2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
•如果事件A ，B 互斥，那么
•圆锥的体积公式V =
1
Sh . 3
B ) =P (A ) +P (B ) 其中S 表示圆锥的底面面积，
•圆柱的体积公式V =Sh . h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.
P (A
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数
7+i
=（ ） 3+4i
A. 1-i B. -1+i C.
17311725+i D. -+i 252577
⎧x +y -2≥0,
⎪
2. 设变量x , y 满足约束条件⎨x -y -2≤0, 则目标函数z =x +2y 的最小值为（ ）
⎪y ≥1. ⎩
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知命题p :∀x >0, 总有(x +1) e x >1, 则⌝p 为（ ）
A. ∃x 0≤0，使得(x 0+1) e x 0≤1 B. ∃x 0>0，使得(x 0+1) e x 0≤1 C. ∀x >0，总有 (x +1) e x ≤1 D. ∀x ≤0，总有(x +1) e x ≤1 4. 设a =log 2π, b =log 1π, c =π-2, 则（ ）
2
A. a >b >c B. b >a >c C. a >c >b D. c >b >a
5. 设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4，成等比 数列，则a 1=（ ）
A. 2 B. －2 C.
11 D . 22
x 2y 2
6. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10, 双曲线
a b
的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 23x 23y 23x 23y 2
-=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1 A.
[**************]5
7. 如图，∆ABC 是圆的内接三角行，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B
的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：① BD平分
∠CBF ；②FB 2=FD ⋅FA ；③AE ⋅CE =BE ⋅DE ；④AF ⋅BD =AB ⋅BF . 则所有
正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③
D. ①②④
8. 已知函数f (x ) =ωx +cos ωx (ω>0), x ∈R . 在曲线y =f (x ) 与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为A.
π
，则f (x ) 的最小正周期为（ ） 3
2ππ
B. C. π D. 2π
32
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查. 已知该校一年级、二年
级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为m .
3
正视图侧视图
俯视图
11. 阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________. 12. 函数f (x )=lg x 的单调递减区间是________.
3
13. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120︒，点E ，F 分别在边
BC 、DC 上，
BC =3BE ，DC =λDF . 若AE ⋅AF =1，则λ的值为________.
2⎧⎪x +5x +4, x ≤0
14. 已知函数f (x )=⎨若函数y =f (x ) -a x 恰有4个零点，则实数a
, x >0⎪⎩2x -2
的取值范围为_______
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学A , B , C 和3名女同学X , Y , Z ，其年级情况如下表：
现从这6 (1) 用表中字母列举出所有可能的结果
(2) 设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.
16. （本小题满分13分）
在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知a -c =
6
b ，6
sin B =sin C
(1) 求cos A 的值；
π
(2) 求cos(2A -) 的值.
6
17. （本小题满分13分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA =BD =
2，AD=2，
PA =PD =, E，F 分别是棱AD ，PC 的中点.
(1) 证明: EF //平面PAB ； (2) 若二面角P-AD-B 为60，
① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD
② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.
B
E
A
C
18. （本小题满分13分）
x 2y
2
设椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点为F 1, F 2，右顶点为A ，上顶点为B .
b 已知AB =
1F 2.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2
的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2=，求椭圆的方程.
19. （本小题满分14分） 已知函数f (x ) =x -
2
23
ax (a >0), x ∈R 3
(1) 求f (x ) 的单调区间和极值；
(2) 若对于任意的x 1∈(2,+∞) ，都存在x 2∈(1, +∞) ，使得f (x 1) ⋅f (x 2) =1，求a 的取值范围
20（本小题满分14分）
已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ={0, 1, 2 q -1}，集合
A =x x =x 1+x 2q + x n q n -1, x i ∈M , i =1, 2, n ，
(1) 当q =2, n =3时，用列举法表示集合A ；
(2) 设s , t ∈A , s =a 1+a 2q + +a n q n -1, t =b 1+b 2q + b n q n -1, 其中
{}
a i , b i ∈M , i =1, 2, n , 证明：若a n
2014年天津高考数学（文科）试卷参考答案
一、选择题
A B B C D A D C 1. 解：
(7+i )(3-4i ) 25-25i 7+i ===1-i ，选A . 3+4i (3+4i )(3-4i ) 25
2. 解：作出可行域，如图，结合图象可知，
当目标函数通过点(1,1) 时，z 取得最小值3，选B . 3. 解：依题意知⌝p 为：∃x 0>0，使得(x 0+1) e
2
≤1，选B .
