第八讲 绝对值与一元一次方程
绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值
符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．
解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．
纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦
爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．
例题讲解
【例1】方程5x +6=6x -5的解是 ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合2a +7+2a -1=8的整数a 的值的个数有( )．
A ．5 B．4 C． 3 D．2 （希望杯邀请赛试题） 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．
链接：形如ax +b =cx +d 的绝对值方程可变形为ax +b =±(cx +d ) 且cx +d ≥0，
才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．
【例3】x -3x +1=4； (天津市竞赛题) 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如ax +b +c +d =e 的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如ax +b =cx +d 的方程求解．
【例4】解下列方程：
(1)x +3-x -1=x +1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)x -1+x -5=4． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．
【例5】已知关于x 的方程x -2+x -3=a ，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．
思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结
论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 【例6】方程x +1+x -3=4的整数解有（ ）．
A ．2个 B．3个 C．5个 D．无穷多个 （希望杯邀请赛试题） 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．
基础训练
一、基础夯实 1. 方程3(│x │-1)=
|x |5
+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.
2. 已知│3990x+1995│=1995,那么x=______. 3. 已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.
4. 关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________. 5. 使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C.
23
D.不存在
6. 方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).
A.不确定 B.无数个 C.2个 D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7. 已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x- A.10或
25
12
|-1=0,则m 的值是( ).
B.10或-25
25
25
C.-10或 D.-10或- (2000年山东省竞赛题)
8. 若│2000x+2000│=20×2000, 则x 等于( ). A.20或-21 B.-20或21
C.-19或21 D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题) 9. 解下列方程:
(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;
(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.
10. 讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.
二、能力拓展
11. 方程│││x-2│-1│=2的解是________.
12. 若有理数x 满足方程│1-x │=1+│x │, 则化简│x-1│的结果是_______. 13. 若a>0,b
14. 若0
16. 若关于x 的方程│2x-3│+m=0无解, │3x-4│+n=0只有一个解, │4x-5│+•k=0有两个解, 则m 、n 、k 的大小关系是( ).
A.m>n>k B.n>k>m C.k>m>n D.m>k>n 17. 适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x 的值有( )个. A.0 B.1 C.2 D.大于2的自然数 18. 方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
19. 设a 、b 为有理数, 且│a │>0,方程││x-a │-b │=3有三个不相等的解,•求b 的值.
(“华杯赛”邀请赛试题)
20. 当a 满足什么条件时, 关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a有一解? 有无数多个解? 无解?
三、综合创新
21. 已知│x+2│+│1-x │=9-│y-5│-│1+y│, 求x+y的最大值与最小值. (第15届江苏省竞赛题)
22.(1)数轴上两点表示的有理数是a 、b, 求这两点之间的距离; (2)是否存在有理数x, 使│x+1│+│x-3│=x?
(3)是否存在整数x, 使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x; 如果不存在, 说明理由.
答案： 1. ±
107
、2或0 2.0或-1 3.5
4.-1,a ≥0 提示:由│a+1│=│a │+1得a ×1≥0, 即a ≥0 5.D 6.B 7.A 8.D 9.(1)x=3或x=
13
;(2)x=9或x=-12
37
;(3)x=-12
43
或x=2;
(4)提示:分x
1212
、 •≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,
≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式, 说明凡
≤x ≤2的x 值都是方程的解.
10. 当k
当k=0时, 原方程有两解:x=-1或x=-5;
当02时, 原方程有两解:x+3=±2(•2+k).
11. ±5 12.1-x 13.b≤x ≤a 提示:利用绝对值的几何意义解. 14.7、21 提示:当0
19. 提示:若b+3、b-3都是非负的, 而且如果其中一个为零, 则得3个解; 如果都不是零, 则得4个解, 故b=3. 20. 提示:由绝对值几何意义知: 当-33或a
21. 提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,• 由绝对值的几何意义知, 当-2≤x ≤1且-1≤y ≤5时, 上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3; 当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.
22.(1)│a-b │;(2)不存在;(3)x=±3, ±2, ±1,0.
提高训练
1．若方程x -1002
2
=1002
3
的解分别是x 1、x 2，则x 1+x 2=______．
（希望杯邀请赛试题） 2．方程
x -3-x +12x +1
=1的解是______． （希望杯邀请赛试题）
3．已知：有理数x 、y 、z 满足xy 0，并且x =3，y =2，z +1=2，则
x +y +z =______． (北京市迎春杯竞赛
题)
4．已知x =3x +1，则(64x 2+48x +9) 2009=________． （广东省竞赛题） 5．方程x -3+3x =1的解是_________． （山东省竞赛题） 6．满足方程22x -4-3=2x -1的所有解的和为______． (新加坡竞赛题) 7．若关于x 的方程x -2-1=a 有三个整数解，则a 的值为（ ）．
A ．0 B．1 C．2 D．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程x +1+x -1=a 有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．
A ．a ≥0 B．a >0 C．a ≥1 D．a ≥2 （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）
b (a ≠0，9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、有a ⊕b =a ≠1) ，
2003a +2004b
a
2
，
-a
已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）
第八讲 绝对值与一元一次方程
绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值
符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．
解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．
纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦
爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．
例题讲解
【例1】方程5x +6=6x -5的解是 ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合2a +7+2a -1=8的整数a 的值的个数有( )．
A ．5 B．4 C． 3 D．2 （希望杯邀请赛试题） 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．
链接：形如ax +b =cx +d 的绝对值方程可变形为ax +b =±(cx +d ) 且cx +d ≥0，
才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．
【例3】x -3x +1=4； (天津市竞赛题) 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如ax +b +c +d =e 的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如ax +b =cx +d 的方程求解．
【例4】解下列方程：
(1)x +3-x -1=x +1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)x -1+x -5=4． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．
【例5】已知关于x 的方程x -2+x -3=a ，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．
思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结
论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 【例6】方程x +1+x -3=4的整数解有（ ）．
A ．2个 B．3个 C．5个 D．无穷多个 （希望杯邀请赛试题） 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．
基础训练
一、基础夯实 1. 方程3(│x │-1)=
|x |5
+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.
