工程结构
约束的有限元模型：德鲁克-普拉格–塑性模型
T. Yu a , J.G. Teng a, ∗ , Y.L. Wong a , S.L. Dong b 土木及结构工程系，香港理工大学，香港，中国
土木工程，浙江大学，杭州310027，中国
文章信息
文章历史：
2008 14收到
2009十一月12在修订的形式收到
2009十一月22接受
4一月2010在线提供
关键词：限制 混凝土玻璃钢 可塑性 有限元 建模 摘要
本文首先提出了一个重要的审查和评估现有的德鲁克–普拉格能力（D–P）型混凝土塑性模型来预测行为的约束混凝土采用动物实验观察和数值结果。这种评估表明，D–P塑性模型成功预测行为的FRP限制和其他被动约束混凝土，它需要灯光改性具有以下三个特点：1. 一个屈服准则包括第三偏应力不变量。2. 硬化/软化规律依赖于固结压力。3. 流动的规律，不仅取决于围压也在限制增长率。现有的模型没有包括所有三d–p型特征，所以他们不能准确预计，导致无论是积极的约束和约束（例如FRP约束混凝土）。修改d–p型模型，它包括所有三个以上特征，然后提出本文件中提出的模型的能力，以提供接近的行为，都积极约束混凝土和FRP约束下证明是通过比较之间的数值，得到使用这个修改d–p型模型和可用的实验结果。最后，该模型是限制人的可塑性。论文将在同伴纸的限制是通过A塑性损伤模型的发展。
2009 Elsevier有限公司保留所有权利。
1. 简介
近年来，随着纤维混凝土的约束增强的聚合物（FRP）已经成为一种流行的技术提高混凝土柱的性能[ 1 ]。因此，大量的研究已经对FRP约束混凝土轴压试验，通过对循环固体混凝土柱FRP夹克局限了。这种均匀约束混凝土性能很好的理解[ 2 ]，和应力-应变模型已被提出，它。现有的应力应变模型包括在封闭形式的表达式，设计为导向的模式（例如，[ 3 ]）和面向分析模型（例如[2,4]）预测的应力应变曲线由增量步骤.设计向导模型是基于实验结果的直接解释和回归分析，而分析型模型考虑了反应的混凝土和FRP夹克以及研究在明确的方式和可能被用来预测与其他材料[ 2 ]约束混凝土性能。测试结果现在可以通过一些现有的应力应变模型预测–密切，如提出Lam and Teng [3] and Teng et al。[ 2 ]。相反，行为的FRP约束混凝土圆形截面以外的其他部分是搞懂[ 5 ]。在FRP约束矩形截面非圆形的主要和环形截面，混凝土具有均匀约束混凝土的应力变化复杂的部分。
此外，实验和分析
建模，有限元（FE）的方法也被用来模型约束混凝土。有限元法在非均匀约束混凝土是能够捕获在混凝土复杂应力变化的建模是特别有利的。具体的可靠的有限元建模要求的混凝土本构模型的准确使用。许多不同的本构模型已经被提出了分析和有限元的FRP约束混凝土截面建模。这些本构模型包括塑性模型（如[ 22 ] 6–）和塑性损伤模型（例如–26 [ 23 ]）。虽然一些模型[ 26 ]包括23–弹性受损，混凝土塑性模型，这些模型的共同。
虽然大多数的结果是在如轴向应力应变曲线总体–反应试验结果吻合良好，以往的研究，这样的好协议只提供必要的但对精度和可靠性的一个本构模型没有足够的证据。一种可塑性32.8 MPa–42兆帕的范围。在这些数字中，轴向应力σC是由无约束混凝土抗压强度归一化而轴向应变侧向应变εεC或L是在其峰值应力ε有限无约束混凝土的轴向应变归一虽然大多数的结果是在如轴向应力应变曲线总体–反应试验结果吻合良好，以往的研究，这样的好协议只提供必要的但对精度和可靠性的一个本构模型没有足够的证据。塑性模型包含三个不同的部分组成：屈服准则，循环硬化/软化规律和流动规律，这都影响其性能的预测FRP约束混凝土行为。测试结果接近预测可能实现由于抵消误差在三分。事实上，而不同的塑性模型导致同样良好的预测显然是一个问题需要澄清。
本文旨在阐明一个德鲁克–普拉格的三个关键成分的影响（四–P）对预测FRP约束混凝土和识别D–P塑性模型必须具备为了提供结果接近预测的关键特征的行为表现型的可塑性模型评估的重点是。D–P型混凝土塑性模型因为他们已经得到了广泛的应用（例如，[ 6 ]；达到–14,18）这样的模型得出的结论也为其他相关塑性模型。本文首先对约束混凝土为随后的讨论提供一个基础特性综述。D现有–P型塑性模型进行综述和数值评估。最后，改性混凝土塑性模型，提出的结论的基础上从评估得出的，并用试验结果验证。
2. 约束混凝土的行为 混凝土常主动围压下的行为已经被广泛的研究（如[ 30 ] 27–）。对FRP约束混凝土的广泛研究，这是进行增加被动围压和轴向应变的增加，也已进行（例如2,3,31–[ 39 ]）。为简单起见，术语“混凝土”是此后'FRP约束混凝土，除非另有规定。图1取自文献[ 40 ]显示了一些典型的应力应变曲线–FRP约束混凝土主动约束，分别，和图2（a）和（b）从参考文献。[ 2 ]和[ 40 ]分别说明这两种类型的约束混凝土的膨胀性能。在这些数字中，压缩应力/应变定义为阳性而拉伸应变/应力定义为负。这些定义是通过除非另有规定，本文采
用。与碳FRP曲线（CFRP）在密闭的152毫米305毫米oneply×混凝土圆柱体根据文献
[ 40 ]从压缩试验获得，两层和三层的FRP分别。CFRP具有标称厚度为0.165毫米，每层，250 GPa和3800 MPa的拉伸强度弹性模量。主动约束混凝土曲线通过Candappa et al。
[ 29 ]或数据传输等。[30]从主动约束混凝土圆柱体在不同侧压力（例如4兆帕，8兆帕，12兆帕）。无侧限混凝土圆柱体强度这些标本在32.8 MPa–42兆帕的范围。在这些数字中，轴向应力σC是由无约束混凝土抗压强度归一化而轴向应变侧向应变εεC或L是在其峰值应力ε有限无约束混凝土的轴向应变归一化它可以从无花果。1和2，而积极局限于下列特性：（1）随着围压的增加和相应的应变的增加，混凝土的峰值应力；（2）由一个较大的围压约束混凝土的轴向应力应变曲线具有–逐渐降支；（3）对应于相同的轴向应变，较大的围压下不混凝土的侧向膨胀；和（4）积极约束混凝土具有连续体积膨胀后体积压缩，和体积应变的过渡点随围压的增加。它也可以发现，从简单的计算，混凝土强度的剪切，这是第二偏应力不变量的峰值直接相关，随着围压的增加而增加。
FRP约束混凝土的主要特点包括：（1）近似双线性应力应变曲线提供FRP是相当僵硬的，其中第一部分与无侧限混凝土曲线略只在第二部分取决于FRP护套圆周的刚度和强度；
（2）对应在相同的轴向应变，通过严厉的FRP约束混凝土的横向变形小；和（3）的体积变化在很大程度上取决于玻璃钢和FRP在圆周方向上的弹性模量和厚度分别为FRP夹克，R0是圆筒的半径。图（b）表明，一一层的FRP约束混凝土柱具有体积不断增加，体积膨胀后压实；一二层的FRP约束混凝土柱具有体积压实最初体积膨胀从而降低FI最后阶段直至最终失效；通过一三层FRP约束混凝土柱具有连续体积压缩。Teng et al.。【2】也得出测试结果，虽然横向应变轴向应变路径–积极约束混凝土和FRP约束混凝土是非常不同的，在一个给定的轴向应变侧向应变主要取决于，如果不完全，对定义为侧向压力σL和F 0共同的无侧限混凝土强度之间的比目前的约束比。这一结论意味着在图2（a），两FRP约束混凝土和约束混凝土具有相同的积极约束比。
3.有德鲁克–普拉格（D–P）型塑性模型
3.1通用
混凝土塑性模型一般是基于金属塑性理论的框架，但必要的修改包括混凝土的独特性能。一个塑性模型的关键方面包括屈服面（包括初始和后继屈服面），流动法则，和硬化/软化规律。初始屈服面确定在塑性变形开始；流动规律决定了塑性变形的方向；和硬化/软化规则定义了屈服面和塑性变形的演变。
许多产量的功能已经被提出了混凝土。参数包含在这些功能的范围从一个数（例如Von
米塞斯准则最初是为金属）五[ 41 ]。这些产量之间的函数关系，德鲁克–普拉格（D–P）标准已经成为约束混凝土模型广泛采用（如[ 6 ]
–14,18）由于其简单（只涉及两参数）和它的捕捉能力，抗剪强度增加由于静水压力的增加而增加，这是在禁闭具体的一个独特的特性。D–P屈服准则和压力不敏感的标准之间的差异（例如Von米塞斯准则）是明显的在我
平面应力空间（图3）。后者是一个横坐标平行线而前者是一个倾斜的线。当一个塑性模型是基于D–D-P
屈服准则，它被称为D–P型塑性模型。在这一部分中，这种类型的模型来模拟主动约束和FRP约束混凝土的行为能力是通过检查的三个关键方面，即讨论，屈服准则，硬化/软化规律和流动规律。现有的各种D–P型模型[ 6 ]的关键特性–14,18
，总结在表1中，进行检查。几个数值试验来评估他们的表现。在本论文的评审过程中，两–D P型模型发表[20,21]。他们的关键特征也归纳在表1和其性能的介绍在适当的讨论。本文提出的数值试验，利用ABAQUS [ 42 ]进行的，和所有D–P型模型采用混凝土的理论框架内的扩展Drucker-Prager模型德鲁克–ABAQUS的介绍后。有限元模型的目的是预测轴向应力应变和约束混凝土膨胀–横向行为。因此，一个统一的主动围压下混凝土，用的是只有一个单一的8节点实体单元；由一个圆形的FRP约束混凝土，对试件的垂直切片只有一个季度是使用单层8节点的实体单元对混凝土与FRP夹克的四节点壳单元模拟。
3.2.屈服准则
3.2.1。一般方程
D–D-P屈服准则采用以下形式【14,41 ]。
其中k是参数θ和被确定，
J2和L1分别是第二和第一的压力和偏应力不变量不变量。当k是常数，是不相关的塑性变形（图。（2）），这是已知的硬化/软化函数和方程（
1）表示的初始收益率和后期收益率两个表面。
哪里是等效塑性应变增量。当与关联流动法则D–P屈服准则采用，C P是由以下方程三轴压缩下的混凝土，即等于主应力在横方向的混凝土和在轴向方向上的主应力：
当θ = 0并且C p =√3/2经典的金属塑性模型可以视为一个四–P型模型的一个特例。、 这是明显的从式（1），初始和后继屈服面形状相同，在应力空间，提供θ是恒定的对于一个给定的材料。随后的屈服面是在我1−√J 2面一系列直线。这些线都是平行的，表示初始屈服面如图4所示。这些行之间唯一的区别是与轴√J 2拦截点，这取决于硬化/软化函数K的破坏面是后继屈服面之间具有最高的K值。同样明显的是从式（1），D组有圆形–屈服面在偏平面，如图5所示
3.2.2。观察结果
