压轴题39

1. （13分）已知抛物线y =x 2+bx +c 的顶点为M ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C. （1）如图，已知点A 、B 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）； ①直接写出抛物线的表达式：； ②连结BC 、BM ，求∠CBM 的正切值；

③点D 、E 都在线段AB 上，且AD=AC，点 F在线段BC 上，如果线段EF 被直线 CD 垂直平分，连结DF ，求

的值. AC

（2）当c

O A

2. （13分）将边长为4的等边三角形OAB 放置在平面直角坐标系中，其中O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，点A 在第一象限内，点D 是线段OB 上的动点，设OD=m . （1）直接写出点B 的坐标（，）.

（2）求△AOD 的面积（用含m 的代数式表示）.

（3）如图1，以AD 为直径的⊙M 分别交OA 、AB 于点E 、F ，连接EF ，求线段EF

长度的最小值. （4）如图2，点C 为线段AB 上的点，且BC=

AB ，点P 在线段OA 上（不与O 、A 重合）. 3

点D 在线段OB 上运动，当∠CPD=60°时，求满足条件的点P 的个数.

图2

3、（12分）在平面直角坐标系中, 抛物线y =ax 2+bx +c 经过坐标原点O 、点A （2，2）和点B （4，0）三个点, 连接OA 、OB. 得到△OAB, 点E 在OA 边上从点O 向点A 匀速运动（其中点E 不与点A 、O 重合）, 同时点F 以相同的速度在AB 边上从点A 向点B 运动. （1）求出该抛物线的解析式.

（2）若点C 是线段OB 的中点, 连接CE 、EF 、FC, 如图所示；

①在点E 运动的过程中, 四边形AECF 的面积是否会随着点E 位置的改变而发生变化? 如果变化请说明理由; 如果不变, 请求出四边形AECF 的面积;

②在点E 运动的过程中, 点A 到线段EF 的距离是否存在最大值, 如果存在请求出最大距离; 如果不存在, 请说明理由.

(第25题图)

4、（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（－3，0），点P 是y 轴上的一个动点，以AP 为边向上方作一等边三角形△APB.

（1）填空：当点B 位于x 轴上时，点B 的坐标是（，），当点B 位于y 轴上时，点B 的坐标是（，）；

（2）当点P 的坐标为（0，23）时，求OB 的值；

（3）通过操作、观察、判断：OB 是否存在最小值？若存在，请直接写出OB 的最小值；若不存在，试说明理由.

5．（13分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 为边AD 上一点，

将△ABE 沿直线BE 折叠，使A 点落在四边形对角线BD 上的P 点处，EP 的延长线交直线BC 于点F ．设AD =a ，AB =b ，BC =c ．（1）若∠ABE ＝30°，AE ＝3．请写出BE 的长度；（2）求证：△ABP ∽△BFE ；

（3）当四边形EFCD 为平行四边形时．试求出a 、b 、c 的数量之间的关系式．

F A

6．（13分）如图，在平面直角坐标中，过点A （4，0）的抛物线y =-x 2+bx 与直线y =-x +b 交于另一点B ．过抛物线y =-x 2+bx 的顶点E 作EF ⊥x 轴于F 点，点M （t ，d ）为抛物线y =-x 2+bx 在x 轴上方的动点．（1）填空：b ＝；

（2）连结ME ．当∠MEF ＝30°时，请求出t 的值；

（3）当t =3时，过点M 作MC ⊥x 轴于C 点，交AB 于点N ，连接ON ．点Q 为线段BN

上一动点，过点Q 作QR ∥MN 交ON 于点R ，连接MQ 、

时，求点R 的坐标．

7．（13分）一条抛物线y =x 2+mx +n 经过点(0，3)与(4，3)．（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；

（2）现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当⊙P 与坐标轴

相切时，求圆心P 的坐标；

（3）⊙P 能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线

y =x 2+mx +n 使⊙P 与两坐标轴都相切（要说明平移方法）．

8. （ 13分）如图，已知一次函数y 1=kx +b 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数

y 2=

c 5的图象相交于B （－1，5）、C （，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数y 1=kx +b

的图象上的动点．

（1）求k 、b 的值；（2）设-1

c 3

，过点P 作x 轴的平行线与函数y 2=的图象相交于点D ．试问△P AD

x 2

的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大

值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m =1-a ，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m

和n ）有且只有一个整数，求实数a 的取值范围．

11. （12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA= 4,OC=3．直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，且保持直线m ∥AC ．设直线m 与矩形OABC 的其中两条边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒），△OMN 的．．．面积为S ，且S 与t 的函数图象如图2（实线部分）所示．（1）图1中，点B 的坐标是_______, 矩形OABC 的面积为；图2中，a= , b= ．

（2）求图2中的图象所对应的函数关系式．

（3）求t 为何值时，直线m 把矩形OABC 的面积分成1︰3两部分．

12. （14分）已知：如图，点A （3，4）在直线y=kx上，过A 作AB ⊥x 轴于点B. （1）求k 的值；

（2）设点B 关于直线y=kx的对称点为C 点，求ΔABC 外接圆的面积；

13. （12分）如图，∆ABC 的顶点分别为A (2, 0) ，B (0, 2) ，C (0, -6) ，点D 为边AC 上的一个动点，过D 作DE ⊥BC 于点E ，P 为BD 中点，连结PA 、PE . （1）填空：AB =，BC =，AC =；

（2）当点P 落在x 轴上时，试判断四边形APED 的形状，并说明理由；

（3）设点P 的坐标为(m , n ) ，求n 与m 的函数表达式，并写出自变量m 的取值范围．

14. （14分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点, 抛物线y =(x -m ) 2+n (m ≠1) 与x 轴交于A (1, 0) 、B 两点，与y 轴交于点C . (1)用含m 的代数式直接表示n ；

(2)若该抛物线的顶点为D ，点E 的坐标为(m , -n ) .

①当m 为何值时，四边形ADBE 为正方形；

②连结AC 、BC ，当∠ADB =∠ACB 时，请求出该抛物线的函数表达式.

17、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB= 8．（1）当∠B = 60°时，BC = ；

（2）当其中有一个锐角为30°，动点P 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），且∠PAC=60°，则BP 的长为.

