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文化与教育技柬
勒贝格控制收敛定理的应用
侯英
(贵州财经学院数学与统计学院,贵州贵阳550004)
摘要:勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理,可以用于计算积分的极限,证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词:勒贝格控制收敛定理;可测函数;可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理,它解决了,积分与极限的交换问题,并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维(Levi)定理等其他定理,而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先,我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理:设
(1){fn}是可测集E上的可测函数列;
(2)Ifo(x)J≤F(x)a.e.于E,n=l,2,…,且F(x)在E上可积分(称IR}为F(x)所控制,而F(x)叫控制函数);
(3)“x)jf(x)。
—m
上的可积函数,于是令
故1乎正矿一工x时矗=峄正盯一∥o坤一峄Jy—D‘o蚺
=O
荆=防。黜
所以对E的任何可测子集A,均有则fn和F(x)均为(0,*)上的可积函数,且
母正‘“)dx=fAf(x)dx’
例2:设f(x)为(0,+*)上的可积函数。
当n≥2时,有ILls)ls,(工)
又熙‘(神2r一,依勒贝格控制收敛定
删=上“等出,c(o。佃)
问g(x)是否为连续函数?
解:令F(x,t)=卫生(0<t<oo,O<】【<∞)则r(x,t)为可测函数,对任一a>o,有
理・得熙(c,r(,+争。o加fr协=・
例4、求极限曼恶(詹)rii备¥in,—缸
则f(x)在E上可积分,且
l挚JE五(x)dxJEf(x)dx
注:将条件(3)换为“x)川x)a.e。于E,定
理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时,关键是找出控制函数。且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
l利用定理证明
勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例l:设fl,f2。…是E上的非负可积函
2
脚临拦Ic掣(陬。)
因为了在(O。+∞)上可积,所以对任
xn_吲n—}∞)
意roe(O.+*)。在(0,+*)上任取点列{埘,且
(1)F(毛,f)一,f而,r)(n—,∞)
lf(OI
解:因为丽”。“在【o,1L上琏续,所以叫‘南血’埘矗存在,且与‘D-J=1南“赫的
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而i。j在(o,1)上可积,且{|巴南血。---0,
xEl0,l】
I一!:
(2)lFk,t)}为可测函数列
、(31‰tH<掣
由勒贝格控制收敛定理得
由勒贝格控制收敛定理得
熙她卜J=“鬯讹.,胁r鬯等烨r尝净如)
所以出)在Xo处连续,由Xo的任意性知,
g(x)是(0,+*)上的连续函数。
2利用定理求极限
勒贝格控制收敛定理可以用于计算积分与极限,首先应说明被积函数满足定理的三个条件,然后求值。
删异)f南sin’Um(L).J=1丽nx2
1
;
!
sin
5础
2J=1(熙焉寿2siIl,脏)护ro妒。
总之,运用勒贝格控制收敛定理能解决许多证明和计算上的问题,这有利于我们学习实变函数的有关知识,掌握其分析和解决问题的方法。
参考文献
数,且fL}在E上依测度收敛于f,r,mf,L(幽b=
,证明:对E的任何町测子集A,均有f
z
叩.f正c‘)d(x触=.£,“)ax
证:由于f与丘都是非负函数,因此(f-驴
(x)≤“x)。x∈E.故f是函数列f(f-∞+l的控制函+I在E上依测度收敛予0。
由勒贝格控制收敛定理。得
.1ira
数.冈为{fn}在E上依测度收敛于f,所以{(㈤
J.(,一.fO+(x)dx=0
例3:计算.1im(L)fo”(1+;)10出
解:令工(培。十:r小,则{fn}是可测集上
的可测函数列
对x∈(0,1),有x—h≥x”,(1+x/ny≥1,故L(x)≤1/、/i
【l】孙清华,孙昊.实变函数内容、方法与技巧【M】,武汉:华中科技大学出版社,2004,9。
【2】张喜堂.实变函数论的典型问题与方法
【M1.武‰华中科技大学出版社,2000,5.
