初一数学三角形知识点归纳 一、与三角形有关的线段
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 2、等边三角形:三边都相等的三角形 3、等腰三角形:有两条边相等的三角形 4、不等边三角形:三边都不相等的三角形
5、在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角
6、三角形分类:不等边三角形
等腰三角形:底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形
7、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
注:1)在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边,则可说明能组成三角形 2)在实际运用中,已经两边,则第三边的取值范围为:两边之差
3)所有通过周长相加减求三角形的边,求出两个答案的,注意检查每个答案能否组成三角形
8、三角形的高:从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所
得线段AD叫做△ABC的边BC上的高
9、三角形的中线:连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做
△ABC的边BC上的中线
注:两个三角形周长之差为x,则存在两种可能:即可能是第一个△周长大,也有可
能是第一个△周长小
10、三角形的角平分线:画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于D,所得线段AD叫
做△ABC的角平分线
11、三角形的稳定性,四边形没有稳定性
二、与三角形有关的角
1、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180度。 证明方法:利用平行线性质
2、三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角
3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5、三角形的外角和为360度 6、等腰三角形两个底角相等
三、多边形及其内角和
1、多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
2、N边形:如果一个多边形由N条线段组成,那么这个多边形就叫做N边形。 3、内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角
4、外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 5、对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线 6、正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形
7、多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)*180 8、多边形的外角和:360度
注:有些题,利用外角和,能提升解题速度
9、从n边形的一个顶点出发,可以引n-3条对角线,它们将n边形分成n-2个△ 注:探索题型中,一定要注意是否是从N边形顶点出发,不要盲目背诵答案 10、从n边形的一个顶点出发,可以引n-3条对角线,n边形共有对角线
n(n-3)
2条。
全等三角形复习
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质 (1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
二、角的平分线: 熟悉基本图形 1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义; (2表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4)时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线 熟悉基本图形 比较区分角平分线模型
1.
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数
.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______. 点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、(等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 五、(等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4.直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半、
全等三角形 练习
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.如图,△ABC≌△DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,则∠C的对应角为 ,BD的对应边为 .
2.如图,AD=AE,∠1=∠2,BD=CE,则有△ABD≌△ ,理由是 ,△ABE≌
(第1题) (第2题) (第4题) 3.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18平方厘米,则EF边上的高是
cm.
4.如图,AD、A´D´分别是锐角△ABC和△A´B´C´中BC与B´C´边上的高,且AB= A´B´,AD= A´D´,若使△ABC≌△A´B´C´,请你补充条件 5. 若两个图形全等,则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形
完全重合. 6. 如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向
的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=___________度
B
A
N
DM
A
E
C
B
C
D
(第6题) (第7题) (第8题)
7.已知:如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,
则DN+MN的最小值为__________.
8.如图,在△ABC中,∠B=90o,D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点,连结AD,若
∠DAC:∠DAB=2:5,则∠DAC=___________.
9.等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90o,BD平分∠ABC交AC于点D,若AB+AD=8cm,
则底边BC上的高为___________.
10.锐角三角形ABC中,高AD和BE交于点H,且BH=AC,则∠ABC=__________度. AC
E
HD
B
C BAD
(第9题) (第10题)
二、选择题(每小题3分,共30分)
11.已知在△ABC中,AB=AC,∠A=56°,则高BD与BC的夹角为( )
A.28° B.34° C.68° D.62°
12.在△ABC中,AB=3,AC=4,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,则AD的长的取值
范围为( )
A.1<AD<7 B.2<AD<14 C.2.5<AD<5.5 D.5<AD<11
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于点E,
且AB=6,则△DEB的周长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10 14.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明 ∠A′O′B′=∠AOB的依据是 A.(S.S.S.)B.(S.A.S.) C.(A.S.A.)D.(A.A.S.
