圆的切线与圆的有关计算

一、知识聚焦：

1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

性质定理的推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点; 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 2. 切线的判定方法：（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条切线的直线是圆的切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的_______（3）和圆只有一个公共点的直线是圆的_______；

3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_______，圆心和这点的连线平分两条切线所夹的角

4.圆的有关计算:

圆锥的表面积 S表=rlr2 或S表=

l2+r2 360

圆柱的侧面积：S侧=2rh（r为底面半径，h为圆柱的高）圆柱的表面积：S表=S侧2S底2rh2r22r（hr）

二、经典例题：

例1：已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，•弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．

例2：艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8米，所对的圆心角为100°，则弧长是米(π≈3)

例3：一个圆锥的母线长为5cm，底面圆半径为3 cm，则这个圆锥的侧面积是 cm（结果保留． π）

例4：用弧长为8的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（）． A．4 B．8 C．4 D．8

例5：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为。

答案：例1：略例2:3例3：15π例4：C 例5:6

三、基础演练：

1. 已知Rt△ABC斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=•_____•时，AB与⊙O相切． 2. 如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）

A．

．

3.如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=_____cm时，⊙M与OA相切．

4.如图3，在△ABC中，已知∠C=90º，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（）

A． B． C．2 D．1

图1 图2 图3

5．如图，已知⊙O的半径OA6，AOB90°，则AOB所对的弧AB 的长为（）

第5题图

A．2π B．3π C．6π D．12π

6．若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是( ) A．40° B．80° C．120° D．150°

7．如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）． A．

16884

 B．24 C． D．12 55

8．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），

那么每个圆锥容器的底面半径为( ) （A）10cm

（B）30cm （C）40cm （D）300cm

答案：

． 4 4. D 5．B 6． C 7． C 8. A

四、能力提升：

1.如图6，PA、PB切⊙O于A、B，PA=3，∠APB=60°，则PO的长( ). A.1 B.2

C.2 D.2

2．如图7，PA、PB切⊙O于点A、B，C是优弧AB上的点，∠C=64°，那么∠P等于（） A.52° B.62° C.58° D.64°

3．如图8，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切与点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AO+OC=6，则CD等于（） A.23 B.33 C.43 D.

图6 图7 图8

4．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m,0）半径为2，如果⊙M与y轴相切，那么m=__ ___,如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是_________

5.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，则∠P的大小是_ ________

6．用一个面积为60cm2的长方形纸片围成一个圆柱，则这个圆柱的侧面积为 cm2． 7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是度． 8．半径为4，圆心角为90°的弧的长为．

9．已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为，底面积为．答案：1.C 2.A 3.A 4. m=2或-2； -2m2 5. 40° 6.60 7. 120 8. 2 9．10 4

五、个性天地：

（HXS00010）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，以直线AB为轴旋转一周，得到如图几何体，求这个几何体的表面积．

（YXN00010）如图，已知⊙O是三角形ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点， AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB （1）求证：DE是⊙O的切线.

（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长.

(LD00010)设矩形ABCD的长与宽的和为2，以AB为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（）A.最小值4π

(ZZY00024) 如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF

的

形ABC的面积．

D F

B.最大值4πC.最大值2π D.最小值2π上，求的长度及扇

（SHY00010）如图，RtΔABC中，C90，若AC5cm， BC12cm，求ΔABC的外接圆半径。 _ C

_ B

_ A

（FYN00010）已知: 如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过AC的中点D, DE切⊙O于点D, 交BC于点E. (1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4, CE=3, 求⊙O的半径.

（LJJ00010）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，圆锥母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫经过的最短路程是

五、个性天地答案：

（HXS00010）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，ABAC2BC220215225．

∵AB为旋转轴，∴旋转半径CO

ACBC2015

12，且旋转结果为两个共底的圆锥． AB25

S1rlOCAC1220240，S2rl'OCBC1215180

∴表面积SS1S2420．答：这个几何体的表面积为420cm2．（YXN00010）（1）证OC∥AE，（2）BD=2, BC=

(LD00010)C 5

ABBC1.5．(ZZY00010) 四边形ABCD是菱形且边长为1.5，又B、C两点在扇形AEF的ABBCAC1.5，△ABC是等边三角形．BAC60°．

S扇形ABC

113

lR1.5(cm2) 2228

上，

的长

601.5

（cm） 1802

（SHY00010）答案： 13

（FYN00010）(1)连结OD. ∵DE切⊙O于点D∴DE⊥OD, ∴∠ODE=900

又∵AD=DC, AO=OB ∴OD//BC∴∠DEC=∠ODE=900, ∴DE⊥BC

(2)连结BD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=900 ∴BD⊥AC, ∴∠BDC=900

BCDC1DC24216

又∵DE⊥BC, Rt△CDB∽Rt△CED ∴, ∴BC=又∵OD=BC DCCE2CE33

∴OD=

11688

, 即⊙O的半径为35

3 （LJJ00010）233