矩形、菱形、正方形辅导练习题
复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。 一、 例题讲解
例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,△ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形。
例2、已知如图,菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AE=2。
求:(1)∠ABC的度数; (2)对角线AC、BD的长; (3)菱形ABCD的面积。
例3、如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. (1) 求证:DE-BF = EF.
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
1
二、 巩固提高 (一)选择题
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ).
A、 对角线相等 B、 对边相等 C、 对角相等 D、 对角线互相平分
2、下列对矩形的判定:“(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有四个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边是矩形;(6)对角线相等,且有一个直角的四边形是矩形;(7)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;(8)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有( )
A、3 个 B、4个 C、5个 D、6个
3、下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、对边平行且相等 B、对角线互相平分
C、内角和等于外角和 D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴
4、下列条件中,能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A、对角线互相平分的四边形 B、对角线互相垂直且平分的四边形 C、对角线相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的四边形
5、已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是( )
A、AB=CD B、AC=BD C、当AC⊥BD时,它是菱形 D、当∠ABC=90°时,它是矩形
6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )。
A.四个角都是直角 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。
A、对角线相等 B、对角线互相垂直平分 C、四条边相等 D、一条对角线平分一组对角
8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是( )。
A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形 C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形
9、下列命题中,假命题是( )。
A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形 C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2
10、在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定四边形是正方形的条件是( )。 A、ACBD,AB//CD B、AD//BC,AC
C、AOBOCODO,ACBD D、AOCO,BODO,ABBC
11、矩形的两条对角线所成的钝角是120°,若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为 ( ) A、6
B、5.8
C、2(3 )
D、5.2
B
12、如图,菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2∶1,则对角线的长分别为( ) A、4和2
B、1和3
C、2和23
D、2和3
D
13、如图,矩形ABCD的对角线AC的中垂线与AD、BC分别交于F、E,则四边形AFCE的形状最准第12题 确的判断是( )
A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
A
F
D
BE
C
第13题
第 14 题
第15题
14、如图,设F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延长线于E,若S正方形ABCD=64,S△CEF=50, 则S△CBE=( )
A、20 B、24 C、25 D、26
15、如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,则PE+PF的值为( )
12135
A、5 B、5 C、2 D、2
(二)填空题
16、已知一个菱形的面积为83 ㎝2,且两条对角线的比为1∶3 ,则菱形短的对角线长为_________。
17、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积为____________________。
18、在Rt△ABC中,斜边AB上的中线长为3,则AC2+BC2+AB2= ______________________。
3
19、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4,则它的各内角度数为___________________。 20、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下列结论①△ODC是等边三角形; ②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE,其中正确的结论的序号是 ___________________。
21、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为 ______________。
A
B
第20题图
第21题图
D
22、点M为矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,且PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、AD满足条件__________时,四边形PEMF是矩形。
23、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE= _______________。
(三)解答题
24、已知:如图,在□ABCD中,O为边AB的中点,且∠AOD=∠BOC.求证:□ABCD是矩形. C
AB O
第22题
B
第23题图
C
25、已知菱形ABCD中,AC与BD相交O点,若∠BDC=300,菱形的周长为20厘米,求菱形的面积.
4
BD
26.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,□ABCD的周长为40。 ⑴求BC的长; ⑵求□ABCD的面积.
B
E
CF
A
D
27.已知,如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OB的中点. (1)求证:△ADE≌△BCF;(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的长.
28.如图,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,动点M从点D出发,按折线DCBAD方向以2cm/s 的速度运动,动点N从点D出发,按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动. (1)若动点M、N同时出发,经过几秒钟两点相遇?
(2)若点E在线段BC上,且BE=3cm,若动点M、N同时出发,相遇时停止运动,经过几秒 钟,点A、E、M、N组成平行四边形?
29.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. ⑴求证:CE=CF;
⑵在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
D
B C
图
5
30. 已知:如图,在正方形ABCD,E是BC边上一点,F是CD的中点,且AE = DC + CE.
求证:AF平分∠DAE.