4. 解：因为a >1，b c >b ，选 C .
5. 解：依题意得S 22=S 1S 4，所以(2a 1-1) =a 1(4a 1-6) ，
x 0
1
，选D . 2
⎧b =2a ⎪22
6. 解：依题意得⎨c =5，所以a =5，b =20，选A .
⎪c 2=a 2+b 2⎩
F D =∠A F B ，7. 解： 由弦切角定理得∠FBD =∠BAE =∠EAC ，又∠B 所以∆BFD ∽
BF BD
∆AFB ，所以=，即AF ⋅BD =AB ⋅BF ，故④正确，排除A 、C . 又
AF AB
∠FBD =∠EAC =∠DBC ，故①正确，排除B ，选D .
ππ1
8. 解：因为f (x ) =2sin(ωx +) ，所以f (x ) =1得sin(ωx +) =，
662
πππ5π
所以ωx +=2k π+或ωx +=2k π+，k ∈Z .
6666
π2ππ
=，w =2，T =π，选C . 因为相邻交点距离的最小值为，所以
3ω33
解得a 1=-二、填空题
20π
11. －4 12. (-∞, 0) 13. 2 14. (1, 2) 3
4
=60名. 9. 解: 应从一年级抽取300⨯
4+5+5+6120π322
m . 10. 解: 该几何体的体积为V =π⨯2⨯2+π⨯1⨯4=
33
11. 解：n =3时，S =-8；n =2时，S =-4，所以输出的S 的值为-4. 12. 解：由复合函数的单调性知，f (x ) 的单调递减区间是(-∞, 0) .
9. 60 10.
13. 解：因为∠BAD =120︒，菱形的边长为2，所以⋅=-2. 因为AE ⋅AF =(AB +
11
AD ) ⋅(AD +AB ) =1， 3λ
所以-2+
4
λ
+
42-=1，解得λ=2. 33λ
[解2] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0) ，B (03) ，C (1，0) ，D (0，3) ．设
123→→
E (x 1，y 1) ，F (x 2，y 2) ，由BC ＝3BE ，得(1，3) ＝3(x 1，y 13) ，可得E ⎛，－；
3⎝3
→→
由DC ＝λDF ，得(1，－3) ＝λ(x 2，y 2－3) ，可得
3⎫⎛1
F 3－λ⎪. ⎝λ⎭
3⎫102423⎛1
∵AE ·AF ＝⎛，－· 1，3－⎪＝－＝
⎭3λ33⎝λ⎝3
1，∴λ＝2.
14. 解: 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x ) 与y ＝a |x |的图像，如图所示，当y ＝a |x |与y ＝f (x ) 的图像相切时，联立
2
⎧⎪－ax ＝－x －5x －
4，⎨整理得x 2＋(5－a ) x ＋4＝0，则Δ＝(5－a ) 2－414＝0，解得a ＝1⎪a >0，⎩
或a ＝9(舍去) ，∴当y ＝a |x |与y ＝f (x ) 的图像有四个交点时，有1
三、解答题
15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．
(2) 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．
62
因此，事件M 发生的概率P (M ) ＝155
b c 6
16．解：(1)在△ABC 中，由＝sin B ＝C ，可得b c . 又由a －c ＝
sin B sin C 6
b ，有a ＝2c .
b 2＋c 2－a 26c 2＋c 2－4c 26
所以cos A ＝＝.
