函数的极值与导数
一、选择题
32
已知函数f (x )=x +ax +(a +6)x +1有极大值和极小值, 则实数a 的取值范围是
A ．(-1,2) B ．(-∞,-3)∪(6,+∞) C ．(-3,6) D ．(-∞,-1)∪(2,+∞) 【答案】B 设函数f (x ) 的定义域为R , x 0(x 0≠0) 是f (x ) 的极大值点, 以下结论一定正确的是
A ．∀x ∈R ，f (x ) ≤f (x 0) C ．-x 0是-f (x ) 的极小值点 【答案】
D ．
B ．-x 0是f (-x ) 的极小值点 D ．-x 0是-f (-x ) 的极小值点
（ ）
（ ）
32
1 已知函数f (x ) =x +ax +bx +c , 下列结论中①∃x 0∈R ，f (x 0) =0 ②函数f (x ) 的图象是中心对称
图形 ③若x 0是f (x ) 的极小值点, 则f (x ) 在区间(-∞, x 0) 单调递减 ④若x 0是f (x ) 的极值点, 则
f '(x 0) =0. 正确的个数有
A ．1
【答案】C 2 ．设a ∈R , 若函数
A ．a >-3 【答案】B
32
3. 函数f (x ) =x +ax +3x -9, 且f (x ) 在x =-3时取得极值, 则a =
（ ）
C ．3
D ．4
B ．2
y =e ax +3x , x ∈R 有大于零的极值点, 则
B ．a
C ．a >-3
1
（ ）
1
D ．a
（ ）
A ．2
【答案】D
B ．3 C ．4
x
k
D ．5
4 ．已知e 为自然对数的底数, 设函数f (x ) =(e -1)(x -1) (k =1, 2) , 则
A ．当k =1时, f (x ) 在x =1处取得极小值 大值
C ．当k =2时, f (x ) 在x =1处取得极小值 大值
【答案】C
x
5 ．已知函数f (x ) =e (sinx -cos x ), x ∈(0,2013π) , 则函数f (x ) 的极大值之和为
（ ）
B ．当k =1时, f (x ) 在x =1处取得极
D ．当k =2时, f (x ) 在x =1处取得极
（ ）
e 2π(1-e 2012π) e π(1-e 2012π) e π(1-e 1006π) e π(1-e 1006π) A ． B ． C ． D ．
e 2π-11-e 2π1-e 2π1-e π
【答案】B 二、填空题
6 ．方程x 3
-3x =k 有3个不等的实根, 则常数k 的取值范围是______.
【答案】(-2,2)
7 ．f(x)=x3
-3x+a有三个不同的零点, 则实数a 的取值范围是_____________.
【答案】(-2,2) 8．已知函数y =x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点, 则c =__________ 【答案】-2或2 三、解答题
9．设函数f (x ) =ax -ln x , g (x ) =e x
-ax , 其中a 为正实数.
(l)若x=0是函数g (x ) 的极值点, 讨论函数f (x ) 的单调性;
(2)若f (x ) 在(1,+∞) 上无最小值, 且g (x ) 在(1,+∞) 上是单调增函数, 求a 的取值范 围; 并由此判断曲线g (x ) 与曲线y =
12
ax 2
-ax 在(1,+∞) 交点个数. 【答案】解:(1) 由g '
(0)=1-a =0得a =1
f (x ) 的定义域为:(0,+∞)
f ' (x ) =1-
1
x
函数f (x ) 的增区间为(1,+∞) , 减区间为(0,1) (2)由f ' (x ) =a -1ax -1
x =x
若0
∵g (x ) 在(1, +∞) 上是单调增函数∴g'(x ) =e x
-a ≥0在(1, +∞) 上恒成立-------
综上所述a 的取值范围为[1,e ] --------
此时g (x ) =12ax 2
-ax 即a =2e x 2e x 2e x (x -2) x 2, 令h (x ) =x 2⇒h '(x ) =x
3
, 则 h(x)在(0,2) 单减, 在(2,+∞) 单增,
极小值为h(2)=e 2
2
>e . 故两曲线没有公共点 10．设函数f (x )=x -1
x
a ln x (a ∈R)
(1)讨论f (x ) 的单调性;
a ≤e ∴
(2)若f (x ) 有两个极值点x 1和x 2, 记过点A (x 1, f (x 1)), B (x 2, f (x 2)) 的直线的斜率为k . 问:是否存在a , 使得k =2-a ? 若存在, 求出a 的值; 若不存在, 请说明理由. 【答案】解(1)f (x ) 的定义域为(0,+∞). 1a x －ax ＋1
f ′(x )=1+22
2
x x x
令g (x )=x -ax +1,其判别式Δ=a -4.
