第 飞 第 期 卷 年 月
河
!
海
大
学
学
・
报
。
二
。
二维对流 扩散方程反问 题 的求 解
金 忠青
一
’
陈 金杭
水 力 发 电 工 程 系
摘要
本 文针 对 环境 工 程 中 的污 染排放 控制 间题 提出 并求解 了二维对 流 扩散方 程 的 边 界条 件 控
, , , , ,
,
一
制 反 间 题 和 源项 控 制 反 间 题 上游 单个 线源的 简单排放 可提为 边 界条 件 控 制 反 问 题 并应 用
函 数 直接 法 实 现 反演
其 计 算 过 程简单
一
计 算速 度快
,
精度高 多 个 污 染 源 的 复 杂排放 可 提为 源 计 算结 果表 明
,
项控制 反 间 题
,
并采用 脉冲 谱 优化 法 实现 反 演 控 制
一
该 法收敛速 度较快 变分
,
计 算效
率 较高 此外
,
本 文 所 提 出 的计 算 方 法 还 可 应 用 于 热输运 和 泥 沙悬 移 质 的 控 制 等 方 面 的 问 题
, , 对 流 扩 散 方 程 , 边 界条件 源 项 脉冲谱 法 , 优 化 法
・
关 键词
反 间题
中图 法 分 类 号
问 题 的提 出
文献 「
,
采 用 脉 冲 谱 优 化法 分 别 求 解 了 一 维 对 流 扩散 方 程 边 界 条 件 控制 反 问 题 和 源
,
一
一
项控 制 反问题
两 者 的成 果相 结 合
,
,
可 基 本解 决 一 维 河道 的 污 染源 控 制 的 问题
,
但一 维 的 成
果 尚不 能满 足 工 程 实 践 的 要 求
问题
本 文在 一 维 求 解 的 理 论 基 础 上
一
,
把 文献 〔
,
」 的 研 究成 果
推 广 到 二 维 情 况 由 简 到 繁 地 研 究 了 二 维 对 流 扩 散方 程的 边 界 条 件控 制反 间 题 和 源 项 控制 反 本文 的 研 究 可视 作 文 献 〔
一
〕的 发 展 和 补 充
二 维 对 流 扩 散 方 程 边 界条 件 控制 反 问题 的 求 解
在 工 程 实践 中
口
,
有 两 种典 型 的 排污 方 式
,
,
,
即排 污 入 海 和 排 污 入 江
,
,
河
一
在 排 污入海 的 河
、
出流 处
,
水 深 相 对 于 海洋 水域 面 积 很 小
在 这 两 种情 况 下
而 在排 污 入 江 的 情 况
通 常 水深 相 对 河 长
河宽
来 说也 较 小
常 可不 考虑 水 深 的 影 响
近 似 地用 二 维 对流 扩 散 方 程 来 描 述
污 染 物 的 输运 过 程
数 学描 述 作 为研 究的 第 一 阶 段 为
一
,
首 先 考虑 河段 上 只 含 单个 线 源 的情 况
,
为简 便 计
,
,
选取长 为
,
宽
的 矩 形 污 染 河 段 为研 究 对 象
。, 。
。
并 假定
在排 污 口
一
处
污 染 物 浓 度 由初 始 的 零
。
突增 为
在 某 时 段 内 保持 不 变
河 流 中各 处 水 体 密 度 均 匀 恒 定 排污 近 区 的 影 响 可 以 忽 略
在 下游 相 当 远 所示 的坐 标 系
,
处
,
污 染 物浓 度趋 于 均 匀
选 择如 图
污 染 物 输 运 即 可 由 下 列 方 程组描 述
国 家 白然 科 学 荃 金
资 助 项 目
项 目编 号
成果
。
收 稿 日期
一
一
河
海
大
学
学
报
年
月
控 制方 程
淤 一
初 始 条件
刁
材
口
,
刁
砂
记
,
,
一 一二一一 ,
一 二 一
习
一
下尸
七
肥 育
以艺
、
,
二尸
口
心
竺二
韶
心
、
龙
犷
一
之
一
,
夕
,
‘ 一
。
一
一
边 界 条件
,
犷 ‘
,
二
一。
。
一
肥 韶 韶
劣,
,
,
‘
工
。
一
一
一几
更二 。
玉
—
亦
劣,
一
。
一
犷
,
匆
,
一
口
污 染 浓度控 制 区 域 岛 ‘ ‘口 岛
,
,
心
夕
,
一二 。
一
图
,
边 界 条 件 拉 制 反 问题
污染浓 度
, ,
句
式 中考虑 了 河 流 的 自 净 能 力
放浓 度
解方程
,
。
,
。,
,
棍
得到
—
,
— 水 流 纵 横 向 流 速 及 扩散 系 数
、 ,
河 流 的 降解 率
,
当
。
,
。,
—
,
。
,
— 时游 排 均 已知 求
, ‘
上
,
是 人 们熟 悉 的 正 问 题
,
现 在 的 问 题是 根据 环 境 容量 标 准
即
‘,
要 求在 图
,
・,
所 示的 区域
’
日。
内污 染 浓 度 不 超 过
。
,
,
,
。 。。
蕊
岛
,
,
‘
如 何 控 制 上 游 污染 物 的 排放 浓 度 边 界 条件 参 量
。
与 前 述正 问题 相 比
不 同 之 处 在 于 正 问 题 中 应属 已 知 的
二
,
现 成 为未 知 的 待 求 目标 正 问 题 中 应 属 于 求 解 目 标一 部 分 的
以 下 称 为附加 条 件
,
,
,
二
,
。
几
,
成 为 已 知 的 限 定条 件
由 于 所 需确 定的 目 标是上 游 边 界 条 件 上 的参 数
一
按照 文 献
对 变量
月 的分 类
该 问 题 属 于 二 维 对 流 扩 散方 程 边 界 条 件 控 制 反 问 题
函 数法
求 解 方法
—
, 一
夕
,
作关 于 时 ’ 的 加
“
,
一
厂
仪
,
变换
,
“
,
,
“’
一
」
。
,
,
‘ ’
一‘
‘
代入 初始 条 件
后
,
方程
、
,
转化为
一
刁
公
一
十
,
名
十 一 二二 ,
一。
,
十
一, 才一一
口
刁 之 ,
刁
戈一
,
构 二尸
沉, ‘
、
刁
,
犷
心
十
下尸 气 勺 二犷
刃
四
、
一
四
夕
,
,
。
一
淤 二二 夕 二 二二 二兰
击
,
艺
,
二
“一“
一
一
刃 淤
‘,
夕
, 一
即
,
鲜
, 一
匆
,
,
,
。 。。
‘
,
一
作 求 解方 程
,
变换 后
,
原 先 的时 空 域 问题 转 化为 频 空域 问 题
,
一
一
,
便 可在 选 定 频 率
,
名
的 条件下
避 开 非恒 定 过 程
不 需 求 解 各个 时 刻 的浓 度 在 空 间的 分 布
从 而 节 省计 算 机
第
卷第
期
金忠 青 等
二维 对 流 扩 散 方 程反 间 题 的 求解
一
时 方 程组 将
含 有非 齐 次 边 界 条件
尹
, ,
为 使其 齐 次 化
一
,
,
作变 量代 换
。
,
令
夕
,
,
犷
,
夕
一
式 代 入 方程
吸
一
小
刁
,
、
得 到 含 齐 次边 界 条 件
的 方 程 组
, 、
十
,
之
尹
十 丈丁
做
一。
尹
十
不丁 仁
。梦
刁
,
仰
七 不二 灭
。泌
刁
、
寸
。汤
又 一 又万 七 。
,
刁
,
切 刁
名 。
一
才 夕
。
甲
犷
,
,
—
万
一
神
神
x 神(
) 方 程 组 (6
,
夕
,
一
击
犷
, s )
为
,
(6
一
d
)
鲜
,
s )
一
(
6
e )
匆
建立了
甲
。 与 c 之 间 的关 系
, ; , ; )
,
。 当 已 知 c 及 其 它 系数 时
、
,
, ( :
一
丁 汀
U
。,
.
