目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异.
1
一、二阶线性偏微分方程的分类 二、两个自变量的二阶方程的化简 三、两个自变量二阶常系数方程
设
( x, y )
为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
其中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c , f 是关于 的实值函数，且连续可微。
x, y 在区域 Ω 上
若在区域 Ω 上某点
2
( x 0 , y0 )
Δ ≡ a12 − a11a22 > 0,
则称
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
在点 ( x0 , y0 ) 为双曲型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ ≡ a12 − a11a22 = 0,
2
则称
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
在点 ( x0 , y0 ) 为抛物型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ ≡ a12 − a11a22
2
则称
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
在点 ( x0 , y0 ) 为椭圆型的。
Δ>0
Δ=0
时，方程称为双曲型; 时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
Δ
作变量变换
ξ = ξ ( x, y ) η = η ( x, y )
D(ξ ,η ) ξ x ξ y = D( x, y ) η x η y
(1)
假设变换 (1)是二次连续可微的,且函数行列式
在 ( x0 , y0 ) 不等于零.
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
ξ = ξ ( x, y ) η = η ( x, y )
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + b1uξ + b2uη + cu = f
由于 (2)
⎧ux = uξξx + uηηx , ⎪ ⎪uy = uξξy + uηηy , ⎪ 2 2 ⎨uxx = uξξξx + 2uξηξxηx + uηηηx + uξξxx + uηηxx , ⎪ ⎪uxy = uξξξxξy + uξη (ξxηy +ξyηx ) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy , ⎪ 2 2 ⎩uyy = uξξξy + 2uξηξyηy + uηηηy + uξξyy + uηηyy ,
故方程(2)中的
a11, a12 , a22
为
设法选取变换(1),使得方程(2)的二阶偏导数项化为 最简形式.
2 2 ⎧a11 = a11ξ x + 2a12ξ xξ y + a22ξ y , ⎪ ⎪ ⎨a12 = a11ξ xηx + a12 (ξ xηy + ξ yηx ) + a22ξ yη y , ⎪ 2 2 ⎪a22 = a11ηx + 2a12ηxηy + a22ηy . ⎩
引理1 如果
ω = ϕ ( x, y) 是方程 2 2 a11ω x + 2a12ω xω y + a22ω y = 0 ϕ ( x, y) = c 是方程
2 2
的一个特解．则
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
的一般积分(积分曲线或者通解).
(a)
证明：由隐函数 且
ϕ ( x , y ) = c 确定了函数 y = y ( x)
ωx dy =− . ωy dx
2
因此
⎛ ωx dy ⎛ dy ⎞ a11 ⎜ ⎟ − 2a12 + a22 = a11 ⎜ − ⎜ ω dx ⎝ dx ⎠ y ⎝
2
⎞ ωx + a22 ⎟ + 2a12 ⎟ ωy ⎠ (ω y )
2
2
2
=
a11 ( ω x ) + 2a12ω xω y + a22 (ω y )2
=0
所以
2
a11dy − 2a12 dxdy + a22 dx = 0
引理2 如果
2
ϕ ( x, y ) = c
是方程
2
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
的一般积分. 则ω
= ϕ ( x, y )
2 x
满足方程
2 y
a11ω + 2a12ω xω y + a22ω = 0
证明：由隐函数 是
2
ϕ ( x , y ) = c 确定的函数 y = y ( x)
2
a11dy − 2a12 dxdy + a22 dx = 0
的一般积分. 对于
ω = ϕ ( x, y)
ωx dy =− . ωy dx
我们可得
a11 ( ω x ) + 2a12ω xω y + a22 (ω y )2
2
⎛ ⎛ ω ⎞2 ⎞ ωx x = ⎜ a11 ⎜
− + 2a12 + a22 ⎟ (ω y )2 ⎜ ω ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ωy y ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ dy ⎞ 2 ⎞ dy 2 = ⎜ a11 ⎜ ⎟ − 2a12 + a22 ⎟ (ω y ) ⎜ ⎝ dx ⎠ ⎟ dx ⎝ ⎠ = a11 ( dy ) − 2a12 dydx + a22 ( dx ) (
2 2
(
)
ωy
dx
)2 = 0
关于
ω=ϕ ( x, y) 的一阶偏微分方程
a11ω + 2a12ω xω y + a22ω = 0
2 x 2 y
的求解问题. 转化为求常微分方程
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
2 2
在OXY平面上的积分曲线问题.