法一:
F
E
法二:
31.证明:1)对于任意的对角线垂直的凸四边形,连接各边中点,得到的是矩形; 2)对于任意的对角线相等的凸四边形,连接各边中点,得到的是菱形。
6
矩形、菱形、正方形辅导练习题
复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。 一、 例题讲解
例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,△ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形。
例2、已知如图,菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AE=2。
求:(1)∠ABC的度数; (2)对角线AC、BD的长; (3)菱形ABCD的面积。
例3、如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. (1) 求证:DE-BF = EF.
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
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二、 巩固提高 (一)选择题
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ).
A、 对角线相等 B、 对边相等 C、 对角相等 D、 对角线互相平分
2、下列对矩形的判定:“(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有四个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边是矩形;(6)对角线相等,且有一个直角的四边形是矩形;(7)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;(8)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有( )
A、3 个 B、4个 C、5个 D、6个
3、下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、对边平行且相等 B、对角线互相平分
C、内角和等于外角和 D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴
4、下列条件中,能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A、对角线互相平分的四边形 B、对角线互相垂直且平分的四边形 C、对角线相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的四边形
5、已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是( )
A、AB=CD B、AC=BD C、当AC⊥BD时,它是菱形 D、当∠ABC=90°时,它是矩形
6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )。
A.四个角都是直角 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )。
A、对角线相等 B、对角线互相垂直平分 C、四条边相等 D、一条对角线平分一组对角
8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是( )。
A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形 C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形
9、下列命题中,假命题是( )。
A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形 C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
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10、在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定四边形是正方形的条件是( )。 A、ACBD,AB//CD B、AD//BC,AC
C、AOBOCODO,ACBD D、AOCO,BODO,ABBC
11、矩形的两条对角线所成的钝角是120°,若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为 ( ) A、6
B、5.8
C、2(3 )
D、5.2
B
12、如图,菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2∶1,则对角线的长分别为( ) A、4和2
B、1和3
C、2和23
D、2和3
D
13、如图,矩形ABCD的对角线AC的中垂线与AD、BC分别交于F、E,则四边形AFCE的形状最准第12题 确的判断是( )
A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
A
F
D
BE
C
第13题
第 14 题
第15题
14、如图,设F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延长线于E,若S正方形ABCD=64,S△CEF=50, 则S△CBE=( )
A、20 B、24 C、25 D、26
15、如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,则PE+PF的值为( )
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A、5 B、5 C、2 D、2
(二)填空题
16、已知一个菱形的面积为83 ㎝2,且两条对角线的比为1∶3 ,则菱形短的对角线长为_________。
17、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积为____________________。
18、在Rt△ABC中,斜边AB上的中线长为3,则AC2+BC2+AB2= ______________________。
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19、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4,则它的各内角度数为___________________。 20、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下列结论①△ODC是等边三角形; ②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE,其中正确的结论的序号是 ___________________。
21、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为 ______________。
A
B
第20题图
第21题图
D
22、点M为矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,且PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、AD满足条件__________时,四边形PEMF是矩形。
23、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE= _______________。
(三)解答题
24、已知:如图,在□ABCD中,O为边AB的中点,且∠AOD=∠BOC.求证:□ABCD是矩形. C
AB O
第22题
B
第23题图
C
25、已知菱形ABCD中,AC与BD相交O点,若∠BDC=300,菱形的周长为20厘米,求菱形的面积.
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BD
26.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,□ABCD的周长为40。 ⑴求BC的长; ⑵求□ABCD的面积.
B
E
CF
A
D
27.已知,如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OB的中点. (1)求证:△ADE≌△BCF;(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的长.
28.如图,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,动点M从点D出发,按折线DCBAD方向以2cm/s 的速度运动,动点N从点D出发,按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动. (1)若动点M、N同时出发,经过几秒钟两点相遇?
(2)若点E在线段BC上,且BE=3cm,若动点M、N同时出发,相遇时停止运动,经过几秒 钟,点A、E、M、N组成平行四边形?
29.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. ⑴求证:CE=CF;
⑵在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
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B C
图
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30. 已知:如图,在正方形ABCD,E是BC边上一点,F是CD的中点,且AE = DC + CE.
求证:AF平分∠DAE.
法一:
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法二:
31.证明:1)对于任意的对角线垂直的凸四边形,连接各边中点,得到的是矩形; 2)对于任意的对角线相等的凸四边形,连接各边中点,得到的是菱形。
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