,
s +
名~
占
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, g
,
军 刀
‘
,
一
S
夕、
一
一
其中
口 (x
,
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万
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,
{
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,
考
,
,
—
, ;
L O
、
,
其解 可表 达 为
。
,
Q 夕 gQ 亏
( 7 )
,
,
,
)d
圳。
0J
0
咨
。 +
,
梦
・ )
,
,
,
s )
(
。 +
( 蚤
。
二
reen 函 是方 程组 ( 6 ) 的 G 数
) +
.
也 即是方 程 组
长尸
・。
a
: ~
,
_
、
砂 吸G
)
心
一 0
一
影
兰
)
刁
,
.
滋
一
七 吸2
心
公 于 ) = d(
一 首夕 一
,
刃)
一
( 8
a )
‘( z
,
的解
.
(8
一
0 2 塑窄 卫 一 竺鱼 里 }一 巡牛 过 淤 架
二
考,
,
,
,
,
) }
一。
一 ( 8 b )
X ’
,
一 ( 8
e )
卫
一
、
一 0
( 8
一
d
)
) a
式中
,
‘ (:
, 一 古 犷一 帕 是二 维 D r i a
。
函数
,
定义 为
~ 咨且
夕 ~
,
( 9 )
。( :
一 咨
,
;
一
。)
一
于 才 U 气
5 + :
其 余情 况
由 (5 )
, ( 7 )
两 式可 得
,
‘
,
、 _ r 1
z 气
心
,
S
夕 =
L o L 甲尸
占
,
一
为 使 附 加 条 件 (刁
理 费用
,
一 f )
得 到满 足
,
同时 又 允 许 工 厂 尽 可 能多 地 排放 污 染物
, ,
二. ’
—
谷
,
‘
J
}IU
. ‘ 「 「_
J 0 0
,
(
.
、
,
,
‘,
x 叹
, g
理
,
亏
,
S
a 夕
和 ‘」
,
(
1 0
)
以 减少 污 水 处
在 确 定 排 污 标 准时
,
一般 都 要 求 计算 结果 尽 量 满 足 。 。几 C (z ‘ C 习
; S , S ) ! ) ,
( 11 )
: 令 (10 ) 中
夕任 g
。,
并 考 虑 到 ( 11 ) 式
众 Co:
‘
可得
C
( g
。, 吕
)
生士 二
占
( 12 )
相同
.
式 即 为 求解 C 的 表 达 式
。
.
J
f ’ [
J O
,
‘ . c
( 1 2 )
( x
,
考
,
,
,
。
,
。
)d
和咨 J j
,
二 .,
。%
对 于 控 制 区域
习。
内各 点
) 经 ( 12
,
’
为满 足 对
。。
内各 点 提 出的 浓 度 要 求
显 然 应 取 其最 小者
。 式 得 到 的 c 值各 不 ) 故 将 ( 12 式 改 写 为
河
Co =
海
大
学
C
’ ( 9
学
,
报
s )
199 3 年 9 月
m in
0
口( x
,
,
咨
,
, ;
,
,
。
)d
如。 l 〕
,
:.
,
(
,
1
3
)
。 。。
r n 。 8 求 解方 程 组 ( ) 得 到 G e 函 数 后 直 接代 入 解 析 式 ( 13 ) 得 到 c 即 可 作 为 上 游 污 染 . r n 5 源 控 制 浓 度 数 值 求解 G e 函 数 的方法 可采 用 有 限 体 积法 离 散 具 体 细 节 可 参 阅文 献 「 〕 . 这 里 不 作 详述 . 2 3 算 例 验证
, , ,
. 。 为 了 证 明上
述 计 算 方法 的 正 确 性 可 借 用 正 问题 的 解 构造 反 问 题来 验 证 假 定 一 1 0 仍 . g 。 。 0 1 上 游 边 界 浓 度 c ~ 3 sk /耐 给 定 在河段 2 x 7 离散 网 格点 上 的 分 布 . . 二 : , 1 所列 ( 足 连 续 方程 ) 暂 不 考 虑 河 流 的 自 净 能 力 即 取 一 0 选 取 夕 一 3 5 求 解 如表 满 . : , 。 一 1 至 7 为 反 问 题 控 制区 “ 正问 题 “ 可 得 到 其解 c ( 夕 ) 选 取 一 8 至 13 . 。 : : 军 。) 列 于 表 2 反 问 题 提 为 求 出上 游 边 界 域 岛 其 网 格点上 的 c ( 值 为 ’ (g C 的 限 制浓 度 C , 保征 岛 域 内浓 度 不 大 于 表 2 所 列 .
,
,
b
.
,
,
,
,
=
0
6
m
k
, ,
:
k
,
,
,
,
一
一
,
,
,
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~
) e
j
,
,
,
,
,
) s
卜
、
・
: 表 1 河 段 中 点流 速场 节
一
,
。
( m
s /
)
. 及扩 散系 数 k
t
, k
,
( m
, s / )
分布
j
1 2 3 4 5 6 7
口
名
各允
r 1 0 0 0 o
_ t _
.
9
一
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
’
毛
D 1
。 5 1
。
‘
。 0
.
0 0
。
0 0
。 0 1 5 1
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。 5 2
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。 0 1
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。 5 1
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. 0 1
0 0
. 0 1
0 0
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. 0 ]
0 0
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, 0 1
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, 0
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,
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0 2 0 .
0 1 0 . .
.
仓
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0
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0
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,
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0
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. 0 1
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‘ 4 . 5 4
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0
. 5
3
.
,
.
4 0
一0
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.
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4 5
. 0 1
. 6 0
.
