2016年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）-A ．
1
的相反数是（ ） 6
11 B ．-6 C ．6 D ．- 66
⎧x +5>02．（2016·山西）不等式组⎨的解集是（ ）
2x
A ．x >5 B ．x
3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）
A ．调查某班学生每周课前预习的时间 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况 C ．调查全国中小学生课外阅读情况 D ．调查某篮球队员的身高
4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ） A ．5. 5⨯106 B ．5. 5⨯107 C ．55⨯106 D ．0. 55⨯108 6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）
91⎛3⎫3
（3a 2）=9a 6 C ．5-3÷5-5=A ． -⎪=- B ． D ．-=-2
2425⎝⎭
2
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg
所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ ）
[**************]0A ． B ． ==
x -600x x x +600C ．
[**************]0
D ． ==
x +600x x x -600
8．（2016·山西）将抛物线y =x 2-4x -4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A ．y =(x +1) 2-13 B ．y =(x -5) 2-3 C ．y =(x -5) 2-13 D ．y =(x +1)2-3 9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 O 的直径， O 与 DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，∠C =60︒，则FE
的长为（ ） A ．
π
3
B ．
π
2
C ．π D ．2π
5-1
（约为0．618）的矩形叫2
10．（2016·山西）宽与长的比是
做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．
12．（2016·山西）已知点（m -1，y 1），（m -3，y 2）是反比例函数y =
m
(m
（填“>”或“=”或“
13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） ⎛1⎫
（1）计算：(-3) 2- ⎪-⨯2+(-2)0
⎝5⎭
2x 2-2x x
- （2）先化简，在求值：2，其中x =-2． x +1x -1
-1
2x -32）=x 2-9 17．（2016·山西）（本题7分）解方程：（
18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）． （1）补全条形统计图和 扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?
（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最 感兴趣的学生的概率是
19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al -Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是 O 的两条弦（即折线ABC 是圆
ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是的一条折弦），BC >AB ，M 是
折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．
下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．
证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ． ABC 的中点， ∵M 是
∴MA =MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于 O ，AB =2，D 为 O 上 一点, ∠ABD =45︒，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 的长是．
20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg ~5000kg （含2000kg 和5000kg ）的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A ：每千克5．8元，由基地免费送货． 方案B ：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A ，方案B 购买这种苹果的应付款y （元）与购买量x （kg ）之间的函数表达式；
（2）求购买量x 在什么范围时，选用方案A 比方案B 付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为30︒，BE =CA =50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE
⊥AB
于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的
垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）
22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （∠BAD >90︒）沿对角线AC 剪开，得到∆ABC 和∆ACD ． 操作发现
（1）将图1中的∆ACD 以A 为旋转中心， 逆时针方向旋转角α，使 α=∠BAC ， 得到如图2所示的∆A C 'D ，分别延长BC 和D C '交于点E ，则四边形ACE C '的 状是2分） （2）创新小组将图1中的∆ACD 以A 为
旋转中心，按逆时针方向旋转角 α，使α=2∠BAC ，得到如图3所
示的∆A C 'D ，连接DB ，C 'C ，得到四边形BC C 'D ，发现它是矩形．请你证明这个论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，
AC =10cm ，然后提出一个问题：将∆A C 'D 沿着射线DB 方向平移acm ，得到∆A 'C ''D '，连接B D '，C C ''，使四边形BC C ''D '恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题； （4）请你参照以上操作，将图1中的∆ACD 在同一平面内进行一次平移，
得到∆A 'C 'D '，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2） 试探究抛物线上是否存在点F ，使∆F O E ≌∆FCE ，若存在，
请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），
直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，∆OPQ
是等腰三角形．
2016年山西省中考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）-A ．
1
的相反数是（ A ） 6
11 B ．-6 C ．6 D ．- 66
考点：相反数
解析：利用相反数和为0计算 解答：因为a +（-a ）=0
11
∴-的相反数是
66
⎧x +5>0
2．（2016·山西）不等式组⎨的解集是（ C ）
2x
A ．x >5 B ．x
考点： 解一元一次不等式组
分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． ⎧x +5>0①
解答： 解⎨
2x
由①得x >-5
由②得x
所以不等式组的解集是-5
3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ C ）
A ．调查某班学生每周课前预习的时间 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况 C ．调查全国中小学生课外阅读情况 D ．调查某篮球队员的身高 考点：全面调查与抽样调查．
分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选 择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
解答：A ．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查；
C ．调查全国中小学生课外阅读情况 ，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D ．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；
