2006年第9期 数学教学研究
a =k sin A, b =k sin B , c =k sin C,
17
∴b cos C +c cos B
=b
+c =a,
2ab 2ca
2
2
2
2
2
2
∴a =k sin A =k sin (B +C )
=k (sin B cos C +sin C cos B ) =b cos C +c cos B.
即 a =b cos C +c cos B.
同理 b =c cos A +a cos C, c =a cos B +b cos A. 射影定理证毕.
6 用射影定理证明正弦定理
同理b =c cos A +a cos C, c =a cos B +b cos A. 射影定理证毕.
4 用余弦定理证明正弦定理
由余弦定理得
cos A =, cos B =,
2bc 2ac
2
2
2
2
2
2
在△ABC 中, a =b cos C +c cos B , c =a cos B +
b cos A, 则
a =b cos C +c cos B
∴a 2sin 2B -b 2sin 2A
2222
=a (1-cos B ) -b (1-cos A )
=b cos (π-A -B ) +(a cos B +b cos A ) cos B =b sin A sin B -b cos A cos B +a cos B +b cos A cos B =b sin A sin B +a cos B ,
2
2
2
2
) -b 2=a -a 2ca
2
2
2222
) +b 22bc
22
∴a (1-cos 2B ) =b sin A sin , 即 2B =sin A sin sin ∴a sin b 故, =. sin B sin C =. sin A sin B sin C
224442222=2[4a c -c -a -b -2a c +2a b 4c
+2b 2c 2-4b 2c 2+b 4+c 44 -2a 2b 2-2a 2222=即 a 2sin 222A,
∵△a sin B >0, b sin A >0, ∴a sin B =b sin A, 即同理故=. sin B sin C
=. sin A sin B
7 用射影定理证明余弦定理
∵a =b cos C +c cos B , b =c cos A +a cos C,
c =a cos B +b cos A.
∴b 2=bc cos A +ab cos C, c 2=ac cos B +bc cos A, 故 b 2+c 2=2bc cos A +a (b cos C +c cos B )
=2bc cos A +a ,
2
. sin A sin B sin C
即 a 2=b 2+c 2-2bc cos A.
同理 b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,
c =a +b -2ab cos C .
2
2
2
2
2
2
5 用余弦定理证明射影定理
由余弦定理得
cos C , cos B =,
2ab 2ac
2
2
2
浅谈“两边夹不等式”
李勤俭
(安徽省枞阳县浮山中学 246736) b
, 则d b
大家都熟知等比定理:若
==
>ad, 则
=. 若将条件中的等式改为不等式, 如
b +d d b , 那么结论如何呢? 已知a 、b 、c 、d 都是正数, 且bc d
(高中数学第二册(上) (人教版) 第14页练习第5
题) , 教学中若不注意, 其丰富的内涵和研究价值便被忽略了. 笔者在高三复习的后期回归教材的教学
18数学教学研究 2006年第9期
λa +λc
时, 将此题抛给了学生, 收到了意想不到的效果.
下面为了说明问题的方便, 称不等式
为两边夹不等式. d
∴由两边夹不等式得
4 推广2的几何解释
推广2中间的那个分式使人联想到定比分点坐标公式, 于是可从几何角度来理解这个不等式.
由
λa λc
λ1b λ2d b d
a +
当然这个不等式的证明是简单的, 而探讨这个不等式却别有一番风味. 对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的.
1 两边夹不等式的简单应用
利用此不等式, 可以轻松地证明下面这个经典不等式:已知a 、b 、m 都是正数, 且a
. b +m
λc
λa +λc λ∴
λ1b +λ2d λ2b
b +d
λ1
λ==0)
λ1b +λd d
1+λ
分析 ∵a
b
A (a ) 、B (() 分AB 为λ) , λ>0, , OA 、OB 、O P 的k OA
由两边夹不等式立即得
2有同种溶液A 、B B ,
在此基础上, 我们是否还可以这样思考:当点P 是线段AB 的外分点时, 对应的不等式是什么呢? 此时应有λ
(1) 若
>0, 由于
b +λd b d
. d
液C, 此时溶液浓度为
. 由日常生活经验知道有b +d
3 两个有意义的推广
+
推广1 (等比定理的推广) 已知a i 、b i ∈R (i
=1, 2, …, n ) ,
若
a b 1
a b 2
a b n
, 则
a b 1
n
ρa i ρb i
n
a b n
正数, 则-.
