第２期２０１０年４月
ｄｏｉ：ＩＯ．３９６９／ｊ．ｉ８８ｎ．１００ｌ一３５８Ｘ．２０ｌＯ．０２．０２ｌ
矿山测
量
Ｎｏ．２ＡＤｒ．２０１０
ＭＩＮＥＳＵＲＶＥＹＩＮＧ
直线坐标方位角的简明算法
王健，李小光，宋利杰
（河北理工大学交通与测绘学院，河北唐山０６３００９）
摘要：文中介绍了利用反正切、反正弦、反余弦函数计算坐标方位角的方法，并给出了不用进行象限判断的计算坐标方位角的统一的数学模型。关键词：坐标方位角；坐标反算；数学模型中图分类号：ＴＢ２２
文献标识码：Ｂ
文章编号：１００ｌ一３５８Ｘ（２０１０）０２—００６２—０２
△Ｊ
１
引言
．④
在测量工程实践中，经常需要根据两点坐标来计算直线的坐标方位角和距离（一般称为坐标反
ｔ
⑤
算），这是测量工作中的一项最基本计算工作。目前
各种教材上介绍的坐标反算的方法大多是这样的：
任意两点Ａ、Ｂ，其坐标分别为（％，，，口）、（茗口，，，口）。两点间的水平距离为：
圈ｌ
③
．ｅ△一
⑦１
两点间相对位置关系
ＪＤ脯＝√血知＋△），乙
＝￣／（菇詹＋石＾）２＋（），口一ｎ）２
两点间的坐标方位角为：
＠石仙＞ｏ，△‰＞。，ａ肚＝ａｒｃｔａｎ瓮
馐）△髫加＜Ｏ，△ｙ肚＞０，ａ膪
：１８０＋ａｒｃｔａｎ孥
△ｘ艚
％＝呲胁ｌ≥≥ｌ＝ａｒｃ胁ｌ恕Ｉ
Ｊ菇矗一鼻＾Ｊ
ＪＺＩ鬈Ａ矗Ｉ
（酗茗肚＜０，△％＜０，ａ膪
＝１８０＋ａｒｃｔａｎ孥
△茗＾口
上式中的死。为象限角，其与坐标方位角ａ仙的关系见表ｌ。
表ｌ
坐标方位角与象限角的关系
幽％＞０，△‰＞０，％＿３６０＋ａ嘲ｎ甏⑤△ｘ脑＞０，厶‰＿ｏ，‰：ａｒｃｔ卸瓮－ｏ
⑥△％＝０，△），砧＞０，％＝９０（弘菇肥＜０，△‰＝Ｏ，
ａ肚－１８０＋ａｒｃｔａｎ筹“８０
（壅）厶并＾Ｂ＝Ｏ，△），脯＜０，ａ肚＝２７０
利用上面的判别式计算坐标方位角的缺点是：
反正切公式不能计算厶膪＝Ｏ的情况，这时可以给缸仙加一个微小的正数１０一ｏ（１Ｅ—１０），这不会
影响计算结果的精度，此时⑥和⑧可化成：
烦琐易出错、不能解决缸肚＝０或缈脑＝０这种特殊
情况时的坐标方位角计算。
２直线坐标方位角计算的实用公式
２．１
利用反正切公式计算坐标方位角
Ａ、Ｂ两点问的相对位置关系有八种情况，如图１
所示。对八种情况进行如下讨论：
６２
ａ膪一ｒｃｔ卸南堋％一似卸瓦刀２灿嘞ａ－３叭ａｒｃｔａｎ啬观７０
△菇柚＝０，厶ｙ帖＞０，△膏佃＝０，△ｙ柚＜０，
万方数据
于是，前述八种情况可以合并为以下三种类型：
＆‰＜吣胪－８。＋ａｒｃｔａｎ瓮
ｂ．‰＝３∞＋ａｒｃｔａｎ啬
厶石仙≥。，△ｙ．。≥。。ａ＾。＝ａｒｃｔａｎ南ｃ．△筇ＡＢ≥０，△，，＾Ｂ＜０，
２．２利用反正弦公式计算坐标方位角
对图ｌ所示八种情况进行如下讨论：
蚴．。＞。，“。＞。心。＝ａｒｃｓｉｎ舒龇Ａ。＜ｏ，△，，．。＞。，‰＝・８。一ａｒｃｓｉｎ哿③△石柚＜０＇△，，．。＜吣柚＝１８。一ａｒｃｓｉｎ智④△‰＞。，凯。＜。，‰＝３∞＋ａ吲ｎ筹⑤△‰＞。，毗。＝。，‰＝ａｒｃｓｉｎ锈＝。⑥△‰＝。，毗。＞吣．。＝一ｉｎ锷＝９０
（Ｚ｝△髫ＡＢ＜０，△，，＾Ｂ＝ｏ，
