2太阳与行星间的引力
3万有引力定律
[学习目标] 1. 掌握太阳与行星间的引力公式推导方法．(重点) 2. 理解万有引力定律的含义．(重点) 3. 掌握万有引力表达式的适用条件及应用．(重点、难点) 4. 知道万有引力常量是重要的物理常量之一．
[
1．猜想 行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F 应该与行星到太阳的距离r 有关． 2．模型简化
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．
3．太阳对行星的引力 2m v 2⎛2πr 214πmr F r ＝m T ＝T . ⎝⎭r
m 结合开普勒第三定律得：F ∝r .
4．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F ′的大小也存在与上述关系类似的
M 结果，即F ′∝r 5．太阳与行星间的引力
m M Mm Mm 由于F ∝r 、F ′∝r F ＝F ′，则有F ∝r F ＝G r G 为比例系数．
[再思考]
如图6-2-1，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况．
图6-2-1
【提示】 行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，遵守牛顿第
m v 2二定律F ＝r ，行星所需要的向心力由太阳对它的引力提供．
[后判断]
Mm 1．公式F ＝G r 中G 是比例系数，与太阳行星都没关系．(√)
2．在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律．(√)
3．由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点．(√)
[先填空]
1．月—地检验
(1)检验目的：维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一性质的力？
(2)检验方法：由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，则月球轨道上物体
1受到的引力是地球上的60. 根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速
度(月球公转的向心加速度) 应该是它在地球表面附近下落时的加速度(自由落体
1加速度) 的60计算对比两个加速度就可以分析验证两个力是否为同一性质的力．
(3)结论：加速度关系也满足“平方反比”规律．证明两种力为同种性质力．
2．万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．
(2)公式
m 1m 2F ＝r 3．符号意义
(1)G G ＝
－11N·m 2/kg2.
(2)r
[再思考]
如图6-2-2为卡文迪许测定引力常量的实验装置．卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？
图6-2-2
【提示】 因为卡文迪许测出引力常量G 值之后，他使万有引力定律有了真正的实用价值．利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”．
[后判断]
1．月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡．(×)
2．月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的．(√)
3．地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力．(×)
万有引力的适用条件及特性
分层设问，破解疑难
m m 1．公式F ＝G r 中的常数G 是人为规定的吗？
【提示】 不是．常数G 是由卡文迪许首先通过实验测得的．
m m 2．任何两个物体之间的万有引力都可以利用公式F ＝G r 计算出来吗？
m m 【提示】 不可以．万有引力定律的表达式F ＝G r 只适用于质点之间、
质量分布均匀的球体之间、质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r 不易确定．
自我总结，素能培养
Mm 1．F ＝r 的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距
离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r 是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r 是球体球心到质点的距离．
2．万有引力的四个特性
间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力．
典例印证，思维深化
(2015·宣城高一检测) 两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F . 若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( )
A ．2F B ．4F C ．8F D ．16F
【思路点拨】 解答该题应注意分析下列条件：
(1)铁球的半径改变时，质量如何改变？
(2)铁球的半径改变时，两球间的距离如何改变？
mm m 2
【解析】 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G ＝G 4r . (2r )
43实心球的质量为m ＝ρV＝ρ3r ，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球
m ′r ′38的质量m ′与小铁球的质量m 之比为m ＝r 1故两个大铁球间的万有引力
m ′m ′(8m )2
为F ′＝G ＝G 16F . 4(2r )(2r ′)【答案】
D
对万有引力及万有引力定律表达式的理解
1．万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略．
2．任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力
