追及问题训练例题
例1，火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距d 处有另一火车以v2做匀速运动（v1>v2）, 司机立即刹车，要使两车不相碰，刹车的加速度要满足什么条件？
例2，在水平轨道上有两列大车A 和B 相距为s ，A 车在后面做初速度为v0，加速度为2a 的匀减速直线运动，两车运动方向相同，B 车做初速度为0，加速度为a 的匀加速直线运动，要使两车不相碰，求A 车初速度v0满足什么条件？
例3，如图为θ的光滑斜面顶端有一质点A 由静止释放，与此同时，在斜面底端有另一质点B 由静止开始以加速度a 在光滑的水平面上运动（匀加速），设斜面的倾角为θ，A 质点能平稳的通过斜面底端，且它通过底端小圆弧的时间可忽略，要使质点A 不能追上质点B ，试求质点B 的加速度取值范围？
例4，一辆执勤警车停在公路边，当警员发现从他身边以10m/s匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s 警车启动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的速度必须控制在90Km/h以内，问： （1）警车在追赶货车的过程中，两车间动的最大距离为多少？ （2）警车启动后要多长时间才能追上货车？
典型例题分析之二（图像法）
例1，（2007年全国高考题Ⅱ卷）在一浅色传送带上放煤块，传送带先以a0的加速度启动，当速度到达v0后匀速运动，结果煤块在传送带上留下一道黑色痕迹，煤块与传送带之间的动摩擦因数为u ，求痕迹的长度L ？ 图像法 一般分析法
例2，将粉笔头A 轻放在以2m/s的恒定速度运动的足够长的水平传送带后，传送带上留下一条为4m 的划线，若使该传送带该做加速度大小为1.5m/s2的匀减速直线运动直至速度为0，并且在传送带开始减速时，将另一粉笔B 轻放在传送带上，则粉笔头B 停止在传送带的位置与划线起点间的距离为多少？ 图像法 一般分析法
例3，汽车由草地从静止出发，沿平直的公路驶向乙地，先以加速度a, 做匀加速运动，然后做匀速运动，最后以a2做匀减速运动，到乙地恰好停下。甲、乙两地距离为S ，那么要使汽车从甲地到乙地时间最短，汽车将怎样运动？最短时间为多少？（用图像法分析）
例4，（2006年上海高考题）质量为10Kg 的物体在F=200N的水平推力的作用下，从粗糙斜面底端由静止开始沿斜面运动，斜面静止不动，其倾斜角为θ=37°，力F 作用2S 后撤去，此后物体在斜面上继续滑行了1.25S ，速度减为0，求物体与斜面间的动摩擦因数和总位移？
（g=10m/s2 sin37°=0.6 cos37°=0.8） （用图像法分析）
典型例题分析（公式法）
例1，(2008年全国高考题Ⅰ卷) 已知O 、A 、B 、C 同为一直线上四个点，AB 间距离为L1，B C 间距离为L2，一物体自O 点由静止出发，沿直线做匀加速直线运动，依次经过A 、B 、C 三点，已知物体经AB 、BC 段时间相等，求O 与A 的距离。
（一）公式法： （二）图像法
例2，（2008年四川高考题）A 、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当B 车在A 车前84m 处时，B 车的速度为4m/s且正以2m/s2的加速度做匀加速直线运动，A 车一直以20m/s的速度做匀速直线运动，经过12S 后两车相遇，问B 车加速的时间？
例3，一物体以一定的初速度冲上一倾角为θ的斜面，结果最后静止在斜面上，斜面足够长，在第1S 内位移为6m ，最后1S 内位移为2m ，求：（1）在整个减速运动过程中质点的位移大小？ （2）整个过程中质点运动的时间？
例4，一小物体在光滑的水平面上自A 在F1恒力的作用下运动，当物体运动到B 点时突然撤去F1，加上与F1反向的恒力F2的作用，经过相同的时间物体又返回到A 点，此时物体的速度为8m/s，求撤去F1时物体的速度？
例5，从地面同时竖直上抛甲、乙两小球，甲上升的最大高度比乙上升的最大高度多5.5m ，甲球比乙球迟落地1S ，不计阻力，甲、乙两球的最大高度各为多少？
例6，A 、B 两球先、后从空中同一点释放做自由落体运动，时间间隔Δt=1S，在某时刻A 、B 两球的距离S=15m，A 、B 球均未着地，g=10m/s2求：（1）此时A 球距释放点的高度？ （2）此时B 球的速度大小
（3）若A 、B 两球用15m 长的轻绳连接，在轻绳绷紧前后，系统损失的机械能为多少？细绳对A 球的冲量是多少？（重力的冲量可忽略）
关于瞬时加速度讲解例题
例1，A 、B 两木板间连一轻质弹簧，A 、B 质量相等，一起静止在光滑的水平面上，若将B 底下的木板突然抽出，在木板抽出的瞬间，A 、B 的加速度分别是多少？
例2，如图，S1的上端固定在天花板上，下端连小球A ，球A 和球B 用细线连接，球B 和球C 用弹簧S2连接，A 、B 、C 的质量分别为m,2m,3m, 开始时三球静止，现将A 、B 之间的细线剪断，求剪断细线后的瞬间A 、B 、C 的加速度。
例3，如图，吊篮C 用轻绳悬挂在天花板上，A 、B 之间用轻质弹簧连接，A 、B 、C 质量均为m ，当剪断细线C 后的瞬间，A 、B 、C 的加速度各为多少？
例4，如图，剪断O O ′后的瞬时，A 、B 、C 的加速度等于多少？
例5，如图A 、B 叠放在一起，弹簧的一端固定在地面上，另一端与B 相连，用一竖直向下的恒力F=10N，向下压物体A ，使系统平衡，已知mA=mB=2Kg，现突然撤去F ，求撤去F 的瞬间A 、B 之间的作用力？
滑块问题例题分析
例1，质量为4Kg 的木板，L=1.4m，静止在光滑的水平面上，其右侧静置一质量为m=1Kg的小滑块，滑块与木板之间的动摩擦因数u=0.4，今用一水平力F=28N的恒力向右拉木板，要使滑块离开木板，恒力F 至少要作用多长时间？
例2，如图，薄板长L=5m，质量为5Kg ，放在水平桌面上，其右端与桌面边缘平齐，距木板右端S=3m处放一质量m=2Kg的可视为质点的物体B ，已知A 、B 之间的动摩擦因数u1=0.1，A 、B 与桌面的动摩擦因数u2=0.2,最初系统静止，现对A 右端施一水平恒力F 后，将A 从B 地下抽出且恰好使B 停在桌面边缘，试求F 的大小？（g=10m/s2）
例3，一小圆盘静止在水平桌面上，位于方桌的桌面中央，桌布的一边与桌面的AB 边缘重合，如图，已知盘与桌布之间的动摩擦因数为u1，桌面与盘之间的动摩擦因数为u2，现突然以恒定的加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向水平且垂直于AB 边，若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足什么条件？（用g 表示重力加速度）
例4，质量m=0.2Kg的长木板静止在水平面上，长木板与水平面之间的动摩擦因数u1=0.1,一质量为m=0.2Kg的滑块以V0=1.2m/s的速度从长木板的左端滑上木板，滑块与木板之间的动摩擦因数u2=0.4，求小滑块滑上木板到完全静止的过程中，滑块发生的位移？（滑块始终没有离开木板）
例5，传送带与地面的倾角θ=37°，从A 到B 得长度为L=3.2m，传送带以V2=2m/s的速度逆时针转动，在传送带上端A 点无初速地放一可视为质点的小物块，它与传送带之间的动摩擦因数u=0.5,求（1）小物块从A 点放上到B 点离开传送带的时间? （2）小物块离开传送带后，传送带留下的痕迹长度？（sin37°=0.6 cos37°=0.8 取g=10m/s2）
牛顿第二定律与图像结合例题分析
例1，质量m=1.5Kg的物体（可视为质点），在水平恒力F 的作用下，水平面上A 点由静止开始运动，运动一段时间后撤去F ，物体继续滑行了2.0S 停在B 点，已知AB=5m，物体与水平面之间的动摩擦因数u=0.2，求恒力F 的大小。
例2，在水平面上有一物体，用方向不变的水平力F 推物体，得其物体的F —t 图像和V —t 图像如图（g=10m/s2）求物体的质量和物体与水平面之间的动摩擦因数u.
例3，如图（a ），质量为m=1Kg的物体沿倾角θ=37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平向右，其大小与风速成正比，比例系数用k 表示，物体的加速度a 与风速v 的关系如图所示，求：（1）物体与斜面之间的动摩擦因数u ，（2）比例系数k （sin37°=0.6 cos37°=0.8 g=10m/s2）
例4，用水平拉力拉动物体在水平面上做加速直线运动，当改变拉力大小时，物体的加速度也随之改变，a 与F 的关系如图所示，g=10m/s2.
（1）根据图像所给的信息，求物体的质量及水平面之间的动摩擦因数。
（2）若改用质量为原来2倍的同种材料的物体，请在图中坐标系中画出这种情况下的a —F 图像（要求写出作图依据）
例5，质量为m=40Kg的小孩站在电梯内的体重计上，电梯从t=0的时刻由静止开始上升，在0—6s 内体重计的示数F 的变化如图，试问在这段时间内电梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/s2.
关于连接体的例题分析
例1，水平面上有一带弧形凸起的长方体木块A ，木块A 上的物体B 用绕过凸起的轻绳与物体C 相连，B 与凸起之间的绳是水平的，用一水平向左的拉力F 作用在物体B 上，恰使A 、B 、C 保持相对静止，如图，已知物体A 、B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，不计所有摩擦，则拉力F 多大？
例2，如图所示，在光滑的水平面上放置质量为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一根不可伸长的轻绳连接，木块间的最大静摩擦力为umg ，现用水平拉力拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块以相同加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为多少？
例3，在2008年北京残奥会开幕会上，运动员手拉绳索向上攀登，最终点燃了主火炬，体现了残疾运动员坚忍不拔的意志和自强不息的精神，为了探索在上升过程中运动员与绳索和吊椅间的相互作用，可将过程简化，一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，一端挂吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住，如图，设运动员质量为65Kg ，吊椅质量为15Kg, 不计定滑轮和轻绳的质量及摩擦，g=10m/s2,当吊椅以1m/s2的加速度上升时， 求（1）运动员对绳的拉力 （2）运动员对吊椅的压力？
牛顿第二定律关于临界、极值问题的例题分析
例1，如图，倾角为θ的光滑物块P 上，有一垂直于斜面固定的挡板上C
，斜面上放有两个物块A 和B ，两物块平行于斜面且用轻弹簧连接，整个系统静止在光滑的水平面上，某时刻，将一从零开始逐渐增大的水平力F 作用在P 上，P 由静止开始运动，已知P 、C 的总质量为M ，A 、B 的质量分别为mA 和
mB, 弹簧的劲度系数为k ，重力加速度为g ，求：
（1）物块B 刚要离开C 时，力F 的大小。
（2）从F 开始作用到B 刚要离开C 时，物块A 相对斜面发生的位移。
例2，如图，整个系统在力F 的作用下，在水平面上以a=2g的加速度向右运动，已知悬吊的小物块其质量m=1Kg，g=10m/s2，求绳AC 和BC 的张力各是多大？
例3，在光滑的水平面上放置一质量M=2Kg的斜面体，一质量m= Kg的小球按图示用细线系在斜面上，细线与斜面平行，小球与斜面之间的最大静摩擦力为5N ，现用F=45N的水平力，推斜面体，求此时细线对物体（小球）作用力？ 如果向右推斜面呢？
例4，一个弹簧测力计放在水平地面上，θ为与弹簧上端连接的盘，P 为一重物，已知P 的质量M=10.5Kg，Q 的质量m=1.5Kg,弹簧的质量不计，劲度系数k=800N/m，系统处于静止，如图所示，现在给P 施加一竖直向上的力F ，使它从静止做匀加速直线运动，已知在前0.2s 内F 为变力，0.2s 后F 为恒力，求力F 的最大值和最小值？（g=10m/s2）
曲线运动的合成与分解 平抛运动例题
例1，物体在一水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M 点到N 点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M 点到N 点的运动过程中，物体的动能（ ）
A, 不断增大 B, 不断减小
C, 先减小后增大 D ，先增大后减小
例2，如图在不计滑轮摩擦，绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是（ ）
例3，地面上有一以角速度v0匀速转动的探照灯，云层离地面的高度为H ，当光线与竖直方向成θ时，求光斑在云层下面的移动速度？
例4，如图，在竖直平面内放一直角光滑杆，水平和竖直杆各套有一小球A 和B ，A 、B 之间用轻绳连接，现用外力拉A ，使A 以1m/s的速度运动，绳与OA 之间的夹角为37°，求小球B 上升的速度？
例5，小船过河，船对水的速率不变，若船头垂直于河岸划行，则经10min 可达下游180m 处的对岸。若船头指向与河岸上游成θ角划行，则经12.5min 可到对岸，求（1）θ角多大？ （2）若第二次靠岸的地点是正对岸，河宽是多少米？
例6，小船从A 码头出发，沿垂直于河岸方向渡河，若河宽为d ，渡河速度v 船恒定，河水的流速与到河岸的距离x 成正比，即 v 河水=kx (x ≤d/2),要使小船能到达距A 正对岸距离为s 的B 码头，求(1)v船=？ （2）渡河时间t0=？
例7，风洞实验室能产生大小和方向均变化的风力，如图，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建xoy 直角坐标系，质量m=0.5Kg的小球以初速度v0=0.4m/s从O 点沿x 轴正方向，在0—2.0s 内受到一个沿y
轴正方向，大小F1=0.20N的风力作用，小球运动2.0s 后，风力方向改为y 轴负方向，大小F2=0.1N(未画出) 求：（1）小球在0—2.0s 内的位移
（2）风力F2作用多长时间，小球速度变为与初速度相同 （3）小球回到x 轴上的动能。
平抛运动例题分析
1，体育竞赛中有一项运动为掷镖，如图，墙壁上落有两只飞镖。它们是从同一水平位置射出的，飞镖A 与竖直墙壁成θ1=53°，飞镖B 与竖直墙壁成θ2=37°，两者相距为d ，假设飞镖运动为平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离？（sin37°=0.6 cos37°=0.8）
2，在倾角为37°角的斜面底端的正上方H 处，平抛一物体，该物体落在斜面上的速度正好与斜面垂直，求物体抛出时的速度？
3，如图，为测量子弹的速度，子弹穿过A 纸片后射穿B 纸片，已知枪口到A 纸片的距离为s ，两纸片之间的距离为Δs ，两孔的高度差为h ，求子弹飞行的水平速度？
例4，如图，在倾角为θ=30°的斜坡顶端A 处，沿水平方向以初速度v0=10m/s抛出一小球，恰好落在斜坡底端B 处，求：
（1
）斜坡的长度
（2）小球刚要落在B 点时的速度
（3）平抛运动中，小球离开斜面的最大距离。
例5，抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动，现讨论乒乓球发球问题。设球台长2L
，网高为h ，兵乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度反弹前后大小不变，方向相反，且不考虑兵乓球的旋转和空间阻力（设重力加速度为g ）
（1）若球在球台边缘O 点正上方高度h1处以速度v1水平发出，落在球台的p1点，求p1点到O 点的水平距离x1.