17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，E 、F 分别为边AB 、

AD 上的点，现将△AEF 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在BC 边上的点P 处.

（1）当BP ＝2时，△EBP 的周长=；（2）设BP ＝x ，则x 的取值范围是.

17．如图1，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=2BD，点P 是

（第16题图）

（第17题图）

AO 上一个动点，过点P 作 AC 的垂线交菱形的边于M ，N 两点．设AP ＝x ，△OMN 的面积为y ，表示y 与x 的函数关系大致如图2所示的抛物线．（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（, ) ；（2）菱形ABCD 的周长为.

7、如图，已知等边

三角形ABC 的

边长为2，E 、

F 、G 分别是边AB 、BC 、CA 的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 与x 的函数图象大致是（）

7、如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是边AB 、BC 、CA 的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 与x 的函数

第7题

B x

图象大致是（）

A ． B ． C ． D ．

17. 如图，直线l 与半径为6的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l 于B 点，连结AO 并延长交⊙O 于C 点，连结PA 、PC ．①∠APC ＝度；②设PA ＝x ，PB ＝y ，则（x －y ）的最大值是

7．如图，小李在篮球场上玩，从点O 出发，沿着O →A →B →O 的路径匀速跑动，能近似刻画小李所在位置距出发点O 的距离S 与时间t 之间的函数关系的大致图象是（）.

A ． B ． C ． D ．

17．无论m 取什么实数，点A (m +2, 3m +4) 都在直线l 上. (1)当m =1时, 点A 的坐标为；

(2)若B (a , b ) 是直线l 上的动点，则(3a -b +5) 的值等于．

1．解：（1）①y =x 2-2x -33分 ②∵OB=OC=3 ∴∠OCB=45° 4分

抛物线的顶点为M(1，-4) 过M 作y 轴的垂线，垂足为H, ∴CH=MH=1 ∴∠MCH=45° 5分 ∴∠BCM=90° BC=2,CM=2 ∴tan ∠CBM=

6分 3

③∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD ∵线段EF 被直线CD 垂直平分

∴∠ADC =∠FDC ∴∠ACD =∠FDC 7分 ∴DF ∥AC 8分∴

E A

B F

DF BD 4-== 9分 AC AB 4

（2）∵c

由圆周角定理得：∠APO=∠CBO ，∠PAO=∠BCO ，∴△AOP ∽△COB ， ∴

OP OB

= 10分 OA OC

设A （x 1，0），B （x 2，0），∵已知抛物线y =x +bx +c ， ∴x 1x 2=c ， 11分

∵c

（4，0） 3分

P O

（2）等边三角形OAB 的高为23 ∴△AOD 的面积=×2m =3m 6分

（3）连结EM 、FM ，作MN ⊥EF 于N, 在等边△OAB

∴∠EMF=120°, ∵EM=FM, ∴∠EMN=∠EMF=60°

∴EF=2EN=2EM·sin ∠EMN=

AD 7分 2

若线段EF 的长度要最小，则线段AD 的长要最小∴当即当m =2时，AD 有最小值23，此时EF 的长度有最小值，最小值为EF=

×232

(4) 在等边三角形OAB 中，∠AOB=∠A=60° 若∠CPD=60°，则∠1+∠2=120°∵∠3+∠2=120°

OP OD

=∴∠1=∠3∴△OPD ∽△ACP ∴ AC AP 128

设OP=x ，则AP=4-x ∵BC=AB ∴AC=AB=

333

∴

8x m 2

=, 化简得：x -4x +m =0 10分 34-x 2

832m =16-m 333

∴当∆时，方程没有实数根，此时对应的点P 不存在； 11分

当∆=0, 即m =时，方程有两个相等的实数根，此时对应的点P 有1个；12分

当∆>0, 即0≤m

例解析式为y =．…6分

∵∆=(-4) -4⨯1⨯

②x ≤-1或0＜x ≤1. …9分 (注：写一个得1分，写两个得3分)

3．（本小题12分）解：(1）把点O(0,0)、A(2,2) 和点B(4,0)代入y =ax 2+bx +c 得

1⎧

a =-⎪⎧c =02⎪12⎪

⎨4a +2b +c =2，解得⎨b =2， ∴抛物线的解析式为y =-x +2x . …3分

2⎪16a +4b +c =0⎪c =0

⎩⎪

⎩

（2）①四边形CEDF 的面积不随点E 位置的改变而发生变化. …4分连接AC ，如图所示: ∵A(2，2) ，B(4,0)，点C 是OB 的中点 ∴OC=BC=AC=2，∴∠AOC =∠ABO=45，∴OA=AB,∠OAB=90，

∴∠BAC =∠AOB =45°，∵AF=OE，∴△OC E≌△ACF ，…6分 ∴S 四边形AECF =S ∆AEC +S ∆AFC =S ∆AEC +S ∆OCE =S ∆AOC =

OC ∙AC =2. ………9分 2

②由①，△OC E≌△ACF ，∴EC=CF，∠AC F=∠ECO 。∵∠OC E+∠ECA =90°，∴∠ECA +∠AC F=∠EC F=90°。

∴△CFE 是等腰直角三角形，…10分∴EF=2CE ，当CE ⊥OA 时，即CE 最小时， EF取最小值为2，

S 四边形AECF =2为定值，此时点A 到线段EF 的最大距离为1. …12分

4．（本小题14分）解：（1）（ 3 ，0）；（ 0

； …3分

（2）①方法一：如图1 ∵A （－3，0） , P（0，2）∴OA =2, OP =2, 在Rt △AOP 中，由勾股定理，得AP =OA 2+OP 2=

21……………5分

在等边三角形ABP 中，AB =BP =AP =（b ＞0）可得 21, 设点B 坐标为（ a , b ）

AB 2=(a +3) 2+b 2=21, ……(Ⅰ) BP 2=a 2+(b -2) 2=21……(Ⅱ) 7分

由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 得6a +4b =3, 代入(Ⅰ) 或(Ⅱ) 可得84b 2-b -315=0, 解得b 1=