m 1m 2都可以用F ＝G r 进行计算，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以
m 1m 2应用公式F ＝G r 计算其大小．
精选习题，落实强化
m 1m 21．(多选) 对于万有引力定律的表达式F ＝G r ，下列说法中正确的是( )
A ．公式中G 为引力常量，与两个物体的质量无关
B ．当r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C ．m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D ．m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，而与m 1、m 2是否相等无关
【解析】 公式中的G 为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A 对；当两物体表面距离r 越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质
m m 点，表达式F ＝r 已不再适用于计算它们之间的万有引力，B 错；m 1与m 2
受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m 1、m 2是否相等无关，C 错，D 对．
【答案】 AD
2．下列说法中正确的是( )
A ．两质点间万有引力为F ，当它们之间的距离增加1倍时，它们之间的万
F 有引力是2
B ．树上的苹果掉到地上，说明地球吸引苹果的力大于苹果吸引地球的力
m 1m 2C ．由万有引力公式F ＝G r 可知，当其他条件不变而r 趋近于0时，F
趋于无穷大
D ．以上说法均不正确
m m 【解析】 由公式F ＝r 知，F 与r 2成反比，距离增加1倍时，引力变
1为4F ，A 错．地球和苹果间的相互作用力符合牛顿第三定律，故大小相等，B 错．万
m 1m 2有引力公式F ＝G r 只适用于质点，当r 趋近于0时，质量为m 1、m 2的两个
物体已不能看成质点，F 并不趋于无穷大，C 错．
【答案】 D
万有引力与重力的联系
分层设问，破解疑难
1．重力就是地球对物体的万有引力吗？
【提示】 不是．重力是地球对物体万有引力的一个分力．
2．在什么情况下，可以认为重力的大小等于万有引力？
【提示】 在地球表面附近，物体随地球自转所需要的向心力很小，一般情况下都可以认为重力的大小等于万有引力．
自我总结，素能培养
1．万有引力的效果
Mm 万有引力F ＝G R 的效果有两个，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自
转需要的向心力F n ＝mrω2，如图6-2-3所示，重力是万有引力的一个分力．
图6-2-3
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大．
Mm (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F ＝F n ＋mg ，即G R ＝mrω2＋mg ，
Mm 所以mg ＝G R －mrω2.
Mm (2)地球两极处：向心力为零，所以mg ＝F ＝G R Mm (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg ＜G R 方向偏离地心．
3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为
Mm Mm 在地面附近：mg ＝G R ，若距离地面的高度为h ，则mg ＝G R 为地球半(R ＋h )径，g 为离地面h 高度处的重力加速度) ．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
力，即mg ＝G 不是与万有引力平衡．
典例印证，思维深化
设地球表面的重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)
g 处，由于地球的作用而产生的加速度为g ，则g ( ) 0
111A ．1 B. 9 C. 4 D. 16【思路点拨】 本题涉及两种情境，一种是物体在地球表面处的情况，另一种是物体在离地球表面3R 处的情况．在不考虑地球自转时，重力等于物体所受的万有引力．
Mm 【解析】 在地面上有G R ＝mg 0，①
Mm 在离地心4R 处有G ＝mg ，② (4R )g ⎛R 21由①②两式得g ＝ 4R ＝16⎭0⎝
【答案】
D
关于万有引力和重力关系的处理方法
1．物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力
Mm 很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg ＝G R .
Mm 2．对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg ＝G (R ＋h )3．求比例关系时，可先写出一般表达式，找出相关量间的正比或反比关系
GM M 等，如上式由g ＝R 得g ∝R 然后再求比值，此比例解法使题目解起来更简捷．
精选习题，落实强化
13．某星球的半径R ′是地球半径R 的2即R ′＝0.5R ) ，该星球的质量m ′
是地球质量m 的4倍(即m ′＝4m ) ．已知在地球表面上以初速度v 0竖直上抛的物体能达到的最大高度为H ，问在该星球表面上以同样大小的初速度竖直上抛的物体能达到的最大高度H ′为多少？
【解析】 设地球表面的重力加速度为g ，竖直上抛的最大高度为H ，地球
2v 2v 2Gm 00R 表面的重力加速度g ＝R H ＝2g 2Gm ①
在该星球表面的重力加速度g ′＝
2v 0R ′2
到的最大高度H ′＝. ② 2Gm ′Gm ′以同样的速度v 0竖直上抛物体能达R ′1⎛R ′⎫2⎛m ⎫ m ′⎪H ＝H . 由①②式可得H ′＝ 16⎝R ⎭⎝⎭
1【答案】 16H
4．一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力) 为9 N ，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度取10 m/s2)( )
A ．2倍
C ．4倍 B ．3倍 D ．0.5倍
【解析】 设此时火箭离地球表面高度为h .