4 0
0
. 6 0 6
.
. ‘ 0
. ‘ 0
4 5
石
.
0
0
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0
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一0
. 6
.
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0
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0
0 6
0
. 0
. 0 1
. 6 5 6
0
. 5
. 一0 2
. 6 5 5 .
0
5 5
0
. 5 5 .
0
5
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.
,
6
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0
0
一0
. 0 3
.
1 0 1
. 3 0 4
.
0
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0
. 5 3 .
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一0
. 4
.
1
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1
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0
. 5 4
0
. 0 3 .
0
5 3
0
. 5
一0 1
. 3 5 4
.
0
、 0
0 2
. 4 0 4 .
.
0
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0
. 0 4 .
0
0
5
旅
。
4
0
0
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一
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1
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0
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1 0 1
.
0
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0
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1 .
.
1一 0 1 0 1
. . 5 ] 0 1 0
.
.
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一0
1 .
‘ 1 0 0 0 0 0
柑
6
1
. 0
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.
.
. 5 0 5 0
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0
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拉
0
0
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p
0
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0
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0
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0
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0
0
0
0
K
K
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5
1
. 5 2
1
.
5 4
1
, 5 6 1
. 5 8 1
. 6 0 1
. 6 2
. . 】 64 ! 66 1
. . 2 0 l 2 O l l
, 6 8 j
. 7 0 1
, 7 2 1
, 7 4 1
, 7 6 1
. 7 8 1
. 8 0 1
. 8 2 1
. 8 4 1
. 8 6 1
. 8 8 1
. 9 0
. Z K 1 2 0 1
. 2 0 I
. 2 0 1
. 2 0 1
. 2 O l
. 2 O 1
. 2 0
. 2 O l 2 0 l
. 2 0 l
. 2 0
卜 2 0 1
.
20 1
.
20 1 2 0 1
20 ] 2 0 1
.
. 20 1 2 0
,
为 计算 简 便
,
假 设扩 散 系 散 只 沿 纵 向 节 点 变 化
:
,
在 同 一 断 而 仁 匀分 布 均
显然
,
其 正 确 解 答应 为 C
。,
( g
。 ~
,
. 3
s k g / m
,
・
. 相 对 误差 不 到 0 1 %
将C
’
s )
。 代 入 ( 一3 ) 式 经 计算 可 得 到 C 一 3
,
.
497 3
,
这 说 明 上 述 计算 方 法 是 合理 可 行 的
.
与 正 确解 的 绝 对 误 差 仅 为 0 0 0 2 7
.
,
1 第 2 卷第 5 期
金 忠青等
二维 对 流 扩散方 程 反 间 题 的 求解
一
表 2
由 正 问 题解选 择 的 少
(g 。
, ) s
值
0.709 8
2 3 1 1 0 0 . . 709 8 7 16 6
0.685 7
0 0 . . 685 7 69 1 2 刁3
D.66刁 刁
0 0 0 0 . . . . 66J 4 667 7 672 0 670 6
7
0 0 0 0 O
. . .
645 9 645 9 647 5
0 0 0
628 9 628 9 629 7
2
0 0 0
0
.
6 14 0 6 14 0
, 6 1 5 5
. 4 1 0 7 1 9 9 0
。 6 9
。 6 5 2 0 6 4 3
. 6 1 9 7
. 5 1 0 7
遨 0 8
0
.
.
692 8
。 6 5 0 2 0
. 6 3 3 2 0
. 6 ] 9 0
. 6 1 0 7 1 4 8 0
. 6 8 9 3 0 6 6 4 0 6 4 8 6 0 6 3 2 9 0
, 6 1 8 3
. 7 1 0 7 1 4 8 0
. 6 8 9 3 0
. 6 6 7
刁
0
.
64 8 6
0
。 6 3 2 9 0
. 6 1 8 3
. : ‘ ) 考虑 河 道 有 自净 能 力 取 一 0 0 5 川 借 用 表 2 作 为控 制 浓 度 C 场 其余 系 . . 。 reen 函 。 应 用前 述 G 反 演 得 到 C 一 3 5 19 8 与无 自 净能 力 时 的 c 一 3 4 9 3 数 不变 数 法可 直 接 7
此外
,
,
,
,
,
’
,
,
(
,
相 比 说 明 对 于 相 同 的 下游 控制 浓 度 考虑 自 净 能力 后 允 许上 游边 界排 放较 多 的 污 染 物 与 . 实际 情 况 相 符
3
,
,
,
二 维对 流 扩 散方程 源 项 控 制 反 问 题 的 求 解
, ,
一
实 际 河 道 中 排 污 情 况 一 般 较 复 杂 且 常含 有多 个 . 污 染 源 这 种 情 况 下 不 可能 将 多个 污 染 源 同时 处 理 . 为 边 界 条 件 因 而 不 可 能 提 为 边 界 条 件 控制 反 问题 但
,
是
,
多 个 污 染 源 可 在方 程的 源 项 中得 到 体 现
, 一
,
因此 可
上游 浓度
0
仇
,
. ,
. ,
于
提 为 源 项 控 制 反 问 题 并 采 用 脉 冲谱 优 化 法 实现 求 . 解 . 3 1 问 题 的数 学描 述
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眼
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污 染浓 度 控 制 域 . ‘ 成C ) 易
,
’ (
亡 )
同 第 2 节 一 样 选 取 。 x b 矩 形 河 段 作 为研 究 对 图 2 源 项 控 制 反 问题 . . 象 除 2 1 中 一系 列 假 设外 还 设 定 上 游 河段 中 有 一 块 污 染 排放 区域 g 排 放 强 度 (单 位 时 间 : 。 : ( 妇 i, 排 入 单 位 体 积 水体 中 的 污 染 物 的 质 量 ) 的 分 布 为 了 ( E 如 图 2 所 示 ) 则 污染 物 输 : 运 的数学表 达 式 为
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大
学
学
报
1993 年 9 月
对 g 内 提 出 环 境 容量 标 准 ( 附 加条 件 ) . 。 C (g 。 镇 C (g lc e 作 切P a 变 换 后 反 问 题 变 为
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。
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,
, 求变魔 了 肠
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, ,
,
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。,
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,
,
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一
1 第 2 卷第 5期
. 刁 忍d 口 (
金 忠青等
二 维对 流 扩散方 程 反 问 题 的求解
一
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,
的关 系
.
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学
。 。 ,
学
报
1993 年 9 月
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‘, ‘,
怖
. 等 . 3 3
计 算 步骤
根 据 前 面 所述 可 将 源 项控 制 反 问题 的 求 解 步 骤 归纳 如 下 a. ren x 咨 , 。 解 方 程 组 (s ) 得 G e 函 数 G (
, ,
,
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,
,
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. : 如 ) 的初 始 猜 测 值 f 0 (: () 根 据经 验给 出 了 ( 。, 羲 , 7 ( 将f 代入 约 束条 件 ( 一
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, ,
, 犷)
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一
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, , , ; s ; )
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.