①当|a |≤2时, Δ≤0,f ′(x )≥0.故f (x ) 在(0,+∞)上单调递增
②当a 0,g (x )=0的两根都小于0. 在(0,+∞)上, f ′(x )>0.故f (x ) 在(0,+∞)上单调递增 ③当a >2时, Δ>0,g (x )=0的两根为x 1=
22
a －a 2－4
2
x 2a ＋a 2－4
2
当00,当x 1
当x >x 2时, f ′(x )>0.故f (x ) 分别在(0,x 1),(x 2,+∞) 上单调递增, 在(x 1, x 2) 上单调递减 (2)由(1)知, a >2. 因为
f (x 1)-f (x 2) =(x 1-x 2)+
x 1－x 2f x 1 －f x 2 1
-a (ln x 1-ln x 2), 所以, k ==1+x 1x 2x 1－x 2x 1x 2
ln x 1－ln x 2
-a ·分
x 1－x 2ln x 1－ln x 2
又由(1)知, x 1x 2=1,于是k =2-a ·.
x 1－x 2
ln x 1－ln x 2
若存在a , 使得k =2-a , 则
x 1－x 2即ln x 1-ln x 2=x 1-x 2.
1
由x 1x 2=1得x 2--2ln x 2=0(x 2>1).(*)
x 2
111
再由(1)知, 函数h (t )=t -t 在(0,+∞)上单调递增, 而x 2>1,所以x 2--2ln x 2>1--2 ln 1=0.这
t x 21与(*)式矛盾.
故不存在a , 使得k =2-a
32
11．已知函数f (x )=x -3ax +3x +1.
(1)设a =2,求f (x ) 的单调区间;
(2)设f (x ) 在区间(2,3)中至少有一个极值点, 求a 的取值范围.
32
【答案】解 (1)当a =2时, f (x )=x -6x +3x +1,
f ′(x )=3x 2-12x +3=3(x -2+3)(x -2-3).
当x ∈(-∞,2-3) 时, f ′(x )>0,f (x ) 在(-∞,2-3) 上单调递增; 当x ∈(23) 时, f ′(x )0,f (x ) 在(2+3,+∞)上单调递增 综上, f (x ) 的单调增区间是(-∞,2-3) 和3,+∞), f (x ) 的单调减区间是(2-3,2+3).---------------
222
(2)f ′(x )=3x -6ax +3=3[(x -a ) +1-a ].
2
当1-a ≥0时, f ′(x )≥0,f (x ) 为增函数, 故f (x ) 无极值点;
2当1-a
由题意, 知2
2
或2
5555
①无解,②的解为
4343注:用一元二次方程根的分布同样的分 12．）设f (x ) =ln(1+x ) -x -ax 2.
(1)当x =1时，f (x ) 取到极值, 求a 的值;
(2)当a 满足什么条件时, f (x ) 在区间[-, -]上有单调递增的区间. 【答案】解:(1)由题意知f (x ) 的定义域为(-1, +∞)
2
1
213
-2ax 2-(2a +1) x
且f '(x ) =, 由f '(1)=0
1+x
当a =-时
1
得:a =-
4
14
f (x ) 在(0,1)单调递减，在(1,+∞) 单调递增
∴f (1)是函数的极小值
1
∴a =-
4
11
(2)要使f (x ) 在区间[-, -]上有单调递增区间
2311
即f '(x ) >0在[-, -]上有解⇔2ax +(2a +1) >0
23
(i)当a =0是，不等式恒成立
32a +12a +11
此时只要--
42a 2a 3
2a +12a +11
>- (iii)当a
2a 2a 2
(ii)当a >0时，x >-
解得:a >-1, 综上得:a ∈(-1, +∞)
13．已知函数f (x )=a ln x -bx 图象上一点P 2, f (2)处的切线方程为y =-3x +2ln 2+2.
2
()
(I)求a,b 的值;
(II)若方程f (x )+m =0在⎢, e ⎥内有两个不等实根, 求m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); e (III)令g (x )=f (x )-kx ，若g (x )的图象与x 轴交于A (x 1,0), B (x 2,0)
⎡1⎤⎣⎦
(其中x 1
【答案】
14．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知
f (x ) =a ln(x -1) , g (x ) =x 2+bx , F (x ) =f (x +1) -g (x ) , 其中a , b ∈R .
