5.4 频域稳定判据
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性G (j ω) 来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。
1．辅助函数
对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函
数为
G (s ) =G 0(s ) H (s ) =
相应的闭环传递函数为 M (s ) （5-59）
N (s ) Φ(s ) =N (s ) G 0(s ) G 0(s ) G 0(s ) == （5-60） N (s ) +M (s ) 1+G (s ) 1+N (s )
式中，M (s ) 为开环传递函数的分子多项式，m 阶；N (s ) 为开环传递函数的分母多项式，n 阶，n ≥m 。由式(5-59)、式(5-60)可见，N (s ) +M (s ) 和N (s ) 分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比构成辅助函数
F (s ) =M (s ) +N (s ) =1+G (s ) （5-61） N (s )
实际系统传递函数G (s ) 分母阶数n 总是大于或等于分子阶数m ，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设−z 1，−z 2，…，−z n 和−p 1，−p 2，…，−p n 分别为其零、极点，则辅助函数F (s ) 可表示为
F (s ) =(s +z 1)(s +z 2) (s +z n )
(s +p 1)(s +p 2) L (s +p n )
（5-62）
综上所述可知，辅助函数F (s ) 具有以下特点：
（1）辅助函数F (s ) 是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
（2）F (s ) 的零点和极点的个数相同，均为n 个。
（3）F (s ) 与开环传递函数G (s ) 之间只差常量1。F (s ) =1+G (s ) 的几何意义为：F 平面上的坐标原点就是G 平面上的（−1, j 0）点，如图5-34所示。
2．幅角定理
辅助函数F (s ) 是复变量s 的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数F (s ) 在s 平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点d ，都可通过F (s ) 的映射关系在F (s ) 平面上找到一个相应的点d ' (称d ' 为d 的像) ；对于s 平面上的任意一条不通过F (s ) 任何奇异点的封闭曲线Γ，也可通过映射关系在F (s ) 平面(以下称Γ平面) 找到一条与它相对应的封闭曲线Γ' (Γ
' 称为Γ的像) ，如图5-35所示。
图5-35 s 平面与F 平面的映射关系
设s 平面上不通过F (s ) 任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F (s ) 在s 平面上的Z 个零点和P 个极点。当s 以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F 平面上相对应于封闭曲线Γ的像Γ' 将以顺时针的方向围绕原点旋转R 圈。R 与Z 、P 的关系为
R =Z −P （5-63）
3．奈奎斯特稳定判据
为了确定辅助函数F (s ) 位于右半s 平面内的所有
零、极点数，现将封闭曲线Γ扩展为整个右半s 平面。为
此，设计Γ曲线由以下3段所组成：
ⅰ– 正虚轴s =j ω：频率ω由0变到∞；
ⅱ–半径为无限大的右半圆s =R e j θR →∞，θ由：
π2变化到−π2；
ⅲ– 负虚轴s =j ω：频率ω由−∞变化到0。
这样，3段组成的封闭曲线Γ（称为奈奎斯特路径，
简称奈氏路径）就包含了整个右半s 平面，如图5-36
所示。
图5-36 奈奎斯特路径
在F 平面上绘制与Γ相对应的像Γ' ：当s 沿虚轴变化时，由式（5-61）则有
F (j ω) =1+G (j ω) （5-64）
式中，G (j ω) 为系统的开环频率特性。因而Γ' 将由下面几段组成：
ⅰ– 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性F (j ω) ，相当于把G (j ω) 右移一个单位；
ⅱ–和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F (s ) →1。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当s →∞时，G (s ) →0，故有F (s ) =1+G (s ) →1；
ⅲ–和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性F (j ω) 对称于实轴的镜像。
图5-37绘出了系统开环频率特性曲线G (j ω) 。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为F 平面上的封闭曲线Γ' 如图5-38所示。图中用虚线表示镜像。
对于包含了整个右半s 平面的奈氏路径来说，式（5-63）中的Z 和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s 平面上的极点数，而R 则是F 平面上Γ' 曲线顺时针包围原点的圈数，也就是G 平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（−1, j 0）点的圈数。在实际系统分析过程中，我们一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有
R =−2N （5-65） 其中，N 是开环幅相特性曲线G (j ω) （不包括其镜像）包围G 平面（−1, j 0）点的圈数（逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-65）代入式（5-63），可得奈奎斯特判据（简称奈氏判据）：
Z =P −2N （5-66）
式中，Z 是右半s 平面中闭环极点的个数，P 是右半s 平面中开环极点的个数，N 是G 平面上G (j ω) 包围（−1, j 0）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当Z =
P −2
N =0时，闭环系统才是稳定的。
.
