《非平稳信号分析与处
理》
组长：戚伟世 讲课安排：
第一小组：(1-4节)
戚伟世 胡春静 望育梅 喻小红 宋卫林
第二小组：（5-8节）
张闯 程卫军 孙纲 黄平牧 吕尧新 冯瑞军
2 时频表示与时频分布
本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。
时频表示与时频分析的提出
分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。
时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。 时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。
典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变
换。
2．1 基本概念
1．传统的Fourier变换及反变换：
S（f）=⎰-∞s(t)e-j2πtfdt s（t）=⎰-∞S(f)ej2πtfdf
∞
∞
2．解析信号与基带信号
⑴定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analytic signal）z（t）定义为z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert变换。 实函数的Hilbert变换的性质：
若
x(t)= н[s(t)]
则有
s(t)=- н[x（t）]
s(t)=- н[x（t）] ⑵实的调频信号a（t）cosφ(t)对应的解析信号为
2
z（t）=a（t）cosφ(t)+jн[a（t）cosφ(t)]=A（t）ejφ(t)
（2.1）
⑶任何一个实调幅-调频信号a（t）cosφ(t)的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。
⑷实窄带高频信号s（t）=a（t）cos[2πf0t+φ(t)]的解析信号为
z（2.2）
（t）=a（t）
ejφ(t)
ej2πf0t
将上式乘以e-j2πft，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称
为基带信号
zB（t）= a（t）ejφ(t)
它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。
⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。
3．瞬时频率和群延迟
⑴ 瞬时频率fi
信号s（t）=a（t）cos φ(t)的瞬时频率定义为 fi
=
1d
arg[z(t)] 2πdt
可以看出它为解析信号的相位的导数。
物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。 ⑵群延迟τg（f）
频率信号的群延迟定义为 τg（f）=-
1d
arg[Z(f)] 2πdf
物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。
需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。
4．不确定性原理
对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=∆t和频谱Z（f）的有限宽度B=∆f分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：
T=(∆t)2=⎰-∞∞
2
∞
t2z(t)dtz(t)dt
2
2
⎰
和 B2=(∆f)2=⎰-∞∞
∞
f2Z(f)dfZ(f)df
2
2
-∞
⎰
-∞
对信号z（t）沿时间轴做拉伸zk（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即Tz出拉伸信号的带宽是原信号带宽的
TzkBzk
1
k
k
=kTz；类似地，可求
k
,即Bz
=
1Bzk
。由此可见
=TzBz=常数，这一结论说明对任何信号恒有
TB=常数的可能
性。
命题：（不确定性原理）
对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：
时宽-带宽乘积=TB=∆t∆f≥
1
4π
或TB=∆t∆ω≥1
2
不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。
重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。
2．2 短时Fourier变换
线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：
z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→Tz（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz2
（t，f）
1．连续短时Fourier变换
⑴ 定义： 给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为
∞
STFTz（t，f）=⎰-∞[z(t')γ*(t'-t)]e-j2πft'dt' （2.3）
可以看出，由于窗函数γ（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。 ⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程 p（2.4）
= ⎰-∞⎰-∞[⎰-∞e
∞
∞
（u）=
⎰⎰
*
∞∞
-∞-∞