(I)若y =f (x ) 与y =g (x ) 的图像在交点(2,k ) 处的切线互相垂直, 求a , b 的值;
(II)若x =2是函数F (x ) 的一个极值点, x 0和1是F (x ) 的两个零点, 且x 0∈(n , n +1) n ∈N , 求n ; (III)当b =a -2时, 若x 1, x 2是F (x ) 的两个极值点, 当|x 1-x 2|>1时, 求证:|F (x 1) -F (x ) |>3-4ln 2. 【答案】(I)f '(x )=
a
, g '(x ) =2x +b x -1
由题知⎨
⎧f (2) =g (2) ⎧0=4+2b
, 即⎨
''f (2) ⋅g (2) =-1a (4+b ) =-1⎩⎩
1⎧a =-⎪解得⎨2
⎪⎩b =-2
2
(II)F (x ) =f (x +1) -g (x ) =a ln x -(x +bx ) , F '(x ) =
a
-2x -b x
⎧a
⎧F '(2) =0⎪-4-b =0由题知⎨, 即⎨2 解得a =6,b =-1
⎩F (1) =0⎪⎩1+b =0
∴F (x ) =6ln x -(x -x ), F '(x ) =
2
6-(2x +3)(x -2)
-2x +1= x x
∵x >0,由F '(x ) >0,解得02 ∴F (x ) 在(0,2)上单调递增, 在(2,+∞)单调递减, 故F (x ) 至多有两个零点, 其中x 1∈(0,2),x 2∈(2, +∞) 又F (2) >F (1) =0,F (3) =6(ln 3-1)>0,F (4) =6(ln 4-2)
(III)当b =a -2时, F (x ) =a ln x -[x +(a -2) x ],
2
F '(x )=
a -(2x +a )(x -1)
-2x -(a -2) =, x x
a
,1, 2
由题知F '(x ) =0在(0,+∞)上有两个不同根x 1, x 2, 则a
a a 22
由题知|--1|>1,则+a +1>1,a +4a >0
24
又∵a
a
>1 2
则F (x ) 与F '(x ) 随x 的变化情况如下表:
∴|F (x 1) -F (x ) |=F (x ) 极大值-F (x ) 极小值=F(-=a ln(―
)―F(1) 2
a 12
)+a ―1, 24
a 12a 1
设ϕ(a ) =a ln(-) +a -1, 则ϕ'(a ) =ln(-) +a +1
2422111111
, ϕ''(a ) =+,∵a ―,∴ϕ''(a ) =+>0,
a 2a 2a 4
∴ϕ'(a ) 在(―∞,―4)上是增函数, ϕ'(a ) ϕ(-4) =3-4ln 2 所以|F (x 1) -F (x ) |>3-4ln 2.
(Ⅱ)若f (x ) 在定义域内无极值, 求实数a 的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)已知a =4,∴f (x ) =4ln x -x +
3
,(x >0) x
43-x 2+4x -3
f '(x ) =-1-2=
x x x 2
令f '(x ) =0, 解得x =1或x =3. -------------------------------- 当03时, f '(x )
当10 --------------
f (1)=2, f (3)=4ln 3-2
∴f (x ) 取得极小值2, 极大值4ln 3-2 (Ⅱ)f (x ) =a ln x -x +
a -1
,(x >0) x
a a -1-x 2+ax -(a -1)
f '(x )=-1-2=2
x x x
f (x ) 在定义域内无极值, 即f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0在定义域上恒成立.
即方程f '(x ) =0在(0,+∞) 上无变号零点. ------------------------------ 设g (x ) =-x 2+ax -(a -1) , 根据图象可得
⎧∆≥0⎪a ⎪
∆≤0或⎨≤0, 解得a =2
⎪2⎪⎩g (0)≤0
∴实数a 的取值范围为a =2
16．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）已知函数
f (x )=x 2-a ln x , g (
x )=x -(I)若a =1, 求函数f (x )的极值;
(II)若函数f (x )在(1,2)上是增函数, g (x )在(0,1)上是减函数, 求f (x ), g (x )的表达式; (III)对于(II)中的f (x ), g (x ), 判断当x >0时方程f (x )=g (x )+2的解的个数, 并说明理由. 【答案】
17．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设函数
f (x ) =(1+x ) 2-21n (1+x ) .