2bc 42c 2
6101
(2) 在△ABC 中，由cos A ＝，可得sin A ＝. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－，
sin
444
2A ＝2sin A ·cos A ＝
15. 4
ππ15－3π
所以cos ⎛2A －＝cos 2A ·cos ＋sin 2A ·sin ＝.
6686⎝
17．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .
1
因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF . 由已知有
2
BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .
(2) (i) 证明：连接PE ，BE . 因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝
5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1. 在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB 3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB . 又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC . 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .
(ii) 连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的
13角．由PB 3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝，可得AM ＝，故EF ＝
222
11BE 211. 又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝＝. 所以直线EF 与平面PBC 2EF 11
211
.
11
3
18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0) ．由|AB |＝|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝
2
2
c 1
a 2－c 2，则，
a 2
2
所以椭圆的离心率e .
2
x 2y 22222
(2) 由(1)知a ＝2c ，b ＝c ＋1.
2c c →→
设P (x 0，y 0) ．由F 1(－c ，0) ，B (0，c ) ，有F 1P ＝(x 0＋c ，y 0) ，F 1B ＝(c ，c ) ．
→→
由已知，有F 1P ·F 1B ＝0，即(x 0＋c ) c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①
x 2y 2因为点P 在椭圆上，所以1. ②
2c c
4c 2
由①和②可得3x 0＋4cx 0＝0. 而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－c ，代入①得y 033
4c c －⎫. 即点P 的坐标为⎛⎝33
⎭
4c ＋0＋c 3322
设圆的圆心为T (x 1，y 1) ，则x 1＝c ，y 1＝c ，进而圆的半径r ＝
2323
5
（x 1－0）＋（y 1－c ）＝.
3
2⎫2⎛2⎫25222⎛由已知，有|TF 2|＝|MF 2|＋r . 又|MF 2|＝2，故有⎝c ＋3⎭＋⎝0－3⎭＝8＋c 2，
9
2
解得c ＝3，
x 2y 2
所以所求椭圆的方程为＋1.
63
1
19．解：(1)由已知，有f ′(x ) ＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x ) ＝0，解得x ＝0或x a
当x
0，；单调递减区间是(－∞，0) ，. 所以，f (x ) 的单调递增区间是⎝a ⎭⎝a ⎭
当x ＝0时，f (x ) 有极小值，且极小值f (0)＝0；
111
当x ＝f (x ) 有极大值，且极大值f ⎛⎝a ＝3a . a
3⎛0，3时，f (x )>0；当x ∈⎛3⎫时，f (x )
⎧1⎫
设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎨f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0⎬，则
⎩⎭
“对于任意的x 1∈(2，＋∞) ，都存在x 2∈(1，＋∞) ，使得f (x 1)·f (x 2) ＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B . 下面分三种情况讨论：
333
(i)，即0
333
(ii)当1≤≤2，即≤a ≤时，有f (2)≤0，且此时f (x ) 在(2，＋∞) 上单调递减，故A
2a 42
＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0) ．由f (1)≥0，有f (x ) 在(1，＋∞) 上的取值范围包含(－∞，0) ，则(－∞，0) ⊆B ，所以A ⊆B .
33
(iii)当时，有f (1)
2a 2
⎛10⎫，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集． ⎝f （1）⎭
33⎤
综上，a 的取值范围是⎡⎣42⎦.
20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
－－
(2) 证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋„＋a n q n 1，t ＝b 1＋b 2q ＋„＋b n q n 1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，„，n 及a n
(a －
－
n －1－b n －1) q n 2＋(a n －b n ) q n 1
1) q n －2－q n －
1
1
s －t ＝(a 1－b 1) ＋(a 2－b 2) q ＋„＋≤(q －1) ＋(q －1) q ＋„＋(q －－
（q －1）（1－q n 1）n －＝－q 1－q
＝－1
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
•如果事件A ，B 互斥，那么
•圆锥的体积公式V =
1
Sh . 3
B ) =P (A ) +P (B ) 其中S 表示圆锥的底面面积，
•圆柱的体积公式V =Sh . h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.