2. 已知│3990x+1995│=1995,那么x=______. 3. 已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.
4. 关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________. 5. 使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C.
23
D.不存在
6. 方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).
A.不确定 B.无数个 C.2个 D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7. 已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x- A.10或
25
12
|-1=0,则m 的值是( ).
B.10或-25
25
25
C.-10或 D.-10或- (2000年山东省竞赛题)
8. 若│2000x+2000│=20×2000, 则x 等于( ). A.20或-21 B.-20或21
C.-19或21 D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题) 9. 解下列方程:
(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;
(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.
10. 讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.
二、能力拓展
11. 方程│││x-2│-1│=2的解是________.
12. 若有理数x 满足方程│1-x │=1+│x │, 则化简│x-1│的结果是_______. 13. 若a>0,b
14. 若0
16. 若关于x 的方程│2x-3│+m=0无解, │3x-4│+n=0只有一个解, │4x-5│+•k=0有两个解, 则m 、n 、k 的大小关系是( ).
A.m>n>k B.n>k>m C.k>m>n D.m>k>n 17. 适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x 的值有( )个. A.0 B.1 C.2 D.大于2的自然数 18. 方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
19. 设a 、b 为有理数, 且│a │>0,方程││x-a │-b │=3有三个不相等的解,•求b 的值.
(“华杯赛”邀请赛试题)
20. 当a 满足什么条件时, 关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a有一解? 有无数多个解? 无解?
三、综合创新
21. 已知│x+2│+│1-x │=9-│y-5│-│1+y│, 求x+y的最大值与最小值. (第15届江苏省竞赛题)
22.(1)数轴上两点表示的有理数是a 、b, 求这两点之间的距离; (2)是否存在有理数x, 使│x+1│+│x-3│=x?
(3)是否存在整数x, 使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x; 如果不存在, 说明理由.
答案： 1. ±
107
、2或0 2.0或-1 3.5
4.-1,a ≥0 提示:由│a+1│=│a │+1得a ×1≥0, 即a ≥0 5.D 6.B 7.A 8.D 9.(1)x=3或x=
13
;(2)x=9或x=-12
37
;(3)x=-12
43
或x=2;
(4)提示:分x
1212
、 •≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,
≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式, 说明凡
≤x ≤2的x 值都是方程的解.
10. 当k
当k=0时, 原方程有两解:x=-1或x=-5;
当02时, 原方程有两解:x+3=±2(•2+k).
11. ±5 12.1-x 13.b≤x ≤a 提示:利用绝对值的几何意义解. 14.7、21 提示:当0
19. 提示:若b+3、b-3都是非负的, 而且如果其中一个为零, 则得3个解; 如果都不是零, 则得4个解, 故b=3. 20. 提示:由绝对值几何意义知: 当-33或a
21. 提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,• 由绝对值的几何意义知, 当-2≤x ≤1且-1≤y ≤5时, 上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3; 当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.
22.(1)│a-b │;(2)不存在;(3)x=±3, ±2, ±1,0.
提高训练
1．若方程x -1002
2
=1002
3
的解分别是x 1、x 2，则x 1+x 2=______．
（希望杯邀请赛试题） 2．方程
x -3-x +12x +1
=1的解是______． （希望杯邀请赛试题）
3．已知：有理数x 、y 、z 满足xy 0，并且x =3，y =2，z +1=2，则
x +y +z =______． (北京市迎春杯竞赛
题)
4．已知x =3x +1，则(64x 2+48x +9) 2009=________． （广东省竞赛题） 5．方程x -3+3x =1的解是_________． （山东省竞赛题） 6．满足方程22x -4-3=2x -1的所有解的和为______． (新加坡竞赛题) 7．若关于x 的方程x -2-1=a 有三个整数解，则a 的值为（ ）．
A ．0 B．1 C．2 D．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程x +1+x -1=a 有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．
A ．a ≥0 B．a >0 C．a ≥1 D．a ≥2 （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）
b (a ≠0，9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、有a ⊕b =a ≠1) ，
2003a +2004b
a
2
，
-a
已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）