(2)若球在O 点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的p2，求v2的大小
（3）若球在O 点正上方水平发出后，球经过反弹恰好越过球网且恰好落在对方球台边缘p3处，求发球点距O 点的高度h3.
圆周运动例题分析
例1，某变速直行车，有六个飞轮和三个链轮，各轮齿数如下，前后轮半径为660mm ，人骑车的速度为4m/s，例4，如图，“时空之旅”飞车表演时，演员驾驶摩托车在球形金属网的内壁上、下盘旋，假设演员以20m/s的恒定速率在金属网内壁做特技表演，已知人车总质量为200Kg ，摩托车所受阻力是摩托车对轨道压力的k 倍，且k=0.1，g=10m/s2,摩托车可视为质点，求：
此脚踏板做匀速圆周运动的加速度最小值为多少
例2，如图，位于竖直平面你呢的光滑轨道由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道半径为R ，一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆轨道运动，要求物块能通过圆轨道的最高点，且在该轨道的最高点与轨道的压力不得超过5mg （g 为重力加速度），求物块的初始位置相对于圆形轨道底部的高度的取值范围。
例3，如图，半径
R=0.40m的光滑半圆轨道处在竖直平面内，半圆轨道与粗糙水平地面相切于A 点，一质量m=0.1Kg的小球以初速度v0=7m/s在水平地面上向右做加速度为a=3m/s2的匀减速直线运动，运动4m 后冲上竖直半圆轨道，最后小球落在C 点，求AC 的距离。（取g=10m/s2）
（1）若摩托车沿图示大圆轨道做圆周运动，且它通过最高点时发动机功率为0，求大圆半径？ （2）若按图示大圆轨道运动，求在最低点B ，发动机的功率。
（3）若摩托车绕水平大圆轨道运动，求运动一周摩托车发动机所做的功？
关于万有引力定律的应用
一，巧用比式 求比值
方法：根据相关规律写出有关物理的通式，利用通式之比，化成最简，再代数字。
例1，把火星和地球视为质量分布均匀的球体，它们绕太阳做匀速圆周运动的周期之比为T1/T2，火星和地球表面的重力加速度之比为g1/g2，火星和地球的半径之比为r1/r2,则火星和地球绕太阳运动的动能之比是多少？
例2，火星探测项目是我国继神舟载人航天工程，嫦娥探月工程之后又一重大太空探索项目，假设火星探测星器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆轨道运行周期为T2。火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T1与T2之比为：
例3，1990年5月，南京紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为“吴健雄星”，该小行星的半径为16Km ，若将此星和地球看做匀速球体，她得密度与地球相同，已知地球的半径为R=6400Km,地球表面的重力加速度为g ，地球的第一宇宙速度为v0，小行星表面的重力加速度为g1, 第一宇宙速度为v1, 则：
A, g1/g=20 B,g1/g=1/400 C, v1/v0=1/400 D, v1/v0=1
二，求有关密度的问题
方法：根据ρ=M/v （M=4π^2 r^3/(GT^2)=gR^2/G 和v=4/3πR^3）
则ρ=3πr^3/(GT^2R^3) =3g/(4Πrg) 若是“近地卫星”则ρ=3π/GT^2
例1，一宇航员到达半径为R ，密度均匀的某天体表面，做如下实验，用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，其上端固定在O 点，如图所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间变化的规律，如图，F1，F2已知，万有引力常量为G ，忽略各种阻力，求（1）该星球表面的重力加速度？ （2）该星球的密度ρ？
例2,2007年10月24日，我国成功发射“嫦娥一号”月球探测卫星，并于11月7号8点34分成功的将轨道调整到绕月的环形轨道，卫星离月球表面高度H=200Km，周期（绕月）T=127min,绕月的线速度v=1.60Km/s,已知万有引力常数G=6.67*10^-11N.m2/Kg^2.试根据以上已知量的符号表示月球的平均密度表达式？并根据数据求出月球的平均密度？（保留三位有效数字）
卫星运动与光学问题的结合
一，①规范作图 ②寻找与所求时间t=θ/2π*T对应的圆弧度（在所做的几何图中通过解三角形或其他几何知识求出）
例1，某地球的同步卫星正下方的地面上有观察者，他用望远镜观察在太阳照射下的此卫星，试问春分那天在日落12小时内有多长时间，该观察者看不到此卫星？设地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球的自转周期为T0，不考虑大气对光的折射。
例2，我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行，为获得月球全貌信息，让卫星轨道缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球，设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R1和R2，月球绕地球，卫星绕月球的轨道半径分别为r1和r2，月球绕地球的周期为T ，假定在卫星绕月球的一个周期内卫星轨道平面与地、月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地面的时间？（用M 、m 、R1、R2、r1、r2和T 表示，忽略月球绕地球转动时对遮挡时间的影响）
例3，有一颗地球卫星，绕地球做匀速圆周运动，卫星与地心的距离为地球半径R0的2倍，卫星圆形轨道与赤道平面重合，卫星上的太阳能收集板可以把光能转化成电能，太阳能收集板的面积为s ，在太阳光照射下，每单位面积提供的最大电功率为p, 已知地球表面的重力加速度为g ，近似地认为太阳光为平行光，试估算太阳能收集板在卫星绕地球一周的时间内最多转化的电能？
关于卫星问题的例题分析
例1，人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以绕地球沿椭圆轨道运动，对于沿椭圆轨道运动的卫星，以下说法正确的是：
A, 近地点的速度一定等于7.9Km/s B ，近地点的速度一定大于7.9Km/s,小于11.2Km/s C, 近地点的速度可以小于7.9Km/s D, 远地点的速度一定小于同高度圆轨上的运行速度 例4，引力常量为G ，地球的质量为M ，半径为R ，自转周期为T0，地表面的重力加速度为g0，同步卫星的高度为h ，则在地球表面附近运动的高度不计的人造卫星的周期T 为：( )
A,T0 B,(R/R+h)^3/2T0 C,2π√(R/g0) D,2πR √(R/GM)
例5,1970年4月24日，我国自行设计并制造的第一颗人造卫星“东方红”发射成功，开始了我国航天事业的新纪元，“东方红1号”运行的轨道为椭圆轨道，其近地点M 与远地点N 的高度分别为439Km 和2384Km ，则（ ）
例2，如图为某同步卫星的发射过程示意图，先把卫星发射到近地的圆形停泊轨道，再通过调整进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点调整到最后的同步圆形轨道，在近地圆轨道上的运行速率为v1，椭圆轨道的近地点速率为v2，椭圆轨道远地点速率为v3，同步圆轨道上运行的速率为v4，则v1,v2,v3,v4的大小是：
例3,2009年5月，航天飞机在完成对哈勃望远镜的修理任务后，在A 点的从圆形轨道Ⅰ，进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图，关于航天飞机的运动，下列说法正确的是： A, 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 点的速度
B, 在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于轨道Ⅰ上经过A 的动能 C, 在轨道Ⅱ上运动的周期小于轨道Ⅰ上运动的周期
D, 在轨道Ⅱ上经A 点加速度小于轨道Ⅰ上经过A 的加速度
Ⅱ
A, M 点的势能大于N 点的势能
B, 卫星在M 点角速度大于N 点的角速度 C, 卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度 D ，卫星在N 点的速度大于7.9Km/s
例6，已知地球半径为R, ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响。 （1）推导第一宇宙速度V1的表达式
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道离地面的高度为h ，求卫星的运行周期T （3）若地球的角速度为w0，推导地球同步卫星的高度表达式。
关于几种特殊的天体
1，当一个天体的逃逸速度（即第二宇宙速度）大于光速时，其表面的光子也无法挣脱其引力
束缚而射向太空，因此人类永远无法直接观察它，这种天体被人类称为“黑洞”
（一）黑洞：
2，恒星演化到末期，如果其质量大于太阳的2倍，则该恒星有可能成为黑洞。
例1，有一密度为ρ的恒星, 半径为R, 要使该恒星演化到末期变成黑洞, 求它演化到末期密度的最小值为多少?
例2, 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。 (1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s 的多少倍(结果保留一位有效数字) ；
(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的
引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为E p =-G(设粒子在离黑洞无限远处的势
能为零) ，式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m 2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量M s =2.01030kg ，太阳半径R s =7.0108m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数，2009年天津理综）
（二）双星：以两星连线上某一点为圆心，两星之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动，两星及轨道圆心三点时刻共线。
特点：旋转方向相同，且角速度，周期相等。
例1，如图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和星球B 两者之间中心的距离为L ，已知A 、B 的中心和O 点始终共线，引力常数为G （1）求两星做圆周运动的周期
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行时周期记为T1，但在近似取理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的结果记为T2, 已知地球和月球的质量分别为5.98*10^24Kg和7.35*10^22Kg,求T2和T1两者之比（结果保留3位小数）（2010年全国Ⅰ卷理综）
(三) 三星系统存在的形成：
1，三星在一条直线上，以它们三者之间万有引力为向心力，绕中央星做匀速圆周运动。 特点：由于三星共线，处在连线端点的两星做匀速圆周运动。 角速度，周期一定相等。 2，三星处在等边三角形的三个顶点上，运动过程中三星之间的相对位置保持不变。
特点：由于三星总在正△的三个顶点上，因此三星一定绕正三角形的外接圆心做匀速圆周运动，向心力由另外两星对它的万有引力的合力提供，三星绕轨道圆心运动的角速度相等，周期相等。
例1，（2006年广东高考题）宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他天体对他们的引力作用，已知观测到得稳定的三星系统存在着两种基本形式：一种是三星在一条直线上，两星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行，另一种形式是三颗星位于等边三角形三个顶点上，并沿外接于三角形的圆轨道上运行，设每个星体的质量均为m 。 （1）试求第一种形式下，星体运动的速度和周期。
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离为多少？
练习题
1，如图，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为w0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球球心。 （1）求卫星B 的运动周期
（2）如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时间A 、B 两卫星相距最近，则至少经过多长时间，使他们再一次相距最近？至少经过多长时间它们相距最远？
2，我国“神舟”七号宇宙飞船已成功发射，当时在飞船控制中心的大屏幕上出现了一幅运行轨迹图，如图，它记录了“神舟”七号飞船在地球表面垂直投影的位置变化：图中表示在一段时间内飞船绕地球飞行四周，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①②③④，图中分别标出了各点的经纬度（如：在轨迹①通过赤道时的经度为157.5°，绕行一周后轨迹②再次经过赤道时经度为180°……. ）, 若地球半径R=6400Km，地球表面处的重力加速度g=10m/s2，从图中的信息计算“神舟”七号飞船的（1）运行的周期 （2）飞船离地表的高度？ （3）运行的线速度的大小？
机械能之功和功率例题分析
例1，若在湖面水中固定一细长圆管，管下端触及湖水中，管内有一不漏气得轻质活塞，它下端位于水平面上，活塞的底面积s=1.0cm2,水面上大气压P0=1,0*10^5Pa,现把活塞缓慢提高15m ，求在这一过程中拉力F 做的功？（ρ水=1.0*10^3Kg/m3 g=10m/s2）
例2，木板长为L ，在木板的B 端静放着质量为m 的小物块P ，物块与木板之间的动摩擦因数为u ，开始时AB 水平，现缓慢转动木板，当物块开始滑动时，停止转动木块，物块开始下滑时木块的倾角为α，以下关于支持力和摩擦力做功的情况是：
A, 在转动过程中，木板对物块的支持力做正功，且W=mgLsinα
B, 在转动过程中，木板对物块的静摩擦力做负功，且Wf=-umgLcosα C, 在物块下滑的过程中，支持力不做功。
D, 在物块下滑的过程中，滑动摩擦力对物块P 做负功且Wf=-umgL(1-cosα)
例3，喷水池喷出的竖直向上的水柱高h=5m,已知空中有20dm3的水，空气的阻力不计，求喷水机做功的平均功率为多少？（g=10m/s2）
例4，如图，滑块的质量为m, 斜面高位h ，倾角为θ且光滑，滑块从斜面顶端滑到底端的过程中，求：（1）整个过程中重力做功的平均功率？（2）滑块滑到底端时的瞬时功率？
例5，（2009年上海高考题）质量为5X10^3kg的汽车在t=0时刻速度v0=10m/s，随后以P=6X10^4 W 的额定功率沿平直公路继续前进，经72s 达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5X10^3 N。求： (1)汽车的最大速度Vm 2) 汽车在72s 内经过的位移.