(1)求f (x ) 的单调区间;
(2)试讨论关于x 的方程:f (x ) =x +x +a 在区间[0,2]上的根的个数. 【答案】
2
18．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设函数
f (x ) =x sin x +cos x (-3π
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数y =f (x ) 在区间(-3π, 3π) 上的极值之和. 【答案】
19．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数f (x ) =e -
(Ⅰ)若函数f (x ) 的图象在x =0处的切线方程为y =2x +b , 求a , b 的值; (Ⅱ)若函数在R 上是增函数, 求实数a 的取值范围;
(Ⅲ)如果函数g (x ) =f (x ) -(a -) x 有两个不同的极值点x 1, x 2, 证明
:a >【答案】解:(Ⅰ)∵f '(x ) =e -x -a , ∴ f '(0)=1-a .
于是由题知1-a =2, 解得a =-1 ∴ f (x ) =e -∴ f (0)=1,
11
x
x
12
x -ax (a ∈R) . 2
12
2
x
12
x +x . 2
于是1=2⨯0+b , 解得b =1
(Ⅱ)由题意f '(x ) >0即e x
-x -a ≥0恒成立, ∴ a ≤e x
-x 恒成立
设h (x ) =e x -x , 则h '(x ) =e x -1. 当x 变化时, h '(x ) . h (x ) 的变化情况如下表:
∴ h (x ) min =h ,
∴
a ≤1 (Ⅲ)由已知g (x ) =e x
-
1x 2-ax -ax 2+1
x 222
=e x -ax 2-ax , ∴ g '(x ) =e x -2ax -a .
∵ ,x 1x 2是函数g (x ) 的两个不同极值点(不妨设x 1
-2ax -a =0(*) 有两个不同的实数根 ,x 1x 2 当x =-
1
2时, 方程(*) 不成立 则a =e x 2x +1, 令p (x ) =e x e x (2x -1)
2x +1, 则p '(x ) =(2x +1)
2
由p '(x ) =0得:x =1
2
当x 变化时, p (x ) , p '(x ) 变化情况如下表:
1111x (-∞, -2) (-
2, 2)
2
(1
2
, +∞)
p (x )
-
-
+
p '(x )
单调递单调极单调递
减
递减
小值
增
∴当x ∈(-∞, -12
) 时, 方程(*) 至多有一解, 不合题意;
当x ∈(-
12, +∞) 时, 方程(*) 若有两个解, 则a >p (12) = 所以, a >
20．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）f (x )=a x +x 2-x ln a ，其中a >1.
(I)求函数f (x )的单调区间;
(II)若方程f (x )-m =0在区间[-1,1]上有两个不相等实数根, 求实数m 的取值范围.
知函数
12
已
【答案】
21．（山东省桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设函数f (x ) =(x -1) +b ln x ,
其中b 为常数. (1)当b >
2
1
时, 判断函数f (x ) 在定义域上的单调性; 2
(2)若函数f (x ) 的有极值点, 求b 的取值范围及f (x ) 的极值点
1212(x -) +b -
b 2x 2-2x +b (x >0) 【答案】解f ' (x ) =2x -2+==x x x
1
∴当b >时, f '(x ) >0, 函数f (x ) 在定义域(0, +∞) 上单调递增.
2
1
(2)①由(Ⅰ)得, 当b >时, 函数f (x ) 无极值点.
