第2讲 空间几何体的表面积与体积
考点
考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】
本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．
基础梳理
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
2. (1)
(2)底面面积之和．
两种方法
(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
体积) 通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥) 的高，而通过直接计算得到高的数值．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编) 圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) ． A ．4πS C ．πS
B ．2πS 23D. 3πS
S π
解析 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，则r ＝ 又h ＝2πr ＝2πS ，∴S 圆柱侧＝πS ) 2＝4πS . 答案 A
2．(2012·东北三校联考) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) ．
A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2
解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，则长方体的体对角线长为(2a )＋a ＋a ＝6a . 又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a . ∴S 球＝4πR 2＝6π
a 2. 答案 B
3．(2011·北京) 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
( ) ．
A ．8 C ．10
B ．62 D ．2
解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为2，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南) 设
右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) ． 99
A. 2π＋12 B. 2π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18
解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边4⎛3⎫39
长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×3＋3π 2⎪2＋18.
⎝⎭
2
答案 B
5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 4π
解析 V ＝33＝3π，∴R 3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π
考向一 几何体的表面积
【例1】►(2011·安徽) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( ) ．
A ．48 C ．48＋17
B ．32＋817 D ．80
[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积． 解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋17. 答案
C
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分
析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 【训练1】 若一
个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) ． A. 3 C ．3
B ．2 D ．6
解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6. 答案 D
考向二 几何体的体积
【例2】►(2011·广东) 如图，某几何体的正视图(主视图) 是平行四边形，侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) ．
A ．183 B ．123 C ．3 D ．63
[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝93. 答案
C
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状
构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． 【训练2】 (2012·东莞模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( ) ．
2816
A. 3π B. 3π 4
C. 3＋8 D ．12 π
解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，428
则该几何体的体积为π×22×2＋3＝3 答案 A
考向三 几何体的展开与折叠
【例3】►(2012·广州模拟) 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．
[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，
从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，
则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .
(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 1142BC ＝×2×22＝△ACD ·333，
2由等体积性可知，几何体DABC 的体积为
3.
(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图
形) 各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
【训练3】 已知
在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 12，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋P A 1的最小值为________．
解析 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．铺平平面A 1BC
1、平面BCC 1，如图所示．
CP ＋P A 1≥A 1C .
在△AC 1C 中，由余弦定理得
A 1C 62＋(2)2－2·2·cos 135°＝50＝52，故(CP ＋P A 1) min ＝2.
答案 52
难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解
空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．
【示例1】► (2010·安徽) 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
( ) ．
A ．280 B ．292 C ．360 D ．
372
【示例2】► (2011·全国新课标) 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在3
同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的16体积较大者的高的比值为________．
第2讲 空间几何体的表面积与体积
考点
考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】
本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．
基础梳理
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
2. (1)
(2)底面面积之和．
两种方法
(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
体积) 通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥) 的高，而通过直接计算得到高的数值．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编) 圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) ． A ．4πS C ．πS
B ．2πS 23D. 3πS
S π
解析 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，则r ＝ 又h ＝2πr ＝2πS ，∴S 圆柱侧＝πS ) 2＝4πS . 答案 A
2．(2012·东北三校联考) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) ．
A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2
解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，则长方体的体对角线长为(2a )＋a ＋a ＝6a . 又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a . ∴S 球＝4πR 2＝6π
a 2. 答案 B
3．(2011·北京) 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
( ) ．
A ．8 C ．10
B ．62 D ．2
解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为2，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南) 设
右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) ． 99
A. 2π＋12 B. 2π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18
解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边4⎛3⎫39
长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×3＋3π 2⎪2＋18.
⎝⎭
2
答案 B
5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 4π
解析 V ＝33＝3π，∴R 3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π
考向一 几何体的表面积
【例1】►(2011·安徽) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( ) ．
A ．48 C ．48＋17
B ．32＋817 D ．80
[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积． 解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋17. 答案
C
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分
析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 【训练1】 若一
个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) ． A. 3 C ．3
B ．2 D ．6
解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6. 答案 D
考向二 几何体的体积
【例2】►(2011·广东) 如图，某几何体的正视图(主视图) 是平行四边形，侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) ．
A ．183 B ．123 C ．3 D ．63
[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝93. 答案
C
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状
构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解． 【训练2】 (2012·东莞模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( ) ．
2816
A. 3π B. 3π 4
C. 3＋8 D ．12 π
解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，428
则该几何体的体积为π×22×2＋3＝3 答案 A
考向三 几何体的展开与折叠
【例3】►(2012·广州模拟) 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．
[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，
从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，
则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .
(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 1142BC ＝×2×22＝△ACD ·333，
2由等体积性可知，几何体DABC 的体积为
3.
(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图
形) 各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
【训练3】 已知
在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 12，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋P A 1的最小值为________．
解析 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．铺平平面A 1BC
1、平面BCC 1，如图所示．
CP ＋P A 1≥A 1C .
在△AC 1C 中，由余弦定理得
A 1C 62＋(2)2－2·2·cos 135°＝50＝52，故(CP ＋P A 1) min ＝2.
答案 52
难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解
空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．
【示例1】► (2010·安徽) 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
( ) ．
A ．280 B ．292 C ．360 D ．
372
【示例2】► (2011·全国新课标) 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在3
同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的16体积较大者的高的比值为________．