例6，额定功率为80Km 的汽车，在平直公路行驶75m 达到最大速度20m/s，汽车质量m=2t，如果汽车从静止启动做匀加速直线运动，加速度大小是2m/s2，运动过程中阻力不变，求（1）汽车受到的阻力多大？ （2）3s 末汽车的瞬时功率多大？ （3）汽车维持匀加速的时间时多少？ （4）汽车从启动到最大速度的时间是多少？
动能定理例题分析
一，动能定理与圆周运动、平抛运动以及其他运动的综合
例1、如图a 、b 是水平轨道，长度ab=2.0m，滑块与水平轨道的动摩擦因数u=0.2，bc 为竖直的光滑半圆轨道，其半径为R=0.4m,现A 、B 两个滑块之间夹一个压缩的弹簧并用细线拴住，使它们静止在水平轨道上，当简短细线后A 被弹开，伺候它沿着半圆轨道通过最高点C 并落在b 点前方4m 处，已知mA=0.1kg、mB=0.2kg、g=10m/s2，例1、AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，B 、C 、D 是光滑的竖直光滑圆弧轨道，AB 在B 点恰好与圆弧相切，圆弧轨道半径为R ，一个质量为m 的物体可视为质点，从直轨道上的P 点由静止释放。结果它能在两轨道之间做往复运动，已知P 点与圆心的距离O 等高，物体与直轨道AB 动摩擦因数为u ，求： (1)物体做往复运动的过程中，在AB 轨道上通过的总路程？ (2)最终当物体通过圆弧最低点时对圆弧轨道的压力是多少？
所有物体皆可视为质点，求剪断细线前弹簧的弹性势能是多少？
例2、（2007年海南宁夏卷）倾斜的雪道长为25m ，定稿为15m 。下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接。如图，一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以v0=8m/s的水平速度飞出。在落在倾斜倾斜轨道上时，运动员靠改变姿势经行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲过程外运动员可视为质点，过度圆弧光滑其长可被忽略不计。设滑雪板与学到之间的u=0.2，球运动员在水平雪道上滑行的距离？
二，用动能定理解决多过程问题
例2、某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过转化处理为速度时间图像。如图所示，（除2-10s 为曲线运动外，其余时间图像均为直线）已知小车运动过程中，2-14s 时间段的功率保持不变，在14s 末停止遥控让小车自由滑行，小车质量为m=1.0kg，可以认为在整个过程中小车受到的阻力不变，求 (1)小车所受阻力Ff 的大小？ (2)小车匀速施行的功率？
(3)小车在加速过程中的位移的大小？
三，用动能定理取理系统问题
方法：对系统内个物体单独用动能定理，找出不同物体相关的物理量，特别是用细绳连接的物体组成的系统，个物体间的速度关系。一般不要采用整体法对系统用动能定理。
例1、如图、数值平面内，有一直角杆，干的水平部分粗糙，竖直部分光滑。两部分各套有质量分别为mA=2 .0kgmB=1.0kg的小球A 和B 。A 与水平部分之间的u=0.20，A 、B 之间用不可伸长的细绳连接，图示位置：OA=1.5m、OB=2.0m,取g=10m/s2，光用水平力沿杆向右拉A ，使B 以速度1m/s的速度匀速上升，则B 经过图示位置上升0.5m 的过程中，求拉力F 做了多少功？
例2、如图，有一光滑的T 字支架，在它的竖直杆上套有一个质量为m 的物体A ，用长为l 的不可伸长的细绳将A 悬挂在套于水平杆上的小环B 下，B 的质量为m2=m1=m，开始时A 处于静止状态，细绳处于竖直状态，禁用水平恒力F=3mg拉小环B ，使A 上升，求当拉至细绳与水平杆成37°时，A 的速度是多大？
四，动能定理与弹簧的结合
弹力的做功 W=-Ep, 弹力做正功，Ep 减小；弹力做负功，Ep 增大。
例1、如图，一个物体的质量为m=2kg，在倾角为37°的斜面上的A 点以v0=3m/s下滑，A 点距弹簧上端的距离为AB=4m，当物体到达B 点后将压缩到C 点。最大压缩量BC=0.20m然后物体被弹上去，弹到最高位置D 点，D 点到A 点距离为3.0m ，当扳及弹簧质量不计，g=1.0m/s2.求; （1）物体与斜面之间的动摩擦因数u? （2）弹簧最大的弹性势能？
例2、如图，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面。斜面处在电场强度为E 方向沿斜面向下的均匀电场中。一劲度系数为K 的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面低端，整根弹簧处在自然状态。一质量为m ，带电量为q （q>0)的滑块从距离弹簧上端s0处由静止释放。滑块在运动过程中电量不变，设弹簧和滑块接触的过程中没有机械能的损失。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g ： 求：（1）滑块从静止释放到与弹簧上端接触所用的时间t ？ （2）若滑块在沿斜面下滑的过程中最大的速度为vM ，求滑块从释放到最大速度的过程中弹簧弹力所做的功W ？ （3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在图2中画出滑块沿斜面向下运动的整个过程中的v-t 图像。图中的横坐标t1、t2、t3分别为滑块与弹簧上端、第一次速度达到vM 、第一次速度减少到0的时刻。v1为与弹簧上端刚开始接触时的速度（滑块），vM 为题中所指物理量。（不要求计算）
动能定理应用之五：与电磁场之间的综合
例1、如图竖直平面内有范围足够大，水平向左的匀强电场，在虚线左侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一绝缘的C 形轨道由两段直杆和一半径为R 的半圆环组成。并固定在竖直平面内，PQ 、MN 足够长且水平，直径PM 在磁场边界上，PAMN 是光滑的，现有一质量为m, 带电量为+q的小环套在MN 杆上，它所受的电场力是重力的3/4。现在在D 点静止释放，小环刚好到达P 点。求： （1）求DM 间的距离
（2）求在上述过程中小坏第一次通过与D 点等高的A 点时轨道对环的作用力。 （3）若小环与PQ 间的动摩擦力因数为u （设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等），现在小环套在M 点右侧4R 处由静止释放，求小环在运动过程中克服摩擦力所做的功。
例2、在水平方向的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端连着一质量为m 的带电小球，另一端固定在D 点，把小球拉起直至细线与场强的方向平行，然后无初速释放小球。已知小球最低点的另一侧时，线与竖直方向成θ角。如图，求小球经过最低点时对细线的拉力。
一，单体的机械能守恒
例1、如图所示，有一个由斜面和半圆环组成的光滑轨道，R=2.5m，要使在平地上抛出一小球，是他在半圆环最高点A 处平滑的进入半圆轨道，再沿斜面上升到离地面10m 的高度。试求应在水平地面上何处，以多打的速度，怎样的抛射角抛出小球？（g=10m/s2）
例2、如图，ABC 和DEF 是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC 的末端水平，DEF 是半径为r=0.4m的半圆型轨道，其直径DF 沿竖直方向，CD 可看做重合，现有一可视为质点的小球从轨道ABC 上距C 点高为H 的得放由静止释放。
(1)若要小球经C 处水平进入轨道DEF 且沿轨道运动，H 至少要多高？
(2)若小球静止释放处距离C 点的高度h 小于（1）中高度的最小值，小球可击中与与圆心等高的E 点，求
h.(g=10m/s2)
例3、一根全长为L ，粗细均匀的铁链，对称的挂在光滑的轻小滑轮上，当收到轻微的拖动，铁链开始滑动，求铁链脱离滑轮瞬间的速度.
二，多体的机械能守恒
选用系统的ΔEk+ΔEp=0(ΔEk=ΔEp 减) 或ΔEA+ΔEB=0.(不需要选择参照面)
例1、一杆长为2L ，一端固定在O 点，可绕O 点无摩擦转动，在杆的中点和另一端各固定一个质量均为m 的小球A 和B ，如图，求杆转到D 点正下方时，杆对球做了多少功？
例2、质量为m 和M 的小物体用轻绳连接（M>m),跨过无摩擦的定滑轮，m 固定在倾角为θ的斜面上，最初两物体位置如图，数值高度差为H ，若两物体由静止开始运动，求两物体在同一高度时的速率?
例3、如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质定滑轮D1和D2和质量为mB=m的小球相连。另一端与在光滑直杆上质量mA=m的滑块相连。已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直面内，与水平面的夹角为θ=60°，直杆上C 点与O1、O2在同一高度，C 点到D1的距离为L ，重力加速度为g, 设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰，现将小物块从C 点由静止释放，试求：
(1)小球降到最低点时，小物块的机械能（取C 点所在水平面为参考面） (2)小物块下滑的最大距离
(3)小物块在下滑距离为L 时的速度大小
例4、如图所示，A 、B 两球用轻杆相连，A 只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动。B 球处于光滑水平面内，开始时杆竖直，AB 两球静止。由于微小的扰动，B 球开始沿水平面向右运动。已知A 球的质量为mA ，B 球的质量为mB ，杆长为L 则：
(1)A球着地时的速度为多大？
(2)A球的机械能最小时，水平面对B 球的支持力多大？
(3)若mA=mB=m当A 球机械能最小时，杆与竖直方向的夹角为θ，A 球机械能的最小值为多大？(选水平面为参考面)
例5、如图，细绳绕过两个定滑轮A 和B. 在两端个挂质量为m 的物体，在AB 的中点C 挂一质量为M 的小球，AB 轴心间的距离为2L ，且m
（2）小球下落的最大高度h2（滑轮及绳的质量不计，绳与滑轮的 摩擦力不计）
例6、光滑的长轨道如图所示，底部为半圆形，半径为R ，固定在竖直水平面内，AB 两质量相同的小环用长为R 的轻杆连接在一起，套在轨道上，将AB 两环由图示位置由静止释放，A 环与底部距离为2L ，不考虑杆与轨道的接触，即忽略各系统 的机械能损失
(1)A、B 两环都未进入圆轨道时，杆的作用力情况 (2)A环到最点时，两环的速度大小?
(3)若轻杆长为22R,A 环仍然从距半圆形底部2R 处由静止释放。经过半圆底部再次上升后，A 环离开半圆形底部的最大高度
三，机械能守恒与弹簧的结合：
（1）弹簧拉伸或压缩量相同的弹簧的弹性势能相同或弹簧两次从同一状态变化到另一相同状态，势能变化量相同。
（2）利用弹簧振子
例1、如图甲所示，质量分别为m 和M 的两物体AB 用进度系数为K 的轻质弹簧连接起来，若将A 固定在天花板上，用手托住B ，让弹簧处于原长。然后放手，B 开始震动，在震动的过程中的最大速度为vM ，问;B 震动具有最大速度时，弹簧的弹性势能为多大？如图2所示，若将A 从天花板取下，使弹簧为原长时，让两物体从静止开始自由下落，下落时弹簧始终保持竖直状态。当中午A 下降h 时，B 恰好与地面相碰，假设碰撞后B 不离开地面，但不粘连，为使A 反弹时能将B 提离地面，则下落高度至少为多少？
例2、质量为m 的钢板与直立的弹簧上端相连，下端固定在地面上，平衡时的压缩量为x0, 如图所示，一物体从弹簧正上方3x0处的A 点自由下落，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动。但不黏贴，它们到达最低点后又向上运动，抑制物体的质量为m 时，它们恰能回到D 点。若物体质量为2m 时，仍从A 处自由下落。求物体向上运
动所能达到的最高点与O 点的距离。
例3、如图，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的物体B 相连，B 的质量为m2，弹簧的的劲度系数为K,AB 都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向，现在挂钩上挂一质量为m3的物体C 并且从静止释放，已知它恰好使B 离地面但不连续上升。若将C 换成另一质量为（m1+m3)的物体D ，仍然上述的初始位置由静止释放，则这次B 刚离开地面时D 的速度大小是多少？（已知重力加速度为g ） （2005年全国1卷）
例4、如图，一质量为m 的小球固定在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点处。将小球拉至A 处，弹簧恰好无形变。由静止小球，它运动到D 点正下方B 点速度为v ，与A 点竖直高度差为h ，则 A>由A 到B 重力所做的功为mgh
B>由A 到B 重力势能减小1/2mv2
C>由A 到B 客服弹力所做的功为mgh
D>小球到达位置B 时的弹性势能为mgh-1/2mv2
关于动量定理的应用
(一) 动量定理在多个过程中的应用：
例1如图，一段不可伸长的轻绳一端固定在O 点，另一端系一质量为m=4kg的小球。已知绳的长为5m 先将小球用手托到与O 点等高的高度，从静止释放，结果小球2s 落地，落地时小球的速度为15m/s，求小球自然下落时离地面的高度h?