4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ A ）
考点：三视图
分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定． 解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形 故选A ．
5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ） A ．5. 5⨯106 B ．5. 5⨯107 C ．55⨯106 D ．0. 55⨯108
考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解答：将55 000 000用科学记数法表示为：5. 5⨯107．
6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ D ）
91⎛3⎫3
（3a 2）=9a 6 C ．5-3÷5-5=A ． -⎪=- B ． D ．-50=-2
425⎝2⎭
2
考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，
分析：根据实数的运算可判断A ． 根据幂的乘方可判断B ．
根据同底数幂的除法可判断C ． 根据实数的运算可判断D 9⎛3⎫
解答：A ． -⎪=，故A 错误
4⎝2⎭
3
（3a 2）=27a 6，故B 错误 B ．
2
C ．5-3÷5-5=
11152
÷=⨯5=5=25，故C 错误． 353555
D ．-=22-52=-32，故选D ．
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ B ）
[**************]0A ． B ． ==
x -600x x x +600C ．
[**************]0
D ． ==
x +600x x x -600
考点：分式方程的应用
分析：设甲每小时搬运xkg 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：
5000
， x
8000
x +600
根据题意乙每小时搬运的货物为x +600，乙搬运8000kg 所用的时间为
再根据甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等列方程 解答：甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，所以 故选B ．
8．（2016·山西）将抛物线y =x 2-4x -4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）
A ．y =(x +1) 2-13 B ．y =(x -5) 2-3 C ．y =(x -5) 2-13 D ．y =(x +1)2-3 考点：抛物线的平移
分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移
解答：将抛物线化为顶点式为：y =(x -2) 2-8，左平移3个单位，再向上平移5个单位 得到抛物线的表达式为y =(x +1)2-3 故选D ．
9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 O 的直径， O 与 DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，∠C =60︒，则FE
50008000
=
x x +600
的长为（ C ） A ．
π
3
B ．
π
2
C ．π D ．2π
考点：切线的性质，求弧长
分析：如图连接OF ，OE
由切线可知∠4=90︒，故由平行可知∠3=90︒
由OF =OA ，且∠C =60︒，所以∠1=∠C =60︒所以△OFA 为等 边三角形∴∠2=60︒，
所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出
从而可以得出FE
解答：∠EOF =180︒-∠2-∠3=180︒-60︒-90︒=30︒ r =12÷2=6
=n πr =30⋅π⋅6=π ∴FE
180180 故选C
10．（2016·山西）宽与长的比是
5-1
（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰2
富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ） A ．矩形ABFE B ．矩形
EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH
考点：黄金分割的识别
分析：由作图方法可知DF =CF ，所以CG =(-1) CF ，且GH =CD =2CF 从而得出黄金矩形
解答：CG =(-1) CF ，GH =2CF ∴
CG (-1) CF -1
== GH 2CF 2
∴矩形DCGH 是黄金矩形
选D ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 （3，0） ．
考点：坐标的确定
分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正 好在网格点上）的坐标
解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标
（3，0）
12．（2016·山西）已知点（m -1，y 1），（m -3，y 2）是反比例函数y =则y 1y 2（填“>”或“=”或“
考点：反比函数的增减性
分析：由反比函数m m -3，从而比较y 的大小
m
解答：在反比函数y =中，m
x 且m -1>m -3，所以y 1 > y 2
13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有（4n +1）个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．
m
(m
考点：找规律
分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n -1）=4n +1个 解答：（4n +1）
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动
4
两次，当指针指向的数都是奇数的概率为
9考点：树状图或列表求概率 分析：列表如图：
解答：由
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
表可知指针
指向的数都是奇数的概率为
4 9
15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于
5点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 3-25-2+1
）
考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股定理求出DA ，
由平行得出∠1=∠2，由角平分得出∠2=∠3 从而得出∠1=∠3，所以HE =HA ． 再利用△DGH ∽△DCA 即可求出HE ， 从而求出HG
解答：如图（1）由勾股定理可得 DA =AC 2+CD 2=22+42=25
由 AE 是∠DAB 的平分线可知∠1=∠2
由CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，EH ⊥DC 可知四边形GEBC 为矩 形，∴HE ∥AB ，∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 故EH =HA 设EH =HA =x
则GH =x -2，DH =2-x ∵HE ∥AC ∴△DGH ∽△DCA ∴
2-x x -2DH HG
=即 =
2DA AC 2 解得x =5- 故HG =EH -EG =5-5-2=3-
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） ⎛1⎫0
（1）计算：(-3) - ⎪-⨯2+(-2)
⎝5⎭
2
-1
考点：实数的运算，负指数幂，零次幂
分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果．
解答：原=9-5-4+1 „„„„„„„„„„„（4分） =1． „„„„„„„„„„„（5分） 2x 2-2x x
-（2）先化简，在求值：2，其中x =-2． x +1x -1
考点：分式的化简求值
分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算
解答：原式= = =
2x (x -1) x
„„„„„„„„„„„（2分） -
(x -1)(x +1) x +1
2x x
„„„„„„„„„„„（3分） -
x +1x +1
x
„„„„„„„„„„„（4分） x +1
x -2==2 „„„„„„„„（5分） x +1-2+1
当x =-2时，原式=
2
2x -3）=x 2-9 17．（2016·山西）（本题7分）解方程：（
考点：解一元二次方程
分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x -3，利用公式法求解 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解 解答：解法一：
2
