与圆锥曲线有关取值范围与最值问题
一、利用圆锥曲线定义求最值
x2y2
1.已知F1,F2-=1的左,右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上， 54
求AP+AF2.
x2y2
2.已知A(4,0),B(2,2)是椭圆+=1内的两个点，M是椭圆上的动点， 259
求MA+MB.
3.已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，F为焦点.
(1)求点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值.
(2)点A(3,2)，求PA+PF.
x2y2
4.-=1的右焦点为F，点A(9,2)，在这个双曲线上求一点M，916 3使MA+MF值.5
二、单变量最值问题——化为函数最值
x2y2
5.(07全国)+=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线交椭圆于B,D两点，32
过F2的直线交椭圆于A,C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
22x0y0(1)设P点的坐标为(x0,y0)+
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
y2
6.P,Q,M,N四点都在椭圆x+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线， 22
与共线，且⋅=0，求四边形PMQN的面积的最小值与最大值.
x2y2
7.如图，F为椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点，Q为椭圆上的点，ab
记△OFQ的面积为S，且⋅=1. 1（1）若
3（2=c,S=c，当c≥2方程.4
x2y2
8.已知焦点在x-=1，过其左焦点F1且斜率为1m9-m
的直线l与双曲线及其准线顺次交于A,B,C,D四点，当m∈[2,4]时，
求AB-CD.
三、二元变量最值问题——转化为二次函数区间最值问题
x2y2
9.(05重庆)若动点(x,y)在曲线+2=1(b>0)上变化，求x2+2y的最大值. 4b
10.已知定点F(1,0)，动点P(异于原点)在y轴上运动，连结PF，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且⋅=0=(1)求动点N的轨迹C的方程；
(2)若A(a,0)，a∈RN的坐标.
x2y2
11.点A,B+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，3620
且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上一点，M到直线APMBM的距离d的最小值.
x2
12.(08上海)已知双曲线C:-y2=1，P是C上的任意点.4
(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求PA.
四、双参数最值问题——建立等式与不等式
13.已知椭圆的一个顶点为A(0,-1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同两点M,NAM=ANm的取值范围.
x2y223314.双曲线2-2=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0).32ab
(1)求双曲线方程；
(2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与该双曲线交于不同的两点C,D，且C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围.
五、双参数最值问题——分离两个参数
x2y2
15.椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点分别是F1,F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆 ab
交于A,B两点，与y轴交于M点，且MB=2BF2，若k≤2，求离心率e的范围.
16.已知圆C:(x+1)2+y2=8，定点A(1,0),C(-1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足=2,⋅=0，点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间)，且满足=λ,求λ的取值范围.
六、双参数最值问题——函数关系
y2
17.椭圆x+=1(α为锐角)的焦点在x轴上，A是它的右顶点，这个椭圆与射线y=x(x≥0)tan2α
⎛⎫⎪ 的交点是B，以A为焦点且过点B，开口向左的抛物线顶点为(m,0)，当椭圆的离心率e∈ ,1时，2
求m的变化范围.
18.如图，双曲线(1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)上支顶点为A，上支与直线
y=-x交于P点，以A为焦点，M(0,m)为顶点，且开口向下的抛物线经
过P点，设直线PM的斜率为k，当k∈⎡⎢11⎤
⎣4,3⎥⎦时，求a的取值范围.
⎝3⎪⎭
19.直线m:y=kx+1与双曲线x2-y2=1左支交于A,B两点，直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点，求l在y轴上的截距b的取值范围.
22x和y=-x=20，动点P满足=+.55
(1)求动点P的轨迹C的方程；20.设A,B分别是直线y=
(2)若点D的坐标为(0,16)，M,N是曲线C上的两个动点，且=λλ的取值范围.
与圆锥曲线有关取值范围与最值问题
一、利用圆锥曲线定义求最值
x2y2
1.已知F1,F2-=1的左,右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上， 54
求AP+AF2.
x2y2
2.已知A(4,0),B(2,2)是椭圆+=1内的两个点，M是椭圆上的动点， 259
求MA+MB.
3.已知P是抛物线y2=2x上的一个动点，F为焦点.
(1)求点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值.
(2)点A(3,2)，求PA+PF.
x2y2
4.-=1的右焦点为F，点A(9,2)，在这个双曲线上求一点M，916 3使MA+MF值.5
二、单变量最值问题——化为函数最值
x2y2
5.(07全国)+=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线交椭圆于B,D两点，32
过F2的直线交椭圆于A,C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
22x0y0(1)设P点的坐标为(x0,y0)+
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
y2
6.P,Q,M,N四点都在椭圆x+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线， 22
与共线，且⋅=0，求四边形PMQN的面积的最小值与最大值.
x2y2
7.如图，F为椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点，Q为椭圆上的点，ab
记△OFQ的面积为S，且⋅=1. 1（1）若
3（2=c,S=c，当c≥2方程.4
x2y2
8.已知焦点在x-=1，过其左焦点F1且斜率为1m9-m
的直线l与双曲线及其准线顺次交于A,B,C,D四点，当m∈[2,4]时，
求AB-CD.
三、二元变量最值问题——转化为二次函数区间最值问题
x2y2
9.(05重庆)若动点(x,y)在曲线+2=1(b>0)上变化，求x2+2y的最大值. 4b
10.已知定点F(1,0)，动点P(异于原点)在y轴上运动，连结PF，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且⋅=0=(1)求动点N的轨迹C的方程；
(2)若A(a,0)，a∈RN的坐标.
x2y2
11.点A,B+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，3620
且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上一点，M到直线APMBM的距离d的最小值.
x2
12.(08上海)已知双曲线C:-y2=1，P是C上的任意点.4
(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求PA.
四、双参数最值问题——建立等式与不等式
13.已知椭圆的一个顶点为A(0,-1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同两点M,NAM=ANm的取值范围.
x2y223314.双曲线2-2=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0).32ab
(1)求双曲线方程；
(2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与该双曲线交于不同的两点C,D，且C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围.
五、双参数最值问题——分离两个参数
x2y2
15.椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点分别是F1,F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆 ab
交于A,B两点，与y轴交于M点，且MB=2BF2，若k≤2，求离心率e的范围.
16.已知圆C:(x+1)2+y2=8，定点A(1,0),C(-1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足=2,⋅=0，点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间)，且满足=λ,求λ的取值范围.
六、双参数最值问题——函数关系
y2
17.椭圆x+=1(α为锐角)的焦点在x轴上，A是它的右顶点，这个椭圆与射线y=x(x≥0)tan2α
⎛⎫⎪ 的交点是B，以A为焦点且过点B，开口向左的抛物线顶点为(m,0)，当椭圆的离心率e∈ ,1时，2
求m的变化范围.
18.如图，双曲线(1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)上支顶点为A，上支与直线
y=-x交于P点，以A为焦点，M(0,m)为顶点，且开口向下的抛物线经
过P点，设直线PM的斜率为k，当k∈⎡⎢11⎤
⎣4,3⎥⎦时，求a的取值范围.
⎝3⎪⎭
19.直线m:y=kx+1与双曲线x2-y2=1左支交于A,B两点，直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点，求l在y轴上的截距b的取值范围.
22x和y=-x=20，动点P满足=+.55
(1)求动点P的轨迹C的方程；20.设A,B分别是直线y=
(2)若点D的坐标为(0,16)，M,N是曲线C上的两个动点，且=λλ的取值范围.