图5-37 G (j ω) 特性曲线 图5-38 F 平面上的封闭曲线
例5-9 设系统开环传递函数为
G (s ) =52 2(s +2)(s +2s +5)
试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图5-39所
示。当ω=0时，曲线起点在实轴上G (j 0) =5. 2。
当ω→∞时，终点在原点。当ω=2. 5时曲线和负
虚轴相交，交点为−j 5. 06。当ω=3时，曲线和负
实轴相交，交点为−2. 0。见图5-39中实线部分。
开环在右半s 平面上，系统的开环极点数为0。
顺时针频率特性G (j ω) 随着ω从0变化到+∞时，
用式（5-66）方向围绕点（−1, j 0）一圈，即N =−1。
可求得闭环系统在右半s 平面的极点数为 图5-39
幅相特性曲线及其镜像
Z =P −2N =0−2×(−1) =2
所以闭环系统不稳定。
利用奈氏判据还可以讨论开环增益K 对闭环系统稳定性的影响。当K 值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图5-39而论，当频率ω=3时，曲线与
点，若K 缩小一半，取K =2. 6时，曲线恰好通过点（−1, j 0），负实轴正好相交在（−2, j 0）
这是临界稳定状态；当K
例5-10 系统结构图如图5-40所示，
试判断系统的稳定性并讨论K 值对系统稳定性的
影响。
图5-40 例5-10系统结构图 图5-41 K
特性曲线 >1和K
解 系统是一个非最小相角系统，开环不稳定。开环传递函数在右半s 平面上有一个极点， P =1。幅相特性曲线如图5-41所示。当ω=0时，曲线从负实轴点（−K , j 0）出发；当ω→∞时，曲线以−90o 趋于坐标原点；幅相特性包围点（−1, j 0）的圈数N 与K 值有关。图5-41绘出了K >1和K
当K >1时，曲线逆时针包围了点（−1, j 0）的2圈，即N =2，此时
Z =P −2N =1−2×(2) =0，故闭环系统稳定；当K
有一个闭环极点在右半s 平面，故系统不稳定。 即N =0，此时Z =P −2N =1−2×0=1，
5.4.2 奈奎斯特稳定判据的应用
如果开环传递函数G (s ) 在虚轴上有极点，则不能直接应用图5-36所示的奈氏路径，因为幅角定理要求奈氏轨线不能经过F (s ) 的奇点，为了在这种情况下应用奈氏判据，可以对奈氏路径略作修改。使其沿着半径为无穷小（r →0）的右半圆绕过虚轴上的极点。例如，当开环传递函数中有纯积分环节时，s
平面原点有极点，相应的奈氏路径可以修改如图5-42所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈
氏路径避开了极点，又包围了整个右半s 平面，前述的奈氏判
据结论仍然适用，只是在画幅相特性曲线时，s 取值需要先从
j 0绕半径无限小的圆弧逆时针转90o 到j 0+，然后再沿虚轴
到j ∞。这样需要补充s =j 0→j 0小圆弧所对应的G (j ω)
特性曲线。
设系统开环传递函数为 +
G (s ) =K ∏(τi s +1)
s v ∏(T j s +1)
j =1i =1n −v m 图5-42 开环含有积分 环节时的奈氏路径
式中，v 为系统型别。当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有s =lim re r →0jv θ，映射到G 平
面的曲线可以按下式求得
G (s ) s =lim re j θ=
r →0K ∏(τi s +1) s v ∏(T j s +1)
j =1s =lim re j θ
r →0m i =1−=lim K −jv θ−jv θe e =∞ （5-67） r →0r v
由上述分析可见，当s 沿小半圆从ω=0变化到ω=0+时，θ角沿逆时针方向从0变化到π2，这时G 平面上的映射曲线将从∠G (j 0) 位置沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向转过−v π2角度。在确定G (j ω) 绕点(−1，j 0) 圈数N 的值时，要考虑大圆弧的影响。