O
B
B′
′
(第14题)
15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是( ) A.∠α=60º,∠α的补角∠β=120º,∠β>∠α B.∠α=90º,∠α的补角∠β=900º,∠β=∠α C.∠α=100º,∠α的补角∠β=80º,∠β
16. △ABC与△A´B´C´中,条件①AB= A´B´,②BC= B´C´,③AC =A´C´,④∠A=∠A´,⑤∠B=∠B´,⑥∠C=∠C´,则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A´B´C´的是( ) A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥
17.如图,在△ABC中,AB=AC,高BD,CE交于点O,AO交BC于点F,则图中共有全
等三角形( )
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点
E,若△DEB的周长为10cm,则斜边AB的长为( )
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D. 20 cm
19.如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,AB<BD,若△ABC不动,将△BDE绕点B
旋转,则在旋转过程中,AE与CD的大小关系为( )
A.AE=CD B.AE>CD C.AE<CD D.无法确定
20.已知∠P=80°,过不在∠P上一点Q作QM,QN分别垂直于∠P的两边,垂足为M,
N,则∠Q的度数等于( )
A.10° B.80° C.100° D.80°或100° 三、解答题(每小题5分,共30分)
21.如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证
明.所添条件为 , 你得到的一对全等三角形是∆ ≅∆ .
B
(第21题)
22.如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况),并给予证明.①AB=AC,②DE=DF,③BE=CF, 已知:EG∥AF,, 求证: 证明:
(第22题)
23. 如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你在
其中选择3个作为题设,余下的1个作为结论,写一个真命题,并加以证明. ①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF
(第23题)
24. 如图,四边形ABCD中,点E在边CD上.连结AE、BF,给出下列五个关系式: ①AD∥BC;②DE=CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设,另外两个作为结论,构成一个命题.
(1)用序号写出一个真命题,书写形式如:如果„„,那么„„,并给出证明; (2)用序号再写出三个真命题(不要求证明); (3)真命题不止以上四个,想一想就能够多写出几个真命题
D
E
B
CF
25.已知,如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E, DE=FE, AB∥FC. 问线段AD、CF的长度关系如何?请予以证明.
A
F
(第25题)
26.如图,已知ΔABC是等腰直角三角形,∠C=90°.
(1)操作并观察,如图,将三角板的45°角的顶点与点C重合,使这个角落在∠ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F两点,然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF?写出观察结果.
(2)探索:AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形?如果能,试加以证明.
四、探究题 (每题10分,共20分)
27.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA
的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. M D
D
P
C N 图① 图③ 图②
28.如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论;
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由;
(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现).
A
F
F
C
B
E
图a 图b
参考答案
一、1.∠DBE, CA 2.△ACE, SAS, △ACD, ASA(或SAS)3. 6
4.CD=C´D´(或AC=A´C´,或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´)5.平移,翻折 6. 90 7. 10 8. 20º 9.8 42 10. 45
C
二、11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A 18.B 19.A 20.D
三、21.可选择CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等条件中的一个.可得到△ACE≌
△ADE或△ACB≌△ADB等.
22.结合图形,已知条件以及所供选择的3个论断,认真分析它们之间的内在联系
可选①AB=AC,②DE=DF,作为已知条件,③BE=CF作为结论;
推理过程为:∵EG∥AF,∴∠GED=∠CFD,∠BGE=∠BCA,∵AB=AC,∴∠B=∠BCA, ∴∠B=∠BGE∴BE=EG,在△DEG和△DFC中,∠GED=∠CFD,DE=DF,∠EDG=∠FDC,∴△DEG≌△DFC,∴EG=CF,而EG=BE,∴BE=CF;
若选①AB=AC,③BE=CF为条件,同样可以推得②DE=DF,
23.结合图形,认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系
由④BE=CF还可推得BC=EF,根据三角形全等的判定方法,可选论断:
①AB=DE,②AC=DF,④BE=CF为条件,根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到:△ABC≌△DEF,进而推得论断③∠ABC=∠DEF,
同样可选①AB=DE,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF为条件,根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到:△ABC≌△DEF,进而推得论断②AC=DF.