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,
,
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,
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,
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,
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(
毛
,
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,
,
的 当 前值 即 为所 求 k = k+ l 转 e 令
( I
・
为
,
驹)
停 止 计算
.
否则
用 共 扼 梯 度 法 优化 计 算 得 到
计算 算 例 . . . 同 2 3 采 用 构 造 反 问 题 的 方 法 验证 脉 冲谱 优 化法 反 演 计算 的 可行 性 选 取 类 似 于 2 3 . 。 。 。 一 3 5 取定 , ~ l 中 的 一 些 参 数 将 河段 划 分 为 2 1 义 7 网 格 取值 如 表 1 . . . . : 。 。 5 此 外 还 假 定 上 游 河 段 匀 域 (设 为 一 3 一 5 , 一 l一 2 ) 精 度要 求 一 0 0 1 降 解 率 一 0 0
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,
一
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,
,
,
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,
,
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,
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,
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,
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,
・
s
,
数值 列于 表
, ,
. 月
据此 求 解正 问题
’ (
,
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,
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7
。 为污 染浓度 控 制域 g 其 浓度 即 为 c
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, ) s
,
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, ,
,
按 前 述 计 算步 骤
,
列 如表
,
.
与精 确 值相 比较 可 见
表 3
J
得 到 满 足 精度 要 求 的 f (‘ 力 值 . . . 反 演 的 最 大 绝 对 误 差 为 1 33 1 最 大 相 对 误 差 为 d 9 % 7 7 经 过 三 次 优 化迭 代
,
构 造 反 问 题选 用的 c
‘ (
岛
, ) s
10 1 1 . 5 4 7 5 1 .
1 1 4 7 5 6 1 .
1 2 4 ! ! 4 1 .
13 3 5 5 8 1 .
3 14 9
—
14
! 4 9 7 4 5 4 9 4 2 7 0 1 4 3
一
。 5 4 7
3 5
。 4 5 9 9 4 0 0 3 3 4 7 7 3 0 7 2 I 2
4
2
1
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3
6
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3
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3
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0
2
9
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5
2
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8
0
3
2
0
9
2
8
3
0
2
. 】 368 0
. 1 320 9
. 1 283 0
. 1 246 4
. ! 2 14 3
1 第 2 卷第 5 期
金忠 青等
二维对 流 扩散 方 程 反 问 题 的求解
一
表4
f (
f
忿,
反 演 结果
计 算值 . 20 120 6
少 )
1 )
精确 值
初估值
(3
( 3
,
绝对 误 差 . 0 120 6 . 0 993 0 . 0 030 7 . 0 164 4 . 1 328 8 . 1 33 7 1
相 对误 差 %
.0 72 41 96 1
,
.
f
2 )
3
5
0
,
.
l )
。
f
(
4
1 5
0
3
5
0
. 20 993 0 15 . 030 7 . 15 164 4 . 28 6 7 1 2 . 2 8 662 9
. f ( 4 2 )
。
1 5
0
. 35 0 . 35 0
. f ( 5 1 )
43 46
,
f ( 5
2
)
4
结
论
,
4.1
本 文 针 对 环 境 污 染 控制 问 题
一
1 在 文献 「
, 2
〕求 解 一 维 问题 的 基 础 上
,
,
提 出 并成 功 地 求
解 了二 维 对 流 扩 散方 程 边 界条 件控 制 反 问 题 和 源 项控 制反 问 题 从 而 给 出 了 一 种 解决 二 维 恒 . 定 河道 中 污 染 排 放 控 制 问 题 的 方法 . 4 2 本 文 把 单个 线源 的 简 单排 放 提 为边 界 条 件控 制反 问 题 经 过 数 学 推 导 给 出 了 待 求边 界 . 浓 度 与 附 加 条 件 之 间 的 解 析 关 系 式 这 样可 应 用 G re e 函 数 法实 现 直 接 反 演 其 计 算 过 程 简 n . 单 速 度 快 精度高 4 .3 多 个 污 染 源 的复 杂 排放 可 提 为 源 项 控 制 反 问 题 并 采 用 脉 冲谱 优 化 法 实 现 反 演控 制
, , , , , , , 一 ,
将 多 个 污 染 源 的控制 问 题 转 化 为 优 化伺 题
,
,
用 脉 冲 谱法 处 理 其 约 束条 件
,
、
,
定 变量 的 变 分表 达 式 后 用 共扼 梯 法 进行 优 化计算 使寻 优 过 程 显 著 加 快 . 4 4 本 文的计算 方 法 和 得 到 的 结 论 可 应 用 于 有 机 物 有 毒物 质 细 菌含 量 的 控 制 问 题
、
得 到 目标 泛 函 对 决 .
,
应 用 于 其 它 二 维 对流 扩 散 方 程 控 制 的 系统
一
,
如 热 输 运 和 泥 沙 悬 移质 的 输 运 等
.
还可
参
金忠青 报
, 1 9 9 1 ,
考
文
一
献 .
河 海 大学 学
,
陈 夕庆
; 1 9 (
.
1 )
用 脉 冲 谱 优化 法 求 解 对 流 扩散 方 程 边 界 条件 控 制 反 问题
: ] ~ 8
一
金 忠青
1 9 9 2 ;
,
陈 夕庆
: 0 ( 2 )
.
l ~
用 脉 冲 谱 优 化 法 求 解 对 流 扩 散 方 程 源 项 控制 反 问 题
8 , 1 8 9
一
一
.
河 海 大学 学 报
2
. : 河 流 水 质数学 及其 模 拟 计算 北 京 中 国 环 境 科 学 出 版 社 . . : 金 忠 青 流 体 力 学 反 问 题 从 预 测 到 控 制 河 海 大 学 科 技 情报 . . : 金 忠青 N 方 程 的 数 值 解 和 紊 流 模 型 南 京 河 海 大学 出 版 社
傅 国伟
.
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第 飞 第 期 卷 年 月
河
!
