例谈因式分解的方法与技巧

例谈因式分解的方法与技巧

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 ab4a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则ab4a2b3=a2b24a2b41(a24a4)(b22b1) =(a2)(b1)(ab1)(ab3)

例2、因式分解 x6x11x6

解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x4x；把11x拆成8x3x

322则x6x11x6=(x2x)(4x8x)(3x6)

[**************]=x(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x4x3)(x1)(x2)(x3)

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x4y

解析：根据多项式的特点,在x4y中添上4xy,4xy两项，

则x4y=(x4xy4y)4xy(x2y)(2xy)

=(x2xy2y)(x2xy2y)

例4、因式分解 x3x4 [***********]22222222

解析：根据多项式的特点，将3x拆成4xx，再添上4x,4x两项，则 222

x33x24=x34x24xx24x4

=x(x24x4)(x24x4)(x24x4)(x1)

=(x1)(x2)2

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解(x23x4)(x2x6)24

解析：(x23x4)(x2x6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)24

=(x1)(x2)(x3)(x4)24(x2x2)(x2x12)24

设yx2x2，则x2x12y10 于是，原式=

y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x26) =(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x8)

例6、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1)

解析：设xym,xyn，则 2

(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2

=m2mnn2m2n1(mn)2(mn)1

=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)(x1)2(y1)2 2222

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 mn(xy)xy(mn)

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解 2222

mn(x2y2)xy(m2n2)=mnx2mny2xym2xyn2

=(mnxxym)(mnyxyn)mx(nxmy)ny(nxmy)(nxmy)(mxny)

例8、因式分解 (mxny)(nxmy) 222222

解析：(mxny)2(nxmy)2=m2x22mnxyn2y2n2x22mnxym2y2

=(m2x2n2x2)(m2y2n2y2)x2(m2n2)y2(m2n2)

=(m2n2)(x2y2)

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例9、因式分解x43x3x2y2x22xy

解析：将多项式以y为主元，进行整理

x43x3x2y2x22xy=(x22x)y(x43x32x2)

=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x2)(x2xy)

例10、因式分解ababacacbcbc2abc

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理 222222

a2bab2a2cac2b2cbc22abc

=a(bc)a(b2bcc)bc(bc)

=a(bc)a(bc)bc(bc)

=(bc)[aa(bc)bc](bc)(aabacbc)

=(bc)[a(ab)c(ab)](ab)(ac)(bc)

从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发同学们的学习兴趣。 2222222

例谈因式分解的方法与技巧

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 ab4a2b3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则ab4a2b3=a2b24a2b41(a24a4)(b22b1) =(a2)(b1)(ab1)(ab3)

例2、因式分解 x6x11x6

解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x4x；把11x拆成8x3x

322则x6x11x6=(x2x)(4x8x)(3x6)

[**************]=x(x2)4x(x2)3(x2)(x2)(x4x3)(x1)(x2)(x3)

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x4y

解析：根据多项式的特点,在x4y中添上4xy,4xy两项，

则x4y=(x4xy4y)4xy(x2y)(2xy)

=(x2xy2y)(x2xy2y)

例4、因式分解 x3x4 [***********]22222222

解析：根据多项式的特点，将3x拆成4xx，再添上4x,4x两项，则 222

x33x24=x34x24xx24x4

=x(x24x4)(x24x4)(x24x4)(x1)

=(x1)(x2)2

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解(x23x4)(x2x6)24

解析：(x23x4)(x2x6)24=(x1)(x4)(x2)(x3)24

=(x1)(x2)(x3)(x4)24(x2x2)(x2x12)24

设yx2x2，则x2x12y10 于是，原式=

y(y10)24y210y24(y4)(y6)(x2x24)(x2x26) =(x2x6)(x2x8)(x2)(x3)(x2x8)

例6、因式分解(xy2xy)(xy2)(xy1)

解析：设xym,xyn，则 2

(xy2xy)(xy2)(xy1)2=(m2n)(m2)(n1)2

=m2mnn2m2n1(mn)2(mn)1

=(mn1)2(xyxy1)2(x1)(1y)(x1)2(y1)2 2222

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 mn(xy)xy(mn)

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解 2222

mn(x2y2)xy(m2n2)=mnx2mny2xym2xyn2

=(mnxxym)(mnyxyn)mx(nxmy)ny(nxmy)(nxmy)(mxny)

例8、因式分解 (mxny)(nxmy) 222222

解析：(mxny)2(nxmy)2=m2x22mnxyn2y2n2x22mnxym2y2

=(m2x2n2x2)(m2y2n2y2)x2(m2n2)y2(m2n2)

=(m2n2)(x2y2)

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例9、因式分解x43x3x2y2x22xy

解析：将多项式以y为主元，进行整理

x43x3x2y2x22xy=(x22x)y(x43x32x2)

=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x2)(x2xy)

例10、因式分解ababacacbcbc2abc

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理 222222

a2bab2a2cac2b2cbc22abc

=a(bc)a(b2bcc)bc(bc)

=a(bc)a(bc)bc(bc)

=(bc)[aa(bc)bc](bc)(aabacbc)

=(bc)[a(ab)c(ab)](ab)(ac)(bc)

从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发同学们的学习兴趣。 2222222