原方程可化为（2x -3）=(x +3)(x -3) „„„„„„„„„„„（1分）
2(x -3) 2-(x +3)(x -3) =0． „„„„„„„„„„„（2分） (x -3)[2(x -3) -(x +3)]=0． „„„„„„„„„„„（3分） (x -3)(x -9) =0． „„„„„„„„„„„（4分） ∴ x -3=0或x -9=0． „„„„„„„„„„„（5分） ∴ x 1=3，x 2=9． „„„„„„„„„„„（7分） 解法二： 原方程可化为
x 2-12x +27=0 „„„„„„„„„„„（3分）
这里a =1，b =-12，c =27． ∵b 2-4ac =(-12) 2-4⨯1⨯27=36>0 ∴x =
12±12±6
=． „„„„„„„„„„„（5分） 2⨯12
因此原方程的根为 x 1=3，x 2=9． „„„„„„„„„„„（7分）
18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）． （1）补全条形统计图和 扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人? （3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率
分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可
（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800乘以 30%
（3）由扇形统计图可知
解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示
（2）1800×30%=540（人）
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人
（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”
最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或
13
）
19．（
2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al -Biruni （973年~1050年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Biruni 译本出版了俄文
版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是 O 的两条弦（即折线ABC 是圆
ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是的一条折弦），BC >AB ，M 是
折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．
下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．
证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．
ABC 的中点， ∵M 是
∴MA =MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于 O ，AB =2，D 为 O 上一点， ∠ABD =45︒，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 考点：圆的证明
分析：（1）已截取CG =AB ∴只需证明BD =DG 且MD ⊥BC ，所以需证明MB =MG 故证明△MBA ≌△MGC 即可 （2）AB =2，利用三角函数可得BE =2
由阿基米德折弦定理可得BE =DE +DC
则△BDC 周长=BC +CD +BD =BC +DC +DE +BE =BC +（DC +DE ）+BE
=BC +BE +BE =BC +2BE 然后代入计算可得答案 解答：（1）证明：又∵∠A =∠C ， „„„„„„„（1分） ∴ △MBA ≌△MGC ． „„„„„„„（2分） ∴MB =MG ． „„„„„„„（3分） 又∵MD ⊥BC ，∵BD =GD ． „„„„„„„（4分） ∴CD =CG +GD =AB +BD ． „„„„„„„（5分） （2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于 O ，AB =2，
D 为 O 上 一点， ∠ABD =45︒，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC
20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货
且购买量在2000kg ~5000kg （含2000kg 和5000kg ）的客户有两种 销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A ：每千克5．8元，由基地免费送货． 方案B ：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A ，方案B 购买这种苹果的应付款y （元）与购买量x （kg ）之间的函数表达式；
（2）求购买量x 在什么范围时，选用方案A 比方案B 付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
考点： 一次函数的应用
分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可
（2）先求出方案A 应付款y 与购买量x 的函数关系为y =5. 8x
方案B 应付款y 与购买量x 的函数关系为y =5x +2000 然后分段求出哪种方案付款少即可
（3）令y =20000，分别代入A 方案和B 方案的函数关系式中，求出x ，比大小． 解答：（1）方案A ：函数表达式为y =5. 8x ． „„„„„„„„„（1分）
方案B ：函数表达式为y =5x +2000 „„„„„„„„„（2分） （2）由题意，得5. 8x
解不等式，得x
比方案B 付款少． „„„„„„„„„（5分） （3）他应选择方案B ． „„„„„„„„„（7分）
21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为30︒，BE =CA =50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE ⊥AB 于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，
点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）
考点
：三角函数的应用
分析
：过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从
而求出GD ，继而求出CD ．
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出 CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF 解答：过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ．„„„„（1分）
则∠CAG =30︒，在Rt ∆ACG 中，
1
CG =AC ⋅sin 30︒=50⨯=25．„„„„（2分）
2
由题意，得GD =50-30=20．„„„„（3分） ∴CD =CG +GD =25+20=45（cm ）．„（4分）
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．„（5分） 由题意，得∠H =30︒．在Rt ∆CDH 中，
CD
CH ==2CD =90．„„„„„„„„（6分）
sin 30︒
∴EH =EC +CH =AB -BE -AC +CH =300-50-50+90=290．„„„（7分） 在Rt ∆EFH 中，EF =EH ⋅tan 30︒=290⨯答：支撑角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为
3=（cm ）．„„„„„（9分） 33
cm ．„„„„„„„„（10分） 3
22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （∠BAD >90︒）沿对角线AC 剪开，得到∆ABC 和∆ACD ． 操作发现
（1）将图1中的∆ACD 以A 为旋转中心， 逆时针方向旋转角α，使 α=∠BAC ， 得到如图2所示的∆A C 'D ，分别延长BC 和D C '交于点E ，则四边形ACE C '的 状是；„„„„„（2分） （2）创新小组将图1中的∆ACD 以A 为
旋转中心，按逆时针方向旋转角 α，使α=2∠BAC ，得到如图3所
示的∆A C 'D ，连接DB ，C 'C ，得到四边形BC C 'D ，发现它是矩形．请你证明这个论；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问
题：将∆A C 'D 沿着射线DB 方向平移acm ，得到∆A 'C ''D '，连接B D '，C C ''，使四边形BC C ''D '恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的∆ACD 在同一平面内进行一次平移，得到∆A 'C 'D '，在图4中