在式（1），称为摩擦参数θ。θ的价值可从三轴压缩下的实证方程。许多这样的方程中，最受欢迎的是那些由理查等人提出的。[ 27 ]和曼德等人。[ 28 ]。Teng et al.。[ 2 ]最近提出的一个方程已通过大量的试验数据验证。摩擦参数被发现是0.2934利用理查特等人提出的方程。[ 27 ]和0.2634用腾等人提出的方程。[ 2 ]，如在附录A中的解。
它已被许多研究人员指出（例如[ 8,25,41 ]），混凝土抗剪强度的等双轴压缩下，指的是在两个主轴方向和第三个主方向的应力等于一零应力混凝土，这三轴压缩下是不同的，即使这两种情况的第一应力不变量同样的。基于塑性理论，它是已知的，混凝土的应力状态下的等双轴压缩和三轴压缩对应于不同的圆周位置偏平面上（图5）。剪切强度比这两个案件之间（即等双轴压缩和三轴压缩）可以从实验结果或经验公式对混凝土强度在等双轴压缩和三轴压缩（见附录B）。如果Kupfer等人的实验结果。【43】用于混凝土等双轴压缩下的经验公式，由理查等人提出的。【27】采用混凝土三轴压缩强度，这比大约是0.7（附录B），超过1的循环衰竭曲线隐含少得多。因此，破坏面旨在反映混凝土的性能试验应考虑第三偏应力不变量的影响，在偏平面【7,18,21–23采用非破坏曲线]。这样的破坏面可能的形状如图5所示。。
3.2.3。现有模型的评价
karabinis和kiousis mirmiran等人[ 6 ]。shahawy等人[ 11 ]。[ 12 ] [ 14 ]，哦，和鲁萨基斯karabinis [ 9 ]和鲁萨基斯等人。【20】直接采用D–D-P屈服准则推导θ值采用经验公式的混凝土三轴抗压强度。方[ 10 ]和马哈福兹等。[ 13 ]模拟混凝土采用混凝土模型在
ABAQUS中[ 42 ]，这是被称为弥散裂缝混凝土模型和有一个屈服准则，如公式（1）相同的混凝土的压缩。因此，这些模型不能等双轴压缩下提供准确的预测混凝土的强度。这也将是不均匀的限制不能下混凝土的峰值应力是由这些模型准确地预测。非均匀约束混凝土对应的轴和偏平面，等双轴压缩之间的周向位置的应力状态（图5）。因此，本案不应力峰值的准确预测是两种极端情况（即等双轴压缩和三轴压缩）是不准确的定义。
在文献。[7,18]，术语√j2方程（1）是由和是第二和第三偏应力不变量的函数，和C 3是一个常数。这种替换导致在偏平面上的屈服面形状为非圆形。karabinis和kiousis [ 7 ]和鲁萨基斯等人。[ 18 ]表明，
C 3 = 2。3。通过这样做，1 C 3 S 4√−R等于1.17和0.58轴压缩等双轴压缩。抗剪强度比大约是0.5，这是低于实验值（0.7）如前面所讨论的。karabinis等人。【21】也包括第三偏应力不变量屈服函数，但他们采用的抗剪强度比为0.778，高于实验值。
3.3。应变硬化和应变软化
3.3.1。一般方程
在传统的金属塑性模型，硬化/软化函数K（方程（2））只是一个等效塑性应变的函数。如果这个概念是采用D–D-P屈服准则，应变硬化/软化规律可由混凝土单轴应力应变曲线确定–，或者没有限制。很明显，我们的任务是确定相应的K值给定值˜εP基于方程（2）。它可以很容易地证明D˜εP等于DεP 1式的基础上的单轴压缩条件下混凝土。（2）–（4）和（10）提出后，在P1ε在加载方向的塑性应变。硬化/软化然后功能可以通过以下方法确定单轴应力应变曲线：
（1） 获得的轴向应力应变曲线使用
和σ1−ε1关系。
（2）发现，塑性应变和J 2和之间的关系我1的基础上的轴向应力应变曲线–步骤（1）；
（3）发现K和基于塑性应变之间的关系方程（1）和（2）步的结果。
3.3.2。观察
从混凝土大量压缩试验（如图6），理想弹塑性模型不能反映混凝土在压缩的真实行为。因此，包括应变硬化和应变软化弹塑性模型捕捉到的实验现象是必要的。
而传统的硬化/软化规则以塑性变形作为唯一的参数，它最近被发现[ ]，不涉及
6,8,14,25,44围压，硬化/软化规则不能导致约束混凝土增强韧性合理的预测。一些作者（如
[ 8、14 ]）也提出了改进的硬化/软化规律的围压作为另一个参数，并给出了测试结果接近的预测。
两个数值试验在本研究中进行了进一步的解释这个问题。图7显示了这样一个D–P型模型有限元分析结果的应力应变曲线无–混凝土受恒定的压力为6 MPa和12 MPa。无侧限混凝土强度为39.6 MPa。硬化/软化的无侧限混凝土腾等生产的单轴应力应变曲线–得到功能。模型[ 2 ]，在前面所述的程序。图7显示所有三个曲线的应变软化分支的山坡几乎是相同的。这是类似于黄[ 25 ]用塑性损伤模型和不与应力应变曲线–积极约束混凝土具有较小的陡降支比无侧限混凝土实验结果一致（图1）。图8显示的结果来自同一D–P模型与恒定电位函数参数等于0.14（势函数的参数是在下一节中详细讨论）FRP约束混凝土。混凝土缸的外直径为152.5毫米，由一二层玻璃纤维增强聚合物（GFRP）约束与弹性模量为80100兆帕和0.17毫米的厚度每层夹克。很明显，结果从试验结果完全不同。不适当的应变硬化/软化的功能又是主要的原因之一。这样的应变硬化/软化作用导致低估的峰值应力后的主动约束混凝土（见图7），FRP约束混凝土的轴向应力，这是进行连续变化的围压，从而低估了。因此，可以得出结论，应变硬化/软化功能也应依赖于围压，以密切预测约束混凝土性能。在4节中，它表明通过数值试验，应变硬化/软化对围压的函数依赖可导致关闭约束混凝土性能预测。
3.3.3现有模型的评价
方[ 10 ]，mirmiran等人。[ 11 ]，和shahawy等人。[12]采用理想弹塑性模型，这是无法接近的预测行为的积极约束混凝土。然而，mirmiran等人。[ 11 ]和shahawy等人。[ 12 ]认为，理想弹塑性模型可以提供相当接近的预测的轴向应力-应变行为–FRP约束混凝土。下面的讨论试图澄清这一问题。
由于FRP约束混凝土进行了不同围压，预测上的一个点，其应力应变曲线使用–面向分析的模型（例如，[ 2 ]）需要一个增量的方法有以下两个步骤：（1）发现围压下一个给定的轴向应变，（2）基于已知的轴向应变和电流限制压到轴向应力。步骤（1）以上涉及的是讨论在下一小节而步的流动规律（2）直接关系到应变硬化/软化规律。以往的研究（如[ 47 ] 2,32,34,45–）一般认为轴向应力的FRP约束混凝土在给定的轴向应变与围压等于积极约
束混凝土具有相同的限制压力与轴向应变。图9，这是由腾等人。用自己的模型[ 2 ]，说明了
FRP约束混凝土可以预测的一系列曲线的积极约束混凝土应力应变曲线点集–的；在这些点上，无论是FRP约束混凝土和积极约束混凝土具有相同的围压。这些位置侦听点，然而，取决于FRP护套刚度。当FRP刚度更高，这些拦截点在较小的轴向应变。为理想弹塑性行为的假设只能正确地获取主动约束混凝土应力峰值点（即不能预测峰值后软化行为），
这会导致玻璃钢的应力应变行为–不准确的预测约束混凝土在拦截点不一致，应力峰值点。在这些拦截点的应力峰值点，较大的预测误差。因此可以得出结论，理想弹塑性行为的假设一般不能导致关闭的FRP约束混凝土的应力应变行为预测–，但可能产生相当接近的预测当FRP刚度在一定范围内，提供了约束混凝土的膨胀是密切的预测。
马赫福兹等人。[ 13 ]采用硬化/软化的等效塑性应变作为唯一的参数的函数，因此不能密切预测积极约束和FRP约束混凝土如上–轴向应力应变曲线。karabinis等人。【21】用普通混凝土的应力应变行为定义–硬化/软化功能，所以他们的模型有相同问题马哈福兹等。
[ 13 ]。鲁萨基斯等人。[ 20 ]采用硬化/软化功能包括FRP刚度为变量的经验方程。鲁萨基斯等人。模型[ 20 ]，因此不能用于主动约束混凝土，虽然它可以提供合理的预测FRP约束混凝土。一些研究者（例如[ 6,8,14 ]）包括围压入硬化/软化功能。karabinis和kiousis [ 6 ]采用反映硬化/软化功能在围压和塑性变形的依赖的K函数的一个复杂的方程。兰[ 8 ]包括围压的基础上的一组实验应力应变曲线–积极约束混凝土在不同围压的影响。哦[ 14 ]提出了一套复杂的方程来确定K函数。这些方程包括六参数和二十参数和从下属从实证的轴向应力应变模型–三轴压缩下的混凝土相同的作者开发的生产数据的非线性回归分析得到的。尽管复杂的形式，主要参数控制应变硬化/软化仍然是塑性变形和围压，对于一个给定的无侧限抗压强度混凝土。上述三种方法在概念上是正确的和可以提供的轴向应力应变行为密切预测–积极约束混凝土，如果材料参数的适当选择。然而，为了密切预测FRP约束混凝土的行为，适当的流动法则是另一个重要问题，讨论如下。
3.4流动法则
3.4.1一般方程
当关联流动法则，采用流动电位，作为屈服函数和塑性应变增量同样可以用下面的公式计算[14,41 ]：
其中f是定义式的屈服函数（1）和一个标量λ硬化参数可能会有所不同。
在三轴压缩混凝土，方程（6）可以写为：
然后下面的公式可以从公式。（7）–（9）：
α
是膨胀率。
β是势函数参数的地方。一个积极的β值表示体积膨胀而负β值指示体积压缩。
类似于公式（10）
，下面的公式可以得到式（13）：
3.4.2观察