‰堋。一ａ吲ｎ舒＝ｔ８。
（勖缸ＡＢ＝０，△，，ＡＢ＜Ｏ，
ａ：。＝３∞＋ａｒｃｓｉｎ哿翊。
前述八种情况可以合并为以下三种类型：
∞．。≥０，△，，ＡＢ≥吣矿８ｒｃｓｉｎ筹②△‰≥０＇△），＾。＜吣．。＝３６０…ｃｓｉｎ舒蛳“吣一・８。一ａｒｃｓｉｎ铅
２．３利用反余弦公式计算坐标方位角
对图ｌ所示八种情况进行如下讨论：
蛳＾Ｂ＞０＇△，，Ａ。＞。，‰＝ａｒｃｃ。ｓ等幽＾。＜０＇△，，＾Ｂ＞吣＾Ｂ＿ａ…ｓ筹觚＾Ｂ＜。山“岫ＡＢ－３６０一ａｒｃｃｏｓ等
万方数据
④△‰＞。，△ｙ柚５。，口柚＝３６０一ａｒｃｃ。ｓ舒⑤△‰＞０’△，，一。，‰＝ａｒｃｃ。ｓ舒＝。勖‰＝ｏ＇△），柚＞吣．。＝ａ…ｓ舒＝９０⑦△‰＜叫ｙ柚＝吣胪ａｒｃｃ。ｓ舒＝１８０
ａ萤匹髫＾Ｂ＝０，△），＾Ｂ＜０，
ａ柚：３印一ａｒｃｃ。ｓ等＝２７。
前述八种情况可以合并为以下两种类型：
ｙ柚＞ｏ，ａ矿ａｒｃｃｏｓ铅‰＜帅矿３∞…ｃｏｓ智
通过对比以上三种方法可得，反余弦函数计算坐标方位角最简单直接，可作为普通计算器计算坐标方位角的首选方法。
３坐标方位角计算的统一数学模型
对前述三种方法进一步合并，可得出适合编程计算的坐标方位角的统一数学模型：
（１）利用反正切公式计算坐标方位角的统一数学模型
ａＡＢ＝１８０一１８０×ｓｇｎ（△，，＾Ｂ＋１层一１０）×
塑丝碰半型＋ａｒｃｔａｎ瓦‰
’
２
（２）利用反正弦公式计算坐标方位角的统一数学模型
ａ＾Ｂ＝１８０—１８０×８９ｎ（△），＾Ｂ＋ｌＥ—ｌＯ）×
ｓｇｎ（△ｘ＾Ｂ＋ｌＥ—１０）
＋ｌ
＋
２
８“厶菇肺＋－Ｅ枷）×ａｒｃｓｉｎ等
（３）利用反余弦公式计算坐标方位角的统一数学模型
ａ＾Ｂ＝１８０—８９ｎ（△ｙ＾Ｂ＋ｌＥ—ｌＯ）×
（１８。…ｃｏｓ舒）
上述三个模型中，如果Ｄ．。已经计算，应用反余
（下转第６５页）
６３
图２）。为了综合比较两条直线交点的坐标值与设计坐标的差值，采用索佳全站仪对放样点进行实测。测量结果见表１。
●
可以拟合出另外一条直线，两直线的交点即为井筒中心坐标。运用ＶＢ６编程实现了该过程的运算，其计算结果为：菇＝３５０４３９．０２３；，，＝４１４４８９．３３５。与设计坐标相比较，符合规范要求。３结语
最小二乘拟合直线法是一种解决工程问题比较实用的数学方法，更是一种符合客观规律的辩证思维，利用最小二乘拟合直线法求竖井交点坐标的方法在许多类似的地下工程中都有借鉴的意义，能更全面地了解所有放样点对中心坐标的影响。
参考文献：
粱家惠．用最小二乘法进行直线拟合的讨论［Ｊ】．工科物理。１９９５（３）．［２］
侯海砚．直线拟合方向的讨论［Ｊ】．物理实验，１９８７，７（２）．［３］［４］
单明，聂燕萍．最小二乘法直线拟合基本假定的几点讨论【Ｊ］．大学物理实验，２００８，２１（４）．
刘晓宝．朱仙庄矿南二提升井十字中线点的标定［Ｊ］．煤炭技术，２００３，２２（３）．［５］
包正明．应用逐渐趋近法恢复井筒十字中线的实践【Ｊ］．煤矿开采，２００ｌ（１）．
｝．北３卜北２｝－北ｌ
●
一
，ｋ两
，
ｆ
厂、＼＼
，
、
＾东ｌｏ
、
＼．／
＿