例2，如图任何冰车的质量为M ，另一木球的质量为m ，M ：m=31:2。人站在冰车上并静止在光滑的冰面上。人以相对与地面的速度v 将原来静止的木球沿着冰面向正前方推向固定挡板。设小球与木板之间的碰撞是弹性碰撞。人接住球后再以同样的速度v 将小球又推向挡板，如此反复，求推多少次木球后再也不能接住球。
（二）求碰撞过程中的平均作用力 例1、据报道，一辆轿车变速行驶强行超车时，与迎面而来的另一辆轿车相碰。两车因碰撞而挤压，皆缩短了0.5m ，据测算相碰撞时辆车的速度约为108km/h。试求：在碰撞过程中车内60kg 的人受到的冲击力多大？
例2、据报道，1980年，一架英国战斗机与一只秃鹰相碰撞造成机会人亡的事故。试通过计算说明年类对飞机飞行的威胁，设飞鸟的质量为为m=1kg，飞机的速度v=800m/s，若两者相碰，使计算飞鸟对飞机的撞击力？ 用动量解决有关动力学问题，在只涉及到力、时间、速度的问题常用动量定理解决。
动量定理应用之（三）
用动量解决有关动力学问题，在只涉及到力、时间、速度的问题常用动量定理解决。
例1、质量为2kg 的物体停放在粗糙的水平面上，从某时刻起，物体受到一个F=10N方向与水平方向成37°角的恒力作用。由静止开始运动，已知物体与水平面之间的动摩擦因数u=0.2。（g=10m/s2)求： （1）则撤去恒力时物体运动速度的大小？ （2）撤去F 后物体还能向前运动多长时间？
例2、如图，滑块A 和B 用轻细线连接在一起。放在水平面上。用大小为F 的水平恒力作用在B 上，用大小为F 的水平恒力作用在B 上，使AB 一起由静止开始沿水平方向运动。滑块AB 的质量分别为mA 和mB ，已知滑块A 和B 之间的动摩擦力因数为u ，在力F 作用时间t 后，AB 之间的细线突然断开，此后力仍然作用于B 上，求滑块A 刚好停止时，滑块B 的速度大小？
动量在系统中的应用之四：动量在系统中的应用。注意系统的内力冲量不考虑。
例1、质量为m 的铁块与质量为m 的木块用细线相连接，在水中从静止开始以加速度a 开始向下运动。经过t 秒后绳断开，如图，在经过时间t0, 木块停止下沉，求此时铁块的速度？（假设铁块还没碰到水底）
例2、质量为mA=0.4kg的木块放在水平桌面C 上，木板与水平面之间的动摩擦力因数u=0.24，木板右端放着mB=1.0kg的小物块B （可视为质点），它们均处于静止状态。木板突然收到水平向右的12N.S 的瞬时冲量的作用开始运动。当小物块滑离木板时，模板的动能为8.0J ，小物块的动能为5.0J ，重力加速度取g=10.0m/s2，求 （1）瞬时冲量作用时木板的初速度 （2）木板的长度L
(四) 动量定理应用之四：用动量定理理解流体持续作用的问题
常见的流体：空气、液体、尘埃、粒子、光子等，它们的持续作用会对作用面产生压力。 解决方法：用微元法构建物理模型
一般选取一小段时间作用在物体上的小段流体作为研究对象，用数学表达式表示出这段流体的体积质量以及初末状态的动量。
例1、现在一般采用高压水流采煤。替代传统的采煤方式，设某煤受到的压强为P 的水流冲击后可破碎，若高压水流沿水平方向冲击煤层，不积水的犯贱作用，则冲击煤层的水速至少是多少？（设水的密度为p0)
例2、一艘帆船在海上航行，假设帆面恰好与风速方向垂直。设帆的面积是S0，空气密度为p0，船速为v1，风速为v2且船速与风速方向同向（v1
例3、一个质量为m 的倒扣的铁盆，被一喷嘴喷出的水柱支撑在空中，已知刚喷出的水柱的流速为v0, 喷嘴横截面积为S ，且水在空中不断散开，水与铁盒作用后的速度为0，求铁盒离喷嘴的高度h ？重力加速度为g
（五）动量定理应用之五：动量定理与电磁感应的结合 在电磁感应中一般物体所受的作用力为变力；除非题中有特殊说明，因此很难用动能定理直接求物体发生的位移，一般情况下考虑用动量定理较多。电磁感应中的动量定理应用一般与电量公式q=it=ΔQ/R结合使用。
例1、如图所示，两根光滑的平行金属导轨MN 、PQ 处于同一水平面上，相距L=0.5m，导轨的左端用R=3.0Ω的电阻相连，导轨的电阻不计，导轨上跨接一电阻r=1Ω的金属杆，其质量为m1=0.2kg，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=2T，现对金属杆施加一向右的拉力F=2N，金属杆由静止开始运动。求 (1)金属杆运动的最大速度为多少？
(2)若已知金属杆从静止开始到运动到最大速度的过程中，电阻R 上共产生热量Q=10.2J，此过程持续的时间t 为多长？
(3)若金属杆到达最大速度后撤去外力F ，金属杆还能在导轨上滑行的距离为多少？
动量守恒定律的应用
动量守恒定律在碰撞中的应用:
1>碰撞：物体直接接触，相互作用的时间极短，相互作用的力远大于外力
a、动量守恒:p1=p2
b 、动能不增加:Ek1+Ek2≥Ek ′1+ Ek′2 c 、物理情景可行性
，碰前：v 后>v前 ，同向相碰c 、物理情景可行性，碰后：v 后≤v 前
碰后两物体的运动方向 不可能都不改变
②碰撞的种类;a 、弹性b 、非弹性c 、完全非弹性 ③能量损失 0≤ΔEk ≤ΔΔEkm=? 2>例题
1, 如图，在光滑的水平面上有直径相同的ab 两球，在同一直线上运动，选定向右为正方向，两球的动量分别为Pa=6kgm/s,Pb=-4kgm/s,当两球相碰后，两球的动量可能是
A,P'a=-6kgm/s P'b=4kgm/s B,P'a=-6 kgm/s P'b=8 kgm/s C,P'a=-4 kgm/s P'b=6 kgm/s D,P'a= 2kgm/s P'b= 0kgm/s
2, 在光滑的水平面上，质量为m1的小球 A以速率v0向右运动，在小球前方o 点有一质量为m2的B 球处于静止。如图，小球A 和小球B 发生正碰后均向右运动。小球B 被在Q 点的墙壁弹后与小球A 在P 点相遇，PQ=1.5Po,假设所有碰撞都是弹性的，求两球质量之比？(2007年海南、宁夏高考题)
动量定理在反冲运动中的应用
1>反冲运动过程中，系统在某一方向上不受外力，或外力作用远小于系统的内力作用。 2>研究反冲运动的关键就是确定系统内物体对地的运动状态。（将相对速度转化为以地面为参考系的速度） 3>在系统内力的作用下，系统内的一部分物体动量发生变化时，系统内其余部分 向相反的 方向发生动量变化，反冲现象是内力作用的效果因此遵守动量守恒.
例1、质量为M 的火箭原来以速度v0在太空中水平飞行，现在突然向后喷出一股质量为Δm 的气体，喷出气体相对于火箭的速度为V ，求喷出气体后火箭的速度为多少？
例2、光滑的水平面内放一长为l 质量为M 的木板A ，一质量为m 的小狗在木板的左端，开始时，系统静止，某时刻小狗以初速度v0奋力一跃，经一段时间小狗落在木板的另一端，则L 的最大值是多少？
例3、发射卫星要用多级火箭，发射时先点燃第一级火箭，燃料用完后空壳自动脱落，然后下一级火箭开始工作。多级火箭能及时把空壳抛出，使总质量减少，因此能获得很高的速度。可用来发射洲际导弹、人造卫星、宇宙飞船等。试通过计算说明，火箭不是一次型把燃气喷完，而是逐渐向后喷气以获得更大的反冲速度。（设每次喷出的气体相对火箭的速度是相同的）
动量守恒应用之三： 人船模型（平均动量守恒）
若系统在全过程中动量守恒，则这一系统在全过程中平均动量守恒，如果系统有两个物体组成，且互相作用前均静止，相互作用中靠内力作用改变个物体的动量。 方法：（1）通过作图，找出相对位移的关系：S1+S2=L S1和S2代表对地的位移，L 代表相对位移
例1、气球和人的质量分别为M 和m ，某时刻人和气球静止在离地高为H 的空中，人想通过一不计质量的轻绳滑到地面上来，则绳子的长度至少是多长？
例2、一长为L ，质量为M 的船上两端分别占有质量分别为m1和m2的甲乙两人，当两人交换位置后，船位移的距离为多少？
例3、质量为M 的光滑斜面倾角为θ，放在光滑的水平面上，另有质量为m1、m2的物体用不可伸长的细绳连接横跨在斜面上顶部的无摩擦的定滑轮上，释放后m1沿斜面下滑的距离为L 的过程中，斜面沿水平面移动的距离是多少？
爆炸
特点; 过程剧烈，时间极端，内力巨大其他形式的能钻化成系统的动能，大爆炸的过程动量守恒.
例1、在水平面上以v0=20m/s的速度竖直向上发射一颗炮弹，炮弹质量为M=10kg，当炮弹上升到最高点时，突然大爆炸，分裂成为A/B两块，格言水平方向飞行。测得A/B的落地点相距100m ，落地时两者速度方向垂直。问炮弹分裂两块质量各为多少？
例2、一导弹离地面高h 水平飞行，某一时刻导弹的速度为v ，突然爆炸成质量相同的A 、B 两块，A 、B 同时落地，两落地点相距4v (2h/g)
两落地点与大爆炸前导弹速度在同意竖直平面内，不计空气阻力。已知大爆炸后瞬
间A 的动能大于B 的动能，则AB 的动能之比是多少？
多物体、多过程的动量守恒
1、明确系统由哪些物体组成（2）整个物理事件分哪几个阶段（3) 明确哪些物体组成的系统动量守恒（4）明确哪些阶段动量守恒
例1、如图所示，至于光滑水平面上的小车A 、B 质量分别为mA=3Kg、mB=0.5Kg可视为质点的带电体C 的质量mC=0.1Kg,带电量为q=0.02C，位于表面光滑的B 车的最左端，整个空间有水平的匀强磁场，磁场感应强度B=10T，小车B 静止，小车A 以初速度vA=10m/s。垂直于磁场方向向右运动并与小车B 正碰，碰撞后物体C 在A 上滑动（A 车足够长）已知正碰后小车B 的速度为9m/s。物体C 与A 之间有摩擦（g=10m/s2)
(1)求碰撞后，A 的速度有多大？ (2)小车A 最后的速度多大？ (3)整个过程中能量损失多大？
例2、两只小船逆向航行，航线临近，它们头尾相齐时，在每只船上各扔m=50Kg的麻袋到另一条船上，结果载重较小的那只船停了下来，另一只船则以v=8.5m/s
m1=500Kg,m2=1000Kg。问交换麻袋前两只船的速度各位多少？
例3、如图，质量为3m 的足够长的木板C 静止在光滑水平面上，质量均为m 的两个小物体A 、B 放在C 的左端，
A 、B 相距为s 现同时对A 、B 施加水平方向的冲量使A 、B 获得v0和2v0的速度，A 、B 与C 之间的动摩擦系数分别为u 和2u, 则
（1）A 、B 、C 三者最终的速度为多大/ （2）运动过程中A 的最小速度 （3）A 、B 最终相距多远
例四、如图，在光滑的水平面上放长木板C ，C 的右端是固定的挡板P, 在C 的左端和中心各有小物体A 、B ，A 、B 的尺寸和P 的尺寸不计，A 、B 间与B 、P 间的距离为L ，A 与C 、B 与C 之间的动摩擦系数均为2u ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A 、B 、C 质量均为m ，开始时，B 、C 静止。A 以某一初速度向右运动。求： 1、A 、B 发生碰撞前，B 的摩擦力是多少?
2、要使A 、B 发生碰撞，A 的初速度满足什么条件？ 3、B 与P 能发生碰撞，A 的初速度满足什么条件？
动量守恒应用之五：用数学方法解动量守恒的问题
在动量守恒的问题中，常常会碰到相互作用前、后的速度、质量或其它物理量按一定的规律变化，导致列出的动量守恒方程也按一定的规律变化，像此类问题一般用数学演绎法推理出前几项，根据每一个方程的变化规律，用数学归纳法推出通项，再分析通项的关系，这种情况下不可能把所有的作用过程全部用方程表示出来，只能用不完全归纳法寻找它们的作用规律。
例1，如图，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁边，原点两侧人的序号均记作n （n=1,2,3……）, 每人只有一个砂袋，x>0的一侧每个砂袋质量m=14Kg,x
例2，（1）如图所示，A 、B 、C 为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，A 、B 段与B 、C 段平滑连接，质量为m1的小球从高位h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在BC 段上质量为m2的小球发生正碰，碰撞前后两球速度方向在同一水平线上，且无机械能损失，求碰撞前后小球m2的速度大小？
（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学上有着广泛的应用，为了探索这一规律，我们采用了多球依次碰撞，碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的简化力学模型，如图所示，在固定光滑水平直轨道上，质量分别为m1,m2„„mn 的若干个球沿直线静止相间排列，给第一个球初动能Ek1, 从而引起各球的依次碰撞，定义其中第n 个球经过一次碰撞后获得的动能Ekn 和Ek1之比为第一个球对第n 个球的动能传递系数K1n. a, 求K1n b,若m1=4m0, m3=m0 ,m0为确定的已知量，求m2为何值时，K13最大。
动量守恒应用之七：临界问题
在动量守恒的应用中，常常会遇到两相互作用的物体，距离最近避免相碰和物体开始反向运动等临界问题，这种问题取理的关键是分析临界状态，挖掘临界条件，选取最恰当的系统和研究过程，并运用动量守恒定律或结合能量方程求解。
例1，A 车的质量M1=20Kg，车上的人质量M=50Kg,他们一起从光滑曲面上高h=0.45m处由静止下滑，并沿光滑水平面向右滑行，如图，此时质量M2=50Kg的B 车正以速度v0=1.8m/s的速度沿水平面向右迎面而来，为避免两车相碰，在两车距离适当时，A 车的人跳到B 车上，
为使两车不相碰，人跳离A 车时相对地面的速度多大？（g=10m/s2
）
例
2， 9．如图，甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车质量之和为M ＝30kg ，乙和他的冰车质量之和也是M ＝30kg ．游戏时，甲推着一个质量m ＝15kg 的箱子以大小为v 0=2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦，求甲至少要对箱子做多少功，才能避免与乙相撞？
（二）关于动量与能量的结合问题
1，力学研究的是物体的受力情况与运动情况的关系，以三条线索（包括五条重要规律：牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律）为纽带建立各种联系，如下图表示：
力
2, 解决动力学问题的三个基本观点： （一）力与运动的观点：
牛顿运动定律结合运动学公式，这是解决力学问题的基本思路和基本方法，此种方法往往求得瞬时关系，利用此种方法解题必须考虑运动细节的改变，从中学研究的范围来看，只能适用于匀变速运动（包括直线和曲线运动）
（二）动量的观点（动量定律，动量守恒） （三）能量的观点（动能定理，能量守恒）
这两个观点研究的是物体或系统运动变化所经历的过程中状态的改变，它要求无需对过程是怎样变化的细节做深入的研究，而更关心的是运动状态的变化即改变结果量及其引起变化的原因。
3，力学规律选用的一般原则：力学中首先考虑两个守恒定律，从两个守恒定律的表达式可以看出，方程两边都是状态量，所以守恒定律只能解决状态问题，守恒定律不能解决过程（位移s ，时间t ）问题，不能解决力（F ）的问题，也就是说遇到F 、S 、t 等问题时，必须用牛二定律，运动学公式，动量定理，动能定理来解决。
4，力学规律选择的思考顺序：
（1）若是多个物体组成的系统，优先考虑两个守恒定律（但一定注意它们使用的条件）
（2）若涉及系统内物体的相对位移（路程）并涉及摩擦力，要用动量守恒定律先求出速度，然后再运用能量守恒定律。
（3）若是单个物体，宜选用动量定理或动能定理；只涉及到力、时间、速度问题一般选动量定理；若只涉及到力、位移、速度问题一般选用动能定理。
（4）若涉及到加速度且物体受恒力作用，可以选用牛二定律及运动学公式。
5，例题：
例1，如图小车B 静止在光滑的水平面上，一质量为m 的铁块A （可视为质点）以水平速度v0=4m/s滑上小车B 的左端，然后与右端挡板碰撞，最后恰好滑到小车的左端，已知M:m=3:1,小车长L=1m，并设A 与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞时间忽略不计，g=10m/s2. (1) A 、B 最后的速度分别为多少？
（2）铁块A 与小车B 之间的动摩擦因数为多少？
例2，如图，在同一竖直平面内，质量为2m 的小球A 静止在光滑斜面的底部，斜面高度H=2L，小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动，离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B 发生弹性碰撞，碰撞后球B 刚好能摆到与悬挂点O 同一高度，球A 沿水平方向抛射落在水平面C 上的P 点，O 点的投影O ′与P 的距离为1/2L，已知B 球的质量为m ，悬线长为L ，视两球为质点，重力加速度为g ，不计空气阻力，求： （1）球B 在两球撞后瞬间的速度大小？ （2）球A 在碰前瞬间的速度大小。 （3）弹簧的弹力对球A 所做的功。