方程
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
2 2
(的积分曲线)叫做方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
的特征方程(特征线).
分解方程 得
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
2 2
dy = dx
2 a12 + a12 − a11a22
(3)
a11
2 12
dy a12 − a − a11a22 = dx a11
(4)
双曲型偏微分方程的化简
2
Δ ≡ a12 − a11a22 > 0,
两族不同的实曲线,依次表示为 ϕ1 ( x, y ) = c1 及
方程(3)和(4)的右端是相异的实值,故积分曲线为
ϕ2 ( x, y) = c2 令 ξ = ϕ1 ( x, y ), η = ϕ 2 ( x, y )
则
(5)
a11 = 0, a22 = 0
假设 ϕ1x 及
ϕ1 y ,ϕ2 x ,ϕ2 y , 不同时为零,则变换(5)
是可逆的.且 a12 ≠ 0. 方程(2)可以化为双曲型方程的第一标准形式
uξη = Φ (ξ , η , u , uξ , uη ),
其中
(6)
1 Φ = ( f − b1 uξ − b2 uη − cu ). 2 a12
在方程(6)中再作自变量变换
1 1 ξ = ( s + t ), η = ( s − t ), 2 2
方程可以化为另一种标准形式
uss − utt = Φ1 ( s, t , u, us , ut ).
将方程
2
y uxx − x uyy = 0 化为标准形式.
2 2
2 2
Δ ≡ a12 − a11a22 = x y > 0, x ≠ 0, y ≠ 0,
当 x ≠ 0, y ≠ 0 时,方程为双曲型的,其特征方程为
从而有
⎛ dy ⎞ 2 y ⎜ ⎟ − x = 0, ⎝ dx ⎠
2
2
x dy x dy = , =− , y dx y dx
积分得两族积分曲线
1 2 1 2 1 2 1 2 y − x = c1 , y + x = c2 , 2 2 2 2
作变换
1 2 1 2 1 2 1 2 ξ = y − x ,η = y + x , 2 2 2 2
代入方程化简得
uξη =
η
2(ξ − η )
2 2
uξ −
ξ
2(ξ − η )
2 2
uη .
抛物型偏微分方程的化简
Δ ≡ a12 − a11a22 = 0,
2
方程(3)和(4)重合,故得到方程(a)一个一般积分
ϕ1 ( x, y) = c
令
ξ = ϕ1 ( x, y), η = ϕ2 ( x, y)
又
(一般选取ϕ 2使得ϕ1和ϕ 2是函数无关的)
a11 = 0, a12 = 0
这是因为 所以 则由
Δ ≡ a 12 − a11a22 = 0,
2
a 12 = ± a11a22 ,
a11 = a ξ + 2a12ξ xξ y + a22ξ
2 11 x 2 y
可得
=
(
a11 ξ x ± a22 ξ y
)
2
= 0，
a12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y =
(
a11 ξ x ± a22 ξ y
)(
a11η x ± a22η y
)
= 0.
得抛物型方程的标准形式
uηη = Φ (ξ , η , u , uξ , uη ),
其中
1 ( f − b1 uξ − b2 uη − cu ). Φ = a 22
将方程 标准形式.
2
x uxx + 2 xyuxy + y uyy = 0 化为
2 2
2 2 2 2
Δ ≡ a12 − a11a22 = x y − x y = 0,
方程为抛物型的,其特征方程为
y = c, 作变换 积分得 x
dy y = , dx x
代入方程化简得标准方程
y ξ = , η = x, x
uηη = 0( x ≠ 0).
椭圆型偏微分方程的化简
Δ ≡ a12 − a11a22
2
方程(3)和(4)的右端是复数,故不存在实的特征 曲线,方程(a)的一般积分为复数. 设
ϕ ( x , y ) = ϕ 2 ( x , y ) + iϕ 2 ( x , y )
是方程(3)的一般积分,且 ϕ x , ϕ y 不同时为零.
作变换
ξ = Reϕ ( x, y) = ϕ1 ( x, y ), η = Imϕ ( x, y) = ϕ2 ( x, y).
+ iη 满足方程 a11ω + 2a12ω xω y + a22ω = 0
2 x 2 y
由于 ξ
代入方程得
2 2 a11ξ x2 + 2a12ξ xξ y + a22ξ y2 ) − ( a11η x + 2a12η xη y + a22η y ) (
⎡ ⎤ +2i ⎣ a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y ⎦ = 0
分离实部和虚部可得
a ξ + 2a12ξ xξ y + a ξ = a η + 2a12η xη y + a22η ,
2 11 x 2 22 y 2 11 x 2 y
a11ξ xξ x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y = 0.