而关联流动法则，在一些研究中采用的（例如，[ 13 ]），它已被许多其他的研究人员发现（例如[ 11,14,25,44 ]）导致约束混凝土的膨胀高估。数值试验是在阐明这个问题，目前的研究。数值模拟结果与实验结果比较图10。实验曲线，从一个41.9兆帕的抗压强度混凝土圆柱体和限制由一个恒定的压力等于12 MPa，由candappa等人得到。[ 29 ]。数值结果与相关流动法则D–P模式。很明显，结果克服估计主动约束混凝土的侧向膨胀。这是由于在估计的关联流动法则，它定义了一个恒定的势函数参数等于一个大的正摩擦参数的使用（即0.2934，见附录A）。实验结果（图2（b））表明，积极约束混凝土具有体积压缩后体积膨胀，而体积应变的过渡点随围压的增加。这种现象表明，约束混凝土的势函数的参数应为塑性变形与围压的关系[ 14 ]。势函数的参数可以基于主动约束混凝土的横向变形模型计算的经验（例如，[ 2 ]），预测一个给定的轴向应变和横向应变，围压。FRP约束混凝土进行被动围压的增加而增加的轴向应变。虽然FRP约束混凝土的轴向应力在一个给定的轴向应变与围压是相等的积极限制在同一围压和轴向应变[ 47 ] 2,32,34,45–混凝土，两例的势函数的参数（即FRP约束混凝土和积极约束混凝土具有相同的围压和轴向应变）是不同的，如下面的解释。图2（a）显示应力应变曲线–FRP约束混凝土交叉的一组曲线，积极约束混凝土。现有的试验结果表明，在截点，给定一个[ 2围压试样的类型几乎是一样的]。然而，在塑性模型，塑性流动的方向决定于轴向塑性应变的横向塑性应变增量比。图2（a）清楚地表明，切线泊松比（即横向应变增量比，轴向应变）主动约束混凝土不同，FRP约束混凝土在拦截点，其中轴向应变与围压但几乎相同的情况下。虽然图2（a）是轴向应变曲线，它可以很容易地表明，轴向横向塑性应变曲线相似。因此，塑性模型，其中涉及的流动规律对围压和塑性应变，从而可以预测积极约束混凝土密切的行为，很可能给不可靠的预测FRP约束混凝土。腾等人。分析模型[ 2 ]来进一步阐明这个问题。从这个模型的结果示于图11，其中水平轴的轴向塑性应变和垂直轴是势函数的参数。图11中的黑实线表示混凝土缸的结果（F 0CO = 36。5 MPa，直径= 152.5毫米）的弹性模量为80100兆帕和0.34毫米的厚度[ 48 ]一个FRP约束。两虚线曲线在图11中表示结果的积极约束混凝土与围压为6 MPa、10 MPa。垂直虚线左边是FRP约束混凝土的轴向塑性应变值随着围压的FRP夹克提供等于6 MPa而右垂直虚线表示轴向塑性应变值时，围压为10 MPa。这是明显的从图11的势函数参数主动约束混凝土FRP约束混凝土不同，即使具有相同的轴向塑性应变与围压。图11中的阴影区域表明之间的差异，积极约束混凝土和FRP约束混凝土在势函数参数的轴向塑性应变的两个关键值。这些结果再次表明，塑性模型，其中涉及的流动规律对围压和能够准确地预测行为的主动约束混凝土，往往高估的FRP约束混凝土在轴向应力-应变行为高估–横向扩张。这一点是进一步研究4节有限元结果。在势函数参数的差异可以解释的差异
之间的积极约束混凝土和FRP约束混凝土是在被动约束。积极约束混凝土，围压是恒定的，不是混凝土的变形有关。被动约束混凝土，然而，限制水平随变形反过来控制变形。因此，被动约束混凝土需要的势函数参数不仅关系到围压也增加围压和横向应变之间的比值（即约束增长率）。FRP约束混凝土，这个比例是FRP夹克的刚度直接相关。这比用势函数参数的变化显然是在图12中显示出类似的由两个不同的FRP约束混凝土的轴向塑性应变势函数参数的变化说明。从腾等人计算了图12中的曲线。的模型[ 2 ]两标本mirmiran等人分别测试。[ 11 ]和Wong等人。[ 49 ]。mirmiran等人的试验中。[ 11 ]，混凝土的抗压强度约30兆帕，气缸有一个直径为152.5mm和FRP管有厚度2.21mm，弹性模量为40336兆帕，在圆周方向上的拉伸强度579 MPa。Wong等人。试验[ 49 ]，混凝土的抗压强度的36.5mpa和相应的应变0.0026，气缸有一个直径为152.5毫米，与FRP管有一个厚度为0.34毫米，弹性模量为80100兆帕，在圆周方向0.0019箍断裂应变。很明显，从图12，势函数参数的FRP约束混凝土不仅随塑性变形，但也取决于FRP护套刚度。FRP约束混凝土与较弱的（Wong等人的试验。[ 49 ]在图12中）有一个较大的势函数的参数。
3.4.3。现有模型的评价
兰[ 8 ]，方[ 10 ]和马哈福兹等人。[ 13 ]采用关联流动法则导致约束混凝土的侧向膨胀的高估，按照上面的说明。mirmiran等人。[ 11 ]和shahawy等人。[12]采用了非关联流动法则，用恒电位函数参数注意等于摩擦参数建模的FRP约束混凝土。虽然mirmiran等人。
[ 11 ]和shahawy等人。[ 12 ]
发现扩张倾向的FRP约束混凝土是不能通过这样的流动法则建立的，他们表明，轴向应力应变曲线–FRP约束混凝土可以合理地接近预测的假设是等于零的势函数的参数。有这样一个假设的预测FRP约束混凝土的膨胀性能是显而易见的，提供的试验结果不能（图2（b）），一零势函数参数对应于没有体积变化。mirmiran等人的成功。[ 11 ]的模型预测的应力-应变行为–FRP约束混凝土可以通过图12解释。mirmiran等人。假设[ 11 ]为自己的测试作为他们的样品的实际电位函数的参数从0.1到0.08不等−。此外，mirmiran等人。[11]混凝土的弹塑性行为。他们的有限元模型进行在轴向应力应变曲线预测–因为低估了横向扩展，在加载过程中，开始是由重约束混凝土的弹塑性行为的假设应力影响的抵消效应。零势能函数参数的假设显然不会导致关闭Wong等人的预测。测试结果[ 49 ]（见图13（a））。使用试验和错误的过程，发现一个恒电位函数参数等于0.14可产生黄等合理的预测。试验[ 49 ]，如图13所示（一）。通过这样做，FRP约束混凝土的横向扩张，也可以合理但不准确的预测，如图13所示（B）。图13（b）表明，有限元结果低估横向扩展。这是与图12所示为在加载过程中，始终一致的结果，潜在的功能参数大于0.14。基于上述讨论，可以得出结
论，假设一个恒定的势函数的参数不仅导致不合理的预测复杂的膨胀性能的FRP约束混凝土（见图2（
b）），但还不能预测的应力应变行为–FRP约束混凝土准确。karabinis和鲁萨基斯[ 9 ]相关的势函数参数的塑性变形，但假设它是在其他研究[ 6,7,18 ]常数。下面的公式是由他们[ 9 ]：
在a 0和a u是初始和最终值a和k a是初始利率的变化作为一个函数的a−发生的，这是已知的作为塑性应变轨迹和是一个函数的等效塑性应变。EQ。（15）描述的变化（a与塑性变形。karabinis和rousakis [ 9 ]提出的，该值应该是0和a u a−−分别为0.6和2=12.924。
karabinis和kiousis [6,7]和鲁萨基斯等人。【18】假定一个恒定的势函数的参数，因此不能紧密预测约束混凝土性能如前面所解释的。karabinis和鲁萨基斯[ 9 ]相关的势函数参数的塑性变形，但他们使用的是不与实验结果相一致的负电位函数的参数值。如前所述，负值意味着体积压实α。然而，实验结果表明，主动约束混凝土具有体积压实后的体积膨胀和塑性变形。此外，与鲁萨基斯karabinis [ 9 ]没有考虑到随着围压的势函数参数的变化。然而，这种变化是显而易见的，从大量的试验，如前面所解释的。[ 14 ]指出混凝土的复杂变形特性和相关的势函数参数对塑性变形和围压。几个方程进行描述的基础上的实证模型由同一作者的横向变形和非线性回归分析，提出了势函数的参数。这些方程，尽管复杂，包括变化的势函数参数与围压和塑性变形。因此，可以预期的是，哦[ 14 ]方程是可接近的预测的扩张行为的主动约束混凝土，但他的经验模型具有足够的精度。然而，OH的方程[ 14 ]不能提供的FRP约束混凝土接近的预测，在最后一小节中解释。
Rousakis等。 [20]和Karabinis等。 [21]注意到在FRP护套刚度FRP约束混凝土的潜在功能参数的依赖，并提出了一个经验方程来解决这种依赖基于该检测结果，他们检查。因为包含在FRP护套刚度是围材料代替混凝土本身的属性的。然而，它们的模式是只适用于FRP约束混凝土（ieinapplicable积极约束混凝土或混凝土由另一种材料密闭）。他们的模型也并不包括对塑性应变影响其精度为FRP约束混凝土的潜在功能参数（参见图12和
13）的依赖性。
上面的讨论表明，所有流程规则D现有–P型模式不能关闭的预测为积极和FRP约束混凝土。给出了具体的如上所述的扩张性质，流动规律应反映的限制增长率的影响，以及对塑性变形和围压，以得出合理准确的预测。在4节中，它是利用数值模拟的结果，这样的流规则导致了相当密切的积极约束和FRP约束混凝土性能的预测显示。
3.5总结
由此可以得出结论，以提供的主动约束行为的合理准确的预测和被动约束混凝土的上述讨论，D–P塑性模型需要改进，具有以下三个特点：（1）屈服准则反映第三偏应力不变量的影响；（2）一个约束相关硬化/软化规律；（3）限制相关的非关联流动法则，其势函数的参数不仅与围压也限制增长率。如果（1）是适当的执行，活跃的非均匀约束下混凝土的强度将被准确地预测。如果（2）是适当的执行，轴向应力应变曲线–积极约束混凝土将被准确地预测。最后，如果（3）是适当的执行，被动约束的侧向变形和积极约束混凝土将被准确地预测。
现有的模型没有包括所有三d–p型以上的特点。方与马哈福兹等人[ 10 ]。[ 13 ]
smeared裂纹模型的混凝土直接通过在ABAQUS软件中，这有不规则和相关的流包含三标准偏应力不变的产量。方[ 10 ]，所以没有考虑应变硬化/软化。提出的模型由karabinis和他
的同事6,7,9,18,20,21 ] [不包括压力的影响confining流规则和因此导致不正确的值的函数的参数的潜力。因此，本文的模型中，我们不能提供准确的各种约束混凝土横向变形。此外，剪切强度比什么都6,9,20 ]或[设置为统一的值不同的值从一7,18,21实验[普通]，都是讨论。它说，这可能是由本集团最近提出的模型[ 20,21 ]相关潜在的功能参数和刚度的FRP夹克可能导致合理的（虽然不一定准确，对FRP约束混凝土）（湖第3.4.3）模型是不适用的，但主要是积极约束或约束混凝土和混凝土另一个材料。提出的模型由哦[ 14 ]是正确的
conceptually积极约束混凝土，除了它不包含第三偏应力不变量的影响和因此是不适合使用在与混凝土或非均匀。然而，它不能提供合理的行为，FRP约束混凝土在早期的讨论。在
mirmiran 等人[ 11 ]和shahawy等人。[ 12 ]不具有任何功能，三是准确的。因此它不能给任何预测的行为是积极约束或约束混凝土与合理的精度。
值得注意的是，一些其他类型的塑性模型（如三塑性模型，见[ 41 ]）固有的包括第三偏应力不变量屈服准则因此，可以提供合理的预测强度在主动约束混凝土。然而，以最好的作者的知识，这些模型没有包括的最后两以上特点。因此，他们遭受在FRP约束混凝土为D–P
建模类似的问题型模型的研究。
4.建议
在这一部分，修改D–P型塑性模型具有对该行为的准确预测所需的所有功能三双方积极约束和FRP约束混凝土提出了。一个传统的D P型可塑性–修改建议模型归纳为情商。
（16
）–（18）。