由牛顿第二定律得F N －mg ′＝ma ，①
Mm 在地球表面处mg ＝G R
由①可得g ′＝0.625 m/s2. ③
Mm 又因h 处mg ′＝G ，④ (R ＋h )g ′R 2
由②④得g ＝. (R ＋h )代入数据，得h ＝3R ，故选B.
【答案】 B
割补法求解万有引力
万有引力定律的公式只适用于质点间的相互作用．均匀球体可视为质量集中于球心的质点，r 是两球心间的距离．如果球体被挖空后不再是均匀球体，可假设将球形空腔填满恢复完整的球体来求解．
已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图6-2-4所示，有一半径为R 的均匀球体，球心
R 为O 1，质量为8 M ，今自其内挖去一个半径为2O 2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O 3，图中O 1、O 2、切点和O 3四点共线，求此时小球与大球剩余部分之间的万有引力．
图6-2-4
【思路点拨】 (1)求出挖出小球的质量．
(2)假设将球形空腔填满恢复均匀球体．
(3)分别计算填补后的球体和补上去的球体对小球的引力．
(4)作差求解小球与大球剩余部分之间的万有引力．
4πR 33⎝2⎭V 小【解析】 小球质量为m ＝8M ＝48M ＝M V 大33πR 假设将球形空腔填满恢复均匀球形
M ·8M 大球对小球O 3的万有引力为F 1＝G 3＝ ⎛⎫2 2⎪⎝⎭
32M 2
G R 9·
M ·M M 2
小球O 2对小球O 3的万有引力为F 2＝G R G R 小球O 3与大球剩余部分之间的万有引力为
23GM 2
F ＝F 1－F 2＝9R .
23GM 2
【答案】 9R ——[先看名师指津]——————————————
割补法的应用技巧
(1)应用公式求解问题时，首先明确公式是否适用，本题中
球体被挖去一部分后，质量不是均匀分布的，不能再看成质点，不能再直接
Mm 用公式F ＝G r 求解．
(2)割补法巧妙地把一般物体转化成了质点，简化了问题．
——[再演练应用]———————————————
如图6-2-5所示，一个质量均匀分布半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为
图6-2-5
R F ，如果在球体中央挖去半径为r 的球体，且r ＝2点P 的万有引力变为多少？
【解析】 设原球体质量为M ，质点P 的质量为m ，球心与质点P 之间的
Mm 距离为r 0，则它们之间的万有引力F ＝r ； 0
4π⎛R ⎫3 ⎪3⎝2⎭V 小M 被挖去的球的质量：m 1＝·M ＝4·M ＝8 V 大3πR 3
被挖去的球原来与质点P 的万有引力 M
8m F m 1m
F 1＝G r ＝G r ＝8
00
7
所以，原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为F 2＝F －F 1＝8. 7
【答案】 8 F 小结
课时作业(九) 太阳与行星的引力 万有引
力定律
[全员参与·基础练]
1．关于万有引力定律和引力常量的发现，下列说法正确的是( ) A ．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的 B ．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的 C ．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的 D ．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的 【答案】 D
2．(多选)(2015·杭州高一检测) 对于太阳与行星间的引力及其表达式F ＝Mm
r ，下列说法正确的是(
)
A ．公式中G 为比例系数，与太阳、行星有关 B ．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C ．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M 、m 都处于平衡状态
D ．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力
Mm
【解析】 太阳与行星间引力表达式F ＝G r 中的G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A 错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B 、D 正确，C 错误．
【答案】 BD
3．(多选) 卡文迪许利用如图6-2-6所示的扭秤实验装置测量了引力常量G . 为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是(
)
图6-2-6
A ．减小石英丝的直径 B ．增大T 形架横梁的长度 C ．利用平面镜对光线的反射 D ．增大刻度尺与平面镜之间的距离
【解析】 利用平面镜对光线的反射，可以将微小偏转放大，而且刻度尺离平面镜越远，放大尺寸越大，故只有选项C 、D 正确．
【答案】 CD
m m 4．对于质量为m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G r ，下列说法正确的是( )
A ．m 1和m 2所受引力总是大小相等的