33
方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
uξξ + uηη = Φ (ξ , η , u , uξ , uη ),
其中
化为标准形式
1 Φ = ( f − b1 uξ − b2 uη − cu ). a 22
将方程
yuxx + uyy = 0
化为标准形式.
Δ ≡ − y.
当 y > 0 时,方程为椭圆型的; 当 y
ydy2 + dx2 = 0,
在椭圆型区域 y > 0 内,化为
d x ± i y d y = 0, 2 3 x ± i y 2 = c, 因此得 3
作变换
2 ξ = x, η = y , 3
3 2
原方程化为
uξξ + uηη
1 uη . =3η
在双曲型区域 y
d x ± − y d y = 0, 3 2 因此得 x ± ( − y ) 2 = c , 作变换 3 3 3 2 2 ξ = x − (− y ) 2 , η = x + (− y ) 2 , 3 3
原方程化为
uξη
1 ( uξ − uη ). = 6(ξ − η )
如果方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
的系数全部是常系数,按照
Δ ≡ a12 − a11a22
2
的符号,通过变换,方程可以化为以下三种形式: 双曲型: 或
uξη = a1 uξ + b1 uη + c1 u + f 1 ,
uξξ − uηη = a 2 uξ + b2 uη + c 2 u + f 2 ;
抛物型:
uηη = a 3 uξ + b3 uη + c 3 u + f 3 ;
椭圆型:
uξξ + uηη = a 4 uξ + b4 uη + c 4 u + f .
三类方程中的系数均为常数.
弦振动方程 特征方程为
utt − a uxx = 0.
2
2 2
dx − a dt = 0, 故特征直线为 x + at = c1 , x − at = c2 ,
2
作变换
ξ = x + at , η = x − at ,
弦振动方程化为 uξη = 0.
判断方程的类型并化为标准形式的步骤: 1.按
Δ ≡ a12 − a11a22
2
判断方程的类型.
2.解出特征方程式,根据方程类型,选择适当的变换 式,求出变换后的各项系数,把方程化为标准类型.
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异.
1
一、二阶线性偏微分方程的分类 二、两个自变量的二阶方程的化简 三、两个自变量二阶常系数方程
设
( x, y )
为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
其中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c , f 是关于 的实值函数，且连续可微。
x, y 在区域 Ω 上
若在区域 Ω 上某点
2
( x 0 , y0 )
Δ ≡ a12 − a11a22 > 0,
则称
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
在点 ( x0 , y0 ) 为双曲型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ ≡ a12 − a11a22 = 0,
2
则称
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
在点 ( x0 , y0 ) 为抛物型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ ≡ a12 − a11a22
2
则称
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
在点 ( x0 , y0 ) 为椭圆型的。
Δ>0
Δ=0
时，方程称为双曲型; 时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
Δ
作变量变换
ξ = ξ ( x, y ) η = η ( x, y )
D(ξ ,η ) ξ x ξ y = D( x, y ) η x η y
(1)
假设变换 (1)是二次连续可微的,且函数行列式
在 ( x0 , y0 ) 不等于零.
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
ξ = ξ ( x, y ) η = η ( x, y )
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + b1uξ + b2uη + cu = f
由于 (2)
⎧ux = uξξx + uηηx , ⎪ ⎪uy = uξξy + uηηy , ⎪ 2 2 ⎨uxx = uξξξx + 2uξηξxηx + uηηηx + uξξxx + uηηxx , ⎪ ⎪uxy = uξξξxξy + uξη (ξxηy +ξyηx ) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy , ⎪ 2 2 ⎩uyy = uξξξy + 2uξηξyηy + uηηηy + uξξyy + uηηyy ,
故方程(2)中的
a11, a12 , a22
为
设法选取变换(1),使得方程(2)的二阶偏导数项化为 最简形式.
2 2 ⎧a11 = a11ξ x + 2a12ξ xξ y + a22ξ y , ⎪ ⎪ ⎨a12 = a11ξ xηx + a12 (ξ xηy + ξ yηx ) + a22ξ yη y , ⎪ 2 2 ⎪a22 = a11ηx + 2a12ηxηy + a22ηy . ⎩
引理1 如果
ω = ϕ ( x, y) 是方程 2 2 a11ω x + 2a12ω xω y + a22ω y = 0 ϕ ( x, y) = c 是方程
2 2
的一个特解．则
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
的一般积分(积分曲线或者通解).