海
大
学
学
・
报
。
二
。
二维对流 扩散方程反问 题 的求 解
金 忠青
一
’
陈 金杭
水 力 发 电 工 程 系
摘要
本 文针 对 环境 工 程 中 的污 染排放 控制 间题 提出 并求解 了二维对 流 扩散方 程 的 边 界条 件 控
, , , , ,
,
一
制 反 间 题 和 源项 控 制 反 间 题 上游 单个 线源的 简单排放 可提为 边 界条 件 控 制 反 问 题 并应 用
函 数 直接 法 实 现 反演
其 计 算 过 程简单
一
计 算速 度快
,
精度高 多 个 污 染 源 的 复 杂排放 可 提为 源 计 算结 果表 明
,
项控制 反 间 题
,
并采用 脉冲 谱 优化 法 实现 反 演 控 制
一
该 法收敛速 度较快 变分
,
计 算效
率 较高 此外
,
本 文 所 提 出 的计 算 方 法 还 可 应 用 于 热输运 和 泥 沙悬 移 质 的 控 制 等 方 面 的 问 题
, , 对 流 扩 散 方 程 , 边 界条件 源 项 脉冲谱 法 , 优 化 法
・
关 键词
反 间题
中图 法 分 类 号
问 题 的提 出
文献 「
,
采 用 脉 冲 谱 优 化法 分 别 求 解 了 一 维 对 流 扩散 方 程 边 界 条 件 控制 反 问 题 和 源
,
一
一
项控 制 反问题
两 者 的成 果相 结 合
,
,
可 基 本解 决 一 维 河道 的 污 染源 控 制 的 问题
,
但一 维 的 成
果 尚不 能满 足 工 程 实 践 的 要 求
问题
本 文在 一 维 求 解 的 理 论 基 础 上
一
,
把 文献 〔
,
」 的 研 究成 果
推 广 到 二 维 情 况 由 简 到 繁 地 研 究 了 二 维 对 流 扩 散方 程的 边 界 条 件控 制反 间 题 和 源 项 控制 反 本文 的 研 究 可视 作 文 献 〔
一
〕的 发 展 和 补 充
二 维 对 流 扩 散 方 程 边 界条 件 控制 反 问题 的 求 解
在 工 程 实践 中
口
,
有 两 种典 型 的 排污 方 式
,
,
,
即排 污 入 海 和 排 污 入 江
,
,
河
一
在 排 污入海 的 河
、
出流 处
,
水 深 相 对 于 海洋 水域 面 积 很 小
在 这 两 种情 况 下
而 在排 污 入 江 的 情 况
通 常 水深 相 对 河 长
河宽
来 说也 较 小
常 可不 考虑 水 深 的 影 响
近 似 地用 二 维 对流 扩 散 方 程 来 描 述
污 染 物 的 输运 过 程
数 学描 述 作 为研 究的 第 一 阶 段 为
一
,
首 先 考虑 河段 上 只 含 单个 线 源 的情 况
,
为简 便 计
,
,
选取长 为
,
宽
的 矩 形 污 染 河 段 为研 究 对 象
。, 。
。
并 假定
在排 污 口
一
处
污 染 物 浓 度 由初 始 的 零
。
突增 为
在 某 时 段 内 保持 不 变
河 流 中各 处 水 体 密 度 均 匀 恒 定 排污 近 区 的 影 响 可 以 忽 略
在 下游 相 当 远 所示 的坐 标 系
,
处
,
污 染 物浓 度趋 于 均 匀
选 择如 图
污 染 物 输 运 即 可 由 下 列 方 程组描 述
国 家 白然 科 学 荃 金
资 助 项 目
项 目编 号
成果
。
收 稿 日期
一
一
河
海
大
学
学
报
年
月
控 制方 程
淤 一
初 始 条件
刁
材
口
,
刁
砂
记
,
,
一 一二一一 ,
一 二 一
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一
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、
,
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口
心
竺二
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心
、
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犷
一
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一
,
夕
,
‘ 一
。
一
一
边 界 条件
,
犷 ‘
,
二
一。
。
一
肥 韶 韶
劣,
,
,
‘
工
。
一
一
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更二 。
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—
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一
。
一
犷
,
匆
,
一
口
污 染 浓度控 制 区 域 岛 ‘ ‘口 岛
,
,
心
夕
,
一二 。
一
图
,
边 界 条 件 拉 制 反 问题
污染浓 度
, ,
句
式 中考虑 了 河 流 的 自 净 能 力
放浓 度
解方程
,
。
,
。,
,
棍
得到
—
,
— 水 流 纵 横 向 流 速 及 扩散 系 数
、 ,
河 流 的 降解 率
,
当
。
,
。,
—
,
。
,
— 时游 排 均 已知 求
, ‘
上
,
是 人 们熟 悉 的 正 问 题
,
现 在 的 问 题是 根据 环 境 容量 标 准
即
‘,
要 求在 图
,
・,
所 示的 区域
’
日。
内污 染 浓 度 不 超 过
。
,
,
,
。 。。
蕊
岛
,
,
‘
如 何 控 制 上 游 污染 物 的 排放 浓 度 边 界 条件 参 量
。
与 前 述正 问题 相 比
不 同 之 处 在 于 正 问 题 中 应属 已 知 的
二
,
现 成 为未 知 的 待 求 目标 正 问 题 中 应 属 于 求 解 目 标一 部 分 的
以 下 称 为附加 条 件
,
,
,
二
,
。
几
,
成 为 已 知 的 限 定条 件
由 于 所 需确 定的 目 标是上 游 边 界 条 件 上 的参 数
一
按照 文 献
对 变量
月 的分 类
该 问 题 属 于 二 维 对 流 扩 散方 程 边 界 条 件 控 制 反 问 题
函 数法
求 解 方法
—
, 一
夕
,
作关 于 时 ’ 的 加
“
,
一
厂
仪
,
变换
,
“
,
,
“’
一
」
。
,
,
‘ ’
一‘
‘
代入 初始 条 件
后
,
方程
、
,
转化为
一
刁
公
一
十
,
名
十 一 二二 ,
一。
,
十
一, 才一一
口
刁 之 ,
刁
戈一
,
构 二尸
沉, ‘
、
刁
,
犷
心
十
下尸 气 勺 二犷
刃
四
、
一
四
夕
,
,
。
一
淤 二二 夕 二 二二 二兰
击
,
艺
,
二
“一“
一
一
刃 淤
‘,
夕
, 一
即
,
鲜
, 一
匆
,
,
,
。 。。
‘
,
一
作 求 解方 程
,
变换 后
,
原 先 的时 空 域 问题 转 化为 频 空域 问 题
,
一
一
,
便 可在 选 定 频 率
,
名
的 条件下
避 开 非恒 定 过 程
不 需 求 解 各个 时 刻 的浓 度 在 空 间的 分 布
从 而 节 省计 算 机
第
卷第
期
金忠 青 等
二维 对 流 扩 散 方 程反 间 题 的 求解
一
时 方 程组 将
含 有非 齐 次 边 界 条件
尹
, ,
为 使其 齐 次 化
一
,
,
作变 量代 换
。
,
令
夕
,
,
犷
,
夕
一
式 代 入 方程
吸
一
小
刁
,
、
得 到 含 齐 次边 界 条 件
的 方 程 组
, 、
十
,
之
尹
十 丈丁
做
一。
尹
十
不丁 仁
。梦
刁
,
仰
七 不二 灭
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、
寸
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又 一 又万 七 。
,
刁
,
切 刁
名 。
一
才 夕
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犷
,
,
—
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一
神
神
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夕
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,
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建立了
甲
。 与 c 之 间 的关 系
, ; , ; )
,
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梦
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,
,
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( 蚤
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二
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.