（1）屈服准则包括第三偏应力不变量屈服准则反映了第三偏应力不变量的影响，先前已被陈[ 41 ]建议，karabinis和kiousis [ 7 ]，和黄[ 25 ]
。式（1）因此改为：
（2）限制相关硬化/软化规律的硬化/软化功能与围压有关，因为先前已经通过局域网[ 8 ]
建议，karabinis和kiousis [ 6 ]，哦[ 14 ]陈兰[ 44 ]。式（2）因此改为：
σL是限制压力的地方。
（（3）约束的非关联流动法则的非关联流动法则与不同的屈服函数流量采用式（13）。势函数参数β是塑性变形的关系，围压和限制，增长率：
其中L是横向应变ε
积极约束混凝土，所以式（18）减少以
FRP约束混凝土是由线性弹性约束装置的约束，另外，我可以从σ˜εP和L确定因此ε，不再是一个独立的变量。式（18）从而得
在本研究中，在通用有限元程序，通过修改其扩展德鲁克–Drucker-Prager模型并利用自定义的解决方案依赖于场变量的设施实施了
ABAQUS模型（SDFV）
。从ABAQUS数值试验给出以下预测积极约束和FRP约束混凝土的行为证明的所提出的模型的能力。
4.1扩展模型在ABAQUS中的drucker–prager
扩展的德鲁克模型在ABAQUS–普拉格–D P型塑性模型与修正的屈服准则。在这个修改后的屈服准则，采用一个额外的参数K的影响占第三偏应力不变量。身体，k表示的剪切强度比材料之间的等双轴压缩和三轴压缩。在扩展德鲁克–普拉格模型，屈服准则采用以下形式：
其中J 3是第三偏应力不变量。用“的” 方程（21
）代替√J2在式（1），在偏平面上的屈服面形状改变，不再是圆形的。基于方程（22），当3/ 2√J3/J2 = 1（对应于三轴压缩的情况下），S =√J2；当3 / 2√J3/j2 =−1（对应相等的双轴压缩的情况下），S = 1K√J2。因此，如果参数选择适当，式（21）代表
相同的破坏曲线方程（1）在我1的J2平面压缩的情况下，相等的双轴压缩下的破坏面可以由以下方程表示：
在偏平面和在我1−√J2平面如图14所示修改后的屈服面。然而，在扩展
Drucker-Prager模型德鲁克–ABAQUS，K值是有限的0.778和1之间保证屈服面凸。K值的下限大于实验值（约0.7，见附录B），因此该模型往往高估，混凝土强度等双轴压缩下。然而，K值不影响三轴压缩下的具体结果，只要θ值校准三轴压缩的经验公式。扩展德鲁克–普拉格模型还允许用户定义的应变硬化/软化函数，定义一个势函数的参数，可以相同或不同的摩擦参数允许关联或非关联流动法则的适用。
4.2场变量的解决方案依赖于ABAQUS（sdfv）
在ABAQUS中，材料的性能可以依赖的使用用户定义的子程序USDFLD所谓解相关场变量。一个解决方案依赖字段变量是一个场变量的变化在整个求解过程（如位移、应力）。 这家工厂提供的材料模型在ABAQUS中考虑到额外的材料特性的灵活性。在本研究中，采用的SDFV选项定义应变硬化/软化对围压的依赖性，和流动规律研究围压的依赖性，塑性
变形和约束增长率。输入材料数据产生以下的程序在第4.3节介绍。通过这样做，在加载过程中材料性能的变化可以适当地捕获。 （
1）屈服准则
扩展的德鲁克模型–普拉格屈服准则是直接采用，与θ= 0。2624，这是使用腾等人发现。的方程[ 2 ]（见附录A），和K = 0。78。这个K值代替使用0.725发现从经验公式（见附录B）是由于扩展的德鲁克模型在ABAQUS–普拉格限制如前面所解释的。（2）硬化/软化规律的约束依赖硬化/软化规则的实施是在ABAQUS通过下列程序：（一）取得了一系列的轴向应力应变关系限制–积极活跃的不同围压下混凝土使用腾等人。模型[ 2 ]，基于给定的无侧限混凝土强度混凝土的应变值；（b）得到不同围压下的初始弹性模量的轴向应力应变关系–混凝土，初始泊松比和下面的方程[ 14,22 ]
其中E C和νC的混凝土弹性模量和泊松比的初始值分别为。在[50]经验公式，采用E C而νC被假定为
0.18时，实验值不可用
（C）输入这些关系到ABAQUS在规定的格式，并与围压使用SDFV选项定义的应力应变关系。
一个计算机程序来产生这些输入材料数据。可以指出的是，该程序所需要的参数是非约束混凝土的强度和相应的应变。对不同强度的混凝土，不同的硬化/软化的功能可以得到以上程序。
（3）流动法则
限制相关流动法则是通过以下步骤实现的：
a）取得了一系列的轴向应变、侧向应变的关系在不同围压下混凝土使用腾等人。模型
[ 2 ]，基于给定的无侧限混凝土强度和混凝土的应变值；
b）获得一系列轴向应变、侧向应变的关系的FRP约束使用腾等人的不同值的新型混凝土。[ 2 ]；FRP约束混凝土
（C）计算基于轴向应变、侧向应变的关系得到的步骤不同条件下势函数参数（a）和（b），情商。（14）和（24），和下面的方程[ 14,22 ]：
（D）输入与塑性变形的势能函数参数的变化，围压和要求的格式的限制增加到
ABAQUS的速率，其中SDFV选项再次采用。
还开发了一种计算机程序产生这些输入材料数据。再次，唯一需要的参数是非约束混凝土的强度和相应的应变。势函数参数的不同变化可以得到使用腾等人不同强度混凝土的模型
[ 2 ]。
4.4。建议修改的验证
从分析型的应力应变模型–腾等人得到改性D–P模型的材料参数。[ 2 ]，可以预期的是，该模型具有精度为腾等人相同的模型[ 2 ]。数值试验（即有限元分析）进行验证，如下图所示。FRP约束混凝土试件的有限元模型，对试样的垂直切片和由单层8节点的实体单元对混凝土与节点壳单元对FRP夹克在圆周方向的刚度。积极约束混凝土，仅使用一个8节点实体单元。
（1）数值试验我：积极约束混凝土图15显示之间的比较，从该模型得到的预测和数据传输等测试结果报告。[ 30 ]积极约束混凝土。混凝土的抗压强度32.8 MPa和相应的应变0.0018，和由一个恒定的压力为9兆帕局限。从腾等人的结果。分析模型[ 2 ]也如图15所示为参考。显而易见的是，结果是腾等人的预测几乎相同的模式。[ 2 ]，和是非常接近的实验应力应变曲线–。
（2）数值试验II：FRP约束混凝土在这个数值试验，利用所提出的D–P型模型模拟了坚实的混凝土圆柱体的双层FRP约束。气缸有一个直径为152.5毫米；混凝土抗压强度39.6 MPa和相应的应变0.0026；FRP夹克有80100兆帕的弹性模量，和0.17毫米的厚度，每层。有限元分析结果与试验结果比较，Wong等人。[ 49 ]从tengetal预测。模型[ 2 ] infig.16.the预测曲线时终止实验环向应变达到极限。很明显，他们相互接近一致（曲线几乎是相同的，在混凝土强度的误差为10%左右）。
（3）数值试验三：哦的方法[14]FRP约束混凝土本数值试验表明，围压依赖性的非关联流动法则提出的哦[ 14 ]，它能够主动约束混凝土的行为的准确预测，不能提供相当接近的预测的行为的FRP约束混凝土。一个与围压和塑性变形而不限制增长率相关流动法则D
–P模型，以下哦[ 14 ]工作，采用该数值试验。这个
D P–模型得到的有限元分析结果，表示为“
'fe结果（OH）”，与图17中的试验结果比较。预测曲线的终止时，试验极限轴向应变达到使更大范围内的轴向应变的比较和另外的地方实验箍断裂应变达到由十字表示。从图17也有相当大的差异之间的' 'fe结果（OH）”，测试结果（在试验极限应变混凝土应力误差在20%和实验最终的环向应变在轴向应变误差超过30%）。从一个具体的方法如下哦[ 14 ]高估了FRP约束混凝土从而高估其轴向应力应变行为扩张––D P模型有限元分析结果。这些结果表明，反映流动规律模拟被动约束混凝土在约束增长率的依赖关系的重要性。
5.结论 现有德鲁克–普拉格（D–P）约束混凝土型混凝土塑性模型进行了综述和本文使用的实验观测和数值模拟结果的评估。这种评估表明，D–P塑性模型成功地预测FRP约束混凝土和其他被动的行为，应具备以下三个特点：（一）屈服准则包括第三偏应力不变量；（b）硬化/软化规律依赖于围压；和（C）的流动规律，不仅取决于围压也在限制增长率。现有的
D P型模型不–包括所有三个特点，所以他们不可能导致双方积极局限于准确的预测和被动约束（例如FRP约束混凝土）。修改后的D–P型模型，包括所有的上述三个特点，提出和实施到ABAQUS。数值预测的比较给出修改D–P型模型和试验结果提供的主动约束和FRP约束混凝土的性能接近的预测表明该模型的能力。然而，该模型仍存在一些局限性。首先，约束混凝土的软化行为是使用硬化/软化函数K模拟，这就需要在应力空间屈服面收
缩模型的软化行为，这可能会导致有限元分析在数值计算上的困难。其次，本文提出的模型，是一种塑性模型，无法模拟加载过程中弹性刚度的降低，但已在实验工作[ 51 ]广泛的观察。这一限制不影响单调测试的数值模拟结果，但不影响这些循环试验。第三，下限值的剪切强度比的扩展
D–P模型ABAQUS允许显著高于混凝土典型的实验值与理论值往往高估，混
凝土强度不均匀的约束下。最后，建议修改已与统一约束下改善混凝土的经验公式校正可能是必要的当他们在非均匀约束在混凝土中的应用。
第一上述限制可以被包括在混凝土损伤塑性模型的弹性克服，导致了所谓的塑性损伤模型。通过这样做，应变软化和弹性常数的退化可以模拟混凝土的损伤。
这样的塑性损伤模型是在同伴纸[ 5 ]，在非均匀约束混凝土不同的变形特性也处理。 致谢
基于[ 21 ]，
因此
和 在峰值应力。因此，
和
作为一个常数θ是当前应力状态不相关，它是必要的
结果。
同样，用下面的公式由Teng等人提出的。
它可以很容易地证明
附录B
剪切强度比等双轴压缩和三轴压缩之间可以采用经验公式对混凝土强度等双轴压缩和
三轴压缩下。例如，如果相等的双轴抗压强度的混凝土被假定为等于1.16倍的单轴抗压强度
[ 36 ]和理查特等。[ 21 ]方程的计算中采用约束混凝土的强度，抗剪强度比为0.69，如下图所示。 三轴压缩下的混凝土，情商。
（A.1）–（a）可以用来获得峰值应力和相应的应力不变量。
等双轴压缩下混凝土：
实施的条件的值的两种情况是相同的使用方程式。(a)和(B.10)产量
因此，剪切强度比混凝土等双轴压缩下，在三轴压缩等于
同样，如果式（A）的腾等人提出的。【2】采用，相应的抗剪强度比为0.725。
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工程结构