例5-11 已知开环传递函数为
G (s ) =K s (Ts +1)
其中K >0，T >0，绘制奈氏图并判别系统的稳定性。
解 该系统G (s ) 在坐标原点处有一个极点，为Ⅰ型系统。取奈氏路径如图5-42所示。当s 沿小半圆移动从ω=0变化到ω=0+时，在G 平面上映射曲线为半径R →∞的π2圆弧。幅相特性曲线（包括大圆弧）如图5-43所示。此系统开环传递函数在右半s 平面无极点，P =0；G (s ) 的奈氏曲线又不包围点（−1, j 0），N =0；因此Z =P −2N =0，闭环系统是稳定的。
图5-43 例5-11的奈氏图 图5-44 例5-12的奈氏图
例5-12 已知系统开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
试绘制奈氏图，并分析闭环系统的稳定性。 K (s +3) s (s −1)
解 由于G (s ) H (s ) 在右半s 平面有一极点，故P =1。当0
奈氏曲线顺时针包围点（−1, j 0）−5-44(a)所示，图中可见，当ω从0到+∞变化时，
圈，即N 2=−2，Z =P −2N =1+2(2) =2，因此闭环系统不稳定。当K >1时，其奈氏图如图5-44(b)所示，当ω从0到+∞变化时，奈氏曲线逆时针包围点（−1, j 0）+2圈，N =+2，Z =P −2N =1−2(2) =0，此时闭环系统是稳定的。
5.4.3 对数稳定判据
实际上，系统的频域分析设计通常是在Bode 图上进行的。将奈奎斯特稳定判据引申到Bode 图上，以Bode 图的形式表现出来，就成为对数稳定判据。在Bode 图上运用奈奎斯特判据的关键在于如何确定G (j ω) 包围点（−1, j 0）的圈数N 。
系统开环频率特性的奈氏图与Bode 图存在一定的对应关系，如图5-45所示。
（1） 奈氏图上G (j ω) =1的单位圆与Bode 图上的0dB 线相对应。单位圆外部对应于L (ω) >0，单位圆内部对应于L (ω)
（2） 奈氏图上的负实轴对应于Bode 图上ϕ(ω) =−180o 线。
在奈氏图中，如果开环幅相特性曲线在点(−1, j 0) 以左穿过负实轴，则称为“穿越”。
曲线按相位增加方向(自上而下) 穿过点(−1, j 0) 以左的负实轴，则称为正若沿ω增加方向，
穿越；反之曲线按相位减小方向(自下而上)穿过点(−1, j 0)以左的负实轴，则称为负穿越，
幅相特性曲线自点(−1, j 0) 以左的负实轴上某点开如图5-45(a ) 所示。如果沿ω增加方向，
始向下(上) 离开，或从负实轴上(下) 方趋近到点(−1, j 0) 以左的负实轴上某点，则称为半次正(负) 穿越。
图5-45 奈氏图与Bode 图的对应关系
在Bode 图上，对应在L (ω) >0的频段范围内沿ω增加方向，对数相频特性曲线按相位增加方向(自下而上) 穿过−180o 线称为正穿越；反之，曲线按相位减小方向(自上而下) 穿过
对数相频曲线沿ω增加方向自−180o 同理，在L (ω) >0的频段范围内，−180o 线为负穿越。
线开始向上(下) 离开，或从下(上) 方趋近到−180o 线，则称为半次正(负) 穿越，如图5.45（b ）所示。
在奈氏图上，正穿越一次，对应于幅相特性曲线逆时针包围点(−1, j 0) 一圈，而负穿越一次，对应于顺时针包围点(−1, j 0) 一圈，因此幅相特性曲线包围点(−1, j 0) 的次数等于正、负穿越次数之差，即
N =N +−N − （5-68）
式中N +是正穿越次数，N −是负穿越次数。在Bode 图上可以应用此方法方便地确定N 。
例5-13 单位反馈系统的开环传递函数为
1K *(s +) G (s ) =2 s (s +1)(s +2)
当K *=0.8时，判断闭环系统的稳定性。
解 首先计算G (j ω) 曲线与实轴交点坐标。
1⎡5⎤1−0.8⎢1+ω2+j ω(−ω2) ⎥0.8(+j ω) 2⎣2⎦ G (j ω) ==2224−ω(1+j ω)(2+j ω) ω⎡⎣4+5ω+ω⎤⎦