例3，如图，长为L=12m的木板右端固定一立柱，板与立柱的总质量M=50Kg。木板置于粗糙的水平面上，与水平面的动摩擦因数u=0.1，质量为m=50Kg的人立于木板左端，木板与人均静止，人以a1=4m/s2的加速度向右奔跑至板的右端并立即抱住立柱，g=10m/s2，设地面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）人从奔跑至木板右端所经过的时间t (2) 木板发生的总位移？
追及问题训练例题
例1，火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距d 处有另一火车以v2做匀速运动（v1>v2）, 司机立即刹车，要使两车不相碰，刹车的加速度要满足什么条件？
例2，在水平轨道上有两列大车A 和B 相距为s ，A 车在后面做初速度为v0，加速度为2a 的匀减速直线运动，两车运动方向相同，B 车做初速度为0，加速度为a 的匀加速直线运动，要使两车不相碰，求A 车初速度v0满足什么条件？
例3，如图为θ的光滑斜面顶端有一质点A 由静止释放，与此同时，在斜面底端有另一质点B 由静止开始以加速度a 在光滑的水平面上运动（匀加速），设斜面的倾角为θ，A 质点能平稳的通过斜面底端，且它通过底端小圆弧的时间可忽略，要使质点A 不能追上质点B ，试求质点B 的加速度取值范围？
例4，一辆执勤警车停在公路边，当警员发现从他身边以10m/s匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s 警车启动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的速度必须控制在90Km/h以内，问： （1）警车在追赶货车的过程中，两车间动的最大距离为多少？ （2）警车启动后要多长时间才能追上货车？
典型例题分析之二（图像法）
例1，（2007年全国高考题Ⅱ卷）在一浅色传送带上放煤块，传送带先以a0的加速度启动，当速度到达v0后匀速运动，结果煤块在传送带上留下一道黑色痕迹，煤块与传送带之间的动摩擦因数为u ，求痕迹的长度L ？ 图像法 一般分析法
例2，将粉笔头A 轻放在以2m/s的恒定速度运动的足够长的水平传送带后，传送带上留下一条为4m 的划线，若使该传送带该做加速度大小为1.5m/s2的匀减速直线运动直至速度为0，并且在传送带开始减速时，将另一粉笔B 轻放在传送带上，则粉笔头B 停止在传送带的位置与划线起点间的距离为多少？ 图像法 一般分析法
例3，汽车由草地从静止出发，沿平直的公路驶向乙地，先以加速度a, 做匀加速运动，然后做匀速运动，最后以a2做匀减速运动，到乙地恰好停下。甲、乙两地距离为S ，那么要使汽车从甲地到乙地时间最短，汽车将怎样运动？最短时间为多少？（用图像法分析）
例4，（2006年上海高考题）质量为10Kg 的物体在F=200N的水平推力的作用下，从粗糙斜面底端由静止开始沿斜面运动，斜面静止不动，其倾斜角为θ=37°，力F 作用2S 后撤去，此后物体在斜面上继续滑行了1.25S ，速度减为0，求物体与斜面间的动摩擦因数和总位移？
（g=10m/s2 sin37°=0.6 cos37°=0.8） （用图像法分析）
典型例题分析（公式法）
例1，(2008年全国高考题Ⅰ卷) 已知O 、A 、B 、C 同为一直线上四个点，AB 间距离为L1，B C 间距离为L2，一物体自O 点由静止出发，沿直线做匀加速直线运动，依次经过A 、B 、C 三点，已知物体经AB 、BC 段时间相等，求O 与A 的距离。
（一）公式法： （二）图像法
例2，（2008年四川高考题）A 、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当B 车在A 车前84m 处时，B 车的速度为4m/s且正以2m/s2的加速度做匀加速直线运动，A 车一直以20m/s的速度做匀速直线运动，经过12S 后两车相遇，问B 车加速的时间？
例3，一物体以一定的初速度冲上一倾角为θ的斜面，结果最后静止在斜面上，斜面足够长，在第1S 内位移为6m ，最后1S 内位移为2m ，求：（1）在整个减速运动过程中质点的位移大小？ （2）整个过程中质点运动的时间？
例4，一小物体在光滑的水平面上自A 在F1恒力的作用下运动，当物体运动到B 点时突然撤去F1，加上与F1反向的恒力F2的作用，经过相同的时间物体又返回到A 点，此时物体的速度为8m/s，求撤去F1时物体的速度？
例5，从地面同时竖直上抛甲、乙两小球，甲上升的最大高度比乙上升的最大高度多5.5m ，甲球比乙球迟落地1S ，不计阻力，甲、乙两球的最大高度各为多少？
例6，A 、B 两球先、后从空中同一点释放做自由落体运动，时间间隔Δt=1S，在某时刻A 、B 两球的距离S=15m，A 、B 球均未着地，g=10m/s2求：（1）此时A 球距释放点的高度？ （2）此时B 球的速度大小
（3）若A 、B 两球用15m 长的轻绳连接，在轻绳绷紧前后，系统损失的机械能为多少？细绳对A 球的冲量是多少？（重力的冲量可忽略）
关于瞬时加速度讲解例题
例1，A 、B 两木板间连一轻质弹簧，A 、B 质量相等，一起静止在光滑的水平面上，若将B 底下的木板突然抽出，在木板抽出的瞬间，A 、B 的加速度分别是多少？
例2，如图，S1的上端固定在天花板上，下端连小球A ，球A 和球B 用细线连接，球B 和球C 用弹簧S2连接，A 、B 、C 的质量分别为m,2m,3m, 开始时三球静止，现将A 、B 之间的细线剪断，求剪断细线后的瞬间A 、B 、C 的加速度。
例3，如图，吊篮C 用轻绳悬挂在天花板上，A 、B 之间用轻质弹簧连接，A 、B 、C 质量均为m ，当剪断细线C 后的瞬间，A 、B 、C 的加速度各为多少？
例4，如图，剪断O O ′后的瞬时，A 、B 、C 的加速度等于多少？
例5，如图A 、B 叠放在一起，弹簧的一端固定在地面上，另一端与B 相连，用一竖直向下的恒力F=10N，向下压物体A ，使系统平衡，已知mA=mB=2Kg，现突然撤去F ，求撤去F 的瞬间A 、B 之间的作用力？
滑块问题例题分析
例1，质量为4Kg 的木板，L=1.4m，静止在光滑的水平面上，其右侧静置一质量为m=1Kg的小滑块，滑块与木板之间的动摩擦因数u=0.4，今用一水平力F=28N的恒力向右拉木板，要使滑块离开木板，恒力F 至少要作用多长时间？
例2，如图，薄板长L=5m，质量为5Kg ，放在水平桌面上，其右端与桌面边缘平齐，距木板右端S=3m处放一质量m=2Kg的可视为质点的物体B ，已知A 、B 之间的动摩擦因数u1=0.1，A 、B 与桌面的动摩擦因数u2=0.2,最初系统静止，现对A 右端施一水平恒力F 后，将A 从B 地下抽出且恰好使B 停在桌面边缘，试求F 的大小？（g=10m/s2）
例3，一小圆盘静止在水平桌面上，位于方桌的桌面中央，桌布的一边与桌面的AB 边缘重合，如图，已知盘与桌布之间的动摩擦因数为u1，桌面与盘之间的动摩擦因数为u2，现突然以恒定的加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向水平且垂直于AB 边，若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足什么条件？（用g 表示重力加速度）
例4，质量m=0.2Kg的长木板静止在水平面上，长木板与水平面之间的动摩擦因数u1=0.1,一质量为m=0.2Kg的滑块以V0=1.2m/s的速度从长木板的左端滑上木板，滑块与木板之间的动摩擦因数u2=0.4，求小滑块滑上木板到完全静止的过程中，滑块发生的位移？（滑块始终没有离开木板）
例5，传送带与地面的倾角θ=37°，从A 到B 得长度为L=3.2m，传送带以V2=2m/s的速度逆时针转动，在传送带上端A 点无初速地放一可视为质点的小物块，它与传送带之间的动摩擦因数u=0.5,求（1）小物块从A 点放上到B 点离开传送带的时间? （2）小物块离开传送带后，传送带留下的痕迹长度？（sin37°=0.6 cos37°=0.8 取g=10m/s2）
牛顿第二定律与图像结合例题分析
例1，质量m=1.5Kg的物体（可视为质点），在水平恒力F 的作用下，水平面上A 点由静止开始运动，运动一段时间后撤去F ，物体继续滑行了2.0S 停在B 点，已知AB=5m，物体与水平面之间的动摩擦因数u=0.2，求恒力F 的大小。
例2，在水平面上有一物体，用方向不变的水平力F 推物体，得其物体的F —t 图像和V —t 图像如图（g=10m/s2）求物体的质量和物体与水平面之间的动摩擦因数u.
例3，如图（a ），质量为m=1Kg的物体沿倾角θ=37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平向右，其大小与风速成正比，比例系数用k 表示，物体的加速度a 与风速v 的关系如图所示，求：（1）物体与斜面之间的动摩擦因数u ，（2）比例系数k （sin37°=0.6 cos37°=0.8 g=10m/s2）
例4，用水平拉力拉动物体在水平面上做加速直线运动，当改变拉力大小时，物体的加速度也随之改变，a 与F 的关系如图所示，g=10m/s2.
（1）根据图像所给的信息，求物体的质量及水平面之间的动摩擦因数。
（2）若改用质量为原来2倍的同种材料的物体，请在图中坐标系中画出这种情况下的a —F 图像（要求写出作图依据）
例5，质量为m=40Kg的小孩站在电梯内的体重计上，电梯从t=0的时刻由静止开始上升，在0—6s 内体重计的示数F 的变化如图，试问在这段时间内电梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/s2.
关于连接体的例题分析
例1，水平面上有一带弧形凸起的长方体木块A ，木块A 上的物体B 用绕过凸起的轻绳与物体C 相连，B 与凸起之间的绳是水平的，用一水平向左的拉力F 作用在物体B 上，恰使A 、B 、C 保持相对静止，如图，已知物体A 、B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，不计所有摩擦，则拉力F 多大？
例2，如图所示，在光滑的水平面上放置质量为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一根不可伸长的轻绳连接，木块间的最大静摩擦力为umg ，现用水平拉力拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块以相同加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为多少？
例3，在2008年北京残奥会开幕会上，运动员手拉绳索向上攀登，最终点燃了主火炬，体现了残疾运动员坚忍不拔的意志和自强不息的精神，为了探索在上升过程中运动员与绳索和吊椅间的相互作用，可将过程简化，一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，一端挂吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住，如图，设运动员质量为65Kg ，吊椅质量为15Kg, 不计定滑轮和轻绳的质量及摩擦，g=10m/s2,当吊椅以1m/s2的加速度上升时， 求（1）运动员对绳的拉力 （2）运动员对吊椅的压力？
牛顿第二定律关于临界、极值问题的例题分析
例1，如图，倾角为θ的光滑物块P 上，有一垂直于斜面固定的挡板上C
，斜面上放有两个物块A 和B ，两物块平行于斜面且用轻弹簧连接，整个系统静止在光滑的水平面上，某时刻，将一从零开始逐渐增大的水平力F 作用在P 上，P 由静止开始运动，已知P 、C 的总质量为M ，A 、B 的质量分别为mA 和
mB, 弹簧的劲度系数为k ，重力加速度为g ，求：
（1）物块B 刚要离开C 时，力F 的大小。
（2）从F 开始作用到B 刚要离开C 时，物块A 相对斜面发生的位移。
例2，如图，整个系统在力F 的作用下，在水平面上以a=2g的加速度向右运动，已知悬吊的小物块其质量m=1Kg，g=10m/s2，求绳AC 和BC 的张力各是多大？
例3，在光滑的水平面上放置一质量M=2Kg的斜面体，一质量m= Kg的小球按图示用细线系在斜面上，细线与斜面平行，小球与斜面之间的最大静摩擦力为5N ，现用F=45N的水平力，推斜面体，求此时细线对物体（小球）作用力？ 如果向右推斜面呢？
例4，一个弹簧测力计放在水平地面上，θ为与弹簧上端连接的盘，P 为一重物，已知P 的质量M=10.5Kg，Q 的质量m=1.5Kg,弹簧的质量不计，劲度系数k=800N/m，系统处于静止，如图所示，现在给P 施加一竖直向上的力F ，使它从静止做匀加速直线运动，已知在前0.2s 内F 为变力，0.2s 后F 为恒力，求力F 的最大值和最小值？（g=10m/s2）
曲线运动的合成与分解 平抛运动例题
例1，物体在一水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M 点到N 点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M 点到N 点的运动过程中，物体的动能（ ）
A, 不断增大 B, 不断减小
C, 先减小后增大 D ，先增大后减小
例2，如图在不计滑轮摩擦，绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是（ ）
例3，地面上有一以角速度v0匀速转动的探照灯，云层离地面的高度为H ，当光线与竖直方向成θ时，求光斑在云层下面的移动速度？
例4，如图，在竖直平面内放一直角光滑杆，水平和竖直杆各套有一小球A 和B ，A 、B 之间用轻绳连接，现用外力拉A ，使A 以1m/s的速度运动，绳与OA 之间的夹角为37°，求小球B 上升的速度？
例5，小船过河，船对水的速率不变，若船头垂直于河岸划行，则经10min 可达下游180m 处的对岸。若船头指向与河岸上游成θ角划行，则经12.5min 可到对岸，求（1）θ角多大？ （2）若第二次靠岸的地点是正对岸，河宽是多少米？
例6，小船从A 码头出发，沿垂直于河岸方向渡河，若河宽为d ，渡河速度v 船恒定，河水的流速与到河岸的距离x 成正比，即 v 河水=kx (x ≤d/2),要使小船能到达距A 正对岸距离为s 的B 码头，求(1)v船=？ （2）渡河时间t0=？
例7，风洞实验室能产生大小和方向均变化的风力，如图，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建xoy 直角坐标系，质量m=0.5Kg的小球以初速度v0=0.4m/s从O 点沿x 轴正方向，在0—2.0s 内受到一个沿y
轴正方向，大小F1=0.20N的风力作用，小球运动2.0s 后，风力方向改为y 轴负方向，大小F2=0.1N(未画出) 求：（1）小球在0—2.0s 内的位移
（2）风力F2作用多长时间，小球速度变为与初速度相同 （3）小球回到x 轴上的动能。
平抛运动例题分析
1，体育竞赛中有一项运动为掷镖，如图，墙壁上落有两只飞镖。它们是从同一水平位置射出的，飞镖A 与竖直墙壁成θ1=53°，飞镖B 与竖直墙壁成θ2=37°，两者相距为d ，假设飞镖运动为平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离？（sin37°=0.6 cos37°=0.8）
2，在倾角为37°角的斜面底端的正上方H 处，平抛一物体，该物体落在斜面上的速度正好与斜面垂直，求物体抛出时的速度？
3，如图，为测量子弹的速度，子弹穿过A 纸片后射穿B 纸片，已知枪口到A 纸片的距离为s ，两纸片之间的距离为Δs ，两孔的高度差为h ，求子弹飞行的水平速度？
例4，如图，在倾角为θ=30°的斜坡顶端A 处，沿水平方向以初速度v0=10m/s抛出一小球，恰好落在斜坡底端B 处，求：
（1
）斜坡的长度
（2）小球刚要落在B 点时的速度
（3）平抛运动中，小球离开斜面的最大距离。
例5，抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动，现讨论乒乓球发球问题。设球台长2L
，网高为h ，兵乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度反弹前后大小不变，方向相反，且不考虑兵乓球的旋转和空间阻力（设重力加速度为g ）
（1）若球在球台边缘O 点正上方高度h1处以速度v1水平发出，落在球台的p1点，求p1点到O 点的水平距离x1.
