利用导数求参数取值范围的几种类型
学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围
（2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯
学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数
学习过程：
类型1. 与函数单调性有关的类型
例1. 已知a >0，函数f (x ) =x 3-ax 在x ∈[1, +∞)是一个单调函数。
(1) 试问函数f (x ) 在[1, +∞)上是否为单调减函数？请说明理由；
(2) 若函数y =f (x ) 在[1, +∞)上是单调增函数，试求a 的取值范围。
解：（1）f ' (x ) =3x 2-a ，若函数f (x ) 在区间[1, +∞)上单调递减，则f ' (x ) =3x 2-a ≤0在x ∈[1, +∞)上恒成立，即3x 2≤a 对x ∈[1, +∞)恒成立，这样的a 值不存在。所以函数f (x ) 在区间[1, +∞)上不是单调减函数。
（2）函数y =f (x ) 在区间[1, +∞)上是单调增函数，则f ' (x ) =3x 2-a ≥0，即a ≤3x 2在x ∈[1, +∞)上恒成立，在此区间上y =3x 2≥3，从而得0
' ' 规律小结：函数在区间(a ，b) 上递增⇔f (x ) ≥0，递减⇔f (x ) ≤0在此基础上再
研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使f (x ) 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。
类型2. 与不等式有关的类型
例2. 设函数f (x ) =' 1(x >0且x ≠1) x ln x
（1） 求函数f (x ) 的单调区间；
（2） 已知2>x 对任意x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围
解：（1）f (x )
=-' 1x a
ln x +11' 若f (x ) =0, 则x =，，列表如下： 22 1
所以的单调增区间为，单调减区间为
（3） 在2>x 两边取对数，得1
x a 1a 1ln 2>a ln x 由于0x ln 2x ln x
1
e ① 由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f (x ) ≤f () =-e 。为使①式对所
有x ∈(0,1)成立，当且仅当a >-e 即a >-e ln 2 ln 2
规律小结：在利用不等式求参数取值范围时，通常要构造一个新的函数g (x ) ，若类似于
a ≥g (x ) ，则只要研究a ≥g (x ) max ；若类似于a ≤g (x ) ，则只要研究a ≤g (x ) min 类型3：与极值有关的类型
例3：若函数f (x ) =e x (x 2+ax +a +1) 没有极值点，求a 的取值范围。
x 2x （a +2) x +2a +1⎤解：由已知可得f ' (x ) =e x (x 2+ax +a +1) +e x (2x +a ) = e ⎡⎣+⎦，若
函数不存在极值点，则在方程f ' (x ) =0即x 2+（a +2) x +2a +1=0中，有∆=(a +2) 2-4(2a +1) =a 2-4a ≤0，解之得0≤a ≤4
规律小结：极值点的个数，一般是使f (x ) =0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化
成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。
类型4：与方程有关的类型
例4：试确定a 的取值范围，讨论xe =a 解的个数（解略）
练习：
1. 已知y =
2
x ' 13x +bx 2+(b +2) x +3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是___ 3
2. 设f (x ) =ax 3+x 恰有三个单调区间，则a 的范围是______
3. 已知f (x ) =x -
值范围
4. 已知函数f (x ) =x +ax +(a +6) x +1同时有极大值和极小值，求a 的取值范围。
归纳总结：
32312x -2x +c ，若对x ∈[-1,2]，不等式f (x )
3
利用导数求参数取值范围的几种类型
学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围
（2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯
学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数
学习过程：
类型1. 与函数单调性有关的类型
例1. 已知a >0，函数f (x ) =x 3-ax 在x ∈[1, +∞)是一个单调函数。
(1) 试问函数f (x ) 在[1, +∞)上是否为单调减函数？请说明理由；
(2) 若函数y =f (x ) 在[1, +∞)上是单调增函数，试求a 的取值范围。
解：（1）f ' (x ) =3x 2-a ，若函数f (x ) 在区间[1, +∞)上单调递减，则f ' (x ) =3x 2-a ≤0在x ∈[1, +∞)上恒成立，即3x 2≤a 对x ∈[1, +∞)恒成立，这样的a 值不存在。所以函数f (x ) 在区间[1, +∞)上不是单调减函数。
（2）函数y =f (x ) 在区间[1, +∞)上是单调增函数，则f ' (x ) =3x 2-a ≥0，即a ≤3x 2在x ∈[1, +∞)上恒成立，在此区间上y =3x 2≥3，从而得0
' ' 规律小结：函数在区间(a ，b) 上递增⇔f (x ) ≥0，递减⇔f (x ) ≤0在此基础上再
研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使f (x ) 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。
类型2. 与不等式有关的类型
例2. 设函数f (x ) =' 1(x >0且x ≠1) x ln x
（1） 求函数f (x ) 的单调区间；
（2） 已知2>x 对任意x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围
解：（1）f (x )
=-' 1x a
ln x +11' 若f (x ) =0, 则x =，，列表如下： 22 1
所以的单调增区间为，单调减区间为
（3） 在2>x 两边取对数，得1
x a 1a 1ln 2>a ln x 由于0x ln 2x ln x
1
e ① 由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f (x ) ≤f () =-e 。为使①式对所
有x ∈(0,1)成立，当且仅当a >-e 即a >-e ln 2 ln 2
规律小结：在利用不等式求参数取值范围时，通常要构造一个新的函数g (x ) ，若类似于
a ≥g (x ) ，则只要研究a ≥g (x ) max ；若类似于a ≤g (x ) ，则只要研究a ≤g (x ) min 类型3：与极值有关的类型
例3：若函数f (x ) =e x (x 2+ax +a +1) 没有极值点，求a 的取值范围。
x 2x （a +2) x +2a +1⎤解：由已知可得f ' (x ) =e x (x 2+ax +a +1) +e x (2x +a ) = e ⎡⎣+⎦，若
函数不存在极值点，则在方程f ' (x ) =0即x 2+（a +2) x +2a +1=0中，有∆=(a +2) 2-4(2a +1) =a 2-4a ≤0，解之得0≤a ≤4
规律小结：极值点的个数，一般是使f (x ) =0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化
成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。
类型4：与方程有关的类型
例4：试确定a 的取值范围，讨论xe =a 解的个数（解略）
练习：
1. 已知y =
2
x ' 13x +bx 2+(b +2) x +3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是___ 3
2. 设f (x ) =ax 3+x 恰有三个单调区间，则a 的范围是______
3. 已知f (x ) =x -
值范围
4. 已知函数f (x ) =x +ax +(a +6) x +1同时有极大值和极小值，求a 的取值范围。
归纳总结：
32312x -2x +c ，若对x ∈[-1,2]，不等式f (x )
3