2
(2x -1) 211
=0有两个相同的解x =, ②b =时, f ' (x ) =
2x 22
11
但当x ∈(0, ) 时，f ' (x ) >0; 当x ∈(, +∞) 时, f ' (x ) >0时,
22
13
∴b =
1
+∞) 上无极值点. 时, 函数f (x ) 在(-1，
2
1-2b 1-2b 1
, x 2=+时, f '(x ) =0有两个不同解, x 1=-
22222
③当b
∴i ) b ≤0时, x 1=
1-2b 1-2b
-≤0∉(0, +∞) ，舍去, 而x 2=+≥1∈(0, +∞) , 2222
此时 f '(x ) , f (x ) 随x 在定义域上的变化情况如下表:
由此表可知: b ≤0时, f (x ) 有惟一极小值点, x 2=ii) 当0
1-2b
+, 22
1
时,0
1-2b 1-2b 1
时, f (x ) 有一个极大值x 1=-和一个极小值点x 2=+;
22222
综上所述:当且仅当b
1
时f (x ) 有极值点; 2
1-2b +; 22
当b ≤0时, f (x ) 有惟一极小值点, x =
当0
1-2b 1-2b 1
时, f (x ) 有一个极大值点x =-和一个极小值点x =+
22222
14
函数的极值与导数
一、选择题
32
已知函数f (x )=x +ax +(a +6)x +1有极大值和极小值, 则实数a 的取值范围是
A ．(-1,2) B ．(-∞,-3)∪(6,+∞) C ．(-3,6) D ．(-∞,-1)∪(2,+∞) 【答案】B 设函数f (x ) 的定义域为R , x 0(x 0≠0) 是f (x ) 的极大值点, 以下结论一定正确的是
A ．∀x ∈R ，f (x ) ≤f (x 0) C ．-x 0是-f (x ) 的极小值点 【答案】
D ．
B ．-x 0是f (-x ) 的极小值点 D ．-x 0是-f (-x ) 的极小值点
（ ）
（ ）
32
1 已知函数f (x ) =x +ax +bx +c , 下列结论中①∃x 0∈R ，f (x 0) =0 ②函数f (x ) 的图象是中心对称
图形 ③若x 0是f (x ) 的极小值点, 则f (x ) 在区间(-∞, x 0) 单调递减 ④若x 0是f (x ) 的极值点, 则
f '(x 0) =0. 正确的个数有
A ．1
【答案】C 2 ．设a ∈R , 若函数
A ．a >-3 【答案】B
32
3. 函数f (x ) =x +ax +3x -9, 且f (x ) 在x =-3时取得极值, 则a =
（ ）
C ．3
D ．4
B ．2
y =e ax +3x , x ∈R 有大于零的极值点, 则
B ．a
C ．a >-3
1
（ ）
1
D ．a
（ ）
A ．2
【答案】D
B ．3 C ．4
x
k
D ．5
4 ．已知e 为自然对数的底数, 设函数f (x ) =(e -1)(x -1) (k =1, 2) , 则
A ．当k =1时, f (x ) 在x =1处取得极小值 大值
C ．当k =2时, f (x ) 在x =1处取得极小值 大值
【答案】C
x
5 ．已知函数f (x ) =e (sinx -cos x ), x ∈(0,2013π) , 则函数f (x ) 的极大值之和为
（ ）
B ．当k =1时, f (x ) 在x =1处取得极
D ．当k =2时, f (x ) 在x =1处取得极
（ ）
e 2π(1-e 2012π) e π(1-e 2012π) e π(1-e 1006π) e π(1-e 1006π) A ． B ． C ． D ．
e 2π-11-e 2π1-e 2π1-e π
【答案】B 二、填空题
6 ．方程x 3
-3x =k 有3个不等的实根, 则常数k 的取值范围是______.
【答案】(-2,2)
7 ．f(x)=x3
-3x+a有三个不同的零点, 则实数a 的取值范围是_____________.
【答案】(-2,2) 8．已知函数y =x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点, 则c =__________ 【答案】-2或2 三、解答题
9．设函数f (x ) =ax -ln x , g (x ) =e x
-ax , 其中a 为正实数.
(l)若x=0是函数g (x ) 的极值点, 讨论函数f (x ) 的单调性;
(2)若f (x ) 在(1,+∞) 上无最小值, 且g (x ) 在(1,+∞) 上是单调增函数, 求a 的取值范 围; 并由此判断曲线g (x ) 与曲线y =
12
ax 2
-ax 在(1,+∞) 交点个数. 【答案】解:(1) 由g '
(0)=1-a =0得a =1
f (x ) 的定义域为:(0,+∞)
f ' (x ) =1-
1
x
函数f (x ) 的增区间为(1,+∞) , 减区间为(0,1) (2)由f ' (x ) =a -1ax -1
x =x
若0
∵g (x ) 在(1, +∞) 上是单调增函数∴g'(x ) =e x
-a ≥0在(1, +∞) 上恒成立-------
综上所述a 的取值范围为[1,e ] --------
此时g (x ) =12ax 2
-ax 即a =2e x 2e x 2e x (x -2) x 2, 令h (x ) =x 2⇒h '(x ) =x
3
, 则 h(x)在(0,2) 单减, 在(2,+∞) 单增,
极小值为h(2)=e 2
2
>e . 故两曲线没有公共点 10．设函数f (x )=x -1
x
a ln x (a ∈R)
(1)讨论f (x ) 的单调性;
a ≤e ∴
(2)若f (x ) 有两个极值点x 1和x 2, 记过点A (x 1, f (x 1)), B (x 2, f (x 2)) 的直线的斜率为k . 问:是否存在a , 使得k =2-a ? 若存在, 求出a 的值; 若不存在, 请说明理由. 【答案】解(1)f (x ) 的定义域为(0,+∞). 1a x －ax ＋1
f ′(x )=1+22
2
x x x
令g (x )=x -ax +1,其判别式Δ=a -4.