(2)若球在O 点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的p2，求v2的大小
（3）若球在O 点正上方水平发出后，球经过反弹恰好越过球网且恰好落在对方球台边缘p3处，求发球点距O 点的高度h3.
圆周运动例题分析
例1，某变速直行车，有六个飞轮和三个链轮，各轮齿数如下，前后轮半径为660mm ，人骑车的速度为4m/s，例4，如图，“时空之旅”飞车表演时，演员驾驶摩托车在球形金属网的内壁上、下盘旋，假设演员以20m/s的恒定速率在金属网内壁做特技表演，已知人车总质量为200Kg ，摩托车所受阻力是摩托车对轨道压力的k 倍，且k=0.1，g=10m/s2,摩托车可视为质点，求：
此脚踏板做匀速圆周运动的加速度最小值为多少
例2，如图，位于竖直平面你呢的光滑轨道由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道半径为R ，一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆轨道运动，要求物块能通过圆轨道的最高点，且在该轨道的最高点与轨道的压力不得超过5mg （g 为重力加速度），求物块的初始位置相对于圆形轨道底部的高度的取值范围。
例3，如图，半径
R=0.40m的光滑半圆轨道处在竖直平面内，半圆轨道与粗糙水平地面相切于A 点，一质量m=0.1Kg的小球以初速度v0=7m/s在水平地面上向右做加速度为a=3m/s2的匀减速直线运动，运动4m 后冲上竖直半圆轨道，最后小球落在C 点，求AC 的距离。（取g=10m/s2）
（1）若摩托车沿图示大圆轨道做圆周运动，且它通过最高点时发动机功率为0，求大圆半径？ （2）若按图示大圆轨道运动，求在最低点B ，发动机的功率。
（3）若摩托车绕水平大圆轨道运动，求运动一周摩托车发动机所做的功？
关于万有引力定律的应用
一，巧用比式 求比值
方法：根据相关规律写出有关物理的通式，利用通式之比，化成最简，再代数字。
例1，把火星和地球视为质量分布均匀的球体，它们绕太阳做匀速圆周运动的周期之比为T1/T2，火星和地球表面的重力加速度之比为g1/g2，火星和地球的半径之比为r1/r2,则火星和地球绕太阳运动的动能之比是多少？
例2，火星探测项目是我国继神舟载人航天工程，嫦娥探月工程之后又一重大太空探索项目，假设火星探测星器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆轨道运行周期为T2。火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T1与T2之比为：
例3，1990年5月，南京紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为“吴健雄星”，该小行星的半径为16Km ，若将此星和地球看做匀速球体，她得密度与地球相同，已知地球的半径为R=6400Km,地球表面的重力加速度为g ，地球的第一宇宙速度为v0，小行星表面的重力加速度为g1, 第一宇宙速度为v1, 则：
A, g1/g=20 B,g1/g=1/400 C, v1/v0=1/400 D, v1/v0=1
二，求有关密度的问题
方法：根据ρ=M/v （M=4π^2 r^3/(GT^2)=gR^2/G 和v=4/3πR^3）
则ρ=3πr^3/(GT^2R^3) =3g/(4Πrg) 若是“近地卫星”则ρ=3π/GT^2
例1，一宇航员到达半径为R ，密度均匀的某天体表面，做如下实验，用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，其上端固定在O 点，如图所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间变化的规律，如图，F1，F2已知，万有引力常量为G ，忽略各种阻力，求（1）该星球表面的重力加速度？ （2）该星球的密度ρ？
例2,2007年10月24日，我国成功发射“嫦娥一号”月球探测卫星，并于11月7号8点34分成功的将轨道调整到绕月的环形轨道，卫星离月球表面高度H=200Km，周期（绕月）T=127min,绕月的线速度v=1.60Km/s,已知万有引力常数G=6.67*10^-11N.m2/Kg^2.试根据以上已知量的符号表示月球的平均密度表达式？并根据数据求出月球的平均密度？（保留三位有效数字）
卫星运动与光学问题的结合
一，①规范作图 ②寻找与所求时间t=θ/2π*T对应的圆弧度（在所做的几何图中通过解三角形或其他几何知识求出）
例1，某地球的同步卫星正下方的地面上有观察者，他用望远镜观察在太阳照射下的此卫星，试问春分那天在日落12小时内有多长时间，该观察者看不到此卫星？设地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球的自转周期为T0，不考虑大气对光的折射。
例2，我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行，为获得月球全貌信息，让卫星轨道缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球，设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R1和R2，月球绕地球，卫星绕月球的轨道半径分别为r1和r2，月球绕地球的周期为T ，假定在卫星绕月球的一个周期内卫星轨道平面与地、月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地面的时间？（用M 、m 、R1、R2、r1、r2和T 表示，忽略月球绕地球转动时对遮挡时间的影响）
例3，有一颗地球卫星，绕地球做匀速圆周运动，卫星与地心的距离为地球半径R0的2倍，卫星圆形轨道与赤道平面重合，卫星上的太阳能收集板可以把光能转化成电能，太阳能收集板的面积为s ，在太阳光照射下，每单位面积提供的最大电功率为p, 已知地球表面的重力加速度为g ，近似地认为太阳光为平行光，试估算太阳能收集板在卫星绕地球一周的时间内最多转化的电能？
关于卫星问题的例题分析
例1，人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以绕地球沿椭圆轨道运动，对于沿椭圆轨道运动的卫星，以下说法正确的是：
A, 近地点的速度一定等于7.9Km/s B ，近地点的速度一定大于7.9Km/s,小于11.2Km/s C, 近地点的速度可以小于7.9Km/s D, 远地点的速度一定小于同高度圆轨上的运行速度 例4，引力常量为G ，地球的质量为M ，半径为R ，自转周期为T0，地表面的重力加速度为g0，同步卫星的高度为h ，则在地球表面附近运动的高度不计的人造卫星的周期T 为：( )
A,T0 B,(R/R+h)^3/2T0 C,2π√(R/g0) D,2πR √(R/GM)
例5,1970年4月24日，我国自行设计并制造的第一颗人造卫星“东方红”发射成功，开始了我国航天事业的新纪元，“东方红1号”运行的轨道为椭圆轨道，其近地点M 与远地点N 的高度分别为439Km 和2384Km ，则（ ）
例2，如图为某同步卫星的发射过程示意图，先把卫星发射到近地的圆形停泊轨道，再通过调整进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点调整到最后的同步圆形轨道，在近地圆轨道上的运行速率为v1，椭圆轨道的近地点速率为v2，椭圆轨道远地点速率为v3，同步圆轨道上运行的速率为v4，则v1,v2,v3,v4的大小是：
例3,2009年5月，航天飞机在完成对哈勃望远镜的修理任务后，在A 点的从圆形轨道Ⅰ，进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图，关于航天飞机的运动，下列说法正确的是： A, 在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 点的速度
B, 在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于轨道Ⅰ上经过A 的动能 C, 在轨道Ⅱ上运动的周期小于轨道Ⅰ上运动的周期
D, 在轨道Ⅱ上经A 点加速度小于轨道Ⅰ上经过A 的加速度
Ⅱ
A, M 点的势能大于N 点的势能
B, 卫星在M 点角速度大于N 点的角速度 C, 卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度 D ，卫星在N 点的速度大于7.9Km/s
例6，已知地球半径为R, ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响。 （1）推导第一宇宙速度V1的表达式
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道离地面的高度为h ，求卫星的运行周期T （3）若地球的角速度为w0，推导地球同步卫星的高度表达式。
关于几种特殊的天体
1，当一个天体的逃逸速度（即第二宇宙速度）大于光速时，其表面的光子也无法挣脱其引力
束缚而射向太空，因此人类永远无法直接观察它，这种天体被人类称为“黑洞”
（一）黑洞：
2，恒星演化到末期，如果其质量大于太阳的2倍，则该恒星有可能成为黑洞。
例1，有一密度为ρ的恒星, 半径为R, 要使该恒星演化到末期变成黑洞, 求它演化到末期密度的最小值为多少?
例2, 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。 (1) 若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s 的多少倍(结果保留一位有效数字) ；
(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的
引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为E p =-G(设粒子在离黑洞无限远处的势
能为零) ，式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m 2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量M s =2.01030kg ，太阳半径R s =7.0108m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数，2009年天津理综）
（二）双星：以两星连线上某一点为圆心，两星之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动，两星及轨道圆心三点时刻共线。
特点：旋转方向相同，且角速度，周期相等。
例1，如图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和星球B 两者之间中心的距离为L ，已知A 、B 的中心和O 点始终共线，引力常数为G （1）求两星做圆周运动的周期
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行时周期记为T1，但在近似取理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的结果记为T2, 已知地球和月球的质量分别为5.98*10^24Kg和7.35*10^22Kg,求T2和T1两者之比（结果保留3位小数）（2010年全国Ⅰ卷理综）
(三) 三星系统存在的形成：
1，三星在一条直线上，以它们三者之间万有引力为向心力，绕中央星做匀速圆周运动。 特点：由于三星共线，处在连线端点的两星做匀速圆周运动。 角速度，周期一定相等。 2，三星处在等边三角形的三个顶点上，运动过程中三星之间的相对位置保持不变。
特点：由于三星总在正△的三个顶点上，因此三星一定绕正三角形的外接圆心做匀速圆周运动，向心力由另外两星对它的万有引力的合力提供，三星绕轨道圆心运动的角速度相等，周期相等。
例1，（2006年广东高考题）宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他天体对他们的引力作用，已知观测到得稳定的三星系统存在着两种基本形式：一种是三星在一条直线上，两星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行，另一种形式是三颗星位于等边三角形三个顶点上，并沿外接于三角形的圆轨道上运行，设每个星体的质量均为m 。 （1）试求第一种形式下，星体运动的速度和周期。
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离为多少？
练习题
1，如图，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为w0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球球心。 （1）求卫星B 的运动周期
（2）如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时间A 、B 两卫星相距最近，则至少经过多长时间，使他们再一次相距最近？至少经过多长时间它们相距最远？
2，我国“神舟”七号宇宙飞船已成功发射，当时在飞船控制中心的大屏幕上出现了一幅运行轨迹图，如图，它记录了“神舟”七号飞船在地球表面垂直投影的位置变化：图中表示在一段时间内飞船绕地球飞行四周，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①②③④，图中分别标出了各点的经纬度（如：在轨迹①通过赤道时的经度为157.5°，绕行一周后轨迹②再次经过赤道时经度为180°……. ）, 若地球半径R=6400Km，地球表面处的重力加速度g=10m/s2，从图中的信息计算“神舟”七号飞船的（1）运行的周期 （2）飞船离地表的高度？ （3）运行的线速度的大小？
机械能之功和功率例题分析
例1，若在湖面水中固定一细长圆管，管下端触及湖水中，管内有一不漏气得轻质活塞，它下端位于水平面上，活塞的底面积s=1.0cm2,水面上大气压P0=1,0*10^5Pa,现把活塞缓慢提高15m ，求在这一过程中拉力F 做的功？（ρ水=1.0*10^3Kg/m3 g=10m/s2）
例2，木板长为L ，在木板的B 端静放着质量为m 的小物块P ，物块与木板之间的动摩擦因数为u ，开始时AB 水平，现缓慢转动木板，当物块开始滑动时，停止转动木块，物块开始下滑时木块的倾角为α，以下关于支持力和摩擦力做功的情况是：
A, 在转动过程中，木板对物块的支持力做正功，且W=mgLsinα
B, 在转动过程中，木板对物块的静摩擦力做负功，且Wf=-umgLcosα C, 在物块下滑的过程中，支持力不做功。
D, 在物块下滑的过程中，滑动摩擦力对物块P 做负功且Wf=-umgL(1-cosα)
例3，喷水池喷出的竖直向上的水柱高h=5m,已知空中有20dm3的水，空气的阻力不计，求喷水机做功的平均功率为多少？（g=10m/s2）
例4，如图，滑块的质量为m, 斜面高位h ，倾角为θ且光滑，滑块从斜面顶端滑到底端的过程中，求：（1）整个过程中重力做功的平均功率？（2）滑块滑到底端时的瞬时功率？
例5，（2009年上海高考题）质量为5X10^3kg的汽车在t=0时刻速度v0=10m/s，随后以P=6X10^4 W 的额定功率沿平直公路继续前进，经72s 达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5X10^3 N。求： (1)汽车的最大速度Vm 2) 汽车在72s 内经过的位移.