【3】周民强.实变函数解题指南【M】.北京:北京大学出版社。2007,8.
作者简介:侯英(1966一),女.单位:贵州财经学院,副教授。主要从事实变函数和基础数学的教学。
由1挚J。^(触2J。,“)ax,
得慧J。(,一fO一“)dx20
因为{(f-D+l与l(f-口一}都是非负函数列,所
以
对xE【l,∞),有XI/n≤1,故坼)≤(1+x,n广
Y-O十x/n)_=-1+x+铲(詈灿’≥12杀
o≤J.c厂一.fO+∞矗≤JJc厂一五)+(油
o≤J.【厂一工r“,矗≤J。c,一正)一“胁
当T广・∞时.有正u一口+扭博-.0,正u—J:r(1l矗
≥孚(n≥2),所以
“x)≤舨2.
而1/、/i和4/xz分别是(O。1)和【1,m)
基金名称:贵州省科学技术基金.项目合同编号:黔科合J字1201012242号。
总之,科研论文的写作是一个系统的工程,它是教育工作者对某些教育现象、教育问题进行比较系统、专门的研究和探讨.提出新观点,得出新结论,或站在新的角度作出新的解释和论证的理论性文章,它凝聚着教育者的一2钺,卜
智慧和汗水。只有我们树立科研意识.把撰写教育科研论文作为我们的日常行为,用科研论文去指导我们的教育实践.去解决我们的教育问题。我们才会对我们的事业负责任,我们的教育才会与时俱进。
参考文献
【1】渠风荣.学术论文的写作及其注意事项田.青海气象,2001一12-15.
中国新技术新产品
万方数据
勒贝格控制收敛定理的应用
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
侯英
贵州财经学院数学与统计学院,贵州贵阳,550004中国新技术新产品
CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS2010(23)
参考文献(3条)
1. 孙清华. 孙昊 实变函数内容、方法与技巧 20042. 张喜堂 实变函数论的典型问题与方法 20003. 周民强 实变函数解题指南 2007
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxjsxcpjx201023239.aspx
K回国日口囫函i—日tZ蕊UIU丽NU而.Z’’而晒。。。a酬。。协
文化与教育技柬
勒贝格控制收敛定理的应用
侯英
(贵州财经学院数学与统计学院,贵州贵阳550004)
摘要:勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理,可以用于计算积分的极限,证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词:勒贝格控制收敛定理;可测函数;可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理,它解决了,积分与极限的交换问题,并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维(Levi)定理等其他定理,而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先,我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理:设
(1){fn}是可测集E上的可测函数列;
(2)Ifo(x)J≤F(x)a.e.于E,n=l,2,…,且F(x)在E上可积分(称IR}为F(x)所控制,而F(x)叫控制函数);
(3)“x)jf(x)。
—m
上的可积函数,于是令
故1乎正矿一工x时矗=峄正盯一∥o坤一峄Jy—D‘o蚺
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荆=防。黜
所以对E的任何可测子集A,均有则fn和F(x)均为(0,*)上的可积函数,且
母正‘“)dx=fAf(x)dx’
例2:设f(x)为(0,+*)上的可积函数。
当n≥2时,有ILls)ls,(工)
又熙‘(神2r一,依勒贝格控制收敛定
删=上“等出,c(o。佃)
问g(x)是否为连续函数?