533

, b 2=-(不合，舍去) 22

95 , ）………10分 22

∴点B 坐标为（-

过点B 作BE ⊥x 轴，连接OB ，如图1所示，在Rt △OBE 中，BE =

539

, OE =. ∴OB =BE

2+OE 2=22,

方法二：如图2 以点B 为圆心，AB 为半径作⊙B ，交y 轴于点P 、E ，过点B 作BF ⊥PE 于F ，连接AE ．∵△ABP 是等边三角形， ∴AP=BP=AB，∠ABP=∠APB=∠BAP =60°，∴∠OEA=∠ABP =30°， ∴AE=2OA．∵A （-3，0），∴OA=3，∴AE=6．

在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OE=3．∵P （0，

23），∴OP=23，

在Rt △AOP 中，由勾股定理，得AP=21．∵PE =OE -OP =,

∵BF ⊥PE ，∴PF=PE=，∴OF=+2

在Rt △PFB 中，由勾股定理，得BF =

= 2

9 2

BP 2-PF 2=

∴点B 坐标为（-

95 , ）…10分其余同方法一. ……11分 22

3；……3分[ 操作、观察知：点B 在直线L ：y =-x +323

②存在， OB 的最小值为上移动，

∴当OB ⊥L 时，OB 取最小值，∴OB =

5．（13分）解：（1）BE ＝6……………………………………………… 3分

(2)∵AD ∥BC

∴∠AEB ＝∠EBF ……………………………………………4分由折叠得：∠AEB ＝∠PEB ，∠BAP ＝∠BP A ，

点A 与点P 是以BE 为对称轴的对称点………………5分

∴∠EBF ＝∠PEB ，AP ⊥EB

∴∠BAP ＋∠ABE ＝90°……………………………………6分 ∵∠ABC ＝90°∴∠EBF ＋∠ABE ＝90°

∴∠BAP ＝∠EBF ∴∠BP A ＝∠BAP ＝∠EBF ＝∠FEB …………7分 ∴△ABP ∽△BFE ………………………………………… 8分 (3)∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°

∴∠BAD ＝180°-∠ABC ＝90°

由折叠可得∠EPB ＝∠BAD ＝90°∴BD ＝a 2+b 2……… 9分当四边形EFCD 为平行四边形时，EF ∥CD ∴∠BDC ＝∠BAD ＝90°

∵A D∥BC ∴∠ADB ＝∠DBC

∴△ABD ∽△DCB ……………………………………………… 11分

AD DB

= DB CB

∵AD =a ，AB =b ，BC =c

∴∴

a a +b

a 2+b 2

…………………………………… 12分 c

∴a +b =ac ……………………………… 13分

6．（13分）解：（1）b ＝4 ………………………………………………… 2分

（2）y =-x 2+4x =-(x -2) 2+4E

∴E （2，4）, F （2，0

①当0＜t ＜2时，过作点M 作MD ⊥EF 于D 则MD ＝2-t ，ED ＝4-d ∴Rt △EMD 中，ED =MD ⨯cot ∠MEF =3(2-t ) 即4-d =(2-t ) ………又∵点M （t ，d ）在抛物线y =-x +4x 2

∴d =-t +4t

∴4-(-t 2+4t ) =(2-t ) ………… 52

(t -2) 2+3(t -2) =0

t 1=2-3，t 2=2 ②当2＜t ＜4时，设满足条件的点为M '点

∵点M '与点M （t ，d ）关于抛物线y =-x +4x 的对称轴EF ∴t =2+

∴当∠MEF ＝30°时，t 的值为2-或2+3…………………8分（3）点B 为抛物线y =-x 2+bx 与直线y =-x +b 的交点

∴点B （1，3），OB ＝，AB ＝32 当t ＝3时，可得M （3，3），OC ＝3，CM ＝3

y =-x +4=-3+4=1

∴点N （3，1），CN ＝1，MN ＝2，ON ＝……………… 9分 ∴OB ＝ON ∴∠BNO ＝∠OBN

在Rt △ACN 中，CA ＝OA －OC ＝1∴CN ＝CA ＝1

∴∠CAN ＝∠ANC ＝45°，AN ＝2∴BN ＝AB －AN ＝22

连结OB 、BF ．过点M 作MP ∥OB 交AB 于点P ，过点P 作NH ⊥QR 交QR 于点H

∴∠OBN ＝∠MPB ∴∠MPB ＝∠BNO

∵过点O ，点B （1，3）的直线解析式为y =3x ∴设过点M （3，3）的直线MP 解析式为y =3x +c

c =-6

直线MP 解析式为y =3x -6

直线MP 与直线y =-x +b 的交点为P （Rt △PNG 中，∠PNG ＝∠ANC ＝45°

，22

1∴PG ＝NG ＝，MP ＝

过点N 作NH ⊥QR 交QR 于点H

又∵QR ∥MN ∴NH ∥OC ∴∠HNR ＝∠NOC

∵∠MQR ﹣∠BRN ＝45°，∠MQR ＝∠MQP +∠RQN ＝∠∴∠BRN ＝∠MQP ∴△PMQ ∽△NBR QP PM CN 1

== ∴Rt △OCN 中，tan ∠CON =RN BN OC 3

RH 1

= ∴Rt △RHN 中，tan ∠RNH =

HN 3

∴

设RH ＝n ，则HN ＝3n ，∴RN =n ，QN =2n

∴QP ＝QN ﹣PN ＝32n -

………………………………2

32n -

∴

2=解得：n =2

7n 22

2⨯31525=，R 的纵坐标为：1-= 7777155

∴点R 的坐标为（，）……………………………………… 13分

∴R 的横坐标为：3-

7解：（1）∵抛物线过（0，3）（4，3）两点，

⎧n =3⎧m =-4

∴⎨2 解得：⎨， ⎩4+4m +n =3⎩n =3

∴抛物线的解析式是y=x －4x ＋3=（x －2）－1，顶点坐标为（2，－1）；……3分（2）设点P 的坐标为（x P ，y P ），

当⊙P 与y 轴相切时，有| x P |=1, ∴x P =±1．当x P =1时，y P =1﹣4+3=0；

当x P =﹣1，y P =（﹣1）﹣4（﹣1）+3=8．

此时，点P 的坐标为P 1（1，0），P 2（﹣1，8）；………………………5分当⊙P 与x 轴相切时，有| yP |=1，∴y P =±1．当y P =1时，x P 2﹣4 x P +3=1，解得：x P 2；当y P =﹣1时，x P 2－4 x P +3=－1，解得：x P =2．