B ．当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大
C ．当有第3个物体m 3放入m 1、m 2之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D ．m 1和m 2所受的引力性质可能相同，也可能不同
【解析】 物体间的万有引力是一对相互作用力，是同种性质的力且始终等大反向，故A 对D 错．当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万
有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，B 错；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m 1、m 2和物体间的距离r 有关，与是否存在其他物体无关，故C 错．
【答案】 A
5．一个物体在地球表面所受的重力为G ，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )
G
A. 2 G C. 4Mm
＝F 万＝G R ；
在距地面高度为地球半径的位置， Mm G
F ′万＝C 正确．
(2R )4【答案】 C
6．设想把质量为m 的物体(可视为质点) 放到地球的中心，地球质量为M 、半径为R . 则物体与地球间的万有引力是( )
A ．零 GMm C. R B ．无穷大 D ．无法确定 G B. 3 G D ．9【解析】 在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G
【解析】 把物体放到地球的中心时r ＝0，此时万有引力定律不再适用．由于地球关于球心对称，所以吸引力相互抵消，整体而言，万有引力为零，A 对．
【答案】 A
7．地球质量大约是月球质量的81倍，在“嫦娥三号”探月卫星通过月、地之间某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )
A ．1∶3 C ．1∶27
B ．1∶9 D ．9∶1
M 月m
【解析】 由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力F ＝r ，地球
1M 地m r 1
对探月卫星的引力F ＝G r ，由以上两式可得r 22
M 月
＝M 地
11
故选项B 81＝9
正确．
【答案】 B
8．地球表面重力加速度为g ，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h 的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R .
【解析】 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引Mm
力．设地球质量为M ，物体质量为m ，则在地面：mg ＝G R h 高处：mg ′g ′Mm R 2
＝g (R ＋h )(R ＋h )R 2【答案】 倍
(R ＋h )[超越自我·提升练]
9．某物体在地球表面受到地球的万有引力为F . 若此物体受到的引力减小为F
4，则其距离地面的高度应为(R 为地球半径)( )
A ．R B ．2R C ．4R D ．8R
Mm F Mm
【解析】 由万有引力定律可知，F ＝G R ，4G ；由以上两式解
(R ＋h )得h ＝R ，故选项A 正确．
【答案】 A
10. 随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其他星球成为可能．假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的( )
A ．0.5倍 C ．4倍
B ．2倍 D ．8倍
Mm gR 243g
【解析】 由G ＝mg 得M ＝M ＝ρR 3，由两式可得R ＝，
R G 34πρG9g 3
所以M ＝16πρG ，易知该星球质量大约是地球质量的8倍．D 对．
【答案】 D
11．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，如图6-2-7所示，现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起(三个球心在一条直线上) ，试计
算它们之间的万有引力大小．
图6-2-7
mm
【解析】 用“割补法”处理该问题．原来是个实心球时可知F ＝G .
(2r )mm 1
假如挖空部分为实心球，则该球与左边球之间的万有引力为F 1＝G 5，
⎛⎫2 2r ⎪⎝⎭⎛1⎫33
m 1∶m ＝ 2r ⎪∶r ＝1∶8，
⎝⎭
2
联立得F 1＝25F .
剩余部分之间的万有引力大小为 23
F ′＝F －F 1＝25F . 23
【答案】 25F
12．如图6-2-8所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以g
2的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启17
动前压力的18. 已知地球半径为R ，求火箭此时离地面的高度．(g 为地面附近的重力加速度
)
图6-2-8
【解析】 火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h 时，重力加速度为g ′.