也 即是方 程 组
长尸
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,
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、
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一
影
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)
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,
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,
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二
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,
,
,
,
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一。
一 ( 8 b )
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一 ( 8
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一
、
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一
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式中
,
‘ (:
, 一 古 犷一 帕 是二 维 D r i a
。
函数
,
定义 为
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夕 ~
,
( 9 )
。( :
一 咨
,
;
一
。)
一
于 才 U 气
5 + :
其 余情 况
由 (5 )
, ( 7 )
两 式可 得
,
‘
,
、 _ r 1
z 气
心
,
S
夕 =
L o L 甲尸
占
,
一
为 使 附 加 条 件 (刁
理 费用
,
一 f )
得 到满 足
,
同时 又 允 许 工 厂 尽 可 能多 地 排放 污 染物
, ,
二. ’
—
谷
,
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,
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、
,
,
‘,
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理
,
亏
,
S
a 夕
和 ‘」
,
(
1 0
)
以 减少 污 水 处
在 确 定 排 污 标 准时
,
一般 都 要 求 计算 结果 尽 量 满 足 。 。几 C (z ‘ C 习
; S , S ) ! ) ,
( 11 )
: 令 (10 ) 中
夕任 g
。,
并 考 虑 到 ( 11 ) 式
众 Co:
‘
可得
C
( g
。, 吕
)
生士 二
占
( 12 )
相同
.
式 即 为 求解 C 的 表 达 式
。
.
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,
,
,
。
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对 于 控 制 区域
习。
内各 点
) 经 ( 12
,
’
为满 足 对
。。
内各 点 提 出的 浓 度 要 求
显 然 应 取 其最 小者
。 式 得 到 的 c 值各 不 ) 故 将 ( 12 式 改 写 为
河
Co =
海
大
学
C
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学
,
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199 3 年 9 月
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。 。。
r n 。 8 求 解方 程 组 ( ) 得 到 G e 函 数 后 直 接代 入 解 析 式 ( 13 ) 得 到 c 即 可 作 为 上 游 污 染 . r n 5 源 控 制 浓 度 数 值 求解 G e 函 数 的方法 可采 用 有 限 体 积法 离 散 具 体 细 节 可 参 阅文 献 「 〕 . 这 里 不 作 详述 . 2 3 算 例 验证
, , ,
. 。 为 了 证 明上
述 计 算 方法 的 正 确 性 可 借 用 正 问题 的 解 构造 反 问 题来 验 证 假 定 一 1 0 仍 . g 。 。 0 1 上 游 边 界 浓 度 c ~ 3 sk /耐 给 定 在河段 2 x 7 离散 网 格点 上 的 分 布 . . 二 : , 1 所列 ( 足 连 续 方程 ) 暂 不 考 虑 河 流 的 自 净 能 力 即 取 一 0 选 取 夕 一 3 5 求 解 如表 满 . : , 。 一 1 至 7 为 反 问 题 控 制区 “ 正问 题 “ 可 得 到 其解 c ( 夕 ) 选 取 一 8 至 13 . 。 : : 军 。) 列 于 表 2 反 问 题 提 为 求 出上 游 边 界 域 岛 其 网 格点上 的 c ( 值 为 ’ (g C 的 限 制浓 度 C , 保征 岛 域 内浓 度 不 大 于 表 2 所 列 .
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: 表 1 河 段 中 点流 速场 节
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. 及扩 散系 数 k
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,
为 计算 简 便
,
假 设扩 散 系 散 只 沿 纵 向 节 点 变 化
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,
在 同 一 断 而 仁 匀分 布 均
显然
,
其 正 确 解 答应 为 C
。,
( g
。 ~
,
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s k g / m
,
・
. 相 对 误差 不 到 0 1 %
将C
’
s )
。 代 入 ( 一3 ) 式 经 计算 可 得 到 C 一 3
,
.
497 3
,
这 说 明 上 述 计算 方 法 是 合理 可 行 的
.
与 正 确解 的 绝 对 误 差 仅 为 0 0 0 2 7
.
,
1 第 2 卷第 5 期
金 忠青等
二维 对 流 扩散方 程 反 间 题 的 求解
一
表 2
由 正 问 题解选 择 的 少
(g 。
, ) s
值
0.709 8
2 3 1 1 0 0 . . 709 8 7 16 6
0.685 7
0 0 . . 685 7 69 1 2 刁3
D.66刁 刁
0 0 0 0 . . . . 66J 4 667 7 672 0 670 6
7
0 0 0 0 O
. . .
645 9 645 9 647 5
0 0 0
628 9 628 9 629 7
2
0 0 0
0
.
6 14 0 6 14 0
, 6 1 5 5
. 4 1 0 7 1 9 9 0
。 6 9
。 6 5 2 0 6 4 3
. 6 1 9 7
. 5 1 0 7
遨 0 8
0
.
.
692 8
。 6 5 0 2 0
. 6 3 3 2 0
. 6 ] 9 0
. 6 1 0 7 1 4 8 0
. 6 8 9 3 0 6 6 4 0 6 4 8 6 0 6 3 2 9 0
, 6 1 8 3
. 7 1 0 7 1 4 8 0
. 6 8 9 3 0
. 6 6 7
刁
0
.
64 8 6
0
。 6 3 2 9 0
. 6 1 8 3
. : ‘ ) 考虑 河 道 有 自净 能 力 取 一 0 0 5 川 借 用 表 2 作 为控 制 浓 度 C 场 其余 系 . . 。 reen 函 。 应 用前 述 G 反 演 得 到 C 一 3 5 19 8 与无 自 净能 力 时 的 c 一 3 4 9 3 数 不变 数 法可 直 接 7
此外
,
,
,
,
,
’
,
,
(
,
相 比 说 明 对 于 相 同 的 下游 控制 浓 度 考虑 自 净 能力 后 允 许上 游边 界排 放较 多 的 污 染 物 与 . 实际 情 况 相 符
3
,
,
,
二 维对 流 扩 散方程 源 项 控 制 反 问 题 的 求 解
, ,
一
实 际 河 道 中 排 污 情 况 一 般 较 复 杂 且 常含 有多 个 . 污 染 源 这 种 情 况 下 不 可能 将 多个 污 染 源 同时 处 理 . 为 边 界 条 件 因 而 不 可 能 提 为 边 界 条 件 控制 反 问题 但
,
是
,
多 个 污 染 源 可 在方 程的 源 项 中得 到 体 现
, 一
,
因此 可
上游 浓度
0
仇
,
. ,
. ,
于
提 为 源 项 控 制 反 问 题 并 采 用 脉 冲谱 优 化 法 实现 求 . 解 . 3 1 问 题 的数 学描 述
, ,
眼
吞 凡 乙
‘
:
\ ‘
,
,
口
工
污 染物 排 放域 f (: 扮)
C (岛
污 染浓 度 控 制 域 . ‘ 成C ) 易
,
’ (
亡 )
同 第 2 节 一 样 选 取 。 x b 矩 形 河 段 作 为研 究 对 图 2 源 项 控 制 反 问题 . . 象 除 2 1 中 一系 列 假 设外 还 设 定 上 游 河段 中 有 一 块 污 染 排放 区域 g 排 放 强 度 (单 位 时 间 : 。 : ( 妇 i, 排 入 单 位 体 积 水体 中 的 污 染 物 的 质 量 ) 的 分 布 为 了 ( E 如 图 2 所 示 ) 则 污染 物 输 : 运 的数学表 达 式 为
,
,
,
于 丁 :
韶
那
.