STFTz(t,f)g(u-t)ej2πfudtdf
∞∞∞
-2πf(t'-u)
df]z(t')γ(t'-t)g(u-t)dt'dt
=⎰-∞⎰-∞z(t')γ*(t'-t)g(u-t)δ(t'-u)dt'dt =z(u)⎰-∞γ*(u-t)g(u-t)dt =z(u)⎰-∞γ*(t)g(t)dt
显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件：
⎰-∞γ*(t)g(t)dt（2.5）
才能使p(u)=z(u)。
∞
∞∞
=1
可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择：
① g(t)=γ(t) ② g(t)=δ(t) ③ g(t)=1
当取条件①时，完全重构条件成为
⎰
∞
-∞
(t)dt=1
2
即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成： z(t)=（2.6）
与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。
以上讨论表明：短时Fourier变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFTZ（t,f），它在任一时刻t的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。短时Fourier反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFTz（t,f）恢复或综合得到原信号z(t)。
⎰⎰
∞∞
-∞-∞
STFTz(t',f')γ(t-t')ej2πf'tdf'dt'
2．短时Fourier变换的基本性质
⑴ 频移和时移特性：
z(t')=z(t')ej2πft'→STFTz(t,f)=STFTz(t,f
~
~
-f0)
（2.7）
z(t')=z(t'-t0)→STFT~(t,f)=STFTz(t-t0,f)e-j2πt0f
z
~
（2.8）
以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。
⑵ 将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有 STFT（2.9）
其中，谱窗Γ(f)是时间窗γ(t)的Fourier变换。式（2.9）可以解释为信号z(t')通过频率响应为Γ*(f'-f)的滤波器输出乘以e-j2πft得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。将式（2.9）做变量代换：f''=可得
STFT
（2.10）
式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。
3．窗函数g（t）的选择
如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。如 g(t)= δ(t)和g(t)= 1即为两个极端的情况：
当g(t)= δ(t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间
∞
Z
（t，f）=
e
-j2πtf
⎰
∞
-∞
Z(f')Γ*(f'-f)ej2πf'tdf'
f'-f
,
Z
（t，f）=⎰-∞Z(f'+f)Γ*(f')ej2πf'tdf'
分辨率。
综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g（t）的宽度与信号的局域平稳长度相适应。在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFTZ（t，f）能够有效地对应为信号z（t）在时频点（t，f）附近的“内容”。
4．离散短时Fourier变换
对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为：
STFT(m,n)=∑z(k)γ*(kT-mT)e-j2π(nF)k
k=-∞∞
z(k)= ∑∑STFT(m,n)g(kT-mT)ej2π(nF)k
m=-∞n=-∞
∞∞
其中，T>0和F>0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。
与（2.5）相对应的约束条件为：
1
F
m=-∞
∑
∞
g(kT+n
1
-mT)γ*(kT-mT)=δn,∀k F
2.3 时频分布的一般理论
1.信号的双线性变换和局部相关函数
对非平稳信号z(t)进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。这
种时间和频率的联合函数P(t,f)称为信号的时频分布。类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系：
R(τ)=⎰z(t)z*(t-τ)dt
-∞∞∞
S(f)=⎰-∞R(τ)e-j2πτfdτ （2.12）
我们定义非平稳信号的双线性变换为
R(t,τ)=⎰-∞φ(u-t,τ)z(u+τ)z*(u-τ)du
∞
22
（2.13）
上式中使用对称形的双线性变换z(t+τ)z*(t-τ)更能表现出非平稳信
2
2
号的某些重要性质。其中Φ（t,τ）为沿t轴滑动的窗函数，同时沿τ加权，R(t,τ)称为“局部相关函数”。
对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即
信号能量的时频分布：
∞
P(t,f)=⎰-∞R(t,τ)e-j2πτfdτ （2.14）
这表明，时频分布P(t,f)也可用局部相关函数R(t,τ)来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。 取窗函数φ(u-t,τ)＝φ(u-t)，则有