17g
由牛顿第二定律得18mg －mg ′＝m ×2 4
得g ′＝9. ①
Mm
由万有引力定律知G R ＝mg ，②
Mm mg ′. ③ (R ＋h )R
由①②③联立得h ＝2R
【答案】 2
2太阳与行星间的引力
3万有引力定律
[学习目标] 1. 掌握太阳与行星间的引力公式推导方法．(重点) 2. 理解万有引力定律的含义．(重点) 3. 掌握万有引力表达式的适用条件及应用．(重点、难点) 4. 知道万有引力常量是重要的物理常量之一．
[
1．猜想 行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F 应该与行星到太阳的距离r 有关． 2．模型简化
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．
3．太阳对行星的引力 2m v 2⎛2πr 214πmr F r ＝m T ＝T . ⎝⎭r
m 结合开普勒第三定律得：F ∝r .
4．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F ′的大小也存在与上述关系类似的
M 结果，即F ′∝r 5．太阳与行星间的引力
m M Mm Mm 由于F ∝r 、F ′∝r F ＝F ′，则有F ∝r F ＝G r G 为比例系数．
[再思考]
如图6-2-1，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况．
图6-2-1
【提示】 行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，遵守牛顿第
m v 2二定律F ＝r ，行星所需要的向心力由太阳对它的引力提供．
[后判断]
Mm 1．公式F ＝G r 中G 是比例系数，与太阳行星都没关系．(√)
2．在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律．(√)
3．由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点．(√)
[先填空]
1．月—地检验
(1)检验目的：维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一性质的力？
(2)检验方法：由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，则月球轨道上物体
1受到的引力是地球上的60. 根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速
度(月球公转的向心加速度) 应该是它在地球表面附近下落时的加速度(自由落体
1加速度) 的60计算对比两个加速度就可以分析验证两个力是否为同一性质的力．
(3)结论：加速度关系也满足“平方反比”规律．证明两种力为同种性质力．
2．万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．
(2)公式
m 1m 2F ＝r 3．符号意义
(1)G G ＝
－11N·m 2/kg2.
(2)r
[再思考]
如图6-2-2为卡文迪许测定引力常量的实验装置．卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？
图6-2-2
【提示】 因为卡文迪许测出引力常量G 值之后，他使万有引力定律有了真正的实用价值．利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”．
[后判断]
1．月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡．(×)
2．月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的．(√)
3．地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力．(×)
万有引力的适用条件及特性
分层设问，破解疑难
m m 1．公式F ＝G r 中的常数G 是人为规定的吗？
【提示】 不是．常数G 是由卡文迪许首先通过实验测得的．
m m 2．任何两个物体之间的万有引力都可以利用公式F ＝G r 计算出来吗？
m m 【提示】 不可以．万有引力定律的表达式F ＝G r 只适用于质点之间、
质量分布均匀的球体之间、质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r 不易确定．
自我总结，素能培养
Mm 1．F ＝r 的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距
离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r 是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r 是球体球心到质点的距离．
2．万有引力的四个特性
间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力．
典例印证，思维深化
(2015·宣城高一检测) 两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F . 若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为( )
A ．2F B ．4F C ．8F D ．16F
【思路点拨】 解答该题应注意分析下列条件：
(1)铁球的半径改变时，质量如何改变？
(2)铁球的半径改变时，两球间的距离如何改变？
mm m 2
【解析】 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G ＝G 4r . (2r )
43实心球的质量为m ＝ρV＝ρ3r ，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球
m ′r ′38的质量m ′与小铁球的质量m 之比为m ＝r 1故两个大铁球间的万有引力
m ′m ′(8m )2