∴P 3（2－2，1），P 4（2+2，1），P 5（2，﹣1）．…………7分综上所述，圆心P 的坐标为：

P 1（1，0），P 2（﹣1，8），P 3（2－2，1），P 4（2+2，1），P 5（2，﹣1）； ……………8分

（3）由（2）知，不能． ………………………9分设抛物线y =x 2﹣4x +3上下平移后的解析式为：y =（x ﹣2）2﹣1+h ，若⊙P 能与两坐标轴都相切，则|x 0|=|y P |=1，

∴x P =y P =1；或x P =y P =﹣1；或x P =1，y P =﹣1；或x P =﹣1，y P =1．…………10分在y =（x ﹣2）2﹣1+h 中，把x P 、y P 的值分别代入得

当x P =y P =1时，得h =1；当x P =﹣1，y P =﹣1时，得h =﹣9；

当x P =1，y P =﹣1时，得h =﹣1；当x P =﹣1，y P =1时，得h =﹣7． … 12分

∴将y =x 2﹣4x +3向上平移1个单位，或向下平移9个单位，或向下平移1个单位，或向下平移7个单位，就可使⊙P 与两坐标轴都相切. ………………13分 8解：（1）把⎨

⎧x =-1c c

代入y 2=得5=, 解得c =－5

-1x ⎩y =5

. ………………………2分 x

∴反比例函数解析式为y 2=-

5⎧x =55⎪5y =-把⎨代入得d =-=-2∴C （，－2） 22

x 2⎪y =d ⎩2

∵一次函数y 1=kx +b 的图象经过B （－1，5）、C （

，－2）两点， 2

⎧5=-k +b

⎧k =-2⎪

∴⎨，解得∴y =－2x +3………………………3分 5⎨

-2=k +b ⎩b =3⎪2⎩

（2）存在 ………………………4分设BC 与y 轴交于点E ∵DP ∥x 轴，且点D 在y 2=-

的图象上 x

y D =y P =n , x D =-∴D (-, n )

n n

∵P （m ，n ）在直线y =－2x +3上

3-n

，n ） 23-n 53-n 5

+, OE = n ∴PD =－(-) =

2n 2n 1

S △P AD =PD ·OE

13-n 51349

+）n =-(n -2+ =（ …………………5分

242162n

∴P （

（2）由已知，得P （1-a ，2a ＋1）

∵P （m ，n ）在直线y =－2x +3上∴ m ≠n ，即1-a ≠2a ＋1，即a ≠0.

11．解：（1）B 矩形OABC 的面积 4分

（2）当0＜t≤4时, 如图1，∵MN ∥AC ∴

3t OM ON t ON

=, 即=，ON=……5分

4OA OC 43

∴ S=

1133

OM ⋅ON =⋅t ⋅t =t 2………6分 2248

当4＜t ＜8时，如图2，∵OD=t，∴AD= t－4，

(t -4) ，∴ BM=6-t ， 444

由△BMN ∽△BAC ，得BN=BM =8－t ，∴CN=t－4，…7分

由△DAM ∽△AOC ，得AM=

∴S=S矩形OABC －S △OAM －S △MBN －S △NCO

33133

(t -4) －(8-t )(6-t ) －(t -4) =-t 2+3t …8分 22824

t ⋅(t -4)3t 3

（另解：S=S △ODN －S △ODM =-=-t 2+3t ）

228

=12－

（3）∵矩形OABC 的面积为12被分成1︰3两部分，

∴可得分成三角形和五边形的面积分别为3和9……9分

3813

当4＜t ＜8时，S △MBN =3, ∴(8-t )(6-t ) =3,

当0＜t≤4时，S △AOC =3，∴t =

3，解得t =…10分

解得t 1=8-

t 2=8+>8(不合，舍去）………11分

综上：当t =

t =8-OABC 的面积被MN 分成1:3两部分………12分 12∵点A （3，4）在直线y=kx上，

∴ 3k=4, ∴k=

……3分 3

(2) 如图1，∵点C 、B 关于直线OA 对称， ∴OA 是CB 的中垂线………………………4分作AB 的中垂线y=2与OA 交于点E ，

∴E 为△ABC 的外接圆圆心, ………………5分 ∵F 为AB 的中点， E F ∥OB

∴E 为OA 的中点,OA 为该圆的直径………6分 ∴△ABC 的外接圆的面积=π(OA ) 2=

OA 2=

(OB 2+AB 2) =

25π

…7分 4

（注：证A 、C 、O 、B 四点共圆，得OA 是直径，按步骤相应给分） 13．（12分）解：（1）AB =4，BC =8，AC =43；…3分（2

）∵AB 2+AC 2=42+2=64=BC 2， ∴∠BAC =90︒，∵P 为BD 中点， ∴PA =PD ，当点P 落在x 轴上时，

OC 6

==可得∠OAC =60︒， OA 2∴∆PAD 为等边三角形，即PA =PD =AD ，且∠APD =60︒， ∵DE ⊥BC ，P 为BD 中点，∴PE =PD ，

当点P 落在x 轴上时，PA //DE ，则∠PDE =∠APD =60︒，

由tan ∠OAC =

∴∆PDE 也是等边三角形，∴PE =DE =AD =PA ， ∴四边形APED 是菱形；………7分

（3）设AB 、BC 的中点分别为M 、N ，连结MN ，则MN //AC ∵P 为BD 中点，∴点P (m , n ) 必在线段MN 上，

即n 与m 的函数的图象为线段MN ，过M 分别作MG ⊥x 轴于点G ，

作MH ⊥y 轴于点H ，则有MG =OB =1，

MH =OA =3，∴M (3, 1) ，

∵CN =BC =4，∴ON =OC -CN =6-4=2，

， ∴N (0, -2) . 可设n 与m 的函数表达式为n =km +b （k ≠0）

⎧b =-2, 解得⎧k =, ∴⎨⎨

⎩k +b =1. ⎩b =-2.