十
刁
,
刁 赵C .(
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一
、
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.
一 丁犷一
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_ , _
呷
,
、 _
,
‘
一
’
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‘
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一
沂
一
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鲜
犷
, ,
,
t
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二
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。
一 ( 1 4 b )
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,
t
一 。
一 ( 1 4
)
C
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,
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犷
,
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,
夕
,
.
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,
t
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.
( 14
。
一 d )
丘
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(14
一
e )
河
海
大
学
学
报
1993 年 9 月
对 g 内 提 出 环 境 容量 标 准 ( 附 加条 件 ) . 。 C (g 。 镇 C (g lc e 作 切P a 变 换 后 反 问 题 变 为
同样
,
。
,
, t )
t
)
(15 )
刁
。夕
,
,
,
(s + z)C +
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刁 赵C (
)
t -
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.
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,
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韶
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一
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一
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,
一
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一
( 1 6
b
)
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一
( 1 6
一
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一
’
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一 d )
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一
V
,
( 16
。 ) ( 1 6
一
e )
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一 f )
3
2
李转介为 优化 问题 求解
,
, 求变魔 了 肠
于 被 控 系统 的 优 化 问 题 控 制 目标 ( 附 加 条 件 ) 可 视作 其 目标 函 数 , 铃决定变量 控制 方 程 和 边 界 条 件 可视 作 约 束 条 件
, ,
,
待
目禄 泛 函
二
’
、 拐‘几
、
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〔 气
,
,。
.。 , 一 。: , 〕
(
1 7
一a
)
约束条 件
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,
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击
一。
十
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.
四
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.
、
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四
十
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,
夕
,
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二
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一 ( 17 e
)
巡留里 } 巡 过 }一
二
一
(17
一 d )
. 。 表 示 区 域 g 内的离 散 点 x ) 妇 的 隐 函 数 因 此 求 解 了 (: 优 化 问 题 ( 17 的 目标 泛 函 J 是 决定 变 量 f ( . : 妇 : 妇; 以 用 关键 是 求 出 J 对 了 ( 的 变分 拟 / 盯 ( 下 脉 冲谱 法进 行 推 导 川 式 中下 标 ‘
。,
。 夕
, , , , ,
晋
,
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, y
,
s )
即
(17
一
e )
,
妇 的
’
+ . 一
妇 可通 过 迭 代 过 程寻 求 令 C + 一 户 + ‘ . 。 . ‘尸 (。 为 迭 代 次数 ‘ 分 别 是 C 和 ’ 的 偏 差 ) 代 入 约 束 条 件 ( 17 户 和 f ’ t f + 一 ( 17 : 量级 分解 为 以 下 二 组 方 程
) 设 优化 问 题 ( 17
x 的解C 和 f (
,
,
’
,
f
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,
,
一
d
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、
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,
、
,
.
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一
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四
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十
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一
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b
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e )
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. _
。
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匆
一 ( 1 8 d )
一
1 第 2 卷第 5期
. 刁 忍d 口 (
金 忠青等
二 维对 流 扩散方 程 反 问 题 的求解
一
(‘
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) J
口
s
十
二
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一
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四
四
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,
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1 9
一
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一
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,
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,
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, ,
( 19 .
一 d )
8 ’ x ’ 9 1 方 程 ( 1 ) 是 普 通边 值 问 题 若 已 知 f ( 妇 则 不 难 数 值 求 解 c 方 程 〔 ) 的 意 义 : 妇 : 妇 在 于建 立 f J ( 的 微小 变 化 (脉 冲 ) 盯 ( 与 其 所引 起 的 c 的 变 化 ( 响应 ) 韶 之 间
,
的关 系
.
d 。 的解 为
。 。
(
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,
,
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一
“
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,
,
。
,
。
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:
, ; ) d
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,
式中
0
,
函数 ‘ ( x 古 梦 , 的 意义 同 第 2 节 考 虑 到 夕 以 外 的 区 域 中有 f ( z : x 夕) 三 0 从而 盯 ( 故 ( 2 1 )式 的积 分 区 间 可 缩 小 为 g 即
, G n , , , ) s e r , , ,
.
妇 三
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,
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,
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一
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,
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一
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, ;
,
。
,
,
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,
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,
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1 )
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式中
,
‘
、,
.
,
2 . ‘ 和 叭
,
,
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、l
. ,
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n2 到I
, : . , ;
纵坐 标 由
)
, (:
一
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,
到
,
、
。
,
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,
一
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。
.
。 ,
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,
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,
,
二
)
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,
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.
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,
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2 )
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,
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一
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, ; ) d ;
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,
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,
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一
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,
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公匀
山匀 2
落笋
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且
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并
,
,
,
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(24 )
其 余情 况
由 目标 泛 函 表 达 式
,
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河
海
大
学
。 。 ,
学
报
1993 年 9 月
。
一 2
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・
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.
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,
,
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,
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(26 )
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以及
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似 盯 (: 约 )
,
,
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、 、 2 、 C 二甲 夕 _ 〔 百 ,- 了
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2
.
,
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,
,
S
)
x , , ) 式 分 别 为 目标 泛 函 对 了 ( 变分 和 变 化 率 的 解析 表 达 式 导 得 此 二 式 . ( 17 得 到 f (x 夕J ) 共 扼 梯度 法 的 细 节 可 参 阅 优 化 书 籍 川 后 可 采 用 共扼 梯 度法 求 解 优化 问题 )
‘, ‘,
怖
. 等 . 3 3
计 算 步骤
根 据 前 面 所述 可 将 源 项控 制 反 问题 的 求 解 步 骤 归纳 如 下 a. ren x 咨 , 。 解 方 程 组 (s ) 得 G e 函 数 G (
, ,
,
・
:
,
,
S
;
)
. b
e.
. d
. : 如 ) 的初 始 猜 测 值 f 0 (: () 根 据经 验给 出 了 ( 。, 羲 , 7 ( 将f 代入 约 束条 件 ( 一
‘,
, ,
, 犷)
, )
,
一
一
)
b
)
~
(
1 7
e
和 精度 要 求 e> 0 令 k 一 O ; , x 得 相应 浓 度 场 C “ (
, , , ; s ; )
e
.