R(t,τ)=kz(t,τ)=⎰-∞δ(u-t)z(u+τ)z*(u-τ)du=z(t+τ)z*(t-τ)
∞
2222
（2.15）
称为瞬时相关函数。它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布：
P(t,f)=Wz(t,f)=⎰z(t+)z*(t-)e-j2πτfdτ-∞22∞ττ
（2.16）
Wigner-Ville分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。
2 时频分布的基本性质要求
对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布P(t,f)具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布P(t,f)满足下面的一些基本性质。
性质1：实的（且是非负的）。
性质2：边缘特性
⎰-∞P(t,f)dt=|Z(f)|2 信号在频率f的谱密
度
⎰-∞P(t,f)df
功率
可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。
性质3：时频分布关于时间t和频率f的积分应给出信号的总能量E，即
⎰-∞⎰-∞P(t,f)dtdf=E(信号能量)
性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率fi(t)和群延迟τg(f)，即 ∞∞∞∞=|z(t)|2 信号在t时刻的瞬时
⎰f(t)=i∞-∞∞f.P(t,f)dfP(t,f)df⎰-∞ 和 τ(f)=⎰⎰g∞-∞∞t.P(t,f)dtP(t,f)dt -∞
性质5：有限支撑特性
如果信号z(t)只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱Z(f)也只在某个频率区间取非零值，则称信号z（t）及其频谱是有限支撑的。相应地，如果在z(t)和Z(f)的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。与此相对应，凡在信号z(t)和它的频谱Z(f)等于零的各区域，时频分布P(t,f)等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”有限支撑的时频分布。
边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。
表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。
3．时频分布的二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理带来很大的方便。但是二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理，
使得时频分析不再能像线性时频分布的处理那样简单。因此，这里引入时频表示的“二次叠加原理”如下：
令
z(t)=c1z1(t)+c2z2(t)
则任何二次型时频分布服从下面的二次叠加原理：
Pz(t,f)=|c1|2Pz(t,f)+|c2|2Pz1**(t,f)+ccP(t,f)+ccPz2,z1(t,f) 12z,z21212
式中Pz(t,f)＝Pz,z(t,f)代表信号z(t)的“自时频分布”（简称“信号项”），它是z(t)的双线性函数；Px,y(t,f)表示信号x(t)和y(t)的“互时频分布” （简称“交叉项”），它是x(t)和y(t)的双线性函数，交叉项通常相当于干扰。
类似地，可推广到多个分量信号的二次叠加原理。
时频分布的交叉项一般比较严重，而且在大多情况下是有害的，需对它进行有效地抑制。
2.4 模糊函数 时频分布是对信号的双线性变换z(t+τ)z*(t-τ)作关于变量τ的22
Fourier变换，如Wigner-Ville分布，如果对该双线性变换关于时间t作Fourier反变换，则可得到另一种二维时频分布函数： ∞ Az(τ,υ)=⎰-∞z(t+)z*(t-)ej2πτυdt 22
（2.17）
称为模糊函数，式中z(t)是s(t)的解析信号。
式（2.15）定义的瞬时相关函数
kz(t,τ)=z(t+)z*(t-) 22
ττττ
ｔ为时间，τ为时延。可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于t的Fourier反变换：
Az(τ,υ)=
（２.１８）
对比模糊函数和Wigner-Ville分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数kz(t,τ)的某种线性变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前者则变换到时延－频偏平面，表示相关，称为相关域。可以证明，Wigner-Ville分布和模糊函数是一对Fourier变换对：
Wz(t,f)=⎰∞
-∞-∞＝ft→υ-1[kz(t,τ)] ⎰∞Az(τ,υ)e-j2π(tυ+τf)dυdτ
（２.１９）
模糊函数具有以下性质：
（1） 时移：模糊函数的模对时移不敏感，即有
z(t)=z(t-t0)→Az(τ,υ)=Az(τ,υ)ej2πtυ ~0~
（2） 频移：模糊函数的模对频移不敏感:
z(t)=z(t)ej2πft0~→A~(τ,υ)=Az(τ,υ)ej2πf0τ z
(3) 滤波：令z(t)=⎰-∞z(u)h(t-u)du，则
A(τ,υ)=⎰-∞Az(τ,υ)Ah(τ-u,υ)du ~~∞∞z
(4) 调制：对于调制信号z(t)=z(t)m(t)，其模糊函数为 A(τ,υ)=⎰-∞Az(τ,η)Am(τ,υ-η)dη ~~∞z