（第25题图）

∴n 与m 的函数表达式为n =3m -2，其中自变量m 的取值范围为0≤m ≤3．…12

分

14．（14分）解：（1）n =-(m -1) 2=-m 2+2m -1；…3分（2）①连结DE 交AB 于点M ， ∵抛物线的对称轴为直线x =m ，

∴D (m , n ) ，E (m , -n ) 关于x 轴对称，且都在直线x =m 上. 由抛物线的对称性可知，A 、B 关于直线x =m 对称，

∴DE 与AB 互相垂直平分，∴四边形ADBE 必为菱形. …5分由（1）得，y =(x -m ) -(m -1)

令y =0得，(x -m ) -(m -1) =0，解得x 1=1，x 2=2m -1，

∴B (2m -1, 0) ，AB =2m -2.

由m ≠1知，n =-(m -1)

即2(m -1) =±(2m -2) ，解得m =0或m =2,(m =1不合题意舍去), ∴当m =0或m =2时，四边形ADBE 为正方形；…8分 ②设∆ABC 的外心为P ，连结PA ，则∠ACB =∠APM =由①得，四边形ADBE 必为菱形，则∠ADB =∠AEB ， ∴当∠ADB =∠ACB 时，必有∠AEB =∠ACB ，即点E 在∆ABC 的外接圆⊙P 上，

设PA =PE =r ，则PM =EM -PE =(m -1) -r ，

∠APB ， 2

AB =m - . 2

(m >1和m

2222222

由PM +MA =PA 可得，[(m -1) -r ]+(m -1) =r ， AM =

整理得，(m -1) -2(m -1) r +(m -1) =0，

m 2-2m +2

， ∴(m -1) -2r +1=0，解得r =

m 2-2m ， PM =

令x =0得，y =m 2-(m -1) 2=2m -1，则C 点坐标为(0, 2m -1) ，

∴OB =OC =2m -，∠CBA =45︒，设DE 与BC 交于点N ，连结AN ，则∠ANB =90︒, ∠NAM =45︒. ∴AN =2AM .

由tan ∠ACB =tan ∠APM 可得，

AN AM PM AM 1

=，即，∴CN =2PM ， ==CN PM CN AN 2

∵CN 2=AC 2-AN 2=(OA 2+OC 2) -AN 2=12+(2m -1) 2-2(m -1) 2=2m 2，

∴CN =∴

2m ，

m 2-2m . 2

2m =2⋅

解得m =0或m =4，则n =-1或n =-9，

∴所求抛物线的函数表达式为y =x 2-1或y =(x -4) 2-9. ……14分

③点D 、E 都在线段AB 上，且AD=AC，点 F在线段BC 上，如果线段EF 被直线 CD 垂直平分，连结DF ，求

的值. AC

（2）当c

O A

（2）求△AOD 的面积（用含m 的代数式表示）.

（3）如图1，以AD 为直径的⊙M 分别交OA 、AB 于点E 、F ，连接EF ，求线段EF

长度的最小值. （4）如图2，点C 为线段AB 上的点，且BC=

AB ，点P 在线段OA 上（不与O 、A 重合）. 3

点D 在线段OB 上运动，当∠CPD=60°时，求满足条件的点P 的个数.

图2

（2）若点C 是线段OB 的中点, 连接CE 、EF 、FC, 如图所示；

①在点E 运动的过程中, 四边形AECF 的面积是否会随着点E 位置的改变而发生变化? 如果变化请说明理由; 如果不变, 请求出四边形AECF 的面积;

②在点E 运动的过程中, 点A 到线段EF 的距离是否存在最大值, 如果存在请求出最大距离; 如果不存在, 请说明理由.

(第25题图)

4、（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（－3，0），点P 是y 轴上的一个动点，以AP 为边向上方作一等边三角形△APB.

（1）填空：当点B 位于x 轴上时，点B 的坐标是（，），当点B 位于y 轴上时，点B 的坐标是（，）；

（2）当点P 的坐标为（0，23）时，求OB 的值；

（3）通过操作、观察、判断：OB 是否存在最小值？若存在，请直接写出OB 的最小值；若不存在，试说明理由.

5．（13分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 为边AD 上一点，

（3）当四边形EFCD 为平行四边形时．试求出a 、b 、c 的数量之间的关系式．

F A

（2）连结ME ．当∠MEF ＝30°时，请求出t 的值；

（3）当t =3时，过点M 作MC ⊥x 轴于C 点，交AB 于点N ，连接ON ．点Q 为线段BN

上一动点，过点Q 作QR ∥MN 交ON 于点R ，连接MQ 、

时，求点R 的坐标．

7．（13分）一条抛物线y =x 2+mx +n 经过点(0，3)与(4，3)．（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；

（2）现有一半径为1、圆心P 在抛物线上运动的动圆，当⊙P 与坐标轴

相切时，求圆心P 的坐标；

（3）⊙P 能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线

y =x 2+mx +n 使⊙P 与两坐标轴都相切（要说明平移方法）．

8. （ 13分）如图，已知一次函数y 1=kx +b 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数

y 2=

c 5的图象相交于B （－1，5）、C （，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数y 1=kx +b

的图象上的动点．

（1）求k 、b 的值；（2）设-1

c 3

，过点P 作x 轴的平行线与函数y 2=的图象相交于点D ．试问△P AD

x 2

的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大

值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m =1-a ，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m

和n ）有且只有一个整数，求实数a 的取值范围．

（2）求图2中的图象所对应的函数关系式．

（3）求t 为何值时，直线m 把矩形OABC 的面积分成1︰3两部分．

12. （14分）已知：如图，点A （3，4）在直线y=kx上，过A 作AB ⊥x 轴于点B. （1）求k 的值；

（2）设点B 关于直线y=kx的对称点为C 点，求ΔABC 外接圆的面积；

（2）当点P 落在x 轴上时，试判断四边形APED 的形状，并说明理由；

（3）设点P 的坐标为(m , n ) ，求n 与m 的函数表达式，并写出自变量m 的取值范围．

14. （14分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点, 抛物线y =(x -m ) 2+n (m ≠1) 与x 轴交于A (1, 0) 、B 两点，与y 轴交于点C . (1)用含m 的代数式直接表示n ；

(2)若该抛物线的顶点为D ，点E 的坐标为(m , -n ) .