, ‘, ( 由 (26 ) 式计 算 “ / 盯 判 断 ( 7 式 是 否 得 到 满足 2 )
,
,
“
,
,
,
)
,
}似 }
奋 ‘,
/
‘ ‘, , f
,
(
二.
,
梦, )
: !}
毛
￡
( 2 7 )
,
若 (27)式 成立
f
. 3
,
奋 ‘+ ”
(
毛
,
夕)
,
,
的 当 前值 即 为所 求 k = k+ l 转 e 令
( I
・
为
,
驹)
停 止 计算
.
否则
用 共 扼 梯 度 法 优化 计 算 得 到
计算 算 例 . . . 同 2 3 采 用 构 造 反 问 题 的 方 法 验证 脉 冲谱 优 化法 反 演 计算 的 可行 性 选 取 类 似 于 2 3 . 。 。 。 一 3 5 取定 , ~ l 中 的 一 些 参 数 将 河段 划 分 为 2 1 义 7 网 格 取值 如 表 1 . . . . : 。 。 5 此 外 还 假 定 上 游 河 段 匀 域 (设 为 一 3 一 5 , 一 l一 2 ) 精 度要 求 一 0 0 1 降 解 率 一 0 0
4
,
一
,
,
,
,
.
,
k
k
Z
,
,
・
,
C
5
,
,
内 有 6 个 污 染源 . ~ 的 浓 度场 取 ‘ . C 。 习 表3 由
’ (
,
i 强 度分 别 为 f (
0 1 ~
) s
,
3 力 kg / m
,
・
s
,
数值 列于 表
, ,
. 月
据此 求 解正 问题
’ (
,
得 到相 应
]月
,
夕一 ! ~
7
。 为污 染浓度 控 制域 g 其 浓度 即 为 c
习。
, ) s
,
数 值 列于
, ,
,
按 前 述 计 算步 骤
,
列 如表
,
.
与精 确 值相 比较 可 见
表 3
J
得 到 满 足 精度 要 求 的 f (‘ 力 值 . . . 反 演 的 最 大 绝 对 误 差 为 1 33 1 最 大 相 对 误 差 为 d 9 % 7 7 经 过 三 次 优 化迭 代
,
构 造 反 问 题选 用的 c
‘ (
岛
, ) s
10 1 1 . 5 4 7 5 1 .
1 1 4 7 5 6 1 .
1 2 4 ! ! 4 1 .
13 3 5 5 8 1 .
3 14 9
—
14
! 4 9 7 4 5 4 9 4 2 7 0 1 4 3
一
。 5 4 7
3 5
。 4 5 9 9 4 0 0 3 3 4 7 7 3 0 7 2 I 2
4
2
1
6
3
6
8
3
3
2
0
3
2
3
9
1
0
2
9
3
5
2
3
6
8
0
3
2
0
9
2
8
3
0
2
. 】 368 0
. 1 320 9
. 1 283 0
. 1 246 4
. ! 2 14 3
1 第 2 卷第 5 期
金忠 青等
二维对 流 扩散 方 程 反 问 题 的求解
一
表4
f (
f
忿,
反 演 结果
计 算值 . 20 120 6
少 )
1 )
精确 值
初估值
(3
( 3
,
绝对 误 差 . 0 120 6 . 0 993 0 . 0 030 7 . 0 164 4 . 1 328 8 . 1 33 7 1
相 对误 差 %
.0 72 41 96 1
,
.
f
2 )
3
5
0
,
.
l )
。
f
(
4
1 5
0
3
5
0
. 20 993 0 15 . 030 7 . 15 164 4 . 28 6 7 1 2 . 2 8 662 9
. f ( 4 2 )
。
1 5
0
. 35 0 . 35 0
. f ( 5 1 )
43 46
,
f ( 5
2
)
4
结
论
,
4.1
本 文 针 对 环 境 污 染 控制 问 题
一
1 在 文献 「
, 2
〕求 解 一 维 问题 的 基 础 上
,
,
提 出 并成 功 地 求
解 了二 维 对 流 扩 散方 程 边 界条 件控 制 反 问 题 和 源 项控 制反 问 题 从 而 给 出 了 一 种 解决 二 维 恒 . 定 河道 中 污 染 排 放 控 制 问 题 的 方法 . 4 2 本 文 把 单个 线源 的 简 单排 放 提 为边 界 条 件控 制反 问 题 经 过 数 学 推 导 给 出 了 待 求边 界 . 浓 度 与 附 加 条 件 之 间 的 解 析 关 系 式 这 样可 应 用 G re e 函 数 法实 现 直 接 反 演 其 计 算 过 程 简 n . 单 速 度 快 精度高 4 .3 多 个 污 染 源 的复 杂 排放 可 提 为 源 项 控 制 反 问 题 并 采 用 脉 冲谱 优 化 法 实 现 反 演控 制
, , , , , , , 一 ,
将 多 个 污 染 源 的控制 问 题 转 化 为 优 化伺 题
,
,
用 脉 冲 谱法 处 理 其 约 束条 件
,
、
,
定 变量 的 变 分表 达 式 后 用 共扼 梯 法 进行 优 化计算 使寻 优 过 程 显 著 加 快 . 4 4 本 文的计算 方 法 和 得 到 的 结 论 可 应 用 于 有 机 物 有 毒物 质 细 菌含 量 的 控 制 问 题
、
得 到 目标 泛 函 对 决 .
,
应 用 于 其 它 二 维 对流 扩 散 方 程 控 制 的 系统
一
,
如 热 输 运 和 泥 沙 悬 移质 的 输 运 等
.
还可
参
金忠青 报
, 1 9 9 1 ,
考
文
一
献 .
河 海 大学 学
,
陈 夕庆
; 1 9 (
.
1 )
用 脉 冲 谱 优化 法 求 解 对 流 扩散 方 程 边 界 条件 控 制 反 问题
: ] ~ 8
一
金 忠青
1 9 9 2 ;
,
陈 夕庆
: 0 ( 2 )
.
l ~
用 脉 冲 谱 优 化 法 求 解 对 流 扩 散 方 程 源 项 控制 反 问 题
8 , 1 8 9
一
一
.
河 海 大学 学 报
2
. : 河 流 水 质数学 及其 模 拟 计算 北 京 中 国 环 境 科 学 出 版 社 . . : 金 忠 青 流 体 力 学 反 问 题 从 预 测 到 控 制 河 海 大 学 科 技 情报 . . : 金 忠青 N 方 程 的 数 值 解 和 紊 流 模 型 南 京 河 海 大学 出 版 社
傅 国伟
.
7
,
1
9
8
; 9
: 9 l ( ) 1
一1 2
一
,
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9
X
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一 S
v r r n e 件e t u m T eh n i
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