。糙》、
卜南ｌ｝－南２卜南３
：
表ｌ
图２井筒十字中心线示意图
竖井十字中心平面坐标表
作者简介：陈明建（１９ｒ７０一），男，测绘工程师，硕士。主要从事工程测量工作。
根据最小二乘法拟合直线的原理，将南北向的坐标数据可以拟合出一条直线，东西向的坐标数据
（收稿日期：２００９一１２一１４）
ｐｐｐｑ，、妒ｐ、ｐｐｖ—、一、ｐ≯咕≯、妒ｐ扩ｑ—、—》吣，＾ｏ—、—＾、一、妒ｐ噜ｐ、ｐ、ｐｐ、妒、妒、一ｑ垆、ｐ弋Ｐ、—、扩ｑ妒ｐｐ岣Ｐ、≯、妒、；妒噜—、声、妒
（上接第６３页）
筑，２加８．３４（６）：３６ｌ一３６２．［４］［５］
参考文献：
潘正风，杨正尧，程效军等．数字测图原理与方法［Ｍ】．武汉：武汉大学出版社。２００６：１８０—１８１．［２］
陈德标．坐标方位角计算实用通式［Ｊ］．测绘通报，２００６
（２）：３０一３１．
弦公式计算坐标方位角最简单明了，如果Ｄ＾Ｂ未知，应选择反正切公式计算坐标方位角。
高俊强，郑国才．测量学教学中坐标方位角的计算［Ｊ］．现代测绘。２００５，２８（５）：４７—４８．
谭家兵，刘星．利用坐标反算直线坐标方位角的最佳数学模型［Ｊ】．江苏测绘，２００Ｉ，２４（３）：２４—２５。
作者简介：王健（１９７５一）男，河北沧县人，讲师，主要从事工程测量方面的教学和科研工作。
［３］王红芳，张保亮．坐标方位角通用计算公式［Ｊ］．山西建
（收稿日期：２００９一１２—０１）
万方数据
第２期２０１０年４月
ｄｏｉ：ＩＯ．３９６９／ｊ．ｉ８８ｎ．１００ｌ一３５８Ｘ．２０ｌＯ．０２．０２ｌ
矿山测
量
Ｎｏ．２ＡＤｒ．２０１０
ＭＩＮＥＳＵＲＶＥＹＩＮＧ
直线坐标方位角的简明算法
王健，李小光，宋利杰
（河北理工大学交通与测绘学院，河北唐山０６３００９）
摘要：文中介绍了利用反正切、反正弦、反余弦函数计算坐标方位角的方法，并给出了不用进行象限判断的计算坐标方位角的统一的数学模型。关键词：坐标方位角；坐标反算；数学模型中图分类号：ＴＢ２２
文献标识码：Ｂ
文章编号：１００ｌ一３５８Ｘ（２０１０）０２—００６２—０２
△Ｊ
１
引言
．④
在测量工程实践中，经常需要根据两点坐标来计算直线的坐标方位角和距离（一般称为坐标反
ｔ
⑤
算），这是测量工作中的一项最基本计算工作。目前
各种教材上介绍的坐标反算的方法大多是这样的：
任意两点Ａ、Ｂ，其坐标分别为（％，，，口）、（茗口，，，口）。两点间的水平距离为：
圈ｌ
③
．ｅ△一
⑦１
两点间相对位置关系
ＪＤ脯＝√血知＋△），乙
＝￣／（菇詹＋石＾）２＋（），口一ｎ）２
两点间的坐标方位角为：
＠石仙＞ｏ，△‰＞。，ａ肚＝ａｒｃｔａｎ瓮
馐）△髫加＜Ｏ，△ｙ肚＞０，ａ膪
：１８０＋ａｒｃｔａｎ孥
△ｘ艚
％＝呲胁ｌ≥≥ｌ＝ａｒｃ胁ｌ恕Ｉ
Ｊ菇矗一鼻＾Ｊ
ＪＺＩ鬈Ａ矗Ｉ
（酗茗肚＜０，△％＜０，ａ膪
＝１８０＋ａｒｃｔａｎ孥
△茗＾口
上式中的死。为象限角，其与坐标方位角ａ仙的关系见表ｌ。
表ｌ
坐标方位角与象限角的关系
幽％＞０，△‰＞０，％＿３６０＋ａ嘲ｎ甏⑤△ｘ脑＞０，厶‰＿ｏ，‰：ａｒｃｔ卸瓮－ｏ