解:令F(x,t)=卫生(0<t<oo,O<】【<∞)则r(x,t)为可测函数,对任一a>o,有
理・得熙(c,r(,+争。o加fr协=・
例4、求极限曼恶(詹)rii备¥in,—缸
则f(x)在E上可积分,且
l挚JE五(x)dxJEf(x)dx
注:将条件(3)换为“x)川x)a.e。于E,定
理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时,关键是找出控制函数。且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
l利用定理证明
勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例l:设fl,f2。…是E上的非负可积函
2
脚临拦Ic掣(陬。)
因为了在(O。+∞)上可积,所以对任
xn_吲n—}∞)
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I丽7酬15丽72鬲阿。≮丽。2j∥值相等I若岛耐一≤鬲毒=南os曩o:;・
而i。j在(o,1)上可积,且{|巴南血。---0,
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I一!:
(2)lFk,t)}为可测函数列
、(31‰tH<掣
由勒贝格控制收敛定理得
由勒贝格控制收敛定理得
熙她卜J=“鬯讹.,胁r鬯等烨r尝净如)
所以出)在Xo处连续,由Xo的任意性知,
g(x)是(0,+*)上的连续函数。
2利用定理求极限
勒贝格控制收敛定理可以用于计算积分与极限,首先应说明被积函数满足定理的三个条件,然后求值。
删异)f南sin’Um(L).J=1丽nx2
1
;
!
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2J=1(熙焉寿2siIl,脏)护ro妒。
总之,运用勒贝格控制收敛定理能解决许多证明和计算上的问题,这有利于我们学习实变函数的有关知识,掌握其分析和解决问题的方法。
参考文献
数,且fL}在E上依测度收敛于f,r,mf,L(幽b=
,证明:对E的任何町测子集A,均有f
z
叩.f正c‘)d(x触=.£,“)ax
证:由于f与丘都是非负函数,因此(f-驴
(x)≤“x)。x∈E.故f是函数列f(f-∞+l的控制函+I在E上依测度收敛予0。
由勒贝格控制收敛定理。得
.1ira
数.冈为{fn}在E上依测度收敛于f,所以{(㈤
J.(,一.fO+(x)dx=0
例3:计算.1im(L)fo”(1+;)10出
解:令工(培。十:r小,则{fn}是可测集上
的可测函数列
对x∈(0,1),有x—h≥x”,(1+x/ny≥1,故L(x)≤1/、/i
【l】孙清华,孙昊.实变函数内容、方法与技巧【M】,武汉:华中科技大学出版社,2004,9。
【2】张喜堂.实变函数论的典型问题与方法
【M1.武‰华中科技大学出版社,2000,5.
【3】周民强.实变函数解题指南【M】.北京:北京大学出版社。2007,8.
作者简介:侯英(1966一),女.单位:贵州财经学院,副教授。主要从事实变函数和基础数学的教学。
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因为{(f-D+l与l(f-口一}都是非负函数列,所
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对xE【l,∞),有XI/n≤1,故坼)≤(1+x,n广
Y-O十x/n)_=-1+x+铲(詈灿’≥12杀
o≤J.c厂一.fO+∞矗≤JJc厂一五)+(油
o≤J.【厂一工r“,矗≤J。c,一正)一“胁
当T广・∞时.有正u一口+扭博-.0,正u—J:r(1l矗
≥孚(n≥2),所以
“x)≤舨2.
而1/、/i和4/xz分别是(O。1)和【1,m)
基金名称:贵州省科学技术基金.项目合同编号:黔科合J字1201012242号。
总之,科研论文的写作是一个系统的工程,它是教育工作者对某些教育现象、教育问题进行比较系统、专门的研究和探讨.提出新观点,得出新结论,或站在新的角度作出新的解释和论证的理论性文章,它凝聚着教育者的一2钺,卜
智慧和汗水。只有我们树立科研意识.把撰写教育科研论文作为我们的日常行为,用科研论文去指导我们的教育实践.去解决我们的教育问题。我们才会对我们的事业负责任,我们的教育才会与时俱进。
参考文献
【1】渠风荣.学术论文的写作及其注意事项田.青海气象,2001一12-15.
中国新技术新产品
万方数据
勒贝格控制收敛定理的应用
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
侯英
贵州财经学院数学与统计学院,贵州贵阳,550004中国新技术新产品
CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS2010(23)
参考文献(3条)
1. 孙清华. 孙昊 实变函数内容、方法与技巧 20042. 张喜堂 实变函数论的典型问题与方法 20003. 周民强 实变函数解题指南 2007
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxjsxcpjx201023239.aspx