P (A
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数
7+i
=（ ） 3+4i
A. 1-i B. -1+i C.
17311725+i D. -+i 252577
⎧x +y -2≥0,
⎪
2. 设变量x , y 满足约束条件⎨x -y -2≤0, 则目标函数z =x +2y 的最小值为（ ）
⎪y ≥1. ⎩
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知命题p :∀x >0, 总有(x +1) e x >1, 则⌝p 为（ ）
A. ∃x 0≤0，使得(x 0+1) e x 0≤1 B. ∃x 0>0，使得(x 0+1) e x 0≤1 C. ∀x >0，总有 (x +1) e x ≤1 D. ∀x ≤0，总有(x +1) e x ≤1 4. 设a =log 2π, b =log 1π, c =π-2, 则（ ）
2
A. a >b >c B. b >a >c C. a >c >b D. c >b >a
5. 设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4，成等比 数列，则a 1=（ ）
A. 2 B. －2 C.
11 D . 22
x 2y 2
6. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10, 双曲线
a b
的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 23x 23y 23x 23y 2
-=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1 A.
[**************]5
7. 如图，∆ABC 是圆的内接三角行，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B
的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：① BD平分
∠CBF ；②FB 2=FD ⋅FA ；③AE ⋅CE =BE ⋅DE ；④AF ⋅BD =AB ⋅BF . 则所有
正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③
D. ①②④
8. 已知函数f (x ) =ωx +cos ωx (ω>0), x ∈R . 在曲线y =f (x ) 与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为A.
π
，则f (x ) 的最小正周期为（ ） 3
2ππ
B. C. π D. 2π
32
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查. 已知该校一年级、二年
级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为m .
3
正视图侧视图
俯视图
11. 阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________. 12. 函数f (x )=lg x 的单调递减区间是________.
3
13. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120︒，点E ，F 分别在边
BC 、DC 上，
BC =3BE ，DC =λDF . 若AE ⋅AF =1，则λ的值为________.
2⎧⎪x +5x +4, x ≤0
14. 已知函数f (x )=⎨若函数y =f (x ) -a x 恰有4个零点，则实数a
, x >0⎪⎩2x -2
的取值范围为_______
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学A , B , C 和3名女同学X , Y , Z ，其年级情况如下表：
现从这6 (1) 用表中字母列举出所有可能的结果
(2) 设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.
16. （本小题满分13分）
在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知a -c =
6
b ，6
sin B =sin C
(1) 求cos A 的值；
π
(2) 求cos(2A -) 的值.
6
17. （本小题满分13分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA =BD =
2，AD=2，
PA =PD =, E，F 分别是棱AD ，PC 的中点.
(1) 证明: EF //平面PAB ； (2) 若二面角P-AD-B 为60，
① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD
② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.
B
E
A
C
18. （本小题满分13分）
x 2y
2
设椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点为F 1, F 2，右顶点为A ，上顶点为B .
b 已知AB =
1F 2.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2
的直线l 与该圆相切于点M ，MF 2=，求椭圆的方程.
19. （本小题满分14分） 已知函数f (x ) =x -
2
23
ax (a >0), x ∈R 3
(1) 求f (x ) 的单调区间和极值；
(2) 若对于任意的x 1∈(2,+∞) ，都存在x 2∈(1, +∞) ，使得f (x 1) ⋅f (x 2) =1，求a 的取值范围
20（本小题满分14分）
已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ={0, 1, 2 q -1}，集合
A =x x =x 1+x 2q + x n q n -1, x i ∈M , i =1, 2, n ，
(1) 当q =2, n =3时，用列举法表示集合A ；
(2) 设s , t ∈A , s =a 1+a 2q + +a n q n -1, t =b 1+b 2q + b n q n -1, 其中
{}
a i , b i ∈M , i =1, 2, n , 证明：若a n
2014年天津高考数学（文科）试卷参考答案
一、选择题
A B B C D A D C 1. 解：
(7+i )(3-4i ) 25-25i 7+i ===1-i ，选A . 3+4i (3+4i )(3-4i ) 25
2. 解：作出可行域，如图，结合图象可知，
当目标函数通过点(1,1) 时，z 取得最小值3，选B . 3. 解：依题意知⌝p 为：∃x 0>0，使得(x 0+1) e
2
≤1，选B .