(a)
证明：由隐函数 且
ϕ ( x , y ) = c 确定了函数 y = y ( x)
ωx dy =− . ωy dx
2
因此
⎛ ωx dy ⎛ dy ⎞ a11 ⎜ ⎟ − 2a12 + a22 = a11 ⎜ − ⎜ ω dx ⎝ dx ⎠ y ⎝
2
⎞ ωx + a22 ⎟ + 2a12 ⎟ ωy ⎠ (ω y )
2
2
2
=
a11 ( ω x ) + 2a12ω xω y + a22 (ω y )2
=0
所以
2
a11dy − 2a12 dxdy + a22 dx = 0
引理2 如果
2
ϕ ( x, y ) = c
是方程
2
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
的一般积分. 则ω
= ϕ ( x, y )
2 x
满足方程
2 y
a11ω + 2a12ω xω y + a22ω = 0
证明：由隐函数 是
2
ϕ ( x , y ) = c 确定的函数 y = y ( x)
2
a11dy − 2a12 dxdy + a22 dx = 0
的一般积分. 对于
ω = ϕ ( x, y)
ωx dy =− . ωy dx
我们可得
a11 ( ω x ) + 2a12ω xω y + a22 (ω y )2
2
⎛ ⎛ ω ⎞2 ⎞ ωx x = ⎜ a11 ⎜
− + 2a12 + a22 ⎟ (ω y )2 ⎜ ω ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ωy y ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ dy ⎞ 2 ⎞ dy 2 = ⎜ a11 ⎜ ⎟ − 2a12 + a22 ⎟ (ω y ) ⎜ ⎝ dx ⎠ ⎟ dx ⎝ ⎠ = a11 ( dy ) − 2a12 dydx + a22 ( dx ) (
2 2
(
)
ωy
dx
)2 = 0
关于
ω=ϕ ( x, y) 的一阶偏微分方程
a11ω + 2a12ω xω y + a22ω = 0
2 x 2 y
的求解问题. 转化为求常微分方程
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
2 2
在OXY平面上的积分曲线问题.
方程
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
2 2
(的积分曲线)叫做方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
的特征方程(特征线).
分解方程 得
a11dy − 2a12dxdy + a22dx = 0
2 2
dy = dx
2 a12 + a12 − a11a22
(3)
a11
2 12
dy a12 − a − a11a22 = dx a11
(4)
双曲型偏微分方程的化简
2
Δ ≡ a12 − a11a22 > 0,
两族不同的实曲线,依次表示为 ϕ1 ( x, y ) = c1 及
方程(3)和(4)的右端是相异的实值,故积分曲线为
ϕ2 ( x, y) = c2 令 ξ = ϕ1 ( x, y ), η = ϕ 2 ( x, y )
则
(5)
a11 = 0, a22 = 0
假设 ϕ1x 及
ϕ1 y ,ϕ2 x ,ϕ2 y , 不同时为零,则变换(5)
是可逆的.且 a12 ≠ 0. 方程(2)可以化为双曲型方程的第一标准形式
uξη = Φ (ξ , η , u , uξ , uη ),
其中
(6)
1 Φ = ( f − b1 uξ − b2 uη − cu ). 2 a12
在方程(6)中再作自变量变换
1 1 ξ = ( s + t ), η = ( s − t ), 2 2
方程可以化为另一种标准形式
uss − utt = Φ1 ( s, t , u, us , ut ).
将方程
2
y uxx − x uyy = 0 化为标准形式.
2 2
2 2
Δ ≡ a12 − a11a22 = x y > 0, x ≠ 0, y ≠ 0,
当 x ≠ 0, y ≠ 0 时,方程为双曲型的,其特征方程为
从而有
⎛ dy ⎞ 2 y ⎜ ⎟ − x = 0, ⎝ dx ⎠
2
2
x dy x dy = , =− , y dx y dx
积分得两族积分曲线
1 2 1 2 1 2 1 2 y − x = c1 , y + x = c2 , 2 2 2 2
作变换
1 2 1 2 1 2 1 2 ξ = y − x ,η = y + x , 2 2 2 2
代入方程化简得
uξη =
η
2(ξ − η )
2 2
uξ −
ξ
2(ξ − η )
2 2
uη .