约束的有限元模型：德鲁克-普拉格–塑性模型
T. Yu a , J.G. Teng a, ∗ , Y.L. Wong a , S.L. Dong b 土木及结构工程系，香港理工大学，香港，中国
土木工程，浙江大学，杭州310027，中国
文章信息
文章历史：
2008 14收到
2009十一月12在修订的形式收到
2009十一月22接受
4一月2010在线提供
关键词：限制 混凝土玻璃钢 可塑性 有限元 建模 摘要
本文首先提出了一个重要的审查和评估现有的德鲁克–普拉格能力（D–P）型混凝土塑性模型来预测行为的约束混凝土采用动物实验观察和数值结果。这种评估表明，D–P塑性模型成功预测行为的FRP限制和其他被动约束混凝土，它需要灯光改性具有以下三个特点：1. 一个屈服准则包括第三偏应力不变量。2. 硬化/软化规律依赖于固结压力。3. 流动的规律，不仅取决于围压也在限制增长率。现有的模型没有包括所有三d–p型特征，所以他们不能准确预计，导致无论是积极的约束和约束（例如FRP约束混凝土）。修改d–p型模型，它包括所有三个以上特征，然后提出本文件中提出的模型的能力，以提供接近的行为，都积极约束混凝土和FRP约束下证明是通过比较之间的数值，得到使用这个修改d–p型模型和可用的实验结果。最后，该模型是限制人的可塑性。论文将在同伴纸的限制是通过A塑性损伤模型的发展。
2009 Elsevier有限公司保留所有权利。
1. 简介
近年来，随着纤维混凝土的约束增强的聚合物（FRP）已经成为一种流行的技术提高混凝土柱的性能[ 1 ]。因此，大量的研究已经对FRP约束混凝土轴压试验，通过对循环固体混凝土柱FRP夹克局限了。这种均匀约束混凝土性能很好的理解[ 2 ]，和应力-应变模型已被提出，它。现有的应力应变模型包括在封闭形式的表达式，设计为导向的模式（例如，[ 3 ]）和面向分析模型（例如[2,4]）预测的应力应变曲线由增量步骤.设计向导模型是基于实验结果的直接解释和回归分析，而分析型模型考虑了反应的混凝土和FRP夹克以及研究在明确的方式和可能被用来预测与其他材料[ 2 ]约束混凝土性能。测试结果现在可以通过一些现有的应力应变模型预测–密切，如提出Lam and Teng [3] and Teng et al。[ 2 ]。相反，行为的FRP约束混凝土圆形截面以外的其他部分是搞懂[ 5 ]。在FRP约束矩形截面非圆形的主要和环形截面，混凝土具有均匀约束混凝土的应力变化复杂的部分。
此外，实验和分析
建模，有限元（FE）的方法也被用来模型约束混凝土。有限元法在非均匀约束混凝土是能够捕获在混凝土复杂应力变化的建模是特别有利的。具体的可靠的有限元建模要求的混凝土本构模型的准确使用。许多不同的本构模型已经被提出了分析和有限元的FRP约束混凝土截面建模。这些本构模型包括塑性模型（如[ 22 ] 6–）和塑性损伤模型（例如–26 [ 23 ]）。虽然一些模型[ 26 ]包括23–弹性受损，混凝土塑性模型，这些模型的共同。
虽然大多数的结果是在如轴向应力应变曲线总体–反应试验结果吻合良好，以往的研究，这样的好协议只提供必要的但对精度和可靠性的一个本构模型没有足够的证据。一种可塑性32.8 MPa–42兆帕的范围。在这些数字中，轴向应力σC是由无约束混凝土抗压强度归一化而轴向应变侧向应变εεC或L是在其峰值应力ε有限无约束混凝土的轴向应变归一虽然大多数的结果是在如轴向应力应变曲线总体–反应试验结果吻合良好，以往的研究，这样的好协议只提供必要的但对精度和可靠性的一个本构模型没有足够的证据。塑性模型包含三个不同的部分组成：屈服准则，循环硬化/软化规律和流动规律，这都影响其性能的预测FRP约束混凝土行为。测试结果接近预测可能实现由于抵消误差在三分。事实上，而不同的塑性模型导致同样良好的预测显然是一个问题需要澄清。
本文旨在阐明一个德鲁克–普拉格的三个关键成分的影响（四–P）对预测FRP约束混凝土和识别D–P塑性模型必须具备为了提供结果接近预测的关键特征的行为表现型的可塑性模型评估的重点是。D–P型混凝土塑性模型因为他们已经得到了广泛的应用（例如，[ 6 ]；达到–14,18）这样的模型得出的结论也为其他相关塑性模型。本文首先对约束混凝土为随后的讨论提供一个基础特性综述。D现有–P型塑性模型进行综述和数值评估。最后，改性混凝土塑性模型，提出的结论的基础上从评估得出的，并用试验结果验证。
2. 约束混凝土的行为 混凝土常主动围压下的行为已经被广泛的研究（如[ 30 ] 27–）。对FRP约束混凝土的广泛研究，这是进行增加被动围压和轴向应变的增加，也已进行（例如2,3,31–[ 39 ]）。为简单起见，术语“混凝土”是此后'FRP约束混凝土，除非另有规定。图1取自文献[ 40 ]显示了一些典型的应力应变曲线–FRP约束混凝土主动约束，分别，和图2（a）和（b）从参考文献。[ 2 ]和[ 40 ]分别说明这两种类型的约束混凝土的膨胀性能。在这些数字中，压缩应力/应变定义为阳性而拉伸应变/应力定义为负。这些定义是通过除非另有规定，本文采
用。与碳FRP曲线（CFRP）在密闭的152毫米305毫米oneply×混凝土圆柱体根据文献
[ 40 ]从压缩试验获得，两层和三层的FRP分别。CFRP具有标称厚度为0.165毫米，每层，250 GPa和3800 MPa的拉伸强度弹性模量。主动约束混凝土曲线通过Candappa et al。
[ 29 ]或数据传输等。[30]从主动约束混凝土圆柱体在不同侧压力（例如4兆帕，8兆帕，12兆帕）。无侧限混凝土圆柱体强度这些标本在32.8 MPa–42兆帕的范围。在这些数字中，轴向应力σC是由无约束混凝土抗压强度归一化而轴向应变侧向应变εεC或L是在其峰值应力ε有限无约束混凝土的轴向应变归一化它可以从无花果。1和2，而积极局限于下列特性：（1）随着围压的增加和相应的应变的增加，混凝土的峰值应力；（2）由一个较大的围压约束混凝土的轴向应力应变曲线具有–逐渐降支；（3）对应于相同的轴向应变，较大的围压下不混凝土的侧向膨胀；和（4）积极约束混凝土具有连续体积膨胀后体积压缩，和体积应变的过渡点随围压的增加。它也可以发现，从简单的计算，混凝土强度的剪切，这是第二偏应力不变量的峰值直接相关，随着围压的增加而增加。
FRP约束混凝土的主要特点包括：（1）近似双线性应力应变曲线提供FRP是相当僵硬的，其中第一部分与无侧限混凝土曲线略只在第二部分取决于FRP护套圆周的刚度和强度；
（2）对应在相同的轴向应变，通过严厉的FRP约束混凝土的横向变形小；和（3）的体积变化在很大程度上取决于玻璃钢和FRP在圆周方向上的弹性模量和厚度分别为FRP夹克，R0是圆筒的半径。图（b）表明，一一层的FRP约束混凝土柱具有体积不断增加，体积膨胀后压实；一二层的FRP约束混凝土柱具有体积压实最初体积膨胀从而降低FI最后阶段直至最终失效；通过一三层FRP约束混凝土柱具有连续体积压缩。Teng et al.。【2】也得出测试结果，虽然横向应变轴向应变路径–积极约束混凝土和FRP约束混凝土是非常不同的，在一个给定的轴向应变侧向应变主要取决于，如果不完全，对定义为侧向压力σL和F 0共同的无侧限混凝土强度之间的比目前的约束比。这一结论意味着在图2（a），两FRP约束混凝土和约束混凝土具有相同的积极约束比。
3.有德鲁克–普拉格（D–P）型塑性模型
3.1通用
混凝土塑性模型一般是基于金属塑性理论的框架，但必要的修改包括混凝土的独特性能。一个塑性模型的关键方面包括屈服面（包括初始和后继屈服面），流动法则，和硬化/软化规律。初始屈服面确定在塑性变形开始；流动规律决定了塑性变形的方向；和硬化/软化规则定义了屈服面和塑性变形的演变。
许多产量的功能已经被提出了混凝土。参数包含在这些功能的范围从一个数（例如Von
米塞斯准则最初是为金属）五[ 41 ]。这些产量之间的函数关系，德鲁克–普拉格（D–P）标准已经成为约束混凝土模型广泛采用（如[ 6 ]
–14,18）由于其简单（只涉及两参数）和它的捕捉能力，抗剪强度增加由于静水压力的增加而增加，这是在禁闭具体的一个独特的特性。D–P屈服准则和压力不敏感的标准之间的差异（例如Von米塞斯准则）是明显的在我
平面应力空间（图3）。后者是一个横坐标平行线而前者是一个倾斜的线。当一个塑性模型是基于D–D-P
屈服准则，它被称为D–P型塑性模型。在这一部分中，这种类型的模型来模拟主动约束和FRP约束混凝土的行为能力是通过检查的三个关键方面，即讨论，屈服准则，硬化/软化规律和流动规律。现有的各种D–P型模型[ 6 ]的关键特性–14,18
，总结在表1中，进行检查。几个数值试验来评估他们的表现。在本论文的评审过程中，两–D P型模型发表[20,21]。他们的关键特征也归纳在表1和其性能的介绍在适当的讨论。本文提出的数值试验，利用ABAQUS [ 42 ]进行的，和所有D–P型模型采用混凝土的理论框架内的扩展Drucker-Prager模型德鲁克–ABAQUS的介绍后。有限元模型的目的是预测轴向应力应变和约束混凝土膨胀–横向行为。因此，一个统一的主动围压下混凝土，用的是只有一个单一的8节点实体单元；由一个圆形的FRP约束混凝土，对试件的垂直切片只有一个季度是使用单层8节点的实体单元对混凝土与FRP夹克的四节点壳单元模拟。
3.2.屈服准则
3.2.1。一般方程
D–D-P屈服准则采用以下形式【14,41 ]。
其中k是参数θ和被确定，
J2和L1分别是第二和第一的压力和偏应力不变量不变量。当k是常数，是不相关的塑性变形（图。（2）），这是已知的硬化/软化函数和方程（
1）表示的初始收益率和后期收益率两个表面。
哪里是等效塑性应变增量。当与关联流动法则D–P屈服准则采用，C P是由以下方程三轴压缩下的混凝土，即等于主应力在横方向的混凝土和在轴向方向上的主应力：
当θ = 0并且C p =√3/2经典的金属塑性模型可以视为一个四–P型模型的一个特例。、 这是明显的从式（1），初始和后继屈服面形状相同，在应力空间，提供θ是恒定的对于一个给定的材料。随后的屈服面是在我1−√J 2面一系列直线。这些线都是平行的，表示初始屈服面如图4所示。这些行之间唯一的区别是与轴√J 2拦截点，这取决于硬化/软化函数K的破坏面是后继屈服面之间具有最高的K值。同样明显的是从式（1），D组有圆形–屈服面在偏平面，如图5所示
3.2.2。观察结果