令Im G (j ω) =0，解出ω=2。计算相应实部的值Re [G (j ω) ]=−0. 5333。由此可画出开环幅相特性和开环对数频率特性分别如图5-46(b ) 和(c ) 所示。系统是Ⅱ型的，相应在G (j ω) ，ϕ(ω) 上补上180o 大圆弧，如图5-46(b)、(c)中虚线所示。应用对数稳定判据，在L (ω) >0的频段范围（0～ωc ）内，ϕ(j ω) 在ω=0+处有负、正穿越各2次，所以
N =N +−N −=2−2=0
Z =P −2N =0−2×0=0
可知闭环系统是稳定的。
图5-46 开环零、极点分布及幅相特性和对数频率特性图
5.4 频域稳定判据
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性G (j ω) 来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。
1．辅助函数
对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函
数为
G (s ) =G 0(s ) H (s ) =
相应的闭环传递函数为 M (s ) （5-59）
N (s ) Φ(s ) =N (s ) G 0(s ) G 0(s ) G 0(s ) == （5-60） N (s ) +M (s ) 1+G (s ) 1+N (s )
式中，M (s ) 为开环传递函数的分子多项式，m 阶；N (s ) 为开环传递函数的分母多项式，n 阶，n ≥m 。由式(5-59)、式(5-60)可见，N (s ) +M (s ) 和N (s ) 分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比构成辅助函数
F (s ) =M (s ) +N (s ) =1+G (s ) （5-61） N (s )
实际系统传递函数G (s ) 分母阶数n 总是大于或等于分子阶数m ，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设−z 1，−z 2，…，−z n 和−p 1，−p 2，…，−p n 分别为其零、极点，则辅助函数F (s ) 可表示为
F (s ) =(s +z 1)(s +z 2) (s +z n )
(s +p 1)(s +p 2) L (s +p n )
（5-62）
综上所述可知，辅助函数F (s ) 具有以下特点：
（1）辅助函数F (s ) 是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
（2）F (s ) 的零点和极点的个数相同，均为n 个。
（3）F (s ) 与开环传递函数G (s ) 之间只差常量1。F (s ) =1+G (s ) 的几何意义为：F 平面上的坐标原点就是G 平面上的（−1, j 0）点，如图5-34所示。
2．幅角定理
辅助函数F (s ) 是复变量s 的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数F (s ) 在s 平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点d ，都可通过F (s ) 的映射关系在F (s ) 平面上找到一个相应的点d ' (称d ' 为d 的像) ；对于s 平面上的任意一条不通过F (s ) 任何奇异点的封闭曲线Γ，也可通过映射关系在F (s ) 平面(以下称Γ平面) 找到一条与它相对应的封闭曲线Γ' (Γ
' 称为Γ的像) ，如图5-35所示。
图5-35 s 平面与F 平面的映射关系
设s 平面上不通过F (s ) 任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F (s ) 在s 平面上的Z 个零点和P 个极点。当s 以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F 平面上相对应于封闭曲线Γ的像Γ' 将以顺时针的方向围绕原点旋转R 圈。R 与Z 、P 的关系为
