM ，则由已知知；MG =MN
，MN ∥BC ∥DA , 且MN =AD =BC 1
2
∴MG ∥AD , MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM 6分
∵DM ⊆平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE 8分
11（3）解：V EG -ABCD =V D -BCEG +V G -ABD =S BCEG ⋅DC +S ∆ABD ⋅BG 10分 33
12+1117=⨯⨯2⨯2+⨯⨯1⨯2⨯1= 12分 32323