在式（1），称为摩擦参数θ。θ的价值可从三轴压缩下的实证方程。许多这样的方程中，最受欢迎的是那些由理查等人提出的。[ 27 ]和曼德等人。[ 28 ]。Teng et al.。[ 2 ]最近提出的一个方程已通过大量的试验数据验证。摩擦参数被发现是0.2934利用理查特等人提出的方程。[ 27 ]和0.2634用腾等人提出的方程。[ 2 ]，如在附录A中的解。
它已被许多研究人员指出（例如[ 8,25,41 ]），混凝土抗剪强度的等双轴压缩下，指的是在两个主轴方向和第三个主方向的应力等于一零应力混凝土，这三轴压缩下是不同的，即使这两种情况的第一应力不变量同样的。基于塑性理论，它是已知的，混凝土的应力状态下的等双轴压缩和三轴压缩对应于不同的圆周位置偏平面上（图5）。剪切强度比这两个案件之间（即等双轴压缩和三轴压缩）可以从实验结果或经验公式对混凝土强度在等双轴压缩和三轴压缩（见附录B）。如果Kupfer等人的实验结果。【43】用于混凝土等双轴压缩下的经验公式，由理查等人提出的。【27】采用混凝土三轴压缩强度，这比大约是0.7（附录B），超过1的循环衰竭曲线隐含少得多。因此，破坏面旨在反映混凝土的性能试验应考虑第三偏应力不变量的影响，在偏平面【7,18,21–23采用非破坏曲线]。这样的破坏面可能的形状如图5所示。。
3.2.3。现有模型的评价
karabinis和kiousis mirmiran等人[ 6 ]。shahawy等人[ 11 ]。[ 12 ] [ 14 ]，哦，和鲁萨基斯karabinis [ 9 ]和鲁萨基斯等人。【20】直接采用D–D-P屈服准则推导θ值采用经验公式的混凝土三轴抗压强度。方[ 10 ]和马哈福兹等。[ 13 ]模拟混凝土采用混凝土模型在
ABAQUS中[ 42 ]，这是被称为弥散裂缝混凝土模型和有一个屈服准则，如公式（1）相同的混凝土的压缩。因此，这些模型不能等双轴压缩下提供准确的预测混凝土的强度。这也将是不均匀的限制不能下混凝土的峰值应力是由这些模型准确地预测。非均匀约束混凝土对应的轴和偏平面，等双轴压缩之间的周向位置的应力状态（图5）。因此，本案不应力峰值的准确预测是两种极端情况（即等双轴压缩和三轴压缩）是不准确的定义。
在文献。[7,18]，术语√j2方程（1）是由和是第二和第三偏应力不变量的函数，和C 3是一个常数。这种替换导致在偏平面上的屈服面形状为非圆形。karabinis和kiousis [ 7 ]和鲁萨基斯等人。[ 18 ]表明，
C 3 = 2。3。通过这样做，1 C 3 S 4√−R等于1.17和0.58轴压缩等双轴压缩。抗剪强度比大约是0.5，这是低于实验值（0.7）如前面所讨论的。karabinis等人。【21】也包括第三偏应力不变量屈服函数，但他们采用的抗剪强度比为0.778，高于实验值。
3.3。应变硬化和应变软化
3.3.1。一般方程
在传统的金属塑性模型，硬化/软化函数K（方程（2））只是一个等效塑性应变的函数。如果这个概念是采用D–D-P屈服准则，应变硬化/软化规律可由混凝土单轴应力应变曲线确定–，或者没有限制。很明显，我们的任务是确定相应的K值给定值˜εP基于方程（2）。它可以很容易地证明D˜εP等于DεP 1式的基础上的单轴压缩条件下混凝土。（2）–（4）和（10）提出后，在P1ε在加载方向的塑性应变。硬化/软化然后功能可以通过以下方法确定单轴应力应变曲线：
（1） 获得的轴向应力应变曲线使用
和σ1−ε1关系。
（2）发现，塑性应变和J 2和之间的关系我1的基础上的轴向应力应变曲线–步骤（1）；
（3）发现K和基于塑性应变之间的关系方程（1）和（2）步的结果。
3.3.2。观察
从混凝土大量压缩试验（如图6），理想弹塑性模型不能反映混凝土在压缩的真实行为。因此，包括应变硬化和应变软化弹塑性模型捕捉到的实验现象是必要的。
而传统的硬化/软化规则以塑性变形作为唯一的参数，它最近被发现[ ]，不涉及
6,8,14,25,44围压，硬化/软化规则不能导致约束混凝土增强韧性合理的预测。一些作者（如
[ 8、14 ]）也提出了改进的硬化/软化规律的围压作为另一个参数，并给出了测试结果接近的预测。
两个数值试验在本研究中进行了进一步的解释这个问题。图7显示了这样一个D–P型模型有限元分析结果的应力应变曲线无–混凝土受恒定的压力为6 MPa和12 MPa。无侧限混凝土强度为39.6 MPa。硬化/软化的无侧限混凝土腾等生产的单轴应力应变曲线–得到功能。模型[ 2 ]，在前面所述的程序。图7显示所有三个曲线的应变软化分支的山坡几乎是相同的。这是类似于黄[ 25 ]用塑性损伤模型和不与应力应变曲线–积极约束混凝土具有较小的陡降支比无侧限混凝土实验结果一致（图1）。图8显示的结果来自同一D–P模型与恒定电位函数参数等于0.14（势函数的参数是在下一节中详细讨论）FRP约束混凝土。混凝土缸的外直径为152.5毫米，由一二层玻璃纤维增强聚合物（GFRP）约束与弹性模量为80100兆帕和0.17毫米的厚度每层夹克。很明显，结果从试验结果完全不同。不适当的应变硬化/软化的功能又是主要的原因之一。这样的应变硬化/软化作用导致低估的峰值应力后的主动约束混凝土（见图7），FRP约束混凝土的轴向应力，这是进行连续变化的围压，从而低估了。因此，可以得出结论，应变硬化/软化功能也应依赖于围压，以密切预测约束混凝土性能。在4节中，它表明通过数值试验，应变硬化/软化对围压的函数依赖可导致关闭约束混凝土性能预测。
3.3.3现有模型的评价
方[ 10 ]，mirmiran等人。[ 11 ]，和shahawy等人。[12]采用理想弹塑性模型，这是无法接近的预测行为的积极约束混凝土。然而，mirmiran等人。[ 11 ]和shahawy等人。[ 12 ]认为，理想弹塑性模型可以提供相当接近的预测的轴向应力-应变行为–FRP约束混凝土。下面的讨论试图澄清这一问题。
由于FRP约束混凝土进行了不同围压，预测上的一个点，其应力应变曲线使用–面向分析的模型（例如，[ 2 ]）需要一个增量的方法有以下两个步骤：（1）发现围压下一个给定的轴向应变，（2）基于已知的轴向应变和电流限制压到轴向应力。步骤（1）以上涉及的是讨论在下一小节而步的流动规律（2）直接关系到应变硬化/软化规律。以往的研究（如[ 47 ] 2,32,34,45–）一般认为轴向应力的FRP约束混凝土在给定的轴向应变与围压等于积极约
束混凝土具有相同的限制压力与轴向应变。图9，这是由腾等人。用自己的模型[ 2 ]，说明了
FRP约束混凝土可以预测的一系列曲线的积极约束混凝土应力应变曲线点集–的；在这些点上，无论是FRP约束混凝土和积极约束混凝土具有相同的围压。这些位置侦听点，然而，取决于FRP护套刚度。当FRP刚度更高，这些拦截点在较小的轴向应变。为理想弹塑性行为的假设只能正确地获取主动约束混凝土应力峰值点（即不能预测峰值后软化行为），
这会导致玻璃钢的应力应变行为–不准确的预测约束混凝土在拦截点不一致，应力峰值点。在这些拦截点的应力峰值点，较大的预测误差。因此可以得出结论，理想弹塑性行为的假设一般不能导致关闭的FRP约束混凝土的应力应变行为预测–，但可能产生相当接近的预测当FRP刚度在一定范围内，提供了约束混凝土的膨胀是密切的预测。
马赫福兹等人。[ 13 ]采用硬化/软化的等效塑性应变作为唯一的参数的函数，因此不能密切预测积极约束和FRP约束混凝土如上–轴向应力应变曲线。karabinis等人。【21】用普通混凝土的应力应变行为定义–硬化/软化功能，所以他们的模型有相同问题马哈福兹等。
[ 13 ]。鲁萨基斯等人。[ 20 ]采用硬化/软化功能包括FRP刚度为变量的经验方程。鲁萨基斯等人。模型[ 20 ]，因此不能用于主动约束混凝土，虽然它可以提供合理的预测FRP约束混凝土。一些研究者（例如[ 6,8,14 ]）包括围压入硬化/软化功能。karabinis和kiousis [ 6 ]采用反映硬化/软化功能在围压和塑性变形的依赖的K函数的一个复杂的方程。兰[ 8 ]包括围压的基础上的一组实验应力应变曲线–积极约束混凝土在不同围压的影响。哦[ 14 ]提出了一套复杂的方程来确定K函数。这些方程包括六参数和二十参数和从下属从实证的轴向应力应变模型–三轴压缩下的混凝土相同的作者开发的生产数据的非线性回归分析得到的。尽管复杂的形式，主要参数控制应变硬化/软化仍然是塑性变形和围压，对于一个给定的无侧限抗压强度混凝土。上述三种方法在概念上是正确的和可以提供的轴向应力应变行为密切预测–积极约束混凝土，如果材料参数的适当选择。然而，为了密切预测FRP约束混凝土的行为，适当的流动法则是另一个重要问题，讨论如下。
3.4流动法则
3.4.1一般方程
当关联流动法则，采用流动电位，作为屈服函数和塑性应变增量同样可以用下面的公式计算[14,41 ]：
其中f是定义式的屈服函数（1）和一个标量λ硬化参数可能会有所不同。
在三轴压缩混凝土，方程（6）可以写为：
然后下面的公式可以从公式。（7）–（9）：
α
是膨胀率。
β是势函数参数的地方。一个积极的β值表示体积膨胀而负β值指示体积压缩。
类似于公式（10）
，下面的公式可以得到式（13）：
3.4.2观察