①当|a |≤2时, Δ≤0,f ′(x )≥0.故f (x ) 在(0,+∞)上单调递增
②当a 0,g (x )=0的两根都小于0. 在(0,+∞)上, f ′(x )>0.故f (x ) 在(0,+∞)上单调递增 ③当a >2时, Δ>0,g (x )=0的两根为x 1=
22
a －a 2－4
2
x 2a ＋a 2－4
2
当00,当x 1
当x >x 2时, f ′(x )>0.故f (x ) 分别在(0,x 1),(x 2,+∞) 上单调递增, 在(x 1, x 2) 上单调递减 (2)由(1)知, a >2. 因为
f (x 1)-f (x 2) =(x 1-x 2)+
x 1－x 2f x 1 －f x 2 1
-a (ln x 1-ln x 2), 所以, k ==1+x 1x 2x 1－x 2x 1x 2
ln x 1－ln x 2
-a ·分
x 1－x 2ln x 1－ln x 2
又由(1)知, x 1x 2=1,于是k =2-a ·.
x 1－x 2
ln x 1－ln x 2
若存在a , 使得k =2-a , 则
x 1－x 2即ln x 1-ln x 2=x 1-x 2.
1
由x 1x 2=1得x 2--2ln x 2=0(x 2>1).(*)
x 2
111
再由(1)知, 函数h (t )=t -t 在(0,+∞)上单调递增, 而x 2>1,所以x 2--2ln x 2>1--2 ln 1=0.这
t x 21与(*)式矛盾.
故不存在a , 使得k =2-a
32
11．已知函数f (x )=x -3ax +3x +1.
(1)设a =2,求f (x ) 的单调区间;
(2)设f (x ) 在区间(2,3)中至少有一个极值点, 求a 的取值范围.
32
【答案】解 (1)当a =2时, f (x )=x -6x +3x +1,
f ′(x )=3x 2-12x +3=3(x -2+3)(x -2-3).
当x ∈(-∞,2-3) 时, f ′(x )>0,f (x ) 在(-∞,2-3) 上单调递增; 当x ∈(23) 时, f ′(x )0,f (x ) 在(2+3,+∞)上单调递增 综上, f (x ) 的单调增区间是(-∞,2-3) 和3,+∞), f (x ) 的单调减区间是(2-3,2+3).---------------
222
(2)f ′(x )=3x -6ax +3=3[(x -a ) +1-a ].
2
当1-a ≥0时, f ′(x )≥0,f (x ) 为增函数, 故f (x ) 无极值点;
2当1-a
由题意, 知2
2
或2
5555
①无解,②的解为
4343注:用一元二次方程根的分布同样的分 12．）设f (x ) =ln(1+x ) -x -ax 2.
(1)当x =1时，f (x ) 取到极值, 求a 的值;
(2)当a 满足什么条件时, f (x ) 在区间[-, -]上有单调递增的区间. 【答案】解:(1)由题意知f (x ) 的定义域为(-1, +∞)
2
1
213
-2ax 2-(2a +1) x
且f '(x ) =, 由f '(1)=0
1+x
当a =-时
1
得:a =-
4
14
f (x ) 在(0,1)单调递减，在(1,+∞) 单调递增
∴f (1)是函数的极小值
1
∴a =-
4
11
(2)要使f (x ) 在区间[-, -]上有单调递增区间
2311
即f '(x ) >0在[-, -]上有解⇔2ax +(2a +1) >0
23
(i)当a =0是，不等式恒成立
32a +12a +11
此时只要--
42a 2a 3
2a +12a +11
>- (iii)当a
2a 2a 2
(ii)当a >0时，x >-
解得:a >-1, 综上得:a ∈(-1, +∞)
13．已知函数f (x )=a ln x -bx 图象上一点P 2, f (2)处的切线方程为y =-3x +2ln 2+2.
2
()
(I)求a,b 的值;
(II)若方程f (x )+m =0在⎢, e ⎥内有两个不等实根, 求m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); e (III)令g (x )=f (x )-kx ，若g (x )的图象与x 轴交于A (x 1,0), B (x 2,0)
⎡1⎤⎣⎦
(其中x 1
【答案】
14．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知
f (x ) =a ln(x -1) , g (x ) =x 2+bx , F (x ) =f (x +1) -g (x ) , 其中a , b ∈R .