①当m 为何值时，四边形ADBE 为正方形；

②连结AC 、BC ，当∠ADB =∠ACB 时，请求出该抛物线的函数表达式.

17、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB= 8．（1）当∠B = 60°时，BC = ；

（2）当其中有一个锐角为30°，动点P 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），且∠PAC=60°，则BP 的长为.

17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，E 、F 分别为边AB 、

AD 上的点，现将△AEF 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在BC 边上的点P 处.

（1）当BP ＝2时，△EBP 的周长=；（2）设BP ＝x ，则x 的取值范围是.

17．如图1，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=2BD，点P 是

（第16题图）

（第17题图）

7、如图，已知等边

三角形ABC 的

边长为2，E 、

F 、G 分别是边AB 、BC 、CA 的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 与x 的函数图象大致是（）

7、如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是边AB 、BC 、CA 的点，且AE=BF=CG，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 与x 的函数

第7题

B x

图象大致是（）

A ． B ． C ． D ．

17．无论m 取什么实数，点A (m +2, 3m +4) 都在直线l 上. (1)当m =1时, 点A 的坐标为；

(2)若B (a , b ) 是直线l 上的动点，则(3a -b +5) 的值等于．

1．解：（1）①y =x 2-2x -33分 ②∵OB=OC=3 ∴∠OCB=45° 4分

抛物线的顶点为M(1，-4) 过M 作y 轴的垂线，垂足为H, ∴CH=MH=1 ∴∠MCH=45° 5分 ∴∠BCM=90° BC=2,CM=2 ∴tan ∠CBM=

6分 3

③∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD ∵线段EF 被直线CD 垂直平分

∴∠ADC =∠FDC ∴∠ACD =∠FDC 7分 ∴DF ∥AC 8分∴

E A

B F

DF BD 4-== 9分 AC AB 4

（2）∵c

由圆周角定理得：∠APO=∠CBO ，∠PAO=∠BCO ，∴△AOP ∽△COB ， ∴

OP OB

= 10分 OA OC

设A （x 1，0），B （x 2，0），∵已知抛物线y =x +bx +c ， ∴x 1x 2=c ， 11分

∵c

（4，0） 3分

P O

（2）等边三角形OAB 的高为23 ∴△AOD 的面积=×2m =3m 6分

（3）连结EM 、FM ，作MN ⊥EF 于N, 在等边△OAB

∴∠EMF=120°, ∵EM=FM, ∴∠EMN=∠EMF=60°

∴EF=2EN=2EM·sin ∠EMN=

AD 7分 2

若线段EF 的长度要最小，则线段AD 的长要最小∴当即当m =2时，AD 有最小值23，此时EF 的长度有最小值，最小值为EF=

×232

(4) 在等边三角形OAB 中，∠AOB=∠A=60° 若∠CPD=60°，则∠1+∠2=120°∵∠3+∠2=120°

OP OD

=∴∠1=∠3∴△OPD ∽△ACP ∴ AC AP 128

设OP=x ，则AP=4-x ∵BC=AB ∴AC=AB=

333

∴

8x m 2

=, 化简得：x -4x +m =0 10分 34-x 2

832m =16-m 333

∴当∆时，方程没有实数根，此时对应的点P 不存在； 11分

当∆=0, 即m =时，方程有两个相等的实数根，此时对应的点P 有1个；12分

当∆>0, 即0≤m

例解析式为y =．…6分

∵∆=(-4) -4⨯1⨯

②x ≤-1或0＜x ≤1. …9分 (注：写一个得1分，写两个得3分)

3．（本小题12分）解：(1）把点O(0,0)、A(2,2) 和点B(4,0)代入y =ax 2+bx +c 得

1⎧

a =-⎪⎧c =02⎪12⎪

⎨4a +2b +c =2，解得⎨b =2， ∴抛物线的解析式为y =-x +2x . …3分

2⎪16a +4b +c =0⎪c =0

⎩⎪

⎩

∴∠BAC =∠AOB =45°，∵AF=OE，∴△OC E≌△ACF ，…6分 ∴S 四边形AECF =S ∆AEC +S ∆AFC =S ∆AEC +S ∆OCE =S ∆AOC =

OC ∙AC =2. ………9分 2

②由①，△OC E≌△ACF ，∴EC=CF，∠AC F=∠ECO 。∵∠OC E+∠ECA =90°，∴∠ECA +∠AC F=∠EC F=90°。

∴△CFE 是等腰直角三角形，…10分∴EF=2CE ，当CE ⊥OA 时，即CE 最小时， EF取最小值为2，

S 四边形AECF =2为定值，此时点A 到线段EF 的最大距离为1. …12分

4．（本小题14分）解：（1）（ 3 ，0）；（ 0

； …3分

（2）①方法一：如图1 ∵A （－3，0） , P（0，2）∴OA =2, OP =2, 在Rt △AOP 中，由勾股定理，得AP =OA 2+OP 2=

21……………5分

在等边三角形ABP 中，AB =BP =AP =（b ＞0）可得 21, 设点B 坐标为（ a , b ）

AB 2=(a +3) 2+b 2=21, ……(Ⅰ) BP 2=a 2+(b -2) 2=21……(Ⅱ) 7分

由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 得6a +4b =3, 代入(Ⅰ) 或(Ⅱ) 可得84b 2-b -315=0, 解得b 1=

533

, b 2=-(不合，舍去) 22

95 , ）………10分 22

∴点B 坐标为（-

过点B 作BE ⊥x 轴，连接OB ，如图1所示，在Rt △OBE 中，BE =

539

, OE =. ∴OB =BE

2+OE 2=22,

在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OE=3．∵P （0，

23），∴OP=23，

在Rt △AOP 中，由勾股定理，得AP=21．∵PE =OE -OP =,

∵BF ⊥PE ，∴PF=PE=，∴OF=+2

在Rt △PFB 中，由勾股定理，得BF =

= 2

9 2

BP 2-PF 2=

∴点B 坐标为（-

95 , ）…10分其余同方法一. ……11分 22

3；……3分[ 操作、观察知：点B 在直线L ：y =-x +323

②存在， OB 的最小值为上移动，

∴当OB ⊥L 时，OB 取最小值，∴OB =

5．（13分）解：（1）BE ＝6……………………………………………… 3分

(2)∵AD ∥BC

∴∠AEB ＝∠EBF ……………………………………………4分由折叠得：∠AEB ＝∠PEB ，∠BAP ＝∠BP A ，

点A 与点P 是以BE 为对称轴的对称点………………5分

∴∠EBF ＝∠PEB ，AP ⊥EB

∴∠BAP ＋∠ABE ＝90°……………………………………6分 ∵∠ABC ＝90°∴∠EBF ＋∠ABE ＝90°

∴∠BAP ＝∠EBF ∴∠BP A ＝∠BAP ＝∠EBF ＝∠FEB …………7分 ∴△ABP ∽△BFE ………………………………………… 8分 (3)∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°