⑥△％＝０，△），砧＞０，％＝９０（弘菇肥＜０，△‰＝Ｏ，
ａ肚－１８０＋ａｒｃｔａｎ筹“８０
（壅）厶并＾Ｂ＝Ｏ，△），脯＜０，ａ肚＝２７０
利用上面的判别式计算坐标方位角的缺点是：
反正切公式不能计算厶膪＝Ｏ的情况，这时可以给缸仙加一个微小的正数１０一ｏ（１Ｅ—１０），这不会
影响计算结果的精度，此时⑥和⑧可化成：
烦琐易出错、不能解决缸肚＝０或缈脑＝０这种特殊
情况时的坐标方位角计算。
２直线坐标方位角计算的实用公式
２．１
利用反正切公式计算坐标方位角
Ａ、Ｂ两点问的相对位置关系有八种情况，如图１
所示。对八种情况进行如下讨论：
６２
ａ膪一ｒｃｔ卸南堋％一似卸瓦刀２灿嘞ａ－３叭ａｒｃｔａｎ啬观７０
△菇柚＝０，厶ｙ帖＞０，△膏佃＝０，△ｙ柚＜０，
万方数据
于是，前述八种情况可以合并为以下三种类型：
＆‰＜吣胪－８。＋ａｒｃｔａｎ瓮
ｂ．‰＝３∞＋ａｒｃｔａｎ啬
厶石仙≥。，△ｙ．。≥。。ａ＾。＝ａｒｃｔａｎ南ｃ．△筇ＡＢ≥０，△，，＾Ｂ＜０，
２．２利用反正弦公式计算坐标方位角
对图ｌ所示八种情况进行如下讨论：
蚴．。＞。，“。＞。心。＝ａｒｃｓｉｎ舒龇Ａ。＜ｏ，△，，．。＞。，‰＝・８。一ａｒｃｓｉｎ哿③△石柚＜０＇△，，．。＜吣柚＝１８。一ａｒｃｓｉｎ智④△‰＞。，凯。＜。，‰＝３∞＋ａ吲ｎ筹⑤△‰＞。，毗。＝。，‰＝ａｒｃｓｉｎ锈＝。⑥△‰＝。，毗。＞吣．。＝一ｉｎ锷＝９０
（Ｚ｝△髫ＡＢ＜０，△，，＾Ｂ＝ｏ，
‰堋。一ａ吲ｎ舒＝ｔ８。
（勖缸ＡＢ＝０，△，，ＡＢ＜Ｏ，
ａ：。＝３∞＋ａｒｃｓｉｎ哿翊。
前述八种情况可以合并为以下三种类型：
∞．。≥０，△，，ＡＢ≥吣矿８ｒｃｓｉｎ筹②△‰≥０＇△），＾。＜吣．。＝３６０…ｃｓｉｎ舒蛳“吣一・８。一ａｒｃｓｉｎ铅
２．３利用反余弦公式计算坐标方位角
对图ｌ所示八种情况进行如下讨论：
蛳＾Ｂ＞０＇△，，Ａ。＞。，‰＝ａｒｃｃ。ｓ等幽＾。＜０＇△，，＾Ｂ＞吣＾Ｂ＿ａ…ｓ筹觚＾Ｂ＜。山“岫ＡＢ－３６０一ａｒｃｃｏｓ等
万方数据
④△‰＞。，△ｙ柚５。，口柚＝３６０一ａｒｃｃ。ｓ舒⑤△‰＞０’△，，一。，‰＝ａｒｃｃ。ｓ舒＝。勖‰＝ｏ＇△），柚＞吣．。＝ａ…ｓ舒＝９０⑦△‰＜叫ｙ柚＝吣胪ａｒｃｃ。ｓ舒＝１８０
ａ萤匹髫＾Ｂ＝０，△），＾Ｂ＜０，
ａ柚：３印一ａｒｃｃ。ｓ等＝２７。
前述八种情况可以合并为以下两种类型：
ｙ柚＞ｏ，ａ矿ａｒｃｃｏｓ铅‰＜帅矿３∞…ｃｏｓ智
通过对比以上三种方法可得，反余弦函数计算坐标方位角最简单直接，可作为普通计算器计算坐标方位角的首选方法。
３坐标方位角计算的统一数学模型
对前述三种方法进一步合并，可得出适合编程计算的坐标方位角的统一数学模型：
（１）利用反正切公式计算坐标方位角的统一数学模型
ａＡＢ＝１８０一１８０×ｓｇｎ（△，，＾Ｂ＋１层一１０）×
塑丝碰半型＋ａｒｃｔａｎ瓦‰
’
２
（２）利用反正弦公式计算坐标方位角的统一数学模型
ａ＾Ｂ＝１８０—１８０×８９ｎ（△），＾Ｂ＋ｌＥ—ｌＯ）×
ｓｇｎ（△ｘ＾Ｂ＋ｌＥ—１０）
＋ｌ
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２