(I)若y =f (x ) 与y =g (x ) 的图像在交点(2,k ) 处的切线互相垂直, 求a , b 的值;
(II)若x =2是函数F (x ) 的一个极值点, x 0和1是F (x ) 的两个零点, 且x 0∈(n , n +1) n ∈N , 求n ; (III)当b =a -2时, 若x 1, x 2是F (x ) 的两个极值点, 当|x 1-x 2|>1时, 求证:|F (x 1) -F (x ) |>3-4ln 2. 【答案】(I)f '(x )=
a
, g '(x ) =2x +b x -1
由题知⎨
⎧f (2) =g (2) ⎧0=4+2b
, 即⎨
''f (2) ⋅g (2) =-1a (4+b ) =-1⎩⎩
1⎧a =-⎪解得⎨2
⎪⎩b =-2
2
(II)F (x ) =f (x +1) -g (x ) =a ln x -(x +bx ) , F '(x ) =
a
-2x -b x
⎧a
⎧F '(2) =0⎪-4-b =0由题知⎨, 即⎨2 解得a =6,b =-1
⎩F (1) =0⎪⎩1+b =0
∴F (x ) =6ln x -(x -x ), F '(x ) =
2
6-(2x +3)(x -2)
-2x +1= x x
∵x >0,由F '(x ) >0,解得02 ∴F (x ) 在(0,2)上单调递增, 在(2,+∞)单调递减, 故F (x ) 至多有两个零点, 其中x 1∈(0,2),x 2∈(2, +∞) 又F (2) >F (1) =0,F (3) =6(ln 3-1)>0,F (4) =6(ln 4-2)
(III)当b =a -2时, F (x ) =a ln x -[x +(a -2) x ],
2
F '(x )=
a -(2x +a )(x -1)
-2x -(a -2) =, x x
a
,1, 2
由题知F '(x ) =0在(0,+∞)上有两个不同根x 1, x 2, 则a
a a 22
由题知|--1|>1,则+a +1>1,a +4a >0
24
又∵a
a
>1 2
则F (x ) 与F '(x ) 随x 的变化情况如下表:
∴|F (x 1) -F (x ) |=F (x ) 极大值-F (x ) 极小值=F(-=a ln(―
)―F(1) 2
a 12
)+a ―1, 24
a 12a 1
设ϕ(a ) =a ln(-) +a -1, 则ϕ'(a ) =ln(-) +a +1
2422111111
, ϕ''(a ) =+,∵a ―,∴ϕ''(a ) =+>0,
a 2a 2a 4
∴ϕ'(a ) 在(―∞,―4)上是增函数, ϕ'(a ) ϕ(-4) =3-4ln 2 所以|F (x 1) -F (x ) |>3-4ln 2.
(Ⅱ)若f (x ) 在定义域内无极值, 求实数a 的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)已知a =4,∴f (x ) =4ln x -x +
3
,(x >0) x
43-x 2+4x -3
f '(x ) =-1-2=
x x x 2
令f '(x ) =0, 解得x =1或x =3. -------------------------------- 当03时, f '(x )
当10 --------------
f (1)=2, f (3)=4ln 3-2
∴f (x ) 取得极小值2, 极大值4ln 3-2 (Ⅱ)f (x ) =a ln x -x +
a -1
,(x >0) x
a a -1-x 2+ax -(a -1)
f '(x )=-1-2=2
x x x
f (x ) 在定义域内无极值, 即f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0在定义域上恒成立.
即方程f '(x ) =0在(0,+∞) 上无变号零点. ------------------------------ 设g (x ) =-x 2+ax -(a -1) , 根据图象可得
⎧∆≥0⎪a ⎪
∆≤0或⎨≤0, 解得a =2
⎪2⎪⎩g (0)≤0
∴实数a 的取值范围为a =2
16．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）已知函数
f (x )=x 2-a ln x , g (
x )=x -(I)若a =1, 求函数f (x )的极值;
(II)若函数f (x )在(1,2)上是增函数, g (x )在(0,1)上是减函数, 求f (x ), g (x )的表达式; (III)对于(II)中的f (x ), g (x ), 判断当x >0时方程f (x )=g (x )+2的解的个数, 并说明理由. 【答案】
17．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设函数
f (x ) =(1+x ) 2-21n (1+x ) .