例6，额定功率为80Km 的汽车，在平直公路行驶75m 达到最大速度20m/s，汽车质量m=2t，如果汽车从静止启动做匀加速直线运动，加速度大小是2m/s2，运动过程中阻力不变，求（1）汽车受到的阻力多大？ （2）3s 末汽车的瞬时功率多大？ （3）汽车维持匀加速的时间时多少？ （4）汽车从启动到最大速度的时间是多少？
动能定理例题分析
一，动能定理与圆周运动、平抛运动以及其他运动的综合
例1、如图a 、b 是水平轨道，长度ab=2.0m，滑块与水平轨道的动摩擦因数u=0.2，bc 为竖直的光滑半圆轨道，其半径为R=0.4m,现A 、B 两个滑块之间夹一个压缩的弹簧并用细线拴住，使它们静止在水平轨道上，当简短细线后A 被弹开，伺候它沿着半圆轨道通过最高点C 并落在b 点前方4m 处，已知mA=0.1kg、mB=0.2kg、g=10m/s2，例1、AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，B 、C 、D 是光滑的竖直光滑圆弧轨道，AB 在B 点恰好与圆弧相切，圆弧轨道半径为R ，一个质量为m 的物体可视为质点，从直轨道上的P 点由静止释放。结果它能在两轨道之间做往复运动，已知P 点与圆心的距离O 等高，物体与直轨道AB 动摩擦因数为u ，求： (1)物体做往复运动的过程中，在AB 轨道上通过的总路程？ (2)最终当物体通过圆弧最低点时对圆弧轨道的压力是多少？
所有物体皆可视为质点，求剪断细线前弹簧的弹性势能是多少？
例2、（2007年海南宁夏卷）倾斜的雪道长为25m ，定稿为15m 。下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接。如图，一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以v0=8m/s的水平速度飞出。在落在倾斜倾斜轨道上时，运动员靠改变姿势经行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲过程外运动员可视为质点，过度圆弧光滑其长可被忽略不计。设滑雪板与学到之间的u=0.2，球运动员在水平雪道上滑行的距离？
二，用动能定理解决多过程问题
例2、某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过转化处理为速度时间图像。如图所示，（除2-10s 为曲线运动外，其余时间图像均为直线）已知小车运动过程中，2-14s 时间段的功率保持不变，在14s 末停止遥控让小车自由滑行，小车质量为m=1.0kg，可以认为在整个过程中小车受到的阻力不变，求 (1)小车所受阻力Ff 的大小？ (2)小车匀速施行的功率？
(3)小车在加速过程中的位移的大小？
三，用动能定理取理系统问题
方法：对系统内个物体单独用动能定理，找出不同物体相关的物理量，特别是用细绳连接的物体组成的系统，个物体间的速度关系。一般不要采用整体法对系统用动能定理。
例1、如图、数值平面内，有一直角杆，干的水平部分粗糙，竖直部分光滑。两部分各套有质量分别为mA=2 .0kgmB=1.0kg的小球A 和B 。A 与水平部分之间的u=0.20，A 、B 之间用不可伸长的细绳连接，图示位置：OA=1.5m、OB=2.0m,取g=10m/s2，光用水平力沿杆向右拉A ，使B 以速度1m/s的速度匀速上升，则B 经过图示位置上升0.5m 的过程中，求拉力F 做了多少功？
例2、如图，有一光滑的T 字支架，在它的竖直杆上套有一个质量为m 的物体A ，用长为l 的不可伸长的细绳将A 悬挂在套于水平杆上的小环B 下，B 的质量为m2=m1=m，开始时A 处于静止状态，细绳处于竖直状态，禁用水平恒力F=3mg拉小环B ，使A 上升，求当拉至细绳与水平杆成37°时，A 的速度是多大？
四，动能定理与弹簧的结合
弹力的做功 W=-Ep, 弹力做正功，Ep 减小；弹力做负功，Ep 增大。
例1、如图，一个物体的质量为m=2kg，在倾角为37°的斜面上的A 点以v0=3m/s下滑，A 点距弹簧上端的距离为AB=4m，当物体到达B 点后将压缩到C 点。最大压缩量BC=0.20m然后物体被弹上去，弹到最高位置D 点，D 点到A 点距离为3.0m ，当扳及弹簧质量不计，g=1.0m/s2.求; （1）物体与斜面之间的动摩擦因数u? （2）弹簧最大的弹性势能？
例2、如图，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面。斜面处在电场强度为E 方向沿斜面向下的均匀电场中。一劲度系数为K 的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面低端，整根弹簧处在自然状态。一质量为m ，带电量为q （q>0)的滑块从距离弹簧上端s0处由静止释放。滑块在运动过程中电量不变，设弹簧和滑块接触的过程中没有机械能的损失。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g ： 求：（1）滑块从静止释放到与弹簧上端接触所用的时间t ？ （2）若滑块在沿斜面下滑的过程中最大的速度为vM ，求滑块从释放到最大速度的过程中弹簧弹力所做的功W ？ （3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在图2中画出滑块沿斜面向下运动的整个过程中的v-t 图像。图中的横坐标t1、t2、t3分别为滑块与弹簧上端、第一次速度达到vM 、第一次速度减少到0的时刻。v1为与弹簧上端刚开始接触时的速度（滑块），vM 为题中所指物理量。（不要求计算）
动能定理应用之五：与电磁场之间的综合
例1、如图竖直平面内有范围足够大，水平向左的匀强电场，在虚线左侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一绝缘的C 形轨道由两段直杆和一半径为R 的半圆环组成。并固定在竖直平面内，PQ 、MN 足够长且水平，直径PM 在磁场边界上，PAMN 是光滑的，现有一质量为m, 带电量为+q的小环套在MN 杆上，它所受的电场力是重力的3/4。现在在D 点静止释放，小环刚好到达P 点。求： （1）求DM 间的距离
（2）求在上述过程中小坏第一次通过与D 点等高的A 点时轨道对环的作用力。 （3）若小环与PQ 间的动摩擦力因数为u （设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等），现在小环套在M 点右侧4R 处由静止释放，求小环在运动过程中克服摩擦力所做的功。
例2、在水平方向的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端连着一质量为m 的带电小球，另一端固定在D 点，把小球拉起直至细线与场强的方向平行，然后无初速释放小球。已知小球最低点的另一侧时，线与竖直方向成θ角。如图，求小球经过最低点时对细线的拉力。
一，单体的机械能守恒
例1、如图所示，有一个由斜面和半圆环组成的光滑轨道，R=2.5m，要使在平地上抛出一小球，是他在半圆环最高点A 处平滑的进入半圆轨道，再沿斜面上升到离地面10m 的高度。试求应在水平地面上何处，以多打的速度，怎样的抛射角抛出小球？（g=10m/s2）
例2、如图，ABC 和DEF 是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC 的末端水平，DEF 是半径为r=0.4m的半圆型轨道，其直径DF 沿竖直方向，CD 可看做重合，现有一可视为质点的小球从轨道ABC 上距C 点高为H 的得放由静止释放。
(1)若要小球经C 处水平进入轨道DEF 且沿轨道运动，H 至少要多高？
(2)若小球静止释放处距离C 点的高度h 小于（1）中高度的最小值，小球可击中与与圆心等高的E 点，求
h.(g=10m/s2)
例3、一根全长为L ，粗细均匀的铁链，对称的挂在光滑的轻小滑轮上，当收到轻微的拖动，铁链开始滑动，求铁链脱离滑轮瞬间的速度.
二，多体的机械能守恒
选用系统的ΔEk+ΔEp=0(ΔEk=ΔEp 减) 或ΔEA+ΔEB=0.(不需要选择参照面)
例1、一杆长为2L ，一端固定在O 点，可绕O 点无摩擦转动，在杆的中点和另一端各固定一个质量均为m 的小球A 和B ，如图，求杆转到D 点正下方时，杆对球做了多少功？
例2、质量为m 和M 的小物体用轻绳连接（M>m),跨过无摩擦的定滑轮，m 固定在倾角为θ的斜面上，最初两物体位置如图，数值高度差为H ，若两物体由静止开始运动，求两物体在同一高度时的速率?
例3、如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质定滑轮D1和D2和质量为mB=m的小球相连。另一端与在光滑直杆上质量mA=m的滑块相连。已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直面内，与水平面的夹角为θ=60°，直杆上C 点与O1、O2在同一高度，C 点到D1的距离为L ，重力加速度为g, 设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰，现将小物块从C 点由静止释放，试求：
(1)小球降到最低点时，小物块的机械能（取C 点所在水平面为参考面） (2)小物块下滑的最大距离
(3)小物块在下滑距离为L 时的速度大小
例4、如图所示，A 、B 两球用轻杆相连，A 只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动。B 球处于光滑水平面内，开始时杆竖直，AB 两球静止。由于微小的扰动，B 球开始沿水平面向右运动。已知A 球的质量为mA ，B 球的质量为mB ，杆长为L 则：
(1)A球着地时的速度为多大？
(2)A球的机械能最小时，水平面对B 球的支持力多大？
(3)若mA=mB=m当A 球机械能最小时，杆与竖直方向的夹角为θ，A 球机械能的最小值为多大？(选水平面为参考面)
例5、如图，细绳绕过两个定滑轮A 和B. 在两端个挂质量为m 的物体，在AB 的中点C 挂一质量为M 的小球，AB 轴心间的距离为2L ，且m
（2）小球下落的最大高度h2（滑轮及绳的质量不计，绳与滑轮的 摩擦力不计）
例6、光滑的长轨道如图所示，底部为半圆形，半径为R ，固定在竖直水平面内，AB 两质量相同的小环用长为R 的轻杆连接在一起，套在轨道上，将AB 两环由图示位置由静止释放，A 环与底部距离为2L ，不考虑杆与轨道的接触，即忽略各系统 的机械能损失
(1)A、B 两环都未进入圆轨道时，杆的作用力情况 (2)A环到最点时，两环的速度大小?
(3)若轻杆长为22R,A 环仍然从距半圆形底部2R 处由静止释放。经过半圆底部再次上升后，A 环离开半圆形底部的最大高度
三，机械能守恒与弹簧的结合：
（1）弹簧拉伸或压缩量相同的弹簧的弹性势能相同或弹簧两次从同一状态变化到另一相同状态，势能变化量相同。
（2）利用弹簧振子
例1、如图甲所示，质量分别为m 和M 的两物体AB 用进度系数为K 的轻质弹簧连接起来，若将A 固定在天花板上，用手托住B ，让弹簧处于原长。然后放手，B 开始震动，在震动的过程中的最大速度为vM ，问;B 震动具有最大速度时，弹簧的弹性势能为多大？如图2所示，若将A 从天花板取下，使弹簧为原长时，让两物体从静止开始自由下落，下落时弹簧始终保持竖直状态。当中午A 下降h 时，B 恰好与地面相碰，假设碰撞后B 不离开地面，但不粘连，为使A 反弹时能将B 提离地面，则下落高度至少为多少？
例2、质量为m 的钢板与直立的弹簧上端相连，下端固定在地面上，平衡时的压缩量为x0, 如图所示，一物体从弹簧正上方3x0处的A 点自由下落，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动。但不黏贴，它们到达最低点后又向上运动，抑制物体的质量为m 时，它们恰能回到D 点。若物体质量为2m 时，仍从A 处自由下落。求物体向上运
动所能达到的最高点与O 点的距离。
例3、如图，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的物体B 相连，B 的质量为m2，弹簧的的劲度系数为K,AB 都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向，现在挂钩上挂一质量为m3的物体C 并且从静止释放，已知它恰好使B 离地面但不连续上升。若将C 换成另一质量为（m1+m3)的物体D ，仍然上述的初始位置由静止释放，则这次B 刚离开地面时D 的速度大小是多少？（已知重力加速度为g ） （2005年全国1卷）
例4、如图，一质量为m 的小球固定在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点处。将小球拉至A 处，弹簧恰好无形变。由静止小球，它运动到D 点正下方B 点速度为v ，与A 点竖直高度差为h ，则 A>由A 到B 重力所做的功为mgh
B>由A 到B 重力势能减小1/2mv2
C>由A 到B 客服弹力所做的功为mgh
D>小球到达位置B 时的弹性势能为mgh-1/2mv2
关于动量定理的应用
(一) 动量定理在多个过程中的应用：
例1如图，一段不可伸长的轻绳一端固定在O 点，另一端系一质量为m=4kg的小球。已知绳的长为5m 先将小球用手托到与O 点等高的高度，从静止释放，结果小球2s 落地，落地时小球的速度为15m/s，求小球自然下落时离地面的高度h?