而关联流动法则，在一些研究中采用的（例如，[ 13 ]），它已被许多其他的研究人员发现（例如[ 11,14,25,44 ]）导致约束混凝土的膨胀高估。数值试验是在阐明这个问题，目前的研究。数值模拟结果与实验结果比较图10。实验曲线，从一个41.9兆帕的抗压强度混凝土圆柱体和限制由一个恒定的压力等于12 MPa，由candappa等人得到。[ 29 ]。数值结果与相关流动法则D–P模式。很明显，结果克服估计主动约束混凝土的侧向膨胀。这是由于在估计的关联流动法则，它定义了一个恒定的势函数参数等于一个大的正摩擦参数的使用（即0.2934，见附录A）。实验结果（图2（b））表明，积极约束混凝土具有体积压缩后体积膨胀，而体积应变的过渡点随围压的增加。这种现象表明，约束混凝土的势函数的参数应为塑性变形与围压的关系[ 14 ]。势函数的参数可以基于主动约束混凝土的横向变形模型计算的经验（例如，[ 2 ]），预测一个给定的轴向应变和横向应变，围压。FRP约束混凝土进行被动围压的增加而增加的轴向应变。虽然FRP约束混凝土的轴向应力在一个给定的轴向应变与围压是相等的积极限制在同一围压和轴向应变[ 47 ] 2,32,34,45–混凝土，两例的势函数的参数（即FRP约束混凝土和积极约束混凝土具有相同的围压和轴向应变）是不同的，如下面的解释。图2（a）显示应力应变曲线–FRP约束混凝土交叉的一组曲线，积极约束混凝土。现有的试验结果表明，在截点，给定一个[ 2围压试样的类型几乎是一样的]。然而，在塑性模型，塑性流动的方向决定于轴向塑性应变的横向塑性应变增量比。图2（a）清楚地表明，切线泊松比（即横向应变增量比，轴向应变）主动约束混凝土不同，FRP约束混凝土在拦截点，其中轴向应变与围压但几乎相同的情况下。虽然图2（a）是轴向应变曲线，它可以很容易地表明，轴向横向塑性应变曲线相似。因此，塑性模型，其中涉及的流动规律对围压和塑性应变，从而可以预测积极约束混凝土密切的行为，很可能给不可靠的预测FRP约束混凝土。腾等人。分析模型[ 2 ]来进一步阐明这个问题。从这个模型的结果示于图11，其中水平轴的轴向塑性应变和垂直轴是势函数的参数。图11中的黑实线表示混凝土缸的结果（F 0CO = 36。5 MPa，直径= 152.5毫米）的弹性模量为80100兆帕和0.34毫米的厚度[ 48 ]一个FRP约束。两虚线曲线在图11中表示结果的积极约束混凝土与围压为6 MPa、10 MPa。垂直虚线左边是FRP约束混凝土的轴向塑性应变值随着围压的FRP夹克提供等于6 MPa而右垂直虚线表示轴向塑性应变值时，围压为10 MPa。这是明显的从图11的势函数参数主动约束混凝土FRP约束混凝土不同，即使具有相同的轴向塑性应变与围压。图11中的阴影区域表明之间的差异，积极约束混凝土和FRP约束混凝土在势函数参数的轴向塑性应变的两个关键值。这些结果再次表明，塑性模型，其中涉及的流动规律对围压和能够准确地预测行为的主动约束混凝土，往往高估的FRP约束混凝土在轴向应力-应变行为高估–横向扩张。这一点是进一步研究4节有限元结果。在势函数参数的差异可以解释的差异
之间的积极约束混凝土和FRP约束混凝土是在被动约束。积极约束混凝土，围压是恒定的，不是混凝土的变形有关。被动约束混凝土，然而，限制水平随变形反过来控制变形。因此，被动约束混凝土需要的势函数参数不仅关系到围压也增加围压和横向应变之间的比值（即约束增长率）。FRP约束混凝土，这个比例是FRP夹克的刚度直接相关。这比用势函数参数的变化显然是在图12中显示出类似的由两个不同的FRP约束混凝土的轴向塑性应变势函数参数的变化说明。从腾等人计算了图12中的曲线。的模型[ 2 ]两标本mirmiran等人分别测试。[ 11 ]和Wong等人。[ 49 ]。mirmiran等人的试验中。[ 11 ]，混凝土的抗压强度约30兆帕，气缸有一个直径为152.5mm和FRP管有厚度2.21mm，弹性模量为40336兆帕，在圆周方向上的拉伸强度579 MPa。Wong等人。试验[ 49 ]，混凝土的抗压强度的36.5mpa和相应的应变0.0026，气缸有一个直径为152.5毫米，与FRP管有一个厚度为0.34毫米，弹性模量为80100兆帕，在圆周方向0.0019箍断裂应变。很明显，从图12，势函数参数的FRP约束混凝土不仅随塑性变形，但也取决于FRP护套刚度。FRP约束混凝土与较弱的（Wong等人的试验。[ 49 ]在图12中）有一个较大的势函数的参数。
3.4.3。现有模型的评价
兰[ 8 ]，方[ 10 ]和马哈福兹等人。[ 13 ]采用关联流动法则导致约束混凝土的侧向膨胀的高估，按照上面的说明。mirmiran等人。[ 11 ]和shahawy等人。[12]采用了非关联流动法则，用恒电位函数参数注意等于摩擦参数建模的FRP约束混凝土。虽然mirmiran等人。
[ 11 ]和shahawy等人。[ 12 ]
发现扩张倾向的FRP约束混凝土是不能通过这样的流动法则建立的，他们表明，轴向应力应变曲线–FRP约束混凝土可以合理地接近预测的假设是等于零的势函数的参数。有这样一个假设的预测FRP约束混凝土的膨胀性能是显而易见的，提供的试验结果不能（图2（b）），一零势函数参数对应于没有体积变化。mirmiran等人的成功。[ 11 ]的模型预测的应力-应变行为–FRP约束混凝土可以通过图12解释。mirmiran等人。假设[ 11 ]为自己的测试作为他们的样品的实际电位函数的参数从0.1到0.08不等−。此外，mirmiran等人。[11]混凝土的弹塑性行为。他们的有限元模型进行在轴向应力应变曲线预测–因为低估了横向扩展，在加载过程中，开始是由重约束混凝土的弹塑性行为的假设应力影响的抵消效应。零势能函数参数的假设显然不会导致关闭Wong等人的预测。测试结果[ 49 ]（见图13（a））。使用试验和错误的过程，发现一个恒电位函数参数等于0.14可产生黄等合理的预测。试验[ 49 ]，如图13所示（一）。通过这样做，FRP约束混凝土的横向扩张，也可以合理但不准确的预测，如图13所示（B）。图13（b）表明，有限元结果低估横向扩展。这是与图12所示为在加载过程中，始终一致的结果，潜在的功能参数大于0.14。基于上述讨论，可以得出结
论，假设一个恒定的势函数的参数不仅导致不合理的预测复杂的膨胀性能的FRP约束混凝土（见图2（
b）），但还不能预测的应力应变行为–FRP约束混凝土准确。karabinis和鲁萨基斯[ 9 ]相关的势函数参数的塑性变形，但假设它是在其他研究[ 6,7,18 ]常数。下面的公式是由他们[ 9 ]：
在a 0和a u是初始和最终值a和k a是初始利率的变化作为一个函数的a−发生的，这是已知的作为塑性应变轨迹和是一个函数的等效塑性应变。EQ。（15）描述的变化（a与塑性变形。karabinis和rousakis [ 9 ]提出的，该值应该是0和a u a−−分别为0.6和2=12.924。
karabinis和kiousis [6,7]和鲁萨基斯等人。【18】假定一个恒定的势函数的参数，因此不能紧密预测约束混凝土性能如前面所解释的。karabinis和鲁萨基斯[ 9 ]相关的势函数参数的塑性变形，但他们使用的是不与实验结果相一致的负电位函数的参数值。如前所述，负值意味着体积压实α。然而，实验结果表明，主动约束混凝土具有体积压实后的体积膨胀和塑性变形。此外，与鲁萨基斯karabinis [ 9 ]没有考虑到随着围压的势函数参数的变化。然而，这种变化是显而易见的，从大量的试验，如前面所解释的。[ 14 ]指出混凝土的复杂变形特性和相关的势函数参数对塑性变形和围压。几个方程进行描述的基础上的实证模型由同一作者的横向变形和非线性回归分析，提出了势函数的参数。这些方程，尽管复杂，包括变化的势函数参数与围压和塑性变形。因此，可以预期的是，哦[ 14 ]方程是可接近的预测的扩张行为的主动约束混凝土，但他的经验模型具有足够的精度。然而，OH的方程[ 14 ]不能提供的FRP约束混凝土接近的预测，在最后一小节中解释。
Rousakis等。 [20]和Karabinis等。 [21]注意到在FRP护套刚度FRP约束混凝土的潜在功能参数的依赖，并提出了一个经验方程来解决这种依赖基于该检测结果，他们检查。因为包含在FRP护套刚度是围材料代替混凝土本身的属性的。然而，它们的模式是只适用于FRP约束混凝土（ieinapplicable积极约束混凝土或混凝土由另一种材料密闭）。他们的模型也并不包括对塑性应变影响其精度为FRP约束混凝土的潜在功能参数（参见图12和
13）的依赖性。
上面的讨论表明，所有流程规则D现有–P型模式不能关闭的预测为积极和FRP约束混凝土。给出了具体的如上所述的扩张性质，流动规律应反映的限制增长率的影响，以及对塑性变形和围压，以得出合理准确的预测。在4节中，它是利用数值模拟的结果，这样的流规则导致了相当密切的积极约束和FRP约束混凝土性能的预测显示。
3.5总结
由此可以得出结论，以提供的主动约束行为的合理准确的预测和被动约束混凝土的上述讨论，D–P塑性模型需要改进，具有以下三个特点：（1）屈服准则反映第三偏应力不变量的影响；（2）一个约束相关硬化/软化规律；（3）限制相关的非关联流动法则，其势函数的参数不仅与围压也限制增长率。如果（1）是适当的执行，活跃的非均匀约束下混凝土的强度将被准确地预测。如果（2）是适当的执行，轴向应力应变曲线–积极约束混凝土将被准确地预测。最后，如果（3）是适当的执行，被动约束的侧向变形和积极约束混凝土将被准确地预测。
现有的模型没有包括所有三d–p型以上的特点。方与马哈福兹等人[ 10 ]。[ 13 ]
smeared裂纹模型的混凝土直接通过在ABAQUS软件中，这有不规则和相关的流包含三标准偏应力不变的产量。方[ 10 ]，所以没有考虑应变硬化/软化。提出的模型由karabinis和他
的同事6,7,9,18,20,21 ] [不包括压力的影响confining流规则和因此导致不正确的值的函数的参数的潜力。因此，本文的模型中，我们不能提供准确的各种约束混凝土横向变形。此外，剪切强度比什么都6,9,20 ]或[设置为统一的值不同的值从一7,18,21实验[普通]，都是讨论。它说，这可能是由本集团最近提出的模型[ 20,21 ]相关潜在的功能参数和刚度的FRP夹克可能导致合理的（虽然不一定准确，对FRP约束混凝土）（湖第3.4.3）模型是不适用的，但主要是积极约束或约束混凝土和混凝土另一个材料。提出的模型由哦[ 14 ]是正确的
conceptually积极约束混凝土，除了它不包含第三偏应力不变量的影响和因此是不适合使用在与混凝土或非均匀。然而，它不能提供合理的行为，FRP约束混凝土在早期的讨论。在
mirmiran 等人[ 11 ]和shahawy等人。[ 12 ]不具有任何功能，三是准确的。因此它不能给任何预测的行为是积极约束或约束混凝土与合理的精度。
值得注意的是，一些其他类型的塑性模型（如三塑性模型，见[ 41 ]）固有的包括第三偏应力不变量屈服准则因此，可以提供合理的预测强度在主动约束混凝土。然而，以最好的作者的知识，这些模型没有包括的最后两以上特点。因此，他们遭受在FRP约束混凝土为D–P
建模类似的问题型模型的研究。
4.建议
在这一部分，修改D–P型塑性模型具有对该行为的准确预测所需的所有功能三双方积极约束和FRP约束混凝土提出了。一个传统的D P型可塑性–修改建议模型归纳为情商。
（16
）–（18）。
