高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1
简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α
b β
∥α
a ∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1
符号表示：
a βb β
a ∩b =β∥α a ∥α b ∥α2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2（3
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1
简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a ∥α
a β
∥b α
∩
β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2
符号表示：
α∥β
α∩γ=a a ∥b
β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的
数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭
β
α
2α-l-β或α-AB-β
32.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1217．(本题15分) 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ；
（2）平面PAC ⊥平面BDE ．
16．(本题10分)
∠ABC =90︒，BC =CC 1，M 、N 分别为BB 1、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
A 1C 1的中点.
（Ⅰ）求证：CB 1⊥平面ABC 1； （Ⅱ）求证：MN //平面ABC 1.
18．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是∠A =60、边长为a 的菱形，又PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
A
C
16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90︒，BC =CC 1，
M 、N 分别为BB 1、A 1C 1的中点.
（Ⅰ）求证：CB 1⊥平面ABC 1； （Ⅱ）求证：MN //平面ABC 1.
解析：（Ⅰ）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ，且侧面BB 1C 1C ∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即AB ⊥BC ，
∴AB ⊥平面BB 1C 1C ∵CB 1⊂平面BB 1C 1C ，∴CB 1⊥AB . ……2分 ∵BC =CC 1，CC 1⊥BC ，∴BCC 1B 1是正方形， ∴CB 1⊥BC 1，∴CB 1⊥平面ABC 1. …………… 4分 （Ⅱ）取AC 1的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△AA 1C 1中，N 、F 是中点，
11
AA 1，又∵BM //AA BM =AA 1，∴, 1
22
NF //BM , NF =BM ，………6分
故四边形BMNF 是平行四边形，∴MN //BF ，…………8分
∴NF //AA 1, NF =
而BF ⊂面ABC 1，MN ⊄平面ABC 1，∴MN //面ABC 1 ……10分
18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是∠A =60、边长为a 的菱形，又
PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为
M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以
QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ．
⎫⎪
MQ ⊆平面PMB ⎬⇒DN //平面PMB . DN ⊄平面PMB ⎪⎭
…………………4分
（2）
DN //MQ
PD ⊥平面ABCD ⎫
⎬⇒PD ⊥MB
MB ⊆平面ABCD ⎭
又因为底面ABCD 是∠A =60 , 边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以MB ⊥AD . 又
所以MB ⊥平面PAD .
MB ⊥平面PAD ⎫
⎬⇒平面PMB ⊥平面PAD . ………………8分
MB ⊆平面PMB ⎭
（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作DH ⊥PM 于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以DH ⊥平面PMB ．
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
a
⨯a
DH ==a .
5a 2
17．(本题15分) 证明（1）∵O是AC 的中点，E 是PC 的中点，
∴OE∥AP， „„„„„„4分 又∵OE⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，
∴PA∥平面BDE ． „„„„„„7分 （2）∵PO⊥底面ABCD ，
∴PO⊥BD ， „„„„„„10分 又∵AC⊥BD ，且AC PO=O
∴BD⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， „„„„„„13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE ． „„„„„„15分
（１）当点因为点
为对角线的中点时，点
．
的坐标是．
在线段上，设
．
当时，的最小值为在对角线
，即点在棱的中点时，有最小值．
（２） 因为上运动．是定点，所以当
为棱
的中点时，
，
是等腰
时，
最短．因为当点
三角形，所以，当点（３） 当点
是的中点时，上运动，点
取得最小值在棱
上运动
．
在对角线
时，的最小值仍然是．
，由正方体的对称性，显然有
．
证明：如下图，设
设
在平面
．
上的射影是
．在
中，
，所以
，即有
所以，点的坐标是
，则
．
由已知，可设
．
当
时，取得最小值，最小值是．
高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1
简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α
b β
∥α
a ∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1
符号表示：
a βb β
a ∩b =β∥α a ∥α b ∥α2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2（3
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1
简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a ∥α
a β
∥b α
∩
β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2
符号表示：
α∥β
α∩γ=a a ∥b
β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的
数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭
β
α
2α-l-β或α-AB-β
32.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1217．(本题15分) 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ；
（2）平面PAC ⊥平面BDE ．
16．(本题10分)
∠ABC =90︒，BC =CC 1，M 、N 分别为BB 1、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
A 1C 1的中点.
（Ⅰ）求证：CB 1⊥平面ABC 1； （Ⅱ）求证：MN //平面ABC 1.
18．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是∠A =60、边长为a 的菱形，又PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
A
C
16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90︒，BC =CC 1，
M 、N 分别为BB 1、A 1C 1的中点.
（Ⅰ）求证：CB 1⊥平面ABC 1； （Ⅱ）求证：MN //平面ABC 1.
解析：（Ⅰ）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ，且侧面BB 1C 1C ∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即AB ⊥BC ，
∴AB ⊥平面BB 1C 1C ∵CB 1⊂平面BB 1C 1C ，∴CB 1⊥AB . ……2分 ∵BC =CC 1，CC 1⊥BC ，∴BCC 1B 1是正方形， ∴CB 1⊥BC 1，∴CB 1⊥平面ABC 1. …………… 4分 （Ⅱ）取AC 1的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△AA 1C 1中，N 、F 是中点，
11
AA 1，又∵BM //AA BM =AA 1，∴, 1
22
NF //BM , NF =BM ，………6分
故四边形BMNF 是平行四边形，∴MN //BF ，…………8分
∴NF //AA 1, NF =
而BF ⊂面ABC 1，MN ⊄平面ABC 1，∴MN //面ABC 1 ……10分
18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是∠A =60、边长为a 的菱形，又
PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．
（1）证明：DN//平面PMB ；
（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为
M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以
QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ．
⎫⎪
MQ ⊆平面PMB ⎬⇒DN //平面PMB . DN ⊄平面PMB ⎪⎭
…………………4分
（2）
DN //MQ
PD ⊥平面ABCD ⎫
⎬⇒PD ⊥MB
MB ⊆平面ABCD ⎭
又因为底面ABCD 是∠A =60 , 边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以MB ⊥AD . 又
所以MB ⊥平面PAD .
MB ⊥平面PAD ⎫
⎬⇒平面PMB ⊥平面PAD . ………………8分
MB ⊆平面PMB ⎭
（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作DH ⊥PM 于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以DH ⊥平面PMB ．
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
a
⨯a
DH ==a .
5a 2
17．(本题15分) 证明（1）∵O是AC 的中点，E 是PC 的中点，
∴OE∥AP， „„„„„„4分 又∵OE⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，
∴PA∥平面BDE ． „„„„„„7分 （2）∵PO⊥底面ABCD ，
∴PO⊥BD ， „„„„„„10分 又∵AC⊥BD ，且AC PO=O
∴BD⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ， „„„„„„13分 ∴平面PAC ⊥平面BDE ． „„„„„„15分
（１）当点因为点
为对角线的中点时，点
．
的坐标是．
在线段上，设
．
当时，的最小值为在对角线
，即点在棱的中点时，有最小值．
（２） 因为上运动．是定点，所以当
为棱
的中点时，
，
是等腰
时，
最短．因为当点
三角形，所以，当点（３） 当点
是的中点时，上运动，点
取得最小值在棱
上运动
．
在对角线
时，的最小值仍然是．
，由正方体的对称性，显然有
．
证明：如下图，设
设
在平面
．
上的射影是
．在
中，
，所以
，即有
所以，点的坐标是
，则
．
由已知，可设
．
当
时，取得最小值，最小值是．