小专题(一) 利用勾股定理解决折叠与展开问题
(本专题的部分习题有难度，请根据实际情况选做)
类型1 利用勾股定解决平面图形的折叠问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm，BC ＝3 cm，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．
3 cm
2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( ) 2515
A. cm B. cm
222515 C. cm D.
cm
44
4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在25
点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝ cm ，则AD 的长为( )
4 A ．4 cm B ．5 cm
C ．6 cm D ．7 cm
5．(铜仁中考) 如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B. C ．5 D.
15 4
15 2
6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′＝________．
7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm，AC ＝8 cm，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是________．
8．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 的对应点为点A ′，且B ′C ＝3，求AM 的长．
类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题
9．已知，如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是( ) A ．A B C G B ．A C G C ．A E G D ．A F
G
10．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路程是________m．(精确到0.01 m)
11．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A 到顶点C ′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？
12．(青岛中考改编) 如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底3
cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？
13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙) ，有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB ＝4，BC ＝4， CC 1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
参考答案
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.1.5 7.6 cm2 8. 连接BM ，B ′M.
因为四边形ABCD 为正方形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.
由题意得：DB ′＝9－3＝6，BM ＝B ′M. 设AM ＝x ，则DM ＝9－x.
由勾股定理得：x 2＋92＝BM 2，(9－x) 2＋62＝B ′M 2， 所以x 2＋92＝(9－x) 2＋62， 解得x ＝2，即AM 的长为2. 9.C 10.2.60
11．把长方体的面DCC ′D ′沿棱C ′D ′展开至面ABCD 上，如图．构成矩形ABC ′D ′，则A 到C ′的最短距离为AC ′的长度， 连接AC ′交DC 于O ，易证△AOD ≌△C ′OC. ∴OD ＝OC. 即O 为DC 的中点，
由勾股定理得AC ′2＝AD ′2＋D ′C ′2＝82＋62＝100， ∴AC ′＝10 cm.
即从顶点A 沿直线到DC 中点O ，再沿直线到顶点C ′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.
12. 如图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′C 即为最短距离．A ′C 2＝A ′D 2＋CD 2＝92＋132＝250(cm2) ．
13.(1)如图，木柜的表面展开图是两个长方形ABC ′1D 1和ACC 1A 1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC ′1和AC 1两种.
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A 1B 1到C ′1，爬过的路径的长l 14＋（4＋5）＝蚂蚁沿着木柜表面经线段BB 1到C 1，爬过的路径的长l 2＝（4＋4）＋589. ∵l 1>l2，
89.
小专题(一) 利用勾股定理解决折叠与展开问题
(本专题的部分习题有难度，请根据实际情况选做)
类型1 利用勾股定解决平面图形的折叠问题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm，BC ＝3 cm，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．
3 cm
2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( ) 2515
A. cm B. cm
222515 C. cm D.
cm
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4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在25
点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝ cm ，则AD 的长为( )
4 A ．4 cm B ．5 cm
C ．6 cm D ．7 cm
5．(铜仁中考) 如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B. C ．5 D.
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6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′＝________．
7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm，AC ＝8 cm，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是________．
8．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 的对应点为点A ′，且B ′C ＝3，求AM 的长．
类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题
9．已知，如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是( ) A ．A B C G B ．A C G C ．A E G D ．A F
G
10．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路程是________m．(精确到0.01 m)
11．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A 到顶点C ′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？
12．(青岛中考改编) 如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底3
cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？
13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙) ，有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB ＝4，BC ＝4， CC 1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
参考答案
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.1.5 7.6 cm2 8. 连接BM ，B ′M.
因为四边形ABCD 为正方形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.
由题意得：DB ′＝9－3＝6，BM ＝B ′M. 设AM ＝x ，则DM ＝9－x.
由勾股定理得：x 2＋92＝BM 2，(9－x) 2＋62＝B ′M 2， 所以x 2＋92＝(9－x) 2＋62， 解得x ＝2，即AM 的长为2. 9.C 10.2.60
11．把长方体的面DCC ′D ′沿棱C ′D ′展开至面ABCD 上，如图．构成矩形ABC ′D ′，则A 到C ′的最短距离为AC ′的长度， 连接AC ′交DC 于O ，易证△AOD ≌△C ′OC. ∴OD ＝OC. 即O 为DC 的中点，
由勾股定理得AC ′2＝AD ′2＋D ′C ′2＝82＋62＝100， ∴AC ′＝10 cm.
即从顶点A 沿直线到DC 中点O ，再沿直线到顶点C ′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.
12. 如图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′C 即为最短距离．A ′C 2＝A ′D 2＋CD 2＝92＋132＝250(cm2) ．
13.(1)如图，木柜的表面展开图是两个长方形ABC ′1D 1和ACC 1A 1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC ′1和AC 1两种.
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A 1B 1到C ′1，爬过的路径的长l 14＋（4＋5）＝蚂蚁沿着木柜表面经线段BB 1到C 1，爬过的路径的长l 2＝（4＋4）＋589. ∵l 1>l2，
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