（1）屈服准则包括第三偏应力不变量屈服准则反映了第三偏应力不变量的影响，先前已被陈[ 41 ]建议，karabinis和kiousis [ 7 ]，和黄[ 25 ]
。式（1）因此改为：
（2）限制相关硬化/软化规律的硬化/软化功能与围压有关，因为先前已经通过局域网[ 8 ]
建议，karabinis和kiousis [ 6 ]，哦[ 14 ]陈兰[ 44 ]。式（2）因此改为：
σL是限制压力的地方。
（（3）约束的非关联流动法则的非关联流动法则与不同的屈服函数流量采用式（13）。势函数参数β是塑性变形的关系，围压和限制，增长率：
其中L是横向应变ε
积极约束混凝土，所以式（18）减少以
FRP约束混凝土是由线性弹性约束装置的约束，另外，我可以从σ˜εP和L确定因此ε，不再是一个独立的变量。式（18）从而得
在本研究中，在通用有限元程序，通过修改其扩展德鲁克–Drucker-Prager模型并利用自定义的解决方案依赖于场变量的设施实施了
ABAQUS模型（SDFV）
。从ABAQUS数值试验给出以下预测积极约束和FRP约束混凝土的行为证明的所提出的模型的能力。
4.1扩展模型在ABAQUS中的drucker–prager
扩展的德鲁克模型在ABAQUS–普拉格–D P型塑性模型与修正的屈服准则。在这个修改后的屈服准则，采用一个额外的参数K的影响占第三偏应力不变量。身体，k表示的剪切强度比材料之间的等双轴压缩和三轴压缩。在扩展德鲁克–普拉格模型，屈服准则采用以下形式：
其中J 3是第三偏应力不变量。用“的” 方程（21
）代替√J2在式（1），在偏平面上的屈服面形状改变，不再是圆形的。基于方程（22），当3/ 2√J3/J2 = 1（对应于三轴压缩的情况下），S =√J2；当3 / 2√J3/j2 =−1（对应相等的双轴压缩的情况下），S = 1K√J2。因此，如果参数选择适当，式（21）代表
相同的破坏曲线方程（1）在我1的J2平面压缩的情况下，相等的双轴压缩下的破坏面可以由以下方程表示：
在偏平面和在我1−√J2平面如图14所示修改后的屈服面。然而，在扩展
Drucker-Prager模型德鲁克–ABAQUS，K值是有限的0.778和1之间保证屈服面凸。K值的下限大于实验值（约0.7，见附录B），因此该模型往往高估，混凝土强度等双轴压缩下。然而，K值不影响三轴压缩下的具体结果，只要θ值校准三轴压缩的经验公式。扩展德鲁克–普拉格模型还允许用户定义的应变硬化/软化函数，定义一个势函数的参数，可以相同或不同的摩擦参数允许关联或非关联流动法则的适用。
4.2场变量的解决方案依赖于ABAQUS（sdfv）
在ABAQUS中，材料的性能可以依赖的使用用户定义的子程序USDFLD所谓解相关场变量。一个解决方案依赖字段变量是一个场变量的变化在整个求解过程（如位移、应力）。 这家工厂提供的材料模型在ABAQUS中考虑到额外的材料特性的灵活性。在本研究中，采用的SDFV选项定义应变硬化/软化对围压的依赖性，和流动规律研究围压的依赖性，塑性
变形和约束增长率。输入材料数据产生以下的程序在第4.3节介绍。通过这样做，在加载过程中材料性能的变化可以适当地捕获。 （
1）屈服准则
扩展的德鲁克模型–普拉格屈服准则是直接采用，与θ= 0。2624，这是使用腾等人发现。的方程[ 2 ]（见附录A），和K = 0。78。这个K值代替使用0.725发现从经验公式（见附录B）是由于扩展的德鲁克模型在ABAQUS–普拉格限制如前面所解释的。（2）硬化/软化规律的约束依赖硬化/软化规则的实施是在ABAQUS通过下列程序：（一）取得了一系列的轴向应力应变关系限制–积极活跃的不同围压下混凝土使用腾等人。模型[ 2 ]，基于给定的无侧限混凝土强度混凝土的应变值；（b）得到不同围压下的初始弹性模量的轴向应力应变关系–混凝土，初始泊松比和下面的方程[ 14,22 ]
其中E C和νC的混凝土弹性模量和泊松比的初始值分别为。在[50]经验公式，采用E C而νC被假定为
0.18时，实验值不可用
（C）输入这些关系到ABAQUS在规定的格式，并与围压使用SDFV选项定义的应力应变关系。
一个计算机程序来产生这些输入材料数据。可以指出的是，该程序所需要的参数是非约束混凝土的强度和相应的应变。对不同强度的混凝土，不同的硬化/软化的功能可以得到以上程序。
（3）流动法则
限制相关流动法则是通过以下步骤实现的：
a）取得了一系列的轴向应变、侧向应变的关系在不同围压下混凝土使用腾等人。模型
[ 2 ]，基于给定的无侧限混凝土强度和混凝土的应变值；
b）获得一系列轴向应变、侧向应变的关系的FRP约束使用腾等人的不同值的新型混凝土。[ 2 ]；FRP约束混凝土
（C）计算基于轴向应变、侧向应变的关系得到的步骤不同条件下势函数参数（a）和（b），情商。（14）和（24），和下面的方程[ 14,22 ]：
（D）输入与塑性变形的势能函数参数的变化，围压和要求的格式的限制增加到
ABAQUS的速率，其中SDFV选项再次采用。
还开发了一种计算机程序产生这些输入材料数据。再次，唯一需要的参数是非约束混凝土的强度和相应的应变。势函数参数的不同变化可以得到使用腾等人不同强度混凝土的模型
[ 2 ]。
4.4。建议修改的验证
从分析型的应力应变模型–腾等人得到改性D–P模型的材料参数。[ 2 ]，可以预期的是，该模型具有精度为腾等人相同的模型[ 2 ]。数值试验（即有限元分析）进行验证，如下图所示。FRP约束混凝土试件的有限元模型，对试样的垂直切片和由单层8节点的实体单元对混凝土与节点壳单元对FRP夹克在圆周方向的刚度。积极约束混凝土，仅使用一个8节点实体单元。
（1）数值试验我：积极约束混凝土图15显示之间的比较，从该模型得到的预测和数据传输等测试结果报告。[ 30 ]积极约束混凝土。混凝土的抗压强度32.8 MPa和相应的应变0.0018，和由一个恒定的压力为9兆帕局限。从腾等人的结果。分析模型[ 2 ]也如图15所示为参考。显而易见的是，结果是腾等人的预测几乎相同的模式。[ 2 ]，和是非常接近的实验应力应变曲线–。
（2）数值试验II：FRP约束混凝土在这个数值试验，利用所提出的D–P型模型模拟了坚实的混凝土圆柱体的双层FRP约束。气缸有一个直径为152.5毫米；混凝土抗压强度39.6 MPa和相应的应变0.0026；FRP夹克有80100兆帕的弹性模量，和0.17毫米的厚度，每层。有限元分析结果与试验结果比较，Wong等人。[ 49 ]从tengetal预测。模型[ 2 ] infig.16.the预测曲线时终止实验环向应变达到极限。很明显，他们相互接近一致（曲线几乎是相同的，在混凝土强度的误差为10%左右）。
（3）数值试验三：哦的方法[14]FRP约束混凝土本数值试验表明，围压依赖性的非关联流动法则提出的哦[ 14 ]，它能够主动约束混凝土的行为的准确预测，不能提供相当接近的预测的行为的FRP约束混凝土。一个与围压和塑性变形而不限制增长率相关流动法则D
–P模型，以下哦[ 14 ]工作，采用该数值试验。这个
D P–模型得到的有限元分析结果，表示为“
'fe结果（OH）”，与图17中的试验结果比较。预测曲线的终止时，试验极限轴向应变达到使更大范围内的轴向应变的比较和另外的地方实验箍断裂应变达到由十字表示。从图17也有相当大的差异之间的' 'fe结果（OH）”，测试结果（在试验极限应变混凝土应力误差在20%和实验最终的环向应变在轴向应变误差超过30%）。从一个具体的方法如下哦[ 14 ]高估了FRP约束混凝土从而高估其轴向应力应变行为扩张––D P模型有限元分析结果。这些结果表明，反映流动规律模拟被动约束混凝土在约束增长率的依赖关系的重要性。
5.结论 现有德鲁克–普拉格（D–P）约束混凝土型混凝土塑性模型进行了综述和本文使用的实验观测和数值模拟结果的评估。这种评估表明，D–P塑性模型成功地预测FRP约束混凝土和其他被动的行为，应具备以下三个特点：（一）屈服准则包括第三偏应力不变量；（b）硬化/软化规律依赖于围压；和（C）的流动规律，不仅取决于围压也在限制增长率。现有的
D P型模型不–包括所有三个特点，所以他们不可能导致双方积极局限于准确的预测和被动约束（例如FRP约束混凝土）。修改后的D–P型模型，包括所有的上述三个特点，提出和实施到ABAQUS。数值预测的比较给出修改D–P型模型和试验结果提供的主动约束和FRP约束混凝土的性能接近的预测表明该模型的能力。然而，该模型仍存在一些局限性。首先，约束混凝土的软化行为是使用硬化/软化函数K模拟，这就需要在应力空间屈服面收
缩模型的软化行为，这可能会导致有限元分析在数值计算上的困难。其次，本文提出的模型，是一种塑性模型，无法模拟加载过程中弹性刚度的降低，但已在实验工作[ 51 ]广泛的观察。这一限制不影响单调测试的数值模拟结果，但不影响这些循环试验。第三，下限值的剪切强度比的扩展
D–P模型ABAQUS允许显著高于混凝土典型的实验值与理论值往往高估，混
凝土强度不均匀的约束下。最后，建议修改已与统一约束下改善混凝土的经验公式校正可能是必要的当他们在非均匀约束在混凝土中的应用。
第一上述限制可以被包括在混凝土损伤塑性模型的弹性克服，导致了所谓的塑性损伤模型。通过这样做，应变软化和弹性常数的退化可以模拟混凝土的损伤。
这样的塑性损伤模型是在同伴纸[ 5 ]，在非均匀约束混凝土不同的变形特性也处理。 致谢
基于[ 21 ]，
因此
和 在峰值应力。因此，
和
作为一个常数θ是当前应力状态不相关，它是必要的
结果。
同样，用下面的公式由Teng等人提出的。
它可以很容易地证明
附录B
剪切强度比等双轴压缩和三轴压缩之间可以采用经验公式对混凝土强度等双轴压缩和
三轴压缩下。例如，如果相等的双轴抗压强度的混凝土被假定为等于1.16倍的单轴抗压强度
[ 36 ]和理查特等。[ 21 ]方程的计算中采用约束混凝土的强度，抗剪强度比为0.69，如下图所示。 三轴压缩下的混凝土，情商。
（A.1）–（a）可以用来获得峰值应力和相应的应力不变量。
等双轴压缩下混凝土：
实施的条件的值的两种情况是相同的使用方程式。(a)和(B.10)产量
因此，剪切强度比混凝土等双轴压缩下，在三轴压缩等于
同样，如果式（A）的腾等人提出的。【2】采用，相应的抗剪强度比为0.725。
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