８“厶菇肺＋－Ｅ枷）×ａｒｃｓｉｎ等
（３）利用反余弦公式计算坐标方位角的统一数学模型
ａ＾Ｂ＝１８０—８９ｎ（△ｙ＾Ｂ＋ｌＥ—ｌＯ）×
（１８。…ｃｏｓ舒）
上述三个模型中，如果Ｄ．。已经计算，应用反余
（下转第６５页）
６３
图２）。为了综合比较两条直线交点的坐标值与设计坐标的差值，采用索佳全站仪对放样点进行实测。测量结果见表１。
●
可以拟合出另外一条直线，两直线的交点即为井筒中心坐标。运用ＶＢ６编程实现了该过程的运算，其计算结果为：菇＝３５０４３９．０２３；，，＝４１４４８９．３３５。与设计坐标相比较，符合规范要求。３结语
最小二乘拟合直线法是一种解决工程问题比较实用的数学方法，更是一种符合客观规律的辩证思维，利用最小二乘拟合直线法求竖井交点坐标的方法在许多类似的地下工程中都有借鉴的意义，能更全面地了解所有放样点对中心坐标的影响。
参考文献：
粱家惠．用最小二乘法进行直线拟合的讨论［Ｊ】．工科物理。１９９５（３）．［２］
侯海砚．直线拟合方向的讨论［Ｊ】．物理实验，１９８７，７（２）．［３］［４］
单明，聂燕萍．最小二乘法直线拟合基本假定的几点讨论【Ｊ］．大学物理实验，２００８，２１（４）．
刘晓宝．朱仙庄矿南二提升井十字中线点的标定［Ｊ］．煤炭技术，２００３，２２（３）．［５］
包正明．应用逐渐趋近法恢复井筒十字中线的实践【Ｊ］．煤矿开采，２００ｌ（１）．
｝．北３卜北２｝－北ｌ
●
一
，ｋ两
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＾东ｌｏ
、
＼．／
＿
。糙》、
卜南ｌ｝－南２卜南３
：
表ｌ
图２井筒十字中心线示意图
竖井十字中心平面坐标表
作者简介：陈明建（１９ｒ７０一），男，测绘工程师，硕士。主要从事工程测量工作。
根据最小二乘法拟合直线的原理，将南北向的坐标数据可以拟合出一条直线，东西向的坐标数据
（收稿日期：２００９一１２一１４）
ｐｐｐｑ，、妒ｐ、ｐｐｖ—、一、ｐ≯咕≯、妒ｐ扩ｑ—、—》吣，＾ｏ—、—＾、一、妒ｐ噜ｐ、ｐ、ｐｐ、妒、妒、一ｑ垆、ｐ弋Ｐ、—、扩ｑ妒ｐｐ岣Ｐ、≯、妒、；妒噜—、声、妒
（上接第６３页）
筑，２加８．３４（６）：３６ｌ一３６２．［４］［５］
参考文献：
潘正风，杨正尧，程效军等．数字测图原理与方法［Ｍ】．武汉：武汉大学出版社。２００６：１８０—１８１．［２］
陈德标．坐标方位角计算实用通式［Ｊ］．测绘通报，２００６
（２）：３０一３１．
弦公式计算坐标方位角最简单明了，如果Ｄ＾Ｂ未知，应选择反正切公式计算坐标方位角。
高俊强，郑国才．测量学教学中坐标方位角的计算［Ｊ］．现代测绘。２００５，２８（５）：４７—４８．
谭家兵，刘星．利用坐标反算直线坐标方位角的最佳数学模型［Ｊ】．江苏测绘，２００Ｉ，２４（３）：２４—２５。
作者简介：王健（１９７５一）男，河北沧县人，讲师，主要从事工程测量方面的教学和科研工作。
［３］王红芳，张保亮．坐标方位角通用计算公式［Ｊ］．山西建
（收稿日期：２００９一１２—０１）
万方数据