当λ
b +λd b d
i =1
证明 利用两边夹不等式可以很容易得到证明, 这里从略.
由于分数的分子分母同乘以一个非零实数, 分数的值不变, 那么将
与的分子分母各乘以非零b d
当-1
(2) 若
λ2, 又有什么结论呢? 实数λ1、
推广2 (一般性推广) 若正数a 、b 、c 、d 及非零λa +λ2c λ2满足
λ1b +λ2d b d b d
证明 ∵
λa λ
c =, =, 及
b +λd d c
点P 在线段AB 的延长线还是在BA 的延长线上, 都有
b +λd b d
5 无限夹数游戏
(1) 给你任意两个正分数(如
) , 你能写, 23
2006年第9期 数学教学研究19
, 此时a 2又将区间B 1分3
出大小介于它们之间的一些数吗?
等式得到第二个数a 2=
依据两边夹不等式可以得到上述表格中的各个分数, 而且这些分数从左到右依次增大, 照此下去, 可以无限地写下去. 你知道上述表格中的各个分数是如何得到的吗? 这不是很有趣吗?
若利用推广2, 同样可以得到与之间的无
32
) 、成两个区间A 2=, B 2=, 1) , 在区间A 2
233
中利用两边夹不等式得到第三个数a 3=推可以得到数列{a n }, 则li m a n =
n →+∞
, 依此类5
(黄金分割2
数) . 事实上数列{a n }各项的分子和分母的比即为裴波拉契数列的前项与后项之比.
至于该不等式在解决其他问题时有何应用, 还有待于进一步探讨.
在教学过程中, 对于一些不起眼的“小问题”, 教师若能认真分析, 究活动, , 其教学.
数个分数. 从这一点也可以看到实数的稠密性的具体体现.
(2) 夹出“黄金分割数”. 在0, 1之间两边夹不等
式可以依次写出一些数, 写这些数时按以下的规律
进行:第一个数为a 1=, 此时得到两个区间A 1=
2(0,
) 、B 1=, 1) . 再在区间B 1内利用两边夹不22
曾 荣
(江苏省南通市小海中学 226015)
《数学课程标准》要求数学教学要突出数学本质, 避免过分形式化, 即在数学教学中应该“反璞归真”, 努力揭示数学的本质. 传统的“复旧、讲新、练习、作业”的教学结构模式, 形式单一, 只重知识的传递, 忽视了学生的心理过程是一个统一的整体, 忽视了知、情、意、行的相互关联和相互渗透. 在实际教学中, 笔者常先采用整体教学法, 注重知识的“再发现”, 帮助学生构建“知识树”, 理清知识主线, 再循序渐进地进行教学. 下面从整体教学的意义、具体操作方法和注意事项三方面进行阐述.
1 整体教学的意义
1. 1 整体教学有利于培养学生的数学思维能力
史上数学家在数学认知建构中的心路历程, 暴露他们的思维过程, 让学生充分品尝数学家探索知识的艰辛, 同时也享受获得数学成果的喜悦, 从而使学生不仅能有效地掌握知识, 更重要的是发展能力, 获取研究数学的创新思维方法.
1. 2 整体教学有利于知识的整体建构
人们认识事物的规律往往是先整体后部分, 经过几个循环往复, 最后形成对事物的清晰认识.
[1]
整
体教学在知识学习之前, 先帮助学生理清所研究问题形成的主线, 建构“知识树”. 知识树的形成有利于学生建立起对一节课、一章内容甚至一册书的整体认识, 学生在完成知识树的过程中, 整体概念慢慢建立起来, 整体思维能力也得以提升. 知识树形成后, 学生研究细节内容, 就有了抓手, 有了目标. 这样, 明确了任务和目标以后的学习, 才称得上是有意义学习, 知识得以保持的时间也最长久. 即使出现了遗忘, 学生也能沿着知识树的脉络, 将所学知识推导出来, 这种再现的方法才是素质教育所期望的.
1. 3 整体教学有利于学生自主学习, 为自主学习搭
数学知识具有极强的系统性, 讲究思维的连贯性和延续性. 现行各种版本的数学教材都非常注重知识的演绎过程
, 希望呈现给学生的不仅是独立的知识, 更重要的是通过介绍数学知识的来龙去脉来让学生认识数学的本质. 学生要建构起自己的知识经验, 形成自己的见解, 也要重复数学的发现、发展、形成和创造的过程. 整体教学强调教师通过重现历
2006年第9期 数学教学研究
a =k sin A, b =k sin B , c =k sin C,
17
∴b cos C +c cos B
=b
+c =a,
2ab 2ca
2
2
2
2
2
2
∴a =k sin A =k sin (B +C )
=k (sin B cos C +sin C cos B ) =b cos C +c cos B.