4. 解：因为a >1，b c >b ，选 C .
5. 解：依题意得S 22=S 1S 4，所以(2a 1-1) =a 1(4a 1-6) ，
x 0
1
，选D . 2
⎧b =2a ⎪22
6. 解：依题意得⎨c =5，所以a =5，b =20，选A .
⎪c 2=a 2+b 2⎩
F D =∠A F B ，7. 解： 由弦切角定理得∠FBD =∠BAE =∠EAC ，又∠B 所以∆BFD ∽
BF BD
∆AFB ，所以=，即AF ⋅BD =AB ⋅BF ，故④正确，排除A 、C . 又
AF AB
∠FBD =∠EAC =∠DBC ，故①正确，排除B ，选D .
ππ1
8. 解：因为f (x ) =2sin(ωx +) ，所以f (x ) =1得sin(ωx +) =，
662
πππ5π
所以ωx +=2k π+或ωx +=2k π+，k ∈Z .
6666
π2ππ
=，w =2，T =π，选C . 因为相邻交点距离的最小值为，所以
3ω33
解得a 1=-二、填空题
20π
11. －4 12. (-∞, 0) 13. 2 14. (1, 2) 3
4
=60名. 9. 解: 应从一年级抽取300⨯
4+5+5+6120π322
m . 10. 解: 该几何体的体积为V =π⨯2⨯2+π⨯1⨯4=
33
11. 解：n =3时，S =-8；n =2时，S =-4，所以输出的S 的值为-4. 12. 解：由复合函数的单调性知，f (x ) 的单调递减区间是(-∞, 0) .
9. 60 10.
13. 解：因为∠BAD =120︒，菱形的边长为2，所以⋅=-2. 因为AE ⋅AF =(AB +
11
AD ) ⋅(AD +AB ) =1， 3λ
所以-2+
4
λ
+
42-=1，解得λ=2. 33λ
[解2] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0) ，B (03) ，C (1，0) ，D (0，3) ．设
123→→
E (x 1，y 1) ，F (x 2，y 2) ，由BC ＝3BE ，得(1，3) ＝3(x 1，y 13) ，可得E ⎛，－；
3⎝3
→→
由DC ＝λDF ，得(1，－3) ＝λ(x 2，y 2－3) ，可得
3⎫⎛1
F 3－λ⎪. ⎝λ⎭
3⎫102423⎛1
∵AE ·AF ＝⎛，－· 1，3－⎪＝－＝
⎭3λ33⎝λ⎝3
1，∴λ＝2.
14. 解: 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x ) 与y ＝a |x |的图像，如图所示，当y ＝a |x |与y ＝f (x ) 的图像相切时，联立
2
⎧⎪－ax ＝－x －5x －
4，⎨整理得x 2＋(5－a ) x ＋4＝0，则Δ＝(5－a ) 2－414＝0，解得a ＝1⎪a >0，⎩
或a ＝9(舍去) ，∴当y ＝a |x |与y ＝f (x ) 的图像有四个交点时，有1
三、解答题
15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．
(2) 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．
62
因此，事件M 发生的概率P (M ) ＝155
b c 6
16．解：(1)在△ABC 中，由＝sin B ＝C ，可得b c . 又由a －c ＝
sin B sin C 6
b ，有a ＝2c .
b 2＋c 2－a 26c 2＋c 2－4c 26
所以cos A ＝＝.