24. (1)如果①②③,那么④⑤
证明:如图,延长AE交BC的延长线于F 因为AD∥BC 所以 ∠1=∠F
又因为∠AED =∠CEF ,DE=EC所以△ADE ≌△FCE,所以AD=CF,AE=EF
因为∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4
所以AD+BC=CF+BC=BF=AB
(2)如果①②④,那么③⑤;如果①③④,那么②⑤;如果①③⑤,那么②④.
(3) 如果①②⑤,那么③④;如果②④⑤,那么①③;如果③④⑤,那么①②.
25. (1)观察结果是:当45°角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将
这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时,AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形,证明如下:
在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE,使CG=AC,连结EG,FG,∴ΔACE≌ΔGCE,∴∠A=∠1,同理∠B=∠2,∵∠A+∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,
∴∠EGF=90°,EF为斜边.
四、27.(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD
(2)答:(1)中的结论FE=FD仍然成立
图① 图②
证法一:如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG
∵ ∠1=∠2,AF=AF,AE=AG ∴ △AEF≌△AGF
∴ ∠AFE=∠AFG,FG=FE∵ ∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线 ∴ ∠2+∠3=60°,∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
∴ ∠CFG=60° ∵ ∠4=∠3,CF=CF,∴ △CFG≌△CFD∴ FG=FD∴ FE=FD 图⑤ 证法二:如图2,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H
∵ ∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴ ∠2+∠3=60° ∴ ∠GEF=60°+∠1,FG=FH
∵ ∠HDF=∠B+∠1 ∴ ∠GEF=∠HDF∴ △EGF≌△DHF ∴ FE=FD
28. (1)AF=BE.
证明:在△AFC和△BEC中, ∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CE,∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(2)成立. 理由:在△AFC和△BEC中, ∵△ABC和△CEF是等边三角形,
. ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB. ∴AC=BC,CF=CE,∠ACB=∠FCE=60°
即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(3)此处图形不惟一,仅举几例.
如图,(1)中的结论仍成立.
(4)根据以上证明、说明、画图,归纳如下:
如图a,大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C,
则以点C为旋转中心,任意旋转其中一个三角形,都有AF=BE.
初一数学三角形知识点归纳 一、与三角形有关的线段
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 2、等边三角形:三边都相等的三角形 3、等腰三角形:有两条边相等的三角形 4、不等边三角形:三边都不相等的三角形
5、在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角
6、三角形分类:不等边三角形
等腰三角形:底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形
7、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
注:1)在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边,则可说明能组成三角形 2)在实际运用中,已经两边,则第三边的取值范围为:两边之差
3)所有通过周长相加减求三角形的边,求出两个答案的,注意检查每个答案能否组成三角形
8、三角形的高:从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所
得线段AD叫做△ABC的边BC上的高
9、三角形的中线:连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做
△ABC的边BC上的中线
注:两个三角形周长之差为x,则存在两种可能:即可能是第一个△周长大,也有可
能是第一个△周长小
10、三角形的角平分线:画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于D,所得线段AD叫
做△ABC的角平分线
11、三角形的稳定性,四边形没有稳定性
二、与三角形有关的角
1、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180度。 证明方法:利用平行线性质
2、三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角
3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 5、三角形的外角和为360度 6、等腰三角形两个底角相等
三、多边形及其内角和
1、多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
2、N边形:如果一个多边形由N条线段组成,那么这个多边形就叫做N边形。 3、内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角
4、外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 5、对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线 6、正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形
7、多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)*180 8、多边形的外角和:360度
注:有些题,利用外角和,能提升解题速度
9、从n边形的一个顶点出发,可以引n-3条对角线,它们将n边形分成n-2个△ 注:探索题型中,一定要注意是否是从N边形顶点出发,不要盲目背诵答案 10、从n边形的一个顶点出发,可以引n-3条对角线,n边形共有对角线
n(n-3)
2条。
全等三角形复习
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质 (1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
二、角的平分线: 熟悉基本图形 1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义; (2表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4)时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线 熟悉基本图形 比较区分角平分线模型
1.
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数
.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______. 点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、(等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 五、(等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。 2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4.直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半、
全等三角形 练习
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.如图,△ABC≌△DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,则∠C的对应角为 ,BD的对应边为 .