即 a =b cos C +c cos B.
同理 b =c cos A +a cos C, c =a cos B +b cos A. 射影定理证毕.
6 用射影定理证明正弦定理
同理b =c cos A +a cos C, c =a cos B +b cos A. 射影定理证毕.
4 用余弦定理证明正弦定理
由余弦定理得
cos A =, cos B =,
2bc 2ac
2
2
2
2
2
2
在△ABC 中, a =b cos C +c cos B , c =a cos B +
b cos A, 则
a =b cos C +c cos B
∴a 2sin 2B -b 2sin 2A
2222
=a (1-cos B ) -b (1-cos A )
=b cos (π-A -B ) +(a cos B +b cos A ) cos B =b sin A sin B -b cos A cos B +a cos B +b cos A cos B =b sin A sin B +a cos B ,
2
2
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2
) -b 2=a -a 2ca
2
2
2222
) +b 22bc
22
∴a (1-cos 2B ) =b sin A sin , 即 2B =sin A sin sin ∴a sin b 故, =. sin B sin C =. sin A sin B sin C
224442222=2[4a c -c -a -b -2a c +2a b 4c
+2b 2c 2-4b 2c 2+b 4+c 44 -2a 2b 2-2a 2222=即 a 2sin 222A,
∵△a sin B >0, b sin A >0, ∴a sin B =b sin A, 即同理故=. sin B sin C
=. sin A sin B
7 用射影定理证明余弦定理
∵a =b cos C +c cos B , b =c cos A +a cos C,
c =a cos B +b cos A.
∴b 2=bc cos A +ab cos C, c 2=ac cos B +bc cos A, 故 b 2+c 2=2bc cos A +a (b cos C +c cos B )
=2bc cos A +a ,
2
. sin A sin B sin C
即 a 2=b 2+c 2-2bc cos A.
同理 b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,
c =a +b -2ab cos C .
2
2
2
2
2
2
5 用余弦定理证明射影定理
由余弦定理得
cos C , cos B =,
2ab 2ac
2
2
2
浅谈“两边夹不等式”
李勤俭
(安徽省枞阳县浮山中学 246736) b
, 则d b
大家都熟知等比定理:若
==
>ad, 则
=. 若将条件中的等式改为不等式, 如
b +d d b , 那么结论如何呢? 已知a 、b 、c 、d 都是正数, 且bc d
(高中数学第二册(上) (人教版) 第14页练习第5
题) , 教学中若不注意, 其丰富的内涵和研究价值便被忽略了. 笔者在高三复习的后期回归教材的教学
18数学教学研究 2006年第9期
λa +λc
时, 将此题抛给了学生, 收到了意想不到的效果.
下面为了说明问题的方便, 称不等式
为两边夹不等式. d
∴由两边夹不等式得
4 推广2的几何解释
推广2中间的那个分式使人联想到定比分点坐标公式, 于是可从几何角度来理解这个不等式.
由
λa λc
λ1b λ2d b d
a +
当然这个不等式的证明是简单的, 而探讨这个不等式却别有一番风味. 对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的.
1 两边夹不等式的简单应用
利用此不等式, 可以轻松地证明下面这个经典不等式:已知a 、b 、m 都是正数, 且a
. b +m
λc
λa +λc λ∴
λ1b +λ2d λ2b
b +d
λ1
λ==0)
λ1b +λd d
1+λ
分析 ∵a
b
A (a ) 、B (() 分AB 为λ) , λ>0, , OA 、OB 、O P 的k OA
由两边夹不等式立即得
2有同种溶液A 、B B ,
在此基础上, 我们是否还可以这样思考:当点P 是线段AB 的外分点时, 对应的不等式是什么呢? 此时应有λ
(1) 若
>0, 由于
b +λd b d
. d
液C, 此时溶液浓度为
. 由日常生活经验知道有b +d
3 两个有意义的推广
+
推广1 (等比定理的推广) 已知a i 、b i ∈R (i
=1, 2, …, n ) ,
若
a b 1
a b 2
a b n
, 则
a b 1
n
ρa i ρb i
n
a b n
正数, 则-.