∴∠BAD ＝180°-∠ABC ＝90°

由折叠可得∠EPB ＝∠BAD ＝90°∴BD ＝a 2+b 2……… 9分当四边形EFCD 为平行四边形时，EF ∥CD ∴∠BDC ＝∠BAD ＝90°

∵A D∥BC ∴∠ADB ＝∠DBC

∴△ABD ∽△DCB ……………………………………………… 11分

AD DB

= DB CB

∵AD =a ，AB =b ，BC =c

∴∴

a a +b

a 2+b 2

…………………………………… 12分 c

∴a +b =ac ……………………………… 13分

6．（13分）解：（1）b ＝4 ………………………………………………… 2分

（2）y =-x 2+4x =-(x -2) 2+4E

∴E （2，4）, F （2，0

①当0＜t ＜2时，过作点M 作MD ⊥EF 于D 则MD ＝2-t ，ED ＝4-d ∴Rt △EMD 中，ED =MD ⨯cot ∠MEF =3(2-t ) 即4-d =(2-t ) ………又∵点M （t ，d ）在抛物线y =-x +4x 2

∴d =-t +4t

∴4-(-t 2+4t ) =(2-t ) ………… 52

(t -2) 2+3(t -2) =0

t 1=2-3，t 2=2 ②当2＜t ＜4时，设满足条件的点为M '点

∵点M '与点M （t ，d ）关于抛物线y =-x +4x 的对称轴EF ∴t =2+

∴当∠MEF ＝30°时，t 的值为2-或2+3…………………8分（3）点B 为抛物线y =-x 2+bx 与直线y =-x +b 的交点

∴点B （1，3），OB ＝，AB ＝32 当t ＝3时，可得M （3，3），OC ＝3，CM ＝3

y =-x +4=-3+4=1

∴点N （3，1），CN ＝1，MN ＝2，ON ＝……………… 9分 ∴OB ＝ON ∴∠BNO ＝∠OBN

在Rt △ACN 中，CA ＝OA －OC ＝1∴CN ＝CA ＝1

∴∠CAN ＝∠ANC ＝45°，AN ＝2∴BN ＝AB －AN ＝22

连结OB 、BF ．过点M 作MP ∥OB 交AB 于点P ，过点P 作NH ⊥QR 交QR 于点H

∴∠OBN ＝∠MPB ∴∠MPB ＝∠BNO

∵过点O ，点B （1，3）的直线解析式为y =3x ∴设过点M （3，3）的直线MP 解析式为y =3x +c

c =-6

直线MP 解析式为y =3x -6

直线MP 与直线y =-x +b 的交点为P （Rt △PNG 中，∠PNG ＝∠ANC ＝45°

，22

1∴PG ＝NG ＝，MP ＝

过点N 作NH ⊥QR 交QR 于点H

又∵QR ∥MN ∴NH ∥OC ∴∠HNR ＝∠NOC

∵∠MQR ﹣∠BRN ＝45°，∠MQR ＝∠MQP +∠RQN ＝∠∴∠BRN ＝∠MQP ∴△PMQ ∽△NBR QP PM CN 1

== ∴Rt △OCN 中，tan ∠CON =RN BN OC 3

RH 1

= ∴Rt △RHN 中，tan ∠RNH =

HN 3

∴

设RH ＝n ，则HN ＝3n ，∴RN =n ，QN =2n

∴QP ＝QN ﹣PN ＝32n -

………………………………2

32n -

∴

2=解得：n =2

7n 22

2⨯31525=，R 的纵坐标为：1-= 7777155

∴点R 的坐标为（，）……………………………………… 13分

∴R 的横坐标为：3-

7解：（1）∵抛物线过（0，3）（4，3）两点，

⎧n =3⎧m =-4

∴⎨2 解得：⎨， ⎩4+4m +n =3⎩n =3

∴抛物线的解析式是y=x －4x ＋3=（x －2）－1，顶点坐标为（2，－1）；……3分（2）设点P 的坐标为（x P ，y P ），

当⊙P 与y 轴相切时，有| x P |=1, ∴x P =±1．当x P =1时，y P =1﹣4+3=0；

当x P =﹣1，y P =（﹣1）﹣4（﹣1）+3=8．

∴P 3（2－2，1），P 4（2+2，1），P 5（2，﹣1）．…………7分综上所述，圆心P 的坐标为：

P 1（1，0），P 2（﹣1，8），P 3（2－2，1），P 4（2+2，1），P 5（2，﹣1）； ……………8分

∴x P =y P =1；或x P =y P =﹣1；或x P =1，y P =﹣1；或x P =﹣1，y P =1．…………10分在y =（x ﹣2）2﹣1+h 中，把x P 、y P 的值分别代入得

当x P =y P =1时，得h =1；当x P =﹣1，y P =﹣1时，得h =﹣9；

当x P =1，y P =﹣1时，得h =﹣1；当x P =﹣1，y P =1时，得h =﹣7． … 12分

⎧x =-1c c

代入y 2=得5=, 解得c =－5

-1x ⎩y =5

. ………………………2分 x

∴反比例函数解析式为y 2=-

5⎧x =55⎪5y =-把⎨代入得d =-=-2∴C （，－2） 22

x 2⎪y =d ⎩2

∵一次函数y 1=kx +b 的图象经过B （－1，5）、C （

，－2）两点， 2

⎧5=-k +b

⎧k =-2⎪

∴⎨，解得∴y =－2x +3………………………3分 5⎨

-2=k +b ⎩b =3⎪2⎩

（2）存在 ………………………4分设BC 与y 轴交于点E ∵DP ∥x 轴，且点D 在y 2=-

的图象上 x

y D =y P =n , x D =-∴D (-, n )

n n

∵P （m ，n ）在直线y =－2x +3上

3-n

，n ） 23-n 53-n 5

+, OE = n ∴PD =－(-) =

2n 2n 1

S △P AD =PD ·OE

13-n 51349

+）n =-(n -2+ =（ …………………5分

242162n

∴P （

（2）由已知，得P （1-a ，2a ＋1）

∵P （m ，n ）在直线y =－2x +3上∴ m ≠n ，即1-a ≠2a ＋1，即a ≠0.