画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定， 矩形的判定正方形的判定
分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明 （2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明
（3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情 况当点C ''在边C 'C 上和点C ''在边C 'C 的延长线上时． （4）开放型题目，答对即可
解答：（1）菱形
（2）证明：作AE ⊥C C '于点E ．„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）
1
由旋转得A C '=AC ，∴∠CAE =∠C 'AE =α=∠BAC ．
2
四边形ABCD 是菱形，∴BA =BC ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠CAE =∠BCA ，
∴AE //BC ，同理AE //D C '，∴BC //D C '，又 BC =D C '，∴ 四边形BC C 'D 是平
行四边形，„„„„„„„（4分）
又 AE //BC ，∠CEA =90︒，∴∠BC C '=180-∠CEA =90︒，
∴四边形BC C 'D 是矩形„„„„„„„„„„„„„„„„（5分） （3）过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ， BA =BC ，
11
∴CF =AF =AC =⨯10=5．
22 在Rt ∆BCF 中，BF =BC 2-CF 2=2-52=12，
在∆ACE 和∆CBF 中， ∠CAE =∠BCF ， ∠CEA =∠BFC =90︒．
CE 10120CB AC
∴∆ACE ∽∆CBF ，∴，即，解得CE =， ==
121313BF BC AC =A C '，AE ⊥C C '，∴C C '=2CE =2⨯
120240
．„„„„„„„（7分） =
1313
当四边形BC C ''D '恰好为正方形时，分两种情况：
24071
①点C ''在边C 'C 上．a =C 'C -13=．„„„„„„„（8分） -13=
1313 ②点C ''在边C 'C 的延长线上，a =C 'C +13= 综上所述，a 的值为
240409
．„„„„„（9分） +13=
1313
71409
或． 1313
（4）：答案不唯一．
例：画出正确图形．„„„„„„„„„„„„„„（10分）
平移及构图方法：将∆ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为1
AC 的长度，得到∆A 'C 'D ， 2
连接A 'B , DC ．„„„„„„„„„（11分） 结论：四边形是平行四边形„„（12分） 23．（2016·山西）（本题14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F ，使∆FOE ≌∆FCE ，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，∆
OPQ 是等
腰三角形．
考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构 成
分析：（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐标 点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达式，令 其横坐标为x =3，即可求出点E 的坐标
（2）利用全等对应边相等，可知FO =FC ，所以点F 肯定在OC 的垂直平分线上，所 以点F 的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标
（3）根据点P 在y 轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解
解答：（1） 抛物线y =ax 2+bx -8经过点A （－2，0），D （6，－8）， 1⎧⎧4a -2b -8=0⎪a =
∴⎨解得⎨2„„„„„„„„„„„„„（1分） 36a +6b -8=-8⎩⎪⎩b =-3
∴抛物线的函数表达式为y =1x 2-3x -8„„„„„„„„„„„（2分）
2
y =
12125
，∴抛物线的对称轴为直线x =3．又 抛物线与x 轴交于A ，B x -3x -8=(x -3)2-
222
两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）„„„„„„„（4分）
4
k =-设直线l 的函数表达式为y =kx ． 点D （6，－8）在直线l 上，∴6k =－8，解得．
3
∴直线l 的函数表达式为y =-4x „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）
3
点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．∴点E 的横坐标为3，纵坐标为-
4
⨯3=-4，即点E 的坐3
标为（3，－4）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分） （2）抛物线上存在点F ，使∆FOE ≌∆FCE ．
点F 的坐标为（3-, -4）或（3+, -4）．„„„„„„„„„„„„„„（8分） （3）解法一：分两种情况：
①当OP =OQ 时，∆OPQ 是等腰三角形．
点E 的坐标为（3，－4），
∴OE =32+42=5，过点E 作直线ME //PB ，于点M ，交x 轴于点H ，则
OM OE
=
，OP OQ
交y 轴
∴OM =OE =5„„„„„„„„„„„„„„（9分）
∴点M 的坐标为（0，－5）．
11k =y =x -5，∴3k 1-5=-4，∴ME 的函数表达式为设直线ME 的表达式为y =k 1x -5，解得1，
331
令y =0，得x -5=0，解得x =15，∴点H 的坐标
3
为（15，0）„（10分）
-m 8OP OB
又 MH//PB，∴，即，==
515OM OH
8
m =-∴„„„„„„„„„„„（11分）
3
②当QO =QP 时，∆OPQ 是等腰三角形． 当x =0时，y =
12
x -3x -8=-8，∴点C 的坐标2
为（0，－8），
∴CE =32+(8-4) 2=5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，又因为QO =QP ，∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，∴CE//PB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）
设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y =k 2x -8，∴3k 2-8=-4，解得k 2
4
=，∴CE 的3
44
y =x -8函数表达式为，令y =0，得x -8=0，∴x =6，∴点N 的坐标为
33
（6，0）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（13分）
-m 832OP OB
，∴„„„„„„（14分） CN//PB，∴=，解得m =-=
863OC ON
832-综上所述，当m 的值为或-时，∆OPQ 是等腰三角形． 33
解法二：
当x =0时，y =
12
x -3x -8=-8 ，∴点C 的坐标为（0，－8），∴点E 的坐标为 2
（3，－4），∴OE =32+42=5，CE =32+(8-4) 2=5，
∴OE=CE，∴∠1=∠2，设抛物线的对称轴交直线PB
于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况： ① 当QO =QP 时，∆OPQ 是等腰三角形．
∠2=∠3∴，，
∴CE //PB „„„„„„„„„„„„„„„（9分）
又 HM //y轴，∴四边形PMEC 是平行四边形
，
∠1=∠3
∴
∴EM =CP =-8-m ，
∴HM =HE +EM =4+(-8-m ) =-4-m BH =8-3=5， HM//y轴，∴ ∆BHM ∽∆BOP ，∴HM BH „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分） =OP BO
32„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11分） -m 83
②当OP =OQ 时，∆OPQ 是等腰三角形． ∴m =-
EH //y 轴，∴∆O P Q ∽∆EMQ ，∴∴-4-m =5EQ EM =，OQ OP ∴EQ =EM „„„„„（12分）
∴EM =EQ =OE -OQ =OE -OP =5-(-m ) =5+m ，∴HM =4-(5+m ) ， EH //y 轴，∴∆BHM ∽∆BOP ，∴HM =BH „„„„„„„„„„„„„„„„„„OP BO
„（13分） ∴-1-m =5
-m 88∴m =-„„„„„„（14分） 3
8-∴当m 的值为或-32时，∆OPQ 是等腰三角形．
33