类似地，可以定义互模糊函数。
《非平稳信号分析与处
理》
组长：戚伟世 讲课安排：
第一小组：(1-4节)
戚伟世 胡春静 望育梅 喻小红 宋卫林
第二小组：（5-8节）
张闯 程卫军 孙纲 黄平牧 吕尧新 冯瑞军
2 时频表示与时频分布
本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。
时频表示与时频分析的提出
分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。
时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。 时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。
典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变
换。
2．1 基本概念
1．传统的Fourier变换及反变换：
S（f）=⎰-∞s(t)e-j2πtfdt s（t）=⎰-∞S(f)ej2πtfdf
∞
∞
2．解析信号与基带信号
⑴定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analytic signal）z（t）定义为z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert变换。 实函数的Hilbert变换的性质：
若
x(t)= н[s(t)]
则有
s(t)=- н[x（t）]
s(t)=- н[x（t）] ⑵实的调频信号a（t）cosφ(t)对应的解析信号为
2
z（t）=a（t）cosφ(t)+jн[a（t）cosφ(t)]=A（t）ejφ(t)
（2.1）
⑶任何一个实调幅-调频信号a（t）cosφ(t)的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。
⑷实窄带高频信号s（t）=a（t）cos[2πf0t+φ(t)]的解析信号为
z（2.2）
（t）=a（t）
ejφ(t)
ej2πf0t
将上式乘以e-j2πft，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称
为基带信号
zB（t）= a（t）ejφ(t)
它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。
⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。
3．瞬时频率和群延迟
⑴ 瞬时频率fi
信号s（t）=a（t）cos φ(t)的瞬时频率定义为 fi
=
1d
arg[z(t)] 2πdt
可以看出它为解析信号的相位的导数。
物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。 ⑵群延迟τg（f）
频率信号的群延迟定义为 τg（f）=-
1d
arg[Z(f)] 2πdf
物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。
需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。
4．不确定性原理
对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=∆t和频谱Z（f）的有限宽度B=∆f分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：
T=(∆t)2=⎰-∞∞
2
∞
t2z(t)dtz(t)dt
2
2
⎰
和 B2=(∆f)2=⎰-∞∞
∞
f2Z(f)dfZ(f)df
2
2
-∞
⎰
-∞
对信号z（t）沿时间轴做拉伸zk（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即Tz出拉伸信号的带宽是原信号带宽的
TzkBzk
1
k
k
=kTz；类似地，可求
k
,即Bz
=
1Bzk
。由此可见
=TzBz=常数，这一结论说明对任何信号恒有
TB=常数的可能
性。
命题：（不确定性原理）
对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：
时宽-带宽乘积=TB=∆t∆f≥
1
4π
或TB=∆t∆ω≥1
2
不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。
重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。
2．2 短时Fourier变换
线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：
z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→Tz（t，f）=c1Tz1（t，f）+c2Tz2
（t，f）
1．连续短时Fourier变换
⑴ 定义： 给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为
∞
STFTz（t，f）=⎰-∞[z(t')γ*(t'-t)]e-j2πft'dt' （2.3）
可以看出，由于窗函数γ（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。 ⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程 p（2.4）
= ⎰-∞⎰-∞[⎰-∞e
∞
∞
（u）=
⎰⎰
*
∞∞
-∞-∞
STFTz(t,f)g(u-t)ej2πfudtdf