11．解：（1）B 矩形OABC 的面积 4分

（2）当0＜t≤4时, 如图1，∵MN ∥AC ∴

3t OM ON t ON

=, 即=，ON=……5分

4OA OC 43

∴ S=

1133

OM ⋅ON =⋅t ⋅t =t 2………6分 2248

当4＜t ＜8时，如图2，∵OD=t，∴AD= t－4，

(t -4) ，∴ BM=6-t ， 444

由△BMN ∽△BAC ，得BN=BM =8－t ，∴CN=t－4，…7分

由△DAM ∽△AOC ，得AM=

∴S=S矩形OABC －S △OAM －S △MBN －S △NCO

33133

(t -4) －(8-t )(6-t ) －(t -4) =-t 2+3t …8分 22824

t ⋅(t -4)3t 3

（另解：S=S △ODN －S △ODM =-=-t 2+3t ）

228

=12－

（3）∵矩形OABC 的面积为12被分成1︰3两部分，

∴可得分成三角形和五边形的面积分别为3和9……9分

3813

当4＜t ＜8时，S △MBN =3, ∴(8-t )(6-t ) =3,

当0＜t≤4时，S △AOC =3，∴t =

3，解得t =…10分

解得t 1=8-

t 2=8+>8(不合，舍去）………11分

综上：当t =

t =8-OABC 的面积被MN 分成1:3两部分………12分 12∵点A （3，4）在直线y=kx上，

∴ 3k=4, ∴k=

……3分 3

(2) 如图1，∵点C 、B 关于直线OA 对称， ∴OA 是CB 的中垂线………………………4分作AB 的中垂线y=2与OA 交于点E ，

∴E 为△ABC 的外接圆圆心, ………………5分 ∵F 为AB 的中点， E F ∥OB

∴E 为OA 的中点,OA 为该圆的直径………6分 ∴△ABC 的外接圆的面积=π(OA ) 2=

OA 2=

(OB 2+AB 2) =

25π

…7分 4

（注：证A 、C 、O 、B 四点共圆，得OA 是直径，按步骤相应给分） 13．（12分）解：（1）AB =4，BC =8，AC =43；…3分（2

）∵AB 2+AC 2=42+2=64=BC 2， ∴∠BAC =90︒，∵P 为BD 中点， ∴PA =PD ，当点P 落在x 轴上时，

OC 6

==可得∠OAC =60︒， OA 2∴∆PAD 为等边三角形，即PA =PD =AD ，且∠APD =60︒， ∵DE ⊥BC ，P 为BD 中点，∴PE =PD ，

当点P 落在x 轴上时，PA //DE ，则∠PDE =∠APD =60︒，

由tan ∠OAC =

∴∆PDE 也是等边三角形，∴PE =DE =AD =PA ， ∴四边形APED 是菱形；………7分

（3）设AB 、BC 的中点分别为M 、N ，连结MN ，则MN //AC ∵P 为BD 中点，∴点P (m , n ) 必在线段MN 上，

即n 与m 的函数的图象为线段MN ，过M 分别作MG ⊥x 轴于点G ，

作MH ⊥y 轴于点H ，则有MG =OB =1，

MH =OA =3，∴M (3, 1) ，

∵CN =BC =4，∴ON =OC -CN =6-4=2，

， ∴N (0, -2) . 可设n 与m 的函数表达式为n =km +b （k ≠0）

⎧b =-2, 解得⎧k =, ∴⎨⎨

⎩k +b =1. ⎩b =-2.

（第25题图）

∴n 与m 的函数表达式为n =3m -2，其中自变量m 的取值范围为0≤m ≤3．…12

分

14．（14分）解：（1）n =-(m -1) 2=-m 2+2m -1；…3分（2）①连结DE 交AB 于点M ， ∵抛物线的对称轴为直线x =m ，

∴D (m , n ) ，E (m , -n ) 关于x 轴对称，且都在直线x =m 上. 由抛物线的对称性可知，A 、B 关于直线x =m 对称，

∴DE 与AB 互相垂直平分，∴四边形ADBE 必为菱形. …5分由（1）得，y =(x -m ) -(m -1)

令y =0得，(x -m ) -(m -1) =0，解得x 1=1，x 2=2m -1，

∴B (2m -1, 0) ，AB =2m -2.

由m ≠1知，n =-(m -1)

设PA =PE =r ，则PM =EM -PE =(m -1) -r ，

∠APB ， 2

AB =m - . 2

(m >1和m

2222222

由PM +MA =PA 可得，[(m -1) -r ]+(m -1) =r ， AM =

整理得，(m -1) -2(m -1) r +(m -1) =0，

m 2-2m +2

， ∴(m -1) -2r +1=0，解得r =

m 2-2m ， PM =

令x =0得，y =m 2-(m -1) 2=2m -1，则C 点坐标为(0, 2m -1) ，

∴OB =OC =2m -，∠CBA =45︒，设DE 与BC 交于点N ，连结AN ，则∠ANB =90︒, ∠NAM =45︒. ∴AN =2AM .

由tan ∠ACB =tan ∠APM 可得，

AN AM PM AM 1

=，即，∴CN =2PM ， ==CN PM CN AN 2

∵CN 2=AC 2-AN 2=(OA 2+OC 2) -AN 2=12+(2m -1) 2-2(m -1) 2=2m 2，

∴CN =∴

2m ，

m 2-2m . 2

2m =2⋅

解得m =0或m =4，则n =-1或n =-9，

∴所求抛物线的函数表达式为y =x 2-1或y =(x -4) 2-9. ……14分

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