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2016年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）-A ．
1
的相反数是（ ） 6
11 B ．-6 C ．6 D ．- 66
⎧x +5>02．（2016·山西）不等式组⎨的解集是（ ）
2x
A ．x >5 B ．x
3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）
A ．调查某班学生每周课前预习的时间 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况 C ．调查全国中小学生课外阅读情况 D ．调查某篮球队员的身高
4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ） A ．5. 5⨯106 B ．5. 5⨯107 C ．55⨯106 D ．0. 55⨯108 6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）
91⎛3⎫3
（3a 2）=9a 6 C ．5-3÷5-5=A ． -⎪=- B ． D ．-=-2
2425⎝⎭
2
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg
所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ ）
[**************]0A ． B ． ==
x -600x x x +600C ．
[**************]0
D ． ==
x +600x x x -600
8．（2016·山西）将抛物线y =x 2-4x -4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A ．y =(x +1) 2-13 B ．y =(x -5) 2-3 C ．y =(x -5) 2-13 D ．y =(x +1)2-3 9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 O 的直径， O 与 DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，∠C =60︒，则FE
的长为（ ） A ．
π
3
B ．
π
2
C ．π D ．2π
5-1
（约为0．618）的矩形叫2
10．（2016·山西）宽与长的比是
做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．
12．（2016·山西）已知点（m -1，y 1），（m -3，y 2）是反比例函数y =
m
(m
（填“>”或“=”或“
13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） ⎛1⎫
（1）计算：(-3) 2- ⎪-⨯2+(-2)0
⎝5⎭
2x 2-2x x
- （2）先化简，在求值：2，其中x =-2． x +1x -1
-1
2x -32）=x 2-9 17．（2016·山西）（本题7分）解方程：（
18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）． （1）补全条形统计图和 扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?
（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最 感兴趣的学生的概率是
19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al -Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是 O 的两条弦（即折线ABC 是圆
ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是的一条折弦），BC >AB ，M 是
折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．
下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．
证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ． ABC 的中点， ∵M 是
∴MA =MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于 O ，AB =2，D 为 O 上 一点, ∠ABD =45︒，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 的长是．
20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg ~5000kg （含2000kg 和5000kg ）的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A ：每千克5．8元，由基地免费送货． 方案B ：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A ，方案B 购买这种苹果的应付款y （元）与购买量x （kg ）之间的函数表达式；
（2）求购买量x 在什么范围时，选用方案A 比方案B 付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为30︒，BE =CA =50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE
⊥AB
于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的
垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）
22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （∠BAD >90︒）沿对角线AC 剪开，得到∆ABC 和∆ACD ． 操作发现
（1）将图1中的∆ACD 以A 为旋转中心， 逆时针方向旋转角α，使 α=∠BAC ， 得到如图2所示的∆A C 'D ，分别延长BC 和D C '交于点E ，则四边形ACE C '的 状是2分） （2）创新小组将图1中的∆ACD 以A 为
旋转中心，按逆时针方向旋转角 α，使α=2∠BAC ，得到如图3所
示的∆A C 'D ，连接DB ，C 'C ，得到四边形BC C 'D ，发现它是矩形．请你证明这个论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，
AC =10cm ，然后提出一个问题：将∆A C 'D 沿着射线DB 方向平移acm ，得到∆A 'C ''D '，连接B D '，C C ''，使四边形BC C ''D '恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题； （4）请你参照以上操作，将图1中的∆ACD 在同一平面内进行一次平移，
得到∆A 'C 'D '，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2） 试探究抛物线上是否存在点F ，使∆F O E ≌∆FCE ，若存在，
请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），
直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，∆OPQ
是等腰三角形．
2016年山西省中考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）-A ．
1
的相反数是（ A ） 6
11 B ．-6 C ．6 D ．- 66
考点：相反数
解析：利用相反数和为0计算 解答：因为a +（-a ）=0
11
∴-的相反数是
66
⎧x +5>0
2．（2016·山西）不等式组⎨的解集是（ C ）
2x
A ．x >5 B ．x
考点： 解一元一次不等式组
分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． ⎧x +5>0①
解答： 解⎨
2x
由①得x >-5
由②得x
所以不等式组的解集是-5
3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ C ）
A ．调查某班学生每周课前预习的时间 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况 C ．调查全国中小学生课外阅读情况 D ．调查某篮球队员的身高 考点：全面调查与抽样调查．
分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选 择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
解答：A ．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查；
C ．调查全国中小学生课外阅读情况 ，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D ．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；