抛物型偏微分方程的化简
Δ ≡ a12 − a11a22 = 0,
2
方程(3)和(4)重合,故得到方程(a)一个一般积分
ϕ1 ( x, y) = c
令
ξ = ϕ1 ( x, y), η = ϕ2 ( x, y)
又
(一般选取ϕ 2使得ϕ1和ϕ 2是函数无关的)
a11 = 0, a12 = 0
这是因为 所以 则由
Δ ≡ a 12 − a11a22 = 0,
2
a 12 = ± a11a22 ,
a11 = a ξ + 2a12ξ xξ y + a22ξ
2 11 x 2 y
可得
=
(
a11 ξ x ± a22 ξ y
)
2
= 0，
a12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y =
(
a11 ξ x ± a22 ξ y
)(
a11η x ± a22η y
)
= 0.
得抛物型方程的标准形式
uηη = Φ (ξ , η , u , uξ , uη ),
其中
1 ( f − b1 uξ − b2 uη − cu ). Φ = a 22
将方程 标准形式.
2
x uxx + 2 xyuxy + y uyy = 0 化为
2 2
2 2 2 2
Δ ≡ a12 − a11a22 = x y − x y = 0,
方程为抛物型的,其特征方程为
y = c, 作变换 积分得 x
dy y = , dx x
代入方程化简得标准方程
y ξ = , η = x, x
uηη = 0( x ≠ 0).
椭圆型偏微分方程的化简
Δ ≡ a12 − a11a22
2
方程(3)和(4)的右端是复数,故不存在实的特征 曲线,方程(a)的一般积分为复数. 设
ϕ ( x , y ) = ϕ 2 ( x , y ) + iϕ 2 ( x , y )
是方程(3)的一般积分,且 ϕ x , ϕ y 不同时为零.
作变换
ξ = Reϕ ( x, y) = ϕ1 ( x, y ), η = Imϕ ( x, y) = ϕ2 ( x, y).
+ iη 满足方程 a11ω + 2a12ω xω y + a22ω = 0
2 x 2 y
由于 ξ
代入方程得
2 2 a11ξ x2 + 2a12ξ xξ y + a22ξ y2 ) − ( a11η x + 2a12η xη y + a22η y ) (
⎡ ⎤ +2i ⎣ a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y ⎦ = 0
分离实部和虚部可得
a ξ + 2a12ξ xξ y + a ξ = a η + 2a12η xη y + a22η ,
2 11 x 2 22 y 2 11 x 2 y
a11ξ xξ x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y = 0.
33
方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
uξξ + uηη = Φ (ξ , η , u , uξ , uη ),
其中
化为标准形式
1 Φ = ( f − b1 uξ − b2 uη − cu ). a 22
将方程
yuxx + uyy = 0
化为标准形式.
Δ ≡ − y.
当 y > 0 时,方程为椭圆型的; 当 y
ydy2 + dx2 = 0,
在椭圆型区域 y > 0 内,化为
d x ± i y d y = 0, 2 3 x ± i y 2 = c, 因此得 3
作变换
2 ξ = x, η = y , 3
3 2
原方程化为
uξξ + uηη
1 uη . =3η
在双曲型区域 y
d x ± − y d y = 0, 3 2 因此得 x ± ( − y ) 2 = c , 作变换 3 3 3 2 2 ξ = x − (− y ) 2 , η = x + (− y ) 2 , 3 3
原方程化为
uξη
1 ( uξ − uη ). = 6(ξ − η )
如果方程
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
的系数全部是常系数,按照
Δ ≡ a12 − a11a22
2
的符号,通过变换,方程可以化为以下三种形式: 双曲型: 或
uξη = a1 uξ + b1 uη + c1 u + f 1 ,
uξξ − uηη = a 2 uξ + b2 uη + c 2 u + f 2 ;
抛物型:
uηη = a 3 uξ + b3 uη + c 3 u + f 3 ;
椭圆型:
uξξ + uηη = a 4 uξ + b4 uη + c 4 u + f .
三类方程中的系数均为常数.
弦振动方程 特征方程为
utt − a uxx = 0.
2
2 2
dx − a dt = 0, 故特征直线为 x + at = c1 , x − at = c2 ,
2
作变换
ξ = x + at , η = x − at ,
弦振动方程化为 uξη = 0.
判断方程的类型并化为标准形式的步骤: 1.按
Δ ≡ a12 − a11a22
2
判断方程的类型.
2.解出特征方程式,根据方程类型,选择适当的变换 式,求出变换后的各项系数,把方程化为标准类型.