(1)求f (x ) 的单调区间;
(2)试讨论关于x 的方程:f (x ) =x +x +a 在区间[0,2]上的根的个数. 【答案】
2
18．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设函数
f (x ) =x sin x +cos x (-3π
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数y =f (x ) 在区间(-3π, 3π) 上的极值之和. 【答案】
19．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数f (x ) =e -
(Ⅰ)若函数f (x ) 的图象在x =0处的切线方程为y =2x +b , 求a , b 的值; (Ⅱ)若函数在R 上是增函数, 求实数a 的取值范围;
(Ⅲ)如果函数g (x ) =f (x ) -(a -) x 有两个不同的极值点x 1, x 2, 证明
:a >【答案】解:(Ⅰ)∵f '(x ) =e -x -a , ∴ f '(0)=1-a .
于是由题知1-a =2, 解得a =-1 ∴ f (x ) =e -∴ f (0)=1,
11
x
x
12
x -ax (a ∈R) . 2
12
2
x
12
x +x . 2
于是1=2⨯0+b , 解得b =1
(Ⅱ)由题意f '(x ) >0即e x
-x -a ≥0恒成立, ∴ a ≤e x
-x 恒成立
设h (x ) =e x -x , 则h '(x ) =e x -1. 当x 变化时, h '(x ) . h (x ) 的变化情况如下表:
∴ h (x ) min =h ,
∴
a ≤1 (Ⅲ)由已知g (x ) =e x
-
1x 2-ax -ax 2+1
x 222
=e x -ax 2-ax , ∴ g '(x ) =e x -2ax -a .
∵ ,x 1x 2是函数g (x ) 的两个不同极值点(不妨设x 1
-2ax -a =0(*) 有两个不同的实数根 ,x 1x 2 当x =-
1
2时, 方程(*) 不成立 则a =e x 2x +1, 令p (x ) =e x e x (2x -1)
2x +1, 则p '(x ) =(2x +1)
2
由p '(x ) =0得:x =1
2
当x 变化时, p (x ) , p '(x ) 变化情况如下表:
1111x (-∞, -2) (-
2, 2)
2
(1
2
, +∞)
p (x )
-
-
+
p '(x )
单调递单调极单调递
减
递减
小值
增
∴当x ∈(-∞, -12
) 时, 方程(*) 至多有一解, 不合题意;
当x ∈(-
12, +∞) 时, 方程(*) 若有两个解, 则a >p (12) = 所以, a >
20．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）f (x )=a x +x 2-x ln a ，其中a >1.
(I)求函数f (x )的单调区间;
(II)若方程f (x )-m =0在区间[-1,1]上有两个不相等实数根, 求实数m 的取值范围.
知函数
12
已
【答案】
21．（山东省桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设函数f (x ) =(x -1) +b ln x ,
其中b 为常数. (1)当b >
2
1
时, 判断函数f (x ) 在定义域上的单调性; 2
(2)若函数f (x ) 的有极值点, 求b 的取值范围及f (x ) 的极值点
1212(x -) +b -
b 2x 2-2x +b (x >0) 【答案】解f ' (x ) =2x -2+==x x x
1
∴当b >时, f '(x ) >0, 函数f (x ) 在定义域(0, +∞) 上单调递增.
2
1
(2)①由(Ⅰ)得, 当b >时, 函数f (x ) 无极值点.
2
(2x -1) 211
=0有两个相同的解x =, ②b =时, f ' (x ) =
2x 22
11
但当x ∈(0, ) 时，f ' (x ) >0; 当x ∈(, +∞) 时, f ' (x ) >0时,
22
13
∴b =
1
+∞) 上无极值点. 时, 函数f (x ) 在(-1，
2
1-2b 1-2b 1
, x 2=+时, f '(x ) =0有两个不同解, x 1=-
22222
③当b
∴i ) b ≤0时, x 1=
1-2b 1-2b
-≤0∉(0, +∞) ，舍去, 而x 2=+≥1∈(0, +∞) , 2222
此时 f '(x ) , f (x ) 随x 在定义域上的变化情况如下表:
由此表可知: b ≤0时, f (x ) 有惟一极小值点, x 2=ii) 当0
1-2b
+, 22
1
时,0
1-2b 1-2b 1
时, f (x ) 有一个极大值x 1=-和一个极小值点x 2=+;
22222
综上所述:当且仅当b
1
时f (x ) 有极值点; 2
1-2b +; 22
当b ≤0时, f (x ) 有惟一极小值点, x =
当0
1-2b 1-2b 1
时, f (x ) 有一个极大值点x =-和一个极小值点x =+
22222
14