2.如图,AD=AE,∠1=∠2,BD=CE,则有△ABD≌△ ,理由是 ,△ABE≌
(第1题) (第2题) (第4题) 3.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18平方厘米,则EF边上的高是
cm.
4.如图,AD、A´D´分别是锐角△ABC和△A´B´C´中BC与B´C´边上的高,且AB= A´B´,AD= A´D´,若使△ABC≌△A´B´C´,请你补充条件 5. 若两个图形全等,则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形
完全重合. 6. 如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向
的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=___________度
B
A
N
DM
A
E
C
B
C
D
(第6题) (第7题) (第8题)
7.已知:如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,
则DN+MN的最小值为__________.
8.如图,在△ABC中,∠B=90o,D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点,连结AD,若
∠DAC:∠DAB=2:5,则∠DAC=___________.
9.等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90o,BD平分∠ABC交AC于点D,若AB+AD=8cm,
则底边BC上的高为___________.
10.锐角三角形ABC中,高AD和BE交于点H,且BH=AC,则∠ABC=__________度. AC
E
HD
B
C BAD
(第9题) (第10题)
二、选择题(每小题3分,共30分)
11.已知在△ABC中,AB=AC,∠A=56°,则高BD与BC的夹角为( )
A.28° B.34° C.68° D.62°
12.在△ABC中,AB=3,AC=4,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,则AD的长的取值
范围为( )
A.1<AD<7 B.2<AD<14 C.2.5<AD<5.5 D.5<AD<11
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于点E,
且AB=6,则△DEB的周长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10 14.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明 ∠A′O′B′=∠AOB的依据是 A.(S.S.S.)B.(S.A.S.) C.(A.S.A.)D.(A.A.S.
O
B
B′
′
(第14题)
15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是( ) A.∠α=60º,∠α的补角∠β=120º,∠β>∠α B.∠α=90º,∠α的补角∠β=900º,∠β=∠α C.∠α=100º,∠α的补角∠β=80º,∠β
16. △ABC与△A´B´C´中,条件①AB= A´B´,②BC= B´C´,③AC =A´C´,④∠A=∠A´,⑤∠B=∠B´,⑥∠C=∠C´,则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A´B´C´的是( ) A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥
17.如图,在△ABC中,AB=AC,高BD,CE交于点O,AO交BC于点F,则图中共有全
等三角形( )
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点
E,若△DEB的周长为10cm,则斜边AB的长为( )
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D. 20 cm
19.如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,AB<BD,若△ABC不动,将△BDE绕点B
旋转,则在旋转过程中,AE与CD的大小关系为( )
A.AE=CD B.AE>CD C.AE<CD D.无法确定
20.已知∠P=80°,过不在∠P上一点Q作QM,QN分别垂直于∠P的两边,垂足为M,
N,则∠Q的度数等于( )
A.10° B.80° C.100° D.80°或100° 三、解答题(每小题5分,共30分)
21.如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证
明.所添条件为 , 你得到的一对全等三角形是∆ ≅∆ .
B
(第21题)
22.如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况),并给予证明.①AB=AC,②DE=DF,③BE=CF, 已知:EG∥AF,, 求证: 证明:
(第22题)
23. 如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你在
其中选择3个作为题设,余下的1个作为结论,写一个真命题,并加以证明. ①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF
(第23题)
24. 如图,四边形ABCD中,点E在边CD上.连结AE、BF,给出下列五个关系式: ①AD∥BC;②DE=CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设,另外两个作为结论,构成一个命题.
(1)用序号写出一个真命题,书写形式如:如果„„,那么„„,并给出证明; (2)用序号再写出三个真命题(不要求证明); (3)真命题不止以上四个,想一想就能够多写出几个真命题
D
E
B
CF
25.已知,如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E, DE=FE, AB∥FC. 问线段AD、CF的长度关系如何?请予以证明.
A
F
(第25题)
26.如图,已知ΔABC是等腰直角三角形,∠C=90°.
(1)操作并观察,如图,将三角板的45°角的顶点与点C重合,使这个角落在∠ACB的内部,两边分别与斜边AB交于E、F两点,然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转,观察在点E、F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF?写出观察结果.