4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ A ）
考点：三视图
分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定． 解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形 故选A ．
5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ） A ．5. 5⨯106 B ．5. 5⨯107 C ．55⨯106 D ．0. 55⨯108
考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解答：将55 000 000用科学记数法表示为：5. 5⨯107．
6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ D ）
91⎛3⎫3
（3a 2）=9a 6 C ．5-3÷5-5=A ． -⎪=- B ． D ．-50=-2
425⎝2⎭
2
考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，
分析：根据实数的运算可判断A ． 根据幂的乘方可判断B ．
根据同底数幂的除法可判断C ． 根据实数的运算可判断D 9⎛3⎫
解答：A ． -⎪=，故A 错误
4⎝2⎭
3
（3a 2）=27a 6，故B 错误 B ．
2
C ．5-3÷5-5=
11152
÷=⨯5=5=25，故C 错误． 353555
D ．-=22-52=-32，故选D ．
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ B ）
[**************]0A ． B ． ==
x -600x x x +600C ．
[**************]0
D ． ==
x +600x x x -600
考点：分式方程的应用
分析：设甲每小时搬运xkg 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：
5000
， x
8000
x +600
根据题意乙每小时搬运的货物为x +600，乙搬运8000kg 所用的时间为
再根据甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等列方程 解答：甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，所以 故选B ．
8．（2016·山西）将抛物线y =x 2-4x -4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）
A ．y =(x +1) 2-13 B ．y =(x -5) 2-3 C ．y =(x -5) 2-13 D ．y =(x +1)2-3 考点：抛物线的平移
分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移
解答：将抛物线化为顶点式为：y =(x -2) 2-8，左平移3个单位，再向上平移5个单位 得到抛物线的表达式为y =(x +1)2-3 故选D ．
9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 O 的直径， O 与 DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，∠C =60︒，则FE
50008000
=
x x +600
的长为（ C ） A ．
π
3
B ．
π
2
C ．π D ．2π
考点：切线的性质，求弧长
分析：如图连接OF ，OE
由切线可知∠4=90︒，故由平行可知∠3=90︒
由OF =OA ，且∠C =60︒，所以∠1=∠C =60︒所以△OFA 为等 边三角形∴∠2=60︒，
所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出
从而可以得出FE
解答：∠EOF =180︒-∠2-∠3=180︒-60︒-90︒=30︒ r =12÷2=6
=n πr =30⋅π⋅6=π ∴FE
180180 故选C
10．（2016·山西）宽与长的比是
5-1
（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰2
富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ） A ．矩形ABFE B ．矩形
EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH
考点：黄金分割的识别
分析：由作图方法可知DF =CF ，所以CG =(-1) CF ，且GH =CD =2CF 从而得出黄金矩形
解答：CG =(-1) CF ，GH =2CF ∴
CG (-1) CF -1
== GH 2CF 2
∴矩形DCGH 是黄金矩形
选D ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 （3，0） ．
考点：坐标的确定
分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正 好在网格点上）的坐标
解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标
（3，0）
12．（2016·山西）已知点（m -1，y 1），（m -3，y 2）是反比例函数y =则y 1y 2（填“>”或“=”或“
考点：反比函数的增减性
分析：由反比函数m m -3，从而比较y 的大小
m
解答：在反比函数y =中，m
x 且m -1>m -3，所以y 1 > y 2
13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有（4n +1）个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．
m
(m
考点：找规律
分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n -1）=4n +1个 解答：（4n +1）
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动
4
两次，当指针指向的数都是奇数的概率为
9考点：树状图或列表求概率 分析：列表如图：
解答：由
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
表可知指针
指向的数都是奇数的概率为
4 9
15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于
5点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 3-25-2+1
）
考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股定理求出DA ，
由平行得出∠1=∠2，由角平分得出∠2=∠3 从而得出∠1=∠3，所以HE =HA ． 再利用△DGH ∽△DCA 即可求出HE ， 从而求出HG
解答：如图（1）由勾股定理可得 DA =AC 2+CD 2=22+42=25
由 AE 是∠DAB 的平分线可知∠1=∠2
由CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，EH ⊥DC 可知四边形GEBC 为矩 形，∴HE ∥AB ，∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 故EH =HA 设EH =HA =x
则GH =x -2，DH =2-x ∵HE ∥AC ∴△DGH ∽△DCA ∴
2-x x -2DH HG
=即 =
2DA AC 2 解得x =5- 故HG =EH -EG =5-5-2=3-
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） ⎛1⎫0
（1）计算：(-3) - ⎪-⨯2+(-2)
⎝5⎭
2
-1
考点：实数的运算，负指数幂，零次幂
分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果．
解答：原=9-5-4+1 „„„„„„„„„„„（4分） =1． „„„„„„„„„„„（5分） 2x 2-2x x
-（2）先化简，在求值：2，其中x =-2． x +1x -1
考点：分式的化简求值
分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算
解答：原式= = =
2x (x -1) x
„„„„„„„„„„„（2分） -
(x -1)(x +1) x +1
2x x
„„„„„„„„„„„（3分） -
x +1x +1
x
„„„„„„„„„„„（4分） x +1
x -2==2 „„„„„„„„（5分） x +1-2+1
当x =-2时，原式=
2
2x -3）=x 2-9 17．（2016·山西）（本题7分）解方程：（
考点：解一元二次方程
分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x -3，利用公式法求解 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解 解答：解法一：
2
原方程可化为（2x -3）=(x +3)(x -3) „„„„„„„„„„„（1分）