2bc 42c 2
6101
(2) 在△ABC 中，由cos A ＝，可得sin A ＝. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－，
sin
444
2A ＝2sin A ·cos A ＝
15. 4
ππ15－3π
所以cos ⎛2A －＝cos 2A ·cos ＋sin 2A ·sin ＝.
6686⎝
17．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .
1
因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF . 由已知有
2
BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .
(2) (i) 证明：连接PE ，BE . 因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝
5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1. 在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB 3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB . 又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC . 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .
(ii) 连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的
13角．由PB 3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝，可得AM ＝，故EF ＝
222
11BE 211. 又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝＝. 所以直线EF 与平面PBC 2EF 11
211
.
11
3
18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0) ．由|AB |＝|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝
2
2
c 1
a 2－c 2，则，
a 2
2
所以椭圆的离心率e .
2
x 2y 22222
(2) 由(1)知a ＝2c ，b ＝c ＋1.
2c c →→
设P (x 0，y 0) ．由F 1(－c ，0) ，B (0，c ) ，有F 1P ＝(x 0＋c ，y 0) ，F 1B ＝(c ，c ) ．
→→
由已知，有F 1P ·F 1B ＝0，即(x 0＋c ) c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①
x 2y 2因为点P 在椭圆上，所以1. ②
2c c
4c 2
由①和②可得3x 0＋4cx 0＝0. 而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－c ，代入①得y 033
4c c －⎫. 即点P 的坐标为⎛⎝33
⎭
4c ＋0＋c 3322
设圆的圆心为T (x 1，y 1) ，则x 1＝c ，y 1＝c ，进而圆的半径r ＝
2323
5
（x 1－0）＋（y 1－c ）＝.
3
2⎫2⎛2⎫25222⎛由已知，有|TF 2|＝|MF 2|＋r . 又|MF 2|＝2，故有⎝c ＋3⎭＋⎝0－3⎭＝8＋c 2，
9
2
解得c ＝3，
x 2y 2
所以所求椭圆的方程为＋1.
63
1
19．解：(1)由已知，有f ′(x ) ＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x ) ＝0，解得x ＝0或x a
当x
0，；单调递减区间是(－∞，0) ，. 所以，f (x ) 的单调递增区间是⎝a ⎭⎝a ⎭
当x ＝0时，f (x ) 有极小值，且极小值f (0)＝0；
111
当x ＝f (x ) 有极大值，且极大值f ⎛⎝a ＝3a . a
3⎛0，3时，f (x )>0；当x ∈⎛3⎫时，f (x )
⎧1⎫
设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎨f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0⎬，则
⎩⎭
“对于任意的x 1∈(2，＋∞) ，都存在x 2∈(1，＋∞) ，使得f (x 1)·f (x 2) ＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B . 下面分三种情况讨论：
333
(i)，即0
333
(ii)当1≤≤2，即≤a ≤时，有f (2)≤0，且此时f (x ) 在(2，＋∞) 上单调递减，故A
2a 42
＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0) ．由f (1)≥0，有f (x ) 在(1，＋∞) 上的取值范围包含(－∞，0) ，则(－∞，0) ⊆B ，所以A ⊆B .
33
(iii)当时，有f (1)
2a 2
⎛10⎫，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集． ⎝f （1）⎭
33⎤
综上，a 的取值范围是⎡⎣42⎦.
20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
－－
(2) 证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋„＋a n q n 1，t ＝b 1＋b 2q ＋„＋b n q n 1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，„，n 及a n
(a －
－
n －1－b n －1) q n 2＋(a n －b n ) q n 1
1) q n －2－q n －
1
1
s －t ＝(a 1－b 1) ＋(a 2－b 2) q ＋„＋≤(q －1) ＋(q －1) q ＋„＋(q －－
（q －1）（1－q n 1）n －＝－q 1－q
＝－1