(2)探索:AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形?如果能,试加以证明.
四、探究题 (每题10分,共20分)
27.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA
的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. M D
D
P
C N 图① 图③ 图②
28.如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论;
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由;
(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现).
A
F
F
C
B
E
图a 图b
参考答案
一、1.∠DBE, CA 2.△ACE, SAS, △ACD, ASA(或SAS)3. 6
4.CD=C´D´(或AC=A´C´,或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´)5.平移,翻折 6. 90 7. 10 8. 20º 9.8 42 10. 45
C
二、11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A 18.B 19.A 20.D
三、21.可选择CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等条件中的一个.可得到△ACE≌
△ADE或△ACB≌△ADB等.
22.结合图形,已知条件以及所供选择的3个论断,认真分析它们之间的内在联系
可选①AB=AC,②DE=DF,作为已知条件,③BE=CF作为结论;
推理过程为:∵EG∥AF,∴∠GED=∠CFD,∠BGE=∠BCA,∵AB=AC,∴∠B=∠BCA, ∴∠B=∠BGE∴BE=EG,在△DEG和△DFC中,∠GED=∠CFD,DE=DF,∠EDG=∠FDC,∴△DEG≌△DFC,∴EG=CF,而EG=BE,∴BE=CF;
若选①AB=AC,③BE=CF为条件,同样可以推得②DE=DF,
23.结合图形,认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系
由④BE=CF还可推得BC=EF,根据三角形全等的判定方法,可选论断:
①AB=DE,②AC=DF,④BE=CF为条件,根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到:△ABC≌△DEF,进而推得论断③∠ABC=∠DEF,
同样可选①AB=DE,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF为条件,根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到:△ABC≌△DEF,进而推得论断②AC=DF.
24. (1)如果①②③,那么④⑤
证明:如图,延长AE交BC的延长线于F 因为AD∥BC 所以 ∠1=∠F
又因为∠AED =∠CEF ,DE=EC所以△ADE ≌△FCE,所以AD=CF,AE=EF
因为∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4
所以AD+BC=CF+BC=BF=AB
(2)如果①②④,那么③⑤;如果①③④,那么②⑤;如果①③⑤,那么②④.
(3) 如果①②⑤,那么③④;如果②④⑤,那么①③;如果③④⑤,那么①②.
25. (1)观察结果是:当45°角的顶点与点C重合,并将这个角绕着点C在重合,并将
这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时,AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形,证明如下:
在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE,使CG=AC,连结EG,FG,∴ΔACE≌ΔGCE,∴∠A=∠1,同理∠B=∠2,∵∠A+∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,
∴∠EGF=90°,EF为斜边.
四、27.(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD
(2)答:(1)中的结论FE=FD仍然成立
图① 图②
证法一:如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG
∵ ∠1=∠2,AF=AF,AE=AG ∴ △AEF≌△AGF
∴ ∠AFE=∠AFG,FG=FE∵ ∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线 ∴ ∠2+∠3=60°,∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
∴ ∠CFG=60° ∵ ∠4=∠3,CF=CF,∴ △CFG≌△CFD∴ FG=FD∴ FE=FD 图⑤ 证法二:如图2,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H
∵ ∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
∴ ∠2+∠3=60° ∴ ∠GEF=60°+∠1,FG=FH
∵ ∠HDF=∠B+∠1 ∴ ∠GEF=∠HDF∴ △EGF≌△DHF ∴ FE=FD
28. (1)AF=BE.
证明:在△AFC和△BEC中, ∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CE,∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(2)成立. 理由:在△AFC和△BEC中, ∵△ABC和△CEF是等边三角形,
. ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB. ∴AC=BC,CF=CE,∠ACB=∠FCE=60°
即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(3)此处图形不惟一,仅举几例.
如图,(1)中的结论仍成立.
(4)根据以上证明、说明、画图,归纳如下:
如图a,大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C,
则以点C为旋转中心,任意旋转其中一个三角形,都有AF=BE.