引例1：投资问题
某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投资。若可供选择的项目记为1，2，...，m。而且一旦对第i个项目投资，就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如何如确定最佳的投资方案？
⎧1对第i个项目投资
xi=⎨
⎩0不对第i个项目投资
约束条件为：⎧⎪
∑⎨
m
⎪⎩xi(1−xi)=0,i=1,2,L,m
最佳的投资方案——投资最少、收益最大投资最少：minf1(x1,x2,L,xm)=收益最大maxf2(x1,x2,L,xm
≤axaiii=1
双目标规划
∑
)=∑
m
axiii=1
m
cxiii=1
引例2：生产问题
某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，而产品B每单位利润为8元，产品A每单位需3小时装配时间而B为2小时，每周总装配有效时间为120小时。工厂允许加班，但加班生产出来的产品利润的减去1元，根据最近的合同，厂商每周最少得向用户提供两种产品各30单位。要求:1) 必须遵守合同；2)尽可能少加班；3)利润最大. 问怎样安排生产？每周正常时间生产得A产品数量——x1约束条件为：每周加班时间生产得A产品数量——x2
⎧x1+x2≥30⎪每周正常时间生产得B产品数量——x3
⎪x+x≥30
3
4
每周加班时间生产得B产品数量——x4加班最少
利润最大
⎨
⎪3x1+2x3≤120⎪⎩xi≥0
min3x2+2x4
max10x1+9x2+8x3+7x4
多目标规划的模型
一般形式:
()()() V-minfX,fX,L,fX12pn
X∈R
{}
⎧gj(X)≤0 j=1,2,...,m;
s.t.⎨
⎩hk(X)=0 k=1,2,...,l.
函数fi,gj,hk满足
fi: R→R, gj: R→R, hk: R→R,p≥2
n
n
n
求目标函数的最大值或约束条件为大于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
多目标规划的基本解法
2. 分层序列法——把多个目标按其重要程度排序，先求出第一个目标的最优解，再在达到此目标的条件下求第二个目标的最优解，依此类推直到最后一个求解结束即得到最优解。
V-minf1(X),f2(X),L,fp(X)
X∈D
}
⇒(1):f1*=minf1(X)X∈D
L
X∈DI{x|f1(X)≤f1*}
{
改进——宽容分层序列法：给前面的
最优值设定一定的宽容值ε>0, 即此可接受的!
(2)f2*=
(p)fp*=
min
f2(X)
fp(X)目标值再差ε也是
X∈DI{x|fj(X)≤fj*,j=1,2,L,p−1}
min
缺点：当前面的问题最优解唯一时，后面的求解失去意义！
多目标规划的基本解法
4.4 “min-max”法(极小极大法)(转化)
此非线性规划问题目标函数不可微，不能直接用基于梯度的算法：⎧⎫
minh(F(X))=min⎨maxfj(X)⎬
X∈DX∈D⎩1≤j≤p⎭
但可方便转化为一个简单非线性规划问题！
令t=maxfj(X)则该规划问题可等价为：
1≤j≤p
⎧mint
X,t⎪⎪
⎨fj(X)≤t,j=1,2,L,p⎪
X∈D⎪⎩
该技巧非常有用，将一个不可微的规划问
题转化为可微的约束规划！
多目标规划的基本解法
理论性结果
以上所有方法所得到的最优解都是有效解(线性加权法当有权系数为零时得到的是弱有效解)!
权系数的确定方法：
专家打分法：多个专家对不同目标打分, 然后计算平均值, 计算各人给分的偏差, 让偏差大的专家发表意见, 并通过充分讨论最终达成共识等等. (而在理论分析时往往选取不同的权系数, 观察结果, 给用户提供方便决策!)
α方法：
⎧∑λfi=β,j=1,2,L,p⎪j=1jj⎨p
⎪∑j=1λj=1⎩
p
引例1：投资问题
某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投资。若可供选择的项目记为1，2，...，m。而且一旦对第i个项目投资，就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如何如确定最佳的投资方案？
⎧1对第i个项目投资
xi=⎨
⎩0不对第i个项目投资
约束条件为：⎧⎪
∑⎨
m
⎪⎩xi(1−xi)=0,i=1,2,L,m
最佳的投资方案——投资最少、收益最大投资最少：minf1(x1,x2,L,xm)=收益最大maxf2(x1,x2,L,xm
≤axaiii=1
双目标规划
∑
)=∑
m
axiii=1
m
cxiii=1
引例2：生产问题
某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，而产品B每单位利润为8元，产品A每单位需3小时装配时间而B为2小时，每周总装配有效时间为120小时。工厂允许加班，但加班生产出来的产品利润的减去1元，根据最近的合同，厂商每周最少得向用户提供两种产品各30单位。要求:1) 必须遵守合同；2)尽可能少加班；3)利润最大. 问怎样安排生产？每周正常时间生产得A产品数量——x1约束条件为：每周加班时间生产得A产品数量——x2
⎧x1+x2≥30⎪每周正常时间生产得B产品数量——x3
⎪x+x≥30
3
4
每周加班时间生产得B产品数量——x4加班最少
利润最大
⎨
⎪3x1+2x3≤120⎪⎩xi≥0
min3x2+2x4
max10x1+9x2+8x3+7x4
多目标规划的模型
一般形式:
()()() V-minfX,fX,L,fX12pn
X∈R
{}
⎧gj(X)≤0 j=1,2,...,m;
s.t.⎨
⎩hk(X)=0 k=1,2,...,l.
函数fi,gj,hk满足
fi: R→R, gj: R→R, hk: R→R,p≥2
n
n
n
求目标函数的最大值或约束条件为大于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
多目标规划的基本解法
2. 分层序列法——把多个目标按其重要程度排序，先求出第一个目标的最优解，再在达到此目标的条件下求第二个目标的最优解，依此类推直到最后一个求解结束即得到最优解。
V-minf1(X),f2(X),L,fp(X)
X∈D
}
⇒(1):f1*=minf1(X)X∈D
L
X∈DI{x|f1(X)≤f1*}
{
改进——宽容分层序列法：给前面的
最优值设定一定的宽容值ε>0, 即此可接受的!
(2)f2*=
(p)fp*=
min
f2(X)
fp(X)目标值再差ε也是
X∈DI{x|fj(X)≤fj*,j=1,2,L,p−1}
min
缺点：当前面的问题最优解唯一时，后面的求解失去意义！
多目标规划的基本解法
4.4 “min-max”法(极小极大法)(转化)
此非线性规划问题目标函数不可微，不能直接用基于梯度的算法：⎧⎫
minh(F(X))=min⎨maxfj(X)⎬
X∈DX∈D⎩1≤j≤p⎭
但可方便转化为一个简单非线性规划问题！
令t=maxfj(X)则该规划问题可等价为：
1≤j≤p
⎧mint
X,t⎪⎪
⎨fj(X)≤t,j=1,2,L,p⎪
X∈D⎪⎩
该技巧非常有用，将一个不可微的规划问
题转化为可微的约束规划！
多目标规划的基本解法
理论性结果
以上所有方法所得到的最优解都是有效解(线性加权法当有权系数为零时得到的是弱有效解)!
权系数的确定方法：
专家打分法：多个专家对不同目标打分, 然后计算平均值, 计算各人给分的偏差, 让偏差大的专家发表意见, 并通过充分讨论最终达成共识等等. (而在理论分析时往往选取不同的权系数, 观察结果, 给用户提供方便决策!)
α方法：
⎧∑λfi=β,j=1,2,L,p⎪j=1jj⎨p
⎪∑j=1λj=1⎩
p