∞∞∞
-2πf(t'-u)
df]z(t')γ(t'-t)g(u-t)dt'dt
=⎰-∞⎰-∞z(t')γ*(t'-t)g(u-t)δ(t'-u)dt'dt =z(u)⎰-∞γ*(u-t)g(u-t)dt =z(u)⎰-∞γ*(t)g(t)dt
显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件：
⎰-∞γ*(t)g(t)dt（2.5）
才能使p(u)=z(u)。
∞
∞∞
=1
可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。这里有三种最简单的选择：
① g(t)=γ(t) ② g(t)=δ(t) ③ g(t)=1
当取条件①时，完全重构条件成为
⎰
∞
-∞
(t)dt=1
2
即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成： z(t)=（2.6）
与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。
以上讨论表明：短时Fourier变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFTZ（t,f），它在任一时刻t的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。短时Fourier反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFTz（t,f）恢复或综合得到原信号z(t)。
⎰⎰
∞∞
-∞-∞
STFTz(t',f')γ(t-t')ej2πf'tdf'dt'
2．短时Fourier变换的基本性质
⑴ 频移和时移特性：
z(t')=z(t')ej2πft'→STFTz(t,f)=STFTz(t,f
~
~
-f0)
（2.7）
z(t')=z(t'-t0)→STFT~(t,f)=STFTz(t-t0,f)e-j2πt0f
z
~
（2.8）
以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。
⑵ 将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有 STFT（2.9）
其中，谱窗Γ(f)是时间窗γ(t)的Fourier变换。式（2.9）可以解释为信号z(t')通过频率响应为Γ*(f'-f)的滤波器输出乘以e-j2πft得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。将式（2.9）做变量代换：f''=可得
STFT
（2.10）
式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。
3．窗函数g（t）的选择
如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。如 g(t)= δ(t)和g(t)= 1即为两个极端的情况：
当g(t)= δ(t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间
∞
Z
（t，f）=
e
-j2πtf
⎰
∞
-∞
Z(f')Γ*(f'-f)ej2πf'tdf'
f'-f
,
Z
（t，f）=⎰-∞Z(f'+f)Γ*(f')ej2πf'tdf'
分辨率。
综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g（t）的宽度与信号的局域平稳长度相适应。在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFTZ（t，f）能够有效地对应为信号z（t）在时频点（t，f）附近的“内容”。
4．离散短时Fourier变换
对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为：
STFT(m,n)=∑z(k)γ*(kT-mT)e-j2π(nF)k
k=-∞∞
z(k)= ∑∑STFT(m,n)g(kT-mT)ej2π(nF)k
m=-∞n=-∞
∞∞
其中，T>0和F>0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。
与（2.5）相对应的约束条件为：
1
F
m=-∞
∑
∞
g(kT+n
1
-mT)γ*(kT-mT)=δn,∀k F
2.3 时频分布的一般理论
1.信号的双线性变换和局部相关函数
对非平稳信号z(t)进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。这
种时间和频率的联合函数P(t,f)称为信号的时频分布。类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系：
R(τ)=⎰z(t)z*(t-τ)dt
-∞∞∞
S(f)=⎰-∞R(τ)e-j2πτfdτ （2.12）
我们定义非平稳信号的双线性变换为
R(t,τ)=⎰-∞φ(u-t,τ)z(u+τ)z*(u-τ)du
∞
22
（2.13）
上式中使用对称形的双线性变换z(t+τ)z*(t-τ)更能表现出非平稳信
2
2
号的某些重要性质。其中Φ（t,τ）为沿t轴滑动的窗函数，同时沿τ加权，R(t,τ)称为“局部相关函数”。
对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即
信号能量的时频分布：
∞
P(t,f)=⎰-∞R(t,τ)e-j2πτfdτ （2.14）
这表明，时频分布P(t,f)也可用局部相关函数R(t,τ)来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。 取窗函数φ(u-t,τ)＝φ(u-t)，则有