R =Z −P （5-63）
3．奈奎斯特稳定判据
为了确定辅助函数F (s ) 位于右半s 平面内的所有
零、极点数，现将封闭曲线Γ扩展为整个右半s 平面。为
此，设计Γ曲线由以下3段所组成：
ⅰ– 正虚轴s =j ω：频率ω由0变到∞；
ⅱ–半径为无限大的右半圆s =R e j θR →∞，θ由：
π2变化到−π2；
ⅲ– 负虚轴s =j ω：频率ω由−∞变化到0。
这样，3段组成的封闭曲线Γ（称为奈奎斯特路径，
简称奈氏路径）就包含了整个右半s 平面，如图5-36
所示。
图5-36 奈奎斯特路径
在F 平面上绘制与Γ相对应的像Γ' ：当s 沿虚轴变化时，由式（5-61）则有
F (j ω) =1+G (j ω) （5-64）
式中，G (j ω) 为系统的开环频率特性。因而Γ' 将由下面几段组成：
ⅰ– 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性F (j ω) ，相当于把G (j ω) 右移一个单位；
ⅱ–和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F (s ) →1。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当s →∞时，G (s ) →0，故有F (s ) =1+G (s ) →1；
ⅲ–和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性F (j ω) 对称于实轴的镜像。
图5-37绘出了系统开环频率特性曲线G (j ω) 。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为F 平面上的封闭曲线Γ' 如图5-38所示。图中用虚线表示镜像。
对于包含了整个右半s 平面的奈氏路径来说，式（5-63）中的Z 和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s 平面上的极点数，而R 则是F 平面上Γ' 曲线顺时针包围原点的圈数，也就是G 平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（−1, j 0）点的圈数。在实际系统分析过程中，我们一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有
R =−2N （5-65） 其中，N 是开环幅相特性曲线G (j ω) （不包括其镜像）包围G 平面（−1, j 0）点的圈数（逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-65）代入式（5-63），可得奈奎斯特判据（简称奈氏判据）：
Z =P −2N （5-66）
式中，Z 是右半s 平面中闭环极点的个数，P 是右半s 平面中开环极点的个数，N 是G 平面上G (j ω) 包围（−1, j 0）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当Z =
P −2
N =0时，闭环系统才是稳定的。
.
图5-37 G (j ω) 特性曲线 图5-38 F 平面上的封闭曲线
例5-9 设系统开环传递函数为
G (s ) =52 2(s +2)(s +2s +5)
试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图5-39所
示。当ω=0时，曲线起点在实轴上G (j 0) =5. 2。
当ω→∞时，终点在原点。当ω=2. 5时曲线和负
虚轴相交，交点为−j 5. 06。当ω=3时，曲线和负
实轴相交，交点为−2. 0。见图5-39中实线部分。
开环在右半s 平面上，系统的开环极点数为0。
顺时针频率特性G (j ω) 随着ω从0变化到+∞时，