2(x -3) 2-(x +3)(x -3) =0． „„„„„„„„„„„（2分） (x -3)[2(x -3) -(x +3)]=0． „„„„„„„„„„„（3分） (x -3)(x -9) =0． „„„„„„„„„„„（4分） ∴ x -3=0或x -9=0． „„„„„„„„„„„（5分） ∴ x 1=3，x 2=9． „„„„„„„„„„„（7分） 解法二： 原方程可化为
x 2-12x +27=0 „„„„„„„„„„„（3分）
这里a =1，b =-12，c =27． ∵b 2-4ac =(-12) 2-4⨯1⨯27=36>0 ∴x =
12±12±6
=． „„„„„„„„„„„（5分） 2⨯12
因此原方程的根为 x 1=3，x 2=9． „„„„„„„„„„„（7分）
18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）． （1）补全条形统计图和 扇形统计图；
（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人? （3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率
分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可
（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800乘以 30%
（3）由扇形统计图可知
解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示
（2）1800×30%=540（人）
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人
（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”
最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或
13
）
19．（
2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al -Biruni （973年~1050年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Biruni 译本出版了俄文
版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是 O 的两条弦（即折线ABC 是圆
ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是的一条折弦），BC >AB ，M 是
折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．
下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．
证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．
ABC 的中点， ∵M 是
∴MA =MC
．．．
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于 O ，AB =2，D 为 O 上一点， ∠ABD =45︒，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 考点：圆的证明
分析：（1）已截取CG =AB ∴只需证明BD =DG 且MD ⊥BC ，所以需证明MB =MG 故证明△MBA ≌△MGC 即可 （2）AB =2，利用三角函数可得BE =2
由阿基米德折弦定理可得BE =DE +DC
则△BDC 周长=BC +CD +BD =BC +DC +DE +BE =BC +（DC +DE ）+BE
=BC +BE +BE =BC +2BE 然后代入计算可得答案 解答：（1）证明：又∵∠A =∠C ， „„„„„„„（1分） ∴ △MBA ≌△MGC ． „„„„„„„（2分） ∴MB =MG ． „„„„„„„（3分） 又∵MD ⊥BC ，∵BD =GD ． „„„„„„„（4分） ∴CD =CG +GD =AB +BD ． „„„„„„„（5分） （2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于 O ，AB =2，
D 为 O 上 一点， ∠ABD =45︒，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC
20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货
且购买量在2000kg ~5000kg （含2000kg 和5000kg ）的客户有两种 销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A ：每千克5．8元，由基地免费送货． 方案B ：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A ，方案B 购买这种苹果的应付款y （元）与购买量x （kg ）之间的函数表达式；
（2）求购买量x 在什么范围时，选用方案A 比方案B 付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
考点： 一次函数的应用
分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可
（2）先求出方案A 应付款y 与购买量x 的函数关系为y =5. 8x
方案B 应付款y 与购买量x 的函数关系为y =5x +2000 然后分段求出哪种方案付款少即可
（3）令y =20000，分别代入A 方案和B 方案的函数关系式中，求出x ，比大小． 解答：（1）方案A ：函数表达式为y =5. 8x ． „„„„„„„„„（1分）
方案B ：函数表达式为y =5x +2000 „„„„„„„„„（2分） （2）由题意，得5. 8x
解不等式，得x
比方案B 付款少． „„„„„„„„„（5分） （3）他应选择方案B ． „„„„„„„„„（7分）
21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为30︒，BE =CA =50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE ⊥AB 于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，
点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）
考点
：三角函数的应用
分析
：过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从
而求出GD ，继而求出CD ．
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出 CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF 解答：过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ．„„„„（1分）
则∠CAG =30︒，在Rt ∆ACG 中，
1
CG =AC ⋅sin 30︒=50⨯=25．„„„„（2分）
2
由题意，得GD =50-30=20．„„„„（3分） ∴CD =CG +GD =25+20=45（cm ）．„（4分）
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．„（5分） 由题意，得∠H =30︒．在Rt ∆CDH 中，
CD
CH ==2CD =90．„„„„„„„„（6分）
sin 30︒
∴EH =EC +CH =AB -BE -AC +CH =300-50-50+90=290．„„„（7分） 在Rt ∆EFH 中，EF =EH ⋅tan 30︒=290⨯答：支撑角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为
3=（cm ）．„„„„„（9分） 33
cm ．„„„„„„„„（10分） 3
22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （∠BAD >90︒）沿对角线AC 剪开，得到∆ABC 和∆ACD ． 操作发现
（1）将图1中的∆ACD 以A 为旋转中心， 逆时针方向旋转角α，使 α=∠BAC ， 得到如图2所示的∆A C 'D ，分别延长BC 和D C '交于点E ，则四边形ACE C '的 状是；„„„„„（2分） （2）创新小组将图1中的∆ACD 以A 为
旋转中心，按逆时针方向旋转角 α，使α=2∠BAC ，得到如图3所
示的∆A C 'D ，连接DB ，C 'C ，得到四边形BC C 'D ，发现它是矩形．请你证明这个论；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问
题：将∆A C 'D 沿着射线DB 方向平移acm ，得到∆A 'C ''D '，连接B D '，C C ''，使四边形BC C ''D '恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的∆ACD 在同一平面内进行一次平移，得到∆A 'C 'D '，在图4中