例2，如图任何冰车的质量为M ，另一木球的质量为m ，M ：m=31:2。人站在冰车上并静止在光滑的冰面上。人以相对与地面的速度v 将原来静止的木球沿着冰面向正前方推向固定挡板。设小球与木板之间的碰撞是弹性碰撞。人接住球后再以同样的速度v 将小球又推向挡板，如此反复，求推多少次木球后再也不能接住球。
（二）求碰撞过程中的平均作用力 例1、据报道，一辆轿车变速行驶强行超车时，与迎面而来的另一辆轿车相碰。两车因碰撞而挤压，皆缩短了0.5m ，据测算相碰撞时辆车的速度约为108km/h。试求：在碰撞过程中车内60kg 的人受到的冲击力多大？
例2、据报道，1980年，一架英国战斗机与一只秃鹰相碰撞造成机会人亡的事故。试通过计算说明年类对飞机飞行的威胁，设飞鸟的质量为为m=1kg，飞机的速度v=800m/s，若两者相碰，使计算飞鸟对飞机的撞击力？ 用动量解决有关动力学问题，在只涉及到力、时间、速度的问题常用动量定理解决。
动量定理应用之（三）
用动量解决有关动力学问题，在只涉及到力、时间、速度的问题常用动量定理解决。
例1、质量为2kg 的物体停放在粗糙的水平面上，从某时刻起，物体受到一个F=10N方向与水平方向成37°角的恒力作用。由静止开始运动，已知物体与水平面之间的动摩擦因数u=0.2。（g=10m/s2)求： （1）则撤去恒力时物体运动速度的大小？ （2）撤去F 后物体还能向前运动多长时间？
例2、如图，滑块A 和B 用轻细线连接在一起。放在水平面上。用大小为F 的水平恒力作用在B 上，用大小为F 的水平恒力作用在B 上，使AB 一起由静止开始沿水平方向运动。滑块AB 的质量分别为mA 和mB ，已知滑块A 和B 之间的动摩擦力因数为u ，在力F 作用时间t 后，AB 之间的细线突然断开，此后力仍然作用于B 上，求滑块A 刚好停止时，滑块B 的速度大小？
动量在系统中的应用之四：动量在系统中的应用。注意系统的内力冲量不考虑。
例1、质量为m 的铁块与质量为m 的木块用细线相连接，在水中从静止开始以加速度a 开始向下运动。经过t 秒后绳断开，如图，在经过时间t0, 木块停止下沉，求此时铁块的速度？（假设铁块还没碰到水底）
例2、质量为mA=0.4kg的木块放在水平桌面C 上，木板与水平面之间的动摩擦力因数u=0.24，木板右端放着mB=1.0kg的小物块B （可视为质点），它们均处于静止状态。木板突然收到水平向右的12N.S 的瞬时冲量的作用开始运动。当小物块滑离木板时，模板的动能为8.0J ，小物块的动能为5.0J ，重力加速度取g=10.0m/s2，求 （1）瞬时冲量作用时木板的初速度 （2）木板的长度L
(四) 动量定理应用之四：用动量定理理解流体持续作用的问题
常见的流体：空气、液体、尘埃、粒子、光子等，它们的持续作用会对作用面产生压力。 解决方法：用微元法构建物理模型
一般选取一小段时间作用在物体上的小段流体作为研究对象，用数学表达式表示出这段流体的体积质量以及初末状态的动量。
例1、现在一般采用高压水流采煤。替代传统的采煤方式，设某煤受到的压强为P 的水流冲击后可破碎，若高压水流沿水平方向冲击煤层，不积水的犯贱作用，则冲击煤层的水速至少是多少？（设水的密度为p0)
例2、一艘帆船在海上航行，假设帆面恰好与风速方向垂直。设帆的面积是S0，空气密度为p0，船速为v1，风速为v2且船速与风速方向同向（v1
例3、一个质量为m 的倒扣的铁盆，被一喷嘴喷出的水柱支撑在空中，已知刚喷出的水柱的流速为v0, 喷嘴横截面积为S ，且水在空中不断散开，水与铁盒作用后的速度为0，求铁盒离喷嘴的高度h ？重力加速度为g
（五）动量定理应用之五：动量定理与电磁感应的结合 在电磁感应中一般物体所受的作用力为变力；除非题中有特殊说明，因此很难用动能定理直接求物体发生的位移，一般情况下考虑用动量定理较多。电磁感应中的动量定理应用一般与电量公式q=it=ΔQ/R结合使用。
例1、如图所示，两根光滑的平行金属导轨MN 、PQ 处于同一水平面上，相距L=0.5m，导轨的左端用R=3.0Ω的电阻相连，导轨的电阻不计，导轨上跨接一电阻r=1Ω的金属杆，其质量为m1=0.2kg，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=2T，现对金属杆施加一向右的拉力F=2N，金属杆由静止开始运动。求 (1)金属杆运动的最大速度为多少？
(2)若已知金属杆从静止开始到运动到最大速度的过程中，电阻R 上共产生热量Q=10.2J，此过程持续的时间t 为多长？
(3)若金属杆到达最大速度后撤去外力F ，金属杆还能在导轨上滑行的距离为多少？
动量守恒定律的应用
动量守恒定律在碰撞中的应用:
1>碰撞：物体直接接触，相互作用的时间极短，相互作用的力远大于外力
a、动量守恒:p1=p2
b 、动能不增加:Ek1+Ek2≥Ek ′1+ Ek′2 c 、物理情景可行性
，碰前：v 后>v前 ，同向相碰c 、物理情景可行性，碰后：v 后≤v 前
碰后两物体的运动方向 不可能都不改变
②碰撞的种类;a 、弹性b 、非弹性c 、完全非弹性 ③能量损失 0≤ΔEk ≤ΔΔEkm=? 2>例题
1, 如图，在光滑的水平面上有直径相同的ab 两球，在同一直线上运动，选定向右为正方向，两球的动量分别为Pa=6kgm/s,Pb=-4kgm/s,当两球相碰后，两球的动量可能是
A,P'a=-6kgm/s P'b=4kgm/s B,P'a=-6 kgm/s P'b=8 kgm/s C,P'a=-4 kgm/s P'b=6 kgm/s D,P'a= 2kgm/s P'b= 0kgm/s
2, 在光滑的水平面上，质量为m1的小球 A以速率v0向右运动，在小球前方o 点有一质量为m2的B 球处于静止。如图，小球A 和小球B 发生正碰后均向右运动。小球B 被在Q 点的墙壁弹后与小球A 在P 点相遇，PQ=1.5Po,假设所有碰撞都是弹性的，求两球质量之比？(2007年海南、宁夏高考题)
动量定理在反冲运动中的应用
1>反冲运动过程中，系统在某一方向上不受外力，或外力作用远小于系统的内力作用。 2>研究反冲运动的关键就是确定系统内物体对地的运动状态。（将相对速度转化为以地面为参考系的速度） 3>在系统内力的作用下，系统内的一部分物体动量发生变化时，系统内其余部分 向相反的 方向发生动量变化，反冲现象是内力作用的效果因此遵守动量守恒.
例1、质量为M 的火箭原来以速度v0在太空中水平飞行，现在突然向后喷出一股质量为Δm 的气体，喷出气体相对于火箭的速度为V ，求喷出气体后火箭的速度为多少？
例2、光滑的水平面内放一长为l 质量为M 的木板A ，一质量为m 的小狗在木板的左端，开始时，系统静止，某时刻小狗以初速度v0奋力一跃，经一段时间小狗落在木板的另一端，则L 的最大值是多少？
例3、发射卫星要用多级火箭，发射时先点燃第一级火箭，燃料用完后空壳自动脱落，然后下一级火箭开始工作。多级火箭能及时把空壳抛出，使总质量减少，因此能获得很高的速度。可用来发射洲际导弹、人造卫星、宇宙飞船等。试通过计算说明，火箭不是一次型把燃气喷完，而是逐渐向后喷气以获得更大的反冲速度。（设每次喷出的气体相对火箭的速度是相同的）
动量守恒应用之三： 人船模型（平均动量守恒）
若系统在全过程中动量守恒，则这一系统在全过程中平均动量守恒，如果系统有两个物体组成，且互相作用前均静止，相互作用中靠内力作用改变个物体的动量。 方法：（1）通过作图，找出相对位移的关系：S1+S2=L S1和S2代表对地的位移，L 代表相对位移
例1、气球和人的质量分别为M 和m ，某时刻人和气球静止在离地高为H 的空中，人想通过一不计质量的轻绳滑到地面上来，则绳子的长度至少是多长？
例2、一长为L ，质量为M 的船上两端分别占有质量分别为m1和m2的甲乙两人，当两人交换位置后，船位移的距离为多少？
例3、质量为M 的光滑斜面倾角为θ，放在光滑的水平面上，另有质量为m1、m2的物体用不可伸长的细绳连接横跨在斜面上顶部的无摩擦的定滑轮上，释放后m1沿斜面下滑的距离为L 的过程中，斜面沿水平面移动的距离是多少？
爆炸
特点; 过程剧烈，时间极端，内力巨大其他形式的能钻化成系统的动能，大爆炸的过程动量守恒.
例1、在水平面上以v0=20m/s的速度竖直向上发射一颗炮弹，炮弹质量为M=10kg，当炮弹上升到最高点时，突然大爆炸，分裂成为A/B两块，格言水平方向飞行。测得A/B的落地点相距100m ，落地时两者速度方向垂直。问炮弹分裂两块质量各为多少？
例2、一导弹离地面高h 水平飞行，某一时刻导弹的速度为v ，突然爆炸成质量相同的A 、B 两块，A 、B 同时落地，两落地点相距4v (2h/g)
两落地点与大爆炸前导弹速度在同意竖直平面内，不计空气阻力。已知大爆炸后瞬
间A 的动能大于B 的动能，则AB 的动能之比是多少？
多物体、多过程的动量守恒
1、明确系统由哪些物体组成（2）整个物理事件分哪几个阶段（3) 明确哪些物体组成的系统动量守恒（4）明确哪些阶段动量守恒
例1、如图所示，至于光滑水平面上的小车A 、B 质量分别为mA=3Kg、mB=0.5Kg可视为质点的带电体C 的质量mC=0.1Kg,带电量为q=0.02C，位于表面光滑的B 车的最左端，整个空间有水平的匀强磁场，磁场感应强度B=10T，小车B 静止，小车A 以初速度vA=10m/s。垂直于磁场方向向右运动并与小车B 正碰，碰撞后物体C 在A 上滑动（A 车足够长）已知正碰后小车B 的速度为9m/s。物体C 与A 之间有摩擦（g=10m/s2)
(1)求碰撞后，A 的速度有多大？ (2)小车A 最后的速度多大？ (3)整个过程中能量损失多大？
例2、两只小船逆向航行，航线临近，它们头尾相齐时，在每只船上各扔m=50Kg的麻袋到另一条船上，结果载重较小的那只船停了下来，另一只船则以v=8.5m/s
m1=500Kg,m2=1000Kg。问交换麻袋前两只船的速度各位多少？
例3、如图，质量为3m 的足够长的木板C 静止在光滑水平面上，质量均为m 的两个小物体A 、B 放在C 的左端，
A 、B 相距为s 现同时对A 、B 施加水平方向的冲量使A 、B 获得v0和2v0的速度，A 、B 与C 之间的动摩擦系数分别为u 和2u, 则
（1）A 、B 、C 三者最终的速度为多大/ （2）运动过程中A 的最小速度 （3）A 、B 最终相距多远
例四、如图，在光滑的水平面上放长木板C ，C 的右端是固定的挡板P, 在C 的左端和中心各有小物体A 、B ，A 、B 的尺寸和P 的尺寸不计，A 、B 间与B 、P 间的距离为L ，A 与C 、B 与C 之间的动摩擦系数均为2u ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A 、B 、C 质量均为m ，开始时，B 、C 静止。A 以某一初速度向右运动。求： 1、A 、B 发生碰撞前，B 的摩擦力是多少?
2、要使A 、B 发生碰撞，A 的初速度满足什么条件？ 3、B 与P 能发生碰撞，A 的初速度满足什么条件？
动量守恒应用之五：用数学方法解动量守恒的问题
在动量守恒的问题中，常常会碰到相互作用前、后的速度、质量或其它物理量按一定的规律变化，导致列出的动量守恒方程也按一定的规律变化，像此类问题一般用数学演绎法推理出前几项，根据每一个方程的变化规律，用数学归纳法推出通项，再分析通项的关系，这种情况下不可能把所有的作用过程全部用方程表示出来，只能用不完全归纳法寻找它们的作用规律。
例1，如图，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁边，原点两侧人的序号均记作n （n=1,2,3……）, 每人只有一个砂袋，x>0的一侧每个砂袋质量m=14Kg,x
例2，（1）如图所示，A 、B 、C 为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，A 、B 段与B 、C 段平滑连接，质量为m1的小球从高位h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在BC 段上质量为m2的小球发生正碰，碰撞前后两球速度方向在同一水平线上，且无机械能损失，求碰撞前后小球m2的速度大小？
（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学上有着广泛的应用，为了探索这一规律，我们采用了多球依次碰撞，碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的简化力学模型，如图所示，在固定光滑水平直轨道上，质量分别为m1,m2„„mn 的若干个球沿直线静止相间排列，给第一个球初动能Ek1, 从而引起各球的依次碰撞，定义其中第n 个球经过一次碰撞后获得的动能Ekn 和Ek1之比为第一个球对第n 个球的动能传递系数K1n. a, 求K1n b,若m1=4m0, m3=m0 ,m0为确定的已知量，求m2为何值时，K13最大。
动量守恒应用之七：临界问题
在动量守恒的应用中，常常会遇到两相互作用的物体，距离最近避免相碰和物体开始反向运动等临界问题，这种问题取理的关键是分析临界状态，挖掘临界条件，选取最恰当的系统和研究过程，并运用动量守恒定律或结合能量方程求解。
例1，A 车的质量M1=20Kg，车上的人质量M=50Kg,他们一起从光滑曲面上高h=0.45m处由静止下滑，并沿光滑水平面向右滑行，如图，此时质量M2=50Kg的B 车正以速度v0=1.8m/s的速度沿水平面向右迎面而来，为避免两车相碰，在两车距离适当时，A 车的人跳到B 车上，
为使两车不相碰，人跳离A 车时相对地面的速度多大？（g=10m/s2
）
例
2， 9．如图，甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车质量之和为M ＝30kg ，乙和他的冰车质量之和也是M ＝30kg ．游戏时，甲推着一个质量m ＝15kg 的箱子以大小为v 0=2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．若不计冰面摩擦，求甲至少要对箱子做多少功，才能避免与乙相撞？
（二）关于动量与能量的结合问题
1，力学研究的是物体的受力情况与运动情况的关系，以三条线索（包括五条重要规律：牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律）为纽带建立各种联系，如下图表示：
力
2, 解决动力学问题的三个基本观点： （一）力与运动的观点：
牛顿运动定律结合运动学公式，这是解决力学问题的基本思路和基本方法，此种方法往往求得瞬时关系，利用此种方法解题必须考虑运动细节的改变，从中学研究的范围来看，只能适用于匀变速运动（包括直线和曲线运动）
（二）动量的观点（动量定律，动量守恒） （三）能量的观点（动能定理，能量守恒）
这两个观点研究的是物体或系统运动变化所经历的过程中状态的改变，它要求无需对过程是怎样变化的细节做深入的研究，而更关心的是运动状态的变化即改变结果量及其引起变化的原因。
3，力学规律选用的一般原则：力学中首先考虑两个守恒定律，从两个守恒定律的表达式可以看出，方程两边都是状态量，所以守恒定律只能解决状态问题，守恒定律不能解决过程（位移s ，时间t ）问题，不能解决力（F ）的问题，也就是说遇到F 、S 、t 等问题时，必须用牛二定律，运动学公式，动量定理，动能定理来解决。
4，力学规律选择的思考顺序：
（1）若是多个物体组成的系统，优先考虑两个守恒定律（但一定注意它们使用的条件）
（2）若涉及系统内物体的相对位移（路程）并涉及摩擦力，要用动量守恒定律先求出速度，然后再运用能量守恒定律。
（3）若是单个物体，宜选用动量定理或动能定理；只涉及到力、时间、速度问题一般选动量定理；若只涉及到力、位移、速度问题一般选用动能定理。
（4）若涉及到加速度且物体受恒力作用，可以选用牛二定律及运动学公式。
5，例题：
例1，如图小车B 静止在光滑的水平面上，一质量为m 的铁块A （可视为质点）以水平速度v0=4m/s滑上小车B 的左端，然后与右端挡板碰撞，最后恰好滑到小车的左端，已知M:m=3:1,小车长L=1m，并设A 与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞时间忽略不计，g=10m/s2. (1) A 、B 最后的速度分别为多少？
（2）铁块A 与小车B 之间的动摩擦因数为多少？
例2，如图，在同一竖直平面内，质量为2m 的小球A 静止在光滑斜面的底部，斜面高度H=2L，小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动，离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B 发生弹性碰撞，碰撞后球B 刚好能摆到与悬挂点O 同一高度，球A 沿水平方向抛射落在水平面C 上的P 点，O 点的投影O ′与P 的距离为1/2L，已知B 球的质量为m ，悬线长为L ，视两球为质点，重力加速度为g ，不计空气阻力，求： （1）球B 在两球撞后瞬间的速度大小？ （2）球A 在碰前瞬间的速度大小。 （3）弹簧的弹力对球A 所做的功。
例3，如图，长为L=12m的木板右端固定一立柱，板与立柱的总质量M=50Kg。木板置于粗糙的水平面上，与水平面的动摩擦因数u=0.1，质量为m=50Kg的人立于木板左端，木板与人均静止，人以a1=4m/s2的加速度向右奔跑至板的右端并立即抱住立柱，g=10m/s2，设地面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）人从奔跑至木板右端所经过的时间t (2) 木板发生的总位移？