当λ
b +λd b d
i =1
证明 利用两边夹不等式可以很容易得到证明, 这里从略.
由于分数的分子分母同乘以一个非零实数, 分数的值不变, 那么将
与的分子分母各乘以非零b d
当-1
(2) 若
λ2, 又有什么结论呢? 实数λ1、
推广2 (一般性推广) 若正数a 、b 、c 、d 及非零λa +λ2c λ2满足
λ1b +λ2d b d b d
证明 ∵
λa λ
c =, =, 及
b +λd d c
点P 在线段AB 的延长线还是在BA 的延长线上, 都有
b +λd b d
5 无限夹数游戏
(1) 给你任意两个正分数(如
) , 你能写, 23
2006年第9期 数学教学研究19
, 此时a 2又将区间B 1分3
出大小介于它们之间的一些数吗?
等式得到第二个数a 2=
依据两边夹不等式可以得到上述表格中的各个分数, 而且这些分数从左到右依次增大, 照此下去, 可以无限地写下去. 你知道上述表格中的各个分数是如何得到的吗? 这不是很有趣吗?
若利用推广2, 同样可以得到与之间的无
32
) 、成两个区间A 2=, B 2=, 1) , 在区间A 2
233
中利用两边夹不等式得到第三个数a 3=推可以得到数列{a n }, 则li m a n =
n →+∞
, 依此类5
(黄金分割2
数) . 事实上数列{a n }各项的分子和分母的比即为裴波拉契数列的前项与后项之比.
至于该不等式在解决其他问题时有何应用, 还有待于进一步探讨.
在教学过程中, 对于一些不起眼的“小问题”, 教师若能认真分析, 究活动, , 其教学.
数个分数. 从这一点也可以看到实数的稠密性的具体体现.
(2) 夹出“黄金分割数”. 在0, 1之间两边夹不等
式可以依次写出一些数, 写这些数时按以下的规律
进行:第一个数为a 1=, 此时得到两个区间A 1=
2(0,
) 、B 1=, 1) . 再在区间B 1内利用两边夹不22
曾 荣
(江苏省南通市小海中学 226015)
《数学课程标准》要求数学教学要突出数学本质, 避免过分形式化, 即在数学教学中应该“反璞归真”, 努力揭示数学的本质. 传统的“复旧、讲新、练习、作业”的教学结构模式, 形式单一, 只重知识的传递, 忽视了学生的心理过程是一个统一的整体, 忽视了知、情、意、行的相互关联和相互渗透. 在实际教学中, 笔者常先采用整体教学法, 注重知识的“再发现”, 帮助学生构建“知识树”, 理清知识主线, 再循序渐进地进行教学. 下面从整体教学的意义、具体操作方法和注意事项三方面进行阐述.
1 整体教学的意义
1. 1 整体教学有利于培养学生的数学思维能力
史上数学家在数学认知建构中的心路历程, 暴露他们的思维过程, 让学生充分品尝数学家探索知识的艰辛, 同时也享受获得数学成果的喜悦, 从而使学生不仅能有效地掌握知识, 更重要的是发展能力, 获取研究数学的创新思维方法.
1. 2 整体教学有利于知识的整体建构
人们认识事物的规律往往是先整体后部分, 经过几个循环往复, 最后形成对事物的清晰认识.
[1]
整
体教学在知识学习之前, 先帮助学生理清所研究问题形成的主线, 建构“知识树”. 知识树的形成有利于学生建立起对一节课、一章内容甚至一册书的整体认识, 学生在完成知识树的过程中, 整体概念慢慢建立起来, 整体思维能力也得以提升. 知识树形成后, 学生研究细节内容, 就有了抓手, 有了目标. 这样, 明确了任务和目标以后的学习, 才称得上是有意义学习, 知识得以保持的时间也最长久. 即使出现了遗忘, 学生也能沿着知识树的脉络, 将所学知识推导出来, 这种再现的方法才是素质教育所期望的.
1. 3 整体教学有利于学生自主学习, 为自主学习搭
数学知识具有极强的系统性, 讲究思维的连贯性和延续性. 现行各种版本的数学教材都非常注重知识的演绎过程
, 希望呈现给学生的不仅是独立的知识, 更重要的是通过介绍数学知识的来龙去脉来让学生认识数学的本质. 学生要建构起自己的知识经验, 形成自己的见解, 也要重复数学的发现、发展、形成和创造的过程. 整体教学强调教师通过重现历