画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定， 矩形的判定正方形的判定
分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明 （2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明
（3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情 况当点C ''在边C 'C 上和点C ''在边C 'C 的延长线上时． （4）开放型题目，答对即可
解答：（1）菱形
（2）证明：作AE ⊥C C '于点E ．„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）
1
由旋转得A C '=AC ，∴∠CAE =∠C 'AE =α=∠BAC ．
2
四边形ABCD 是菱形，∴BA =BC ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠CAE =∠BCA ，
∴AE //BC ，同理AE //D C '，∴BC //D C '，又 BC =D C '，∴ 四边形BC C 'D 是平
行四边形，„„„„„„„（4分）
又 AE //BC ，∠CEA =90︒，∴∠BC C '=180-∠CEA =90︒，
∴四边形BC C 'D 是矩形„„„„„„„„„„„„„„„„（5分） （3）过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ， BA =BC ，
11
∴CF =AF =AC =⨯10=5．
22 在Rt ∆BCF 中，BF =BC 2-CF 2=2-52=12，
在∆ACE 和∆CBF 中， ∠CAE =∠BCF ， ∠CEA =∠BFC =90︒．
CE 10120CB AC
∴∆ACE ∽∆CBF ，∴，即，解得CE =， ==
121313BF BC AC =A C '，AE ⊥C C '，∴C C '=2CE =2⨯
120240
．„„„„„„„（7分） =
1313
当四边形BC C ''D '恰好为正方形时，分两种情况：
24071
①点C ''在边C 'C 上．a =C 'C -13=．„„„„„„„（8分） -13=
1313 ②点C ''在边C 'C 的延长线上，a =C 'C +13= 综上所述，a 的值为
240409
．„„„„„（9分） +13=
1313
71409
或． 1313
（4）：答案不唯一．
例：画出正确图形．„„„„„„„„„„„„„„（10分）
平移及构图方法：将∆ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为1
AC 的长度，得到∆A 'C 'D ， 2
连接A 'B , DC ．„„„„„„„„„（11分） 结论：四边形是平行四边形„„（12分） 23．（2016·山西）（本题14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F ，使∆FOE ≌∆FCE ，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，∆
OPQ 是等
腰三角形．
考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构 成
分析：（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐标 点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达式，令 其横坐标为x =3，即可求出点E 的坐标
（2）利用全等对应边相等，可知FO =FC ，所以点F 肯定在OC 的垂直平分线上，所 以点F 的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标
（3）根据点P 在y 轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解
解答：（1） 抛物线y =ax 2+bx -8经过点A （－2，0），D （6，－8）， 1⎧⎧4a -2b -8=0⎪a =
∴⎨解得⎨2„„„„„„„„„„„„„（1分） 36a +6b -8=-8⎩⎪⎩b =-3
∴抛物线的函数表达式为y =1x 2-3x -8„„„„„„„„„„„（2分）
2
y =
12125
，∴抛物线的对称轴为直线x =3．又 抛物线与x 轴交于A ，B x -3x -8=(x -3)2-
222
两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）„„„„„„„（4分）
4
k =-设直线l 的函数表达式为y =kx ． 点D （6，－8）在直线l 上，∴6k =－8，解得．
3
∴直线l 的函数表达式为y =-4x „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）
3
点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．∴点E 的横坐标为3，纵坐标为-
4
⨯3=-4，即点E 的坐3
标为（3，－4）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分） （2）抛物线上存在点F ，使∆FOE ≌∆FCE ．
点F 的坐标为（3-, -4）或（3+, -4）．„„„„„„„„„„„„„„（8分） （3）解法一：分两种情况：
①当OP =OQ 时，∆OPQ 是等腰三角形．
点E 的坐标为（3，－4），
∴OE =32+42=5，过点E 作直线ME //PB ，于点M ，交x 轴于点H ，则
OM OE
=
，OP OQ
交y 轴
∴OM =OE =5„„„„„„„„„„„„„„（9分）
∴点M 的坐标为（0，－5）．
11k =y =x -5，∴3k 1-5=-4，∴ME 的函数表达式为设直线ME 的表达式为y =k 1x -5，解得1，
331
令y =0，得x -5=0，解得x =15，∴点H 的坐标
3
为（15，0）„（10分）
-m 8OP OB
又 MH//PB，∴，即，==
515OM OH
8
m =-∴„„„„„„„„„„„（11分）
3
②当QO =QP 时，∆OPQ 是等腰三角形． 当x =0时，y =
12
x -3x -8=-8，∴点C 的坐标2
为（0，－8），
∴CE =32+(8-4) 2=5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，又因为QO =QP ，∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，∴CE//PB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）
设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y =k 2x -8，∴3k 2-8=-4，解得k 2
4
=，∴CE 的3
44
y =x -8函数表达式为，令y =0，得x -8=0，∴x =6，∴点N 的坐标为
33
（6，0）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（13分）
-m 832OP OB
，∴„„„„„„（14分） CN//PB，∴=，解得m =-=
863OC ON
832-综上所述，当m 的值为或-时，∆OPQ 是等腰三角形． 33
解法二：
当x =0时，y =
12
x -3x -8=-8 ，∴点C 的坐标为（0，－8），∴点E 的坐标为 2
（3，－4），∴OE =32+42=5，CE =32+(8-4) 2=5，
∴OE=CE，∴∠1=∠2，设抛物线的对称轴交直线PB
于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况： ① 当QO =QP 时，∆OPQ 是等腰三角形．
∠2=∠3∴，，
∴CE //PB „„„„„„„„„„„„„„„（9分）
又 HM //y轴，∴四边形PMEC 是平行四边形
，
∠1=∠3
∴
∴EM =CP =-8-m ，
∴HM =HE +EM =4+(-8-m ) =-4-m BH =8-3=5， HM//y轴，∴ ∆BHM ∽∆BOP ，∴HM BH „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分） =OP BO
32„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11分） -m 83
②当OP =OQ 时，∆OPQ 是等腰三角形． ∴m =-
EH //y 轴，∴∆O P Q ∽∆EMQ ，∴∴-4-m =5EQ EM =，OQ OP ∴EQ =EM „„„„„（12分）
∴EM =EQ =OE -OQ =OE -OP =5-(-m ) =5+m ，∴HM =4-(5+m ) ， EH //y 轴，∴∆BHM ∽∆BOP ，∴HM =BH „„„„„„„„„„„„„„„„„„OP BO
„（13分） ∴-1-m =5
-m 88∴m =-„„„„„„（14分） 3
8-∴当m 的值为或-32时，∆OPQ 是等腰三角形．
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