R(t,τ)=kz(t,τ)=⎰-∞δ(u-t)z(u+τ)z*(u-τ)du=z(t+τ)z*(t-τ)
∞
2222
（2.15）
称为瞬时相关函数。它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布：
P(t,f)=Wz(t,f)=⎰z(t+)z*(t-)e-j2πτfdτ-∞22∞ττ
（2.16）
Wigner-Ville分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。
2 时频分布的基本性质要求
对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布P(t,f)具有表示信号能量分布的特性。因此，希望时频分布P(t,f)满足下面的一些基本性质。
性质1：实的（且是非负的）。
性质2：边缘特性
⎰-∞P(t,f)dt=|Z(f)|2 信号在频率f的谱密
度
⎰-∞P(t,f)df
功率
可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。
性质3：时频分布关于时间t和频率f的积分应给出信号的总能量E，即
⎰-∞⎰-∞P(t,f)dtdf=E(信号能量)
性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率fi(t)和群延迟τg(f)，即 ∞∞∞∞=|z(t)|2 信号在t时刻的瞬时
⎰f(t)=i∞-∞∞f.P(t,f)dfP(t,f)df⎰-∞ 和 τ(f)=⎰⎰g∞-∞∞t.P(t,f)dtP(t,f)dt -∞
性质5：有限支撑特性
如果信号z(t)只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱Z(f)也只在某个频率区间取非零值，则称信号z（t）及其频谱是有限支撑的。相应地，如果在z(t)和Z(f)的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。与此相对应，凡在信号z(t)和它的频谱Z(f)等于零的各区域，时频分布P(t,f)等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”有限支撑的时频分布。
边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。
表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。
3．时频分布的二次叠加原理
线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理带来很大的方便。但是二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理，
使得时频分析不再能像线性时频分布的处理那样简单。因此，这里引入时频表示的“二次叠加原理”如下：
令
z(t)=c1z1(t)+c2z2(t)
则任何二次型时频分布服从下面的二次叠加原理：
Pz(t,f)=|c1|2Pz(t,f)+|c2|2Pz1**(t,f)+ccP(t,f)+ccPz2,z1(t,f) 12z,z21212
式中Pz(t,f)＝Pz,z(t,f)代表信号z(t)的“自时频分布”（简称“信号项”），它是z(t)的双线性函数；Px,y(t,f)表示信号x(t)和y(t)的“互时频分布” （简称“交叉项”），它是x(t)和y(t)的双线性函数，交叉项通常相当于干扰。
类似地，可推广到多个分量信号的二次叠加原理。
时频分布的交叉项一般比较严重，而且在大多情况下是有害的，需对它进行有效地抑制。
2.4 模糊函数 时频分布是对信号的双线性变换z(t+τ)z*(t-τ)作关于变量τ的22
Fourier变换，如Wigner-Ville分布，如果对该双线性变换关于时间t作Fourier反变换，则可得到另一种二维时频分布函数： ∞ Az(τ,υ)=⎰-∞z(t+)z*(t-)ej2πτυdt 22
（2.17）
称为模糊函数，式中z(t)是s(t)的解析信号。
式（2.15）定义的瞬时相关函数
kz(t,τ)=z(t+)z*(t-) 22
ττττ
ｔ为时间，τ为时延。可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于t的Fourier反变换：
Az(τ,υ)=
（２.１８）
对比模糊函数和Wigner-Ville分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数kz(t,τ)的某种线性变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前者则变换到时延－频偏平面，表示相关，称为相关域。可以证明，Wigner-Ville分布和模糊函数是一对Fourier变换对：
Wz(t,f)=⎰∞
-∞-∞＝ft→υ-1[kz(t,τ)] ⎰∞Az(τ,υ)e-j2π(tυ+τf)dυdτ
（２.１９）
模糊函数具有以下性质：
（1） 时移：模糊函数的模对时移不敏感，即有
z(t)=z(t-t0)→Az(τ,υ)=Az(τ,υ)ej2πtυ ~0~
（2） 频移：模糊函数的模对频移不敏感:
z(t)=z(t)ej2πft0~→A~(τ,υ)=Az(τ,υ)ej2πf0τ z
(3) 滤波：令z(t)=⎰-∞z(u)h(t-u)du，则
A(τ,υ)=⎰-∞Az(τ,υ)Ah(τ-u,υ)du ~~∞∞z
(4) 调制：对于调制信号z(t)=z(t)m(t)，其模糊函数为 A(τ,υ)=⎰-∞Az(τ,η)Am(τ,υ-η)dη ~~∞z
类似地，可以定义互模糊函数。