用式（5-66）方向围绕点（−1, j 0）一圈，即N =−1。
可求得闭环系统在右半s 平面的极点数为 图5-39
幅相特性曲线及其镜像
Z =P −2N =0−2×(−1) =2
所以闭环系统不稳定。
利用奈氏判据还可以讨论开环增益K 对闭环系统稳定性的影响。当K 值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图5-39而论，当频率ω=3时，曲线与
点，若K 缩小一半，取K =2. 6时，曲线恰好通过点（−1, j 0），负实轴正好相交在（−2, j 0）
这是临界稳定状态；当K
例5-10 系统结构图如图5-40所示，
试判断系统的稳定性并讨论K 值对系统稳定性的
影响。
图5-40 例5-10系统结构图 图5-41 K
特性曲线 >1和K
解 系统是一个非最小相角系统，开环不稳定。开环传递函数在右半s 平面上有一个极点， P =1。幅相特性曲线如图5-41所示。当ω=0时，曲线从负实轴点（−K , j 0）出发；当ω→∞时，曲线以−90o 趋于坐标原点；幅相特性包围点（−1, j 0）的圈数N 与K 值有关。图5-41绘出了K >1和K
当K >1时，曲线逆时针包围了点（−1, j 0）的2圈，即N =2，此时
Z =P −2N =1−2×(2) =0，故闭环系统稳定；当K
有一个闭环极点在右半s 平面，故系统不稳定。 即N =0，此时Z =P −2N =1−2×0=1，
5.4.2 奈奎斯特稳定判据的应用
如果开环传递函数G (s ) 在虚轴上有极点，则不能直接应用图5-36所示的奈氏路径，因为幅角定理要求奈氏轨线不能经过F (s ) 的奇点，为了在这种情况下应用奈氏判据，可以对奈氏路径略作修改。使其沿着半径为无穷小（r →0）的右半圆绕过虚轴上的极点。例如，当开环传递函数中有纯积分环节时，s
平面原点有极点，相应的奈氏路径可以修改如图5-42所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈
氏路径避开了极点，又包围了整个右半s 平面，前述的奈氏判
据结论仍然适用，只是在画幅相特性曲线时，s 取值需要先从
j 0绕半径无限小的圆弧逆时针转90o 到j 0+，然后再沿虚轴
到j ∞。这样需要补充s =j 0→j 0小圆弧所对应的G (j ω)
特性曲线。
设系统开环传递函数为 +
G (s ) =K ∏(τi s +1)
s v ∏(T j s +1)
j =1i =1n −v m 图5-42 开环含有积分 环节时的奈氏路径
式中，v 为系统型别。当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有s =lim re r →0jv θ，映射到G 平
面的曲线可以按下式求得
G (s ) s =lim re j θ=
r →0K ∏(τi s +1) s v ∏(T j s +1)
j =1s =lim re j θ
r →0m i =1−=lim K −jv θ−jv θe e =∞ （5-67） r →0r v
由上述分析可见，当s 沿小半圆从ω=0变化到ω=0+时，θ角沿逆时针方向从0变化到π2，这时G 平面上的映射曲线将从∠G (j 0) 位置沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向转过−v π2角度。在确定G (j ω) 绕点(−1，j 0) 圈数N 的值时，要考虑大圆弧的影响。
例5-11 已知开环传递函数为
G (s ) =K s (Ts +1)
其中K >0，T >0，绘制奈氏图并判别系统的稳定性。
解 该系统G (s ) 在坐标原点处有一个极点，为Ⅰ型系统。取奈氏路径如图5-42所示。当s 沿小半圆移动从ω=0变化到ω=0+时，在G 平面上映射曲线为半径R →∞的π2圆弧。幅相特性曲线（包括大圆弧）如图5-43所示。此系统开环传递函数在右半s 平面无极点，P =0；G (s ) 的奈氏曲线又不包围点（−1, j 0），N =0；因此Z =P −2N =0，闭环系统是稳定的。
图5-43 例5-11的奈氏图 图5-44 例5-12的奈氏图
例5-12 已知系统开环传递函数为
G (s ) H (s ) =
试绘制奈氏图，并分析闭环系统的稳定性。 K (s +3) s (s −1)
解 由于G (s ) H (s ) 在右半s 平面有一极点，故P =1。当0
奈氏曲线顺时针包围点（−1, j 0）−5-44(a)所示，图中可见，当ω从0到+∞变化时，
圈，即N 2=−2，Z =P −2N =1+2(2) =2，因此闭环系统不稳定。当K >1时，其奈氏图如图5-44(b)所示，当ω从0到+∞变化时，奈氏曲线逆时针包围点（−1, j 0）+2圈，N =+2，Z =P −2N =1−2(2) =0，此时闭环系统是稳定的。
5.4.3 对数稳定判据
实际上，系统的频域分析设计通常是在Bode 图上进行的。将奈奎斯特稳定判据引申到Bode 图上，以Bode 图的形式表现出来，就成为对数稳定判据。在Bode 图上运用奈奎斯特判据的关键在于如何确定G (j ω) 包围点（−1, j 0）的圈数N 。
系统开环频率特性的奈氏图与Bode 图存在一定的对应关系，如图5-45所示。
（1） 奈氏图上G (j ω) =1的单位圆与Bode 图上的0dB 线相对应。单位圆外部对应于L (ω) >0，单位圆内部对应于L (ω)
（2） 奈氏图上的负实轴对应于Bode 图上ϕ(ω) =−180o 线。
在奈氏图中，如果开环幅相特性曲线在点(−1, j 0) 以左穿过负实轴，则称为“穿越”。
曲线按相位增加方向(自上而下) 穿过点(−1, j 0) 以左的负实轴，则称为正若沿ω增加方向，
穿越；反之曲线按相位减小方向(自下而上)穿过点(−1, j 0)以左的负实轴，则称为负穿越，
幅相特性曲线自点(−1, j 0) 以左的负实轴上某点开如图5-45(a ) 所示。如果沿ω增加方向，
始向下(上) 离开，或从负实轴上(下) 方趋近到点(−1, j 0) 以左的负实轴上某点，则称为半次正(负) 穿越。
图5-45 奈氏图与Bode 图的对应关系
在Bode 图上，对应在L (ω) >0的频段范围内沿ω增加方向，对数相频特性曲线按相位增加方向(自下而上) 穿过−180o 线称为正穿越；反之，曲线按相位减小方向(自上而下) 穿过
对数相频曲线沿ω增加方向自−180o 同理，在L (ω) >0的频段范围内，−180o 线为负穿越。
线开始向上(下) 离开，或从下(上) 方趋近到−180o 线，则称为半次正(负) 穿越，如图5.45（b ）所示。
在奈氏图上，正穿越一次，对应于幅相特性曲线逆时针包围点(−1, j 0) 一圈，而负穿越一次，对应于顺时针包围点(−1, j 0) 一圈，因此幅相特性曲线包围点(−1, j 0) 的次数等于正、负穿越次数之差，即
N =N +−N − （5-68）
式中N +是正穿越次数，N −是负穿越次数。在Bode 图上可以应用此方法方便地确定N 。
例5-13 单位反馈系统的开环传递函数为
1K *(s +) G (s ) =2 s (s +1)(s +2)
当K *=0.8时，判断闭环系统的稳定性。
解 首先计算G (j ω) 曲线与实轴交点坐标。
1⎡5⎤1−0.8⎢1+ω2+j ω(−ω2) ⎥0.8(+j ω) 2⎣2⎦ G (j ω) ==2224−ω(1+j ω)(2+j ω) ω⎡⎣4+5ω+ω⎤⎦
令Im G (j ω) =0，解出ω=2。计算相应实部的值Re [G (j ω) ]=−0. 5333。由此可画出开环幅相特性和开环对数频率特性分别如图5-46(b ) 和(c ) 所示。系统是Ⅱ型的，相应在G (j ω) ，ϕ(ω) 上补上180o 大圆弧，如图5-46(b)、(c)中虚线所示。应用对数稳定判据，在L (ω) >0的频段范围（0～ωc ）内，ϕ(j ω) 在ω=0+处有负、正穿越各2次，所以
N =N +−N −=2−2=0
Z =P −2N =0−2×0=0
可知闭环系统是稳定的。
图5-46 开环零、极点分布及幅相特性和对数频率特性图