为F ′＝G ＝G 16F . 4(2r )(2r ′)【答案】
D
对万有引力及万有引力定律表达式的理解
1．万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略．
2．任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力
m 1m 2都可以用F ＝G r 进行计算，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以
m 1m 2应用公式F ＝G r 计算其大小．
精选习题，落实强化
m 1m 21．(多选) 对于万有引力定律的表达式F ＝G r ，下列说法中正确的是( )
A ．公式中G 为引力常量，与两个物体的质量无关
B ．当r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C ．m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D ．m 1与m 2受到的引力大小总是相等的，而与m 1、m 2是否相等无关
【解析】 公式中的G 为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A 对；当两物体表面距离r 越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质
m m 点，表达式F ＝r 已不再适用于计算它们之间的万有引力，B 错；m 1与m 2
受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m 1、m 2是否相等无关，C 错，D 对．
【答案】 AD
2．下列说法中正确的是( )
A ．两质点间万有引力为F ，当它们之间的距离增加1倍时，它们之间的万
F 有引力是2
B ．树上的苹果掉到地上，说明地球吸引苹果的力大于苹果吸引地球的力
m 1m 2C ．由万有引力公式F ＝G r 可知，当其他条件不变而r 趋近于0时，F
趋于无穷大
D ．以上说法均不正确
m m 【解析】 由公式F ＝r 知，F 与r 2成反比，距离增加1倍时，引力变
1为4F ，A 错．地球和苹果间的相互作用力符合牛顿第三定律，故大小相等，B 错．万
m 1m 2有引力公式F ＝G r 只适用于质点，当r 趋近于0时，质量为m 1、m 2的两个
物体已不能看成质点，F 并不趋于无穷大，C 错．
【答案】 D
万有引力与重力的联系
分层设问，破解疑难
1．重力就是地球对物体的万有引力吗？
【提示】 不是．重力是地球对物体万有引力的一个分力．
2．在什么情况下，可以认为重力的大小等于万有引力？
【提示】 在地球表面附近，物体随地球自转所需要的向心力很小，一般情况下都可以认为重力的大小等于万有引力．
自我总结，素能培养
1．万有引力的效果
Mm 万有引力F ＝G R 的效果有两个，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自
转需要的向心力F n ＝mrω2，如图6-2-3所示，重力是万有引力的一个分力．
图6-2-3
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大．
Mm (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F ＝F n ＋mg ，即G R ＝mrω2＋mg ，
Mm 所以mg ＝G R －mrω2.
Mm (2)地球两极处：向心力为零，所以mg ＝F ＝G R Mm (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg ＜G R 方向偏离地心．
3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为
Mm Mm 在地面附近：mg ＝G R ，若距离地面的高度为h ，则mg ＝G R 为地球半(R ＋h )径，g 为离地面h 高度处的重力加速度) ．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
力，即mg ＝G 不是与万有引力平衡．
典例印证，思维深化
设地球表面的重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)
g 处，由于地球的作用而产生的加速度为g ，则g ( ) 0
111A ．1 B. 9 C. 4 D. 16【思路点拨】 本题涉及两种情境，一种是物体在地球表面处的情况，另一种是物体在离地球表面3R 处的情况．在不考虑地球自转时，重力等于物体所受的万有引力．
Mm 【解析】 在地面上有G R ＝mg 0，①
Mm 在离地心4R 处有G ＝mg ，② (4R )g ⎛R 21由①②两式得g ＝ 4R ＝16⎭0⎝
【答案】
D
关于万有引力和重力关系的处理方法
1．物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力
Mm 很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg ＝G R .
Mm 2．对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg ＝G (R ＋h )3．求比例关系时，可先写出一般表达式，找出相关量间的正比或反比关系
GM M 等，如上式由g ＝R 得g ∝R 然后再求比值，此比例解法使题目解起来更简捷．
精选习题，落实强化
13．某星球的半径R ′是地球半径R 的2即R ′＝0.5R ) ，该星球的质量m ′
是地球质量m 的4倍(即m ′＝4m ) ．已知在地球表面上以初速度v 0竖直上抛的物体能达到的最大高度为H ，问在该星球表面上以同样大小的初速度竖直上抛的物体能达到的最大高度H ′为多少？
【解析】 设地球表面的重力加速度为g ，竖直上抛的最大高度为H ，地球
2v 2v 2Gm 00R 表面的重力加速度g ＝R H ＝2g 2Gm ①
在该星球表面的重力加速度g ′＝
2v 0R ′2
到的最大高度H ′＝. ② 2Gm ′Gm ′以同样的速度v 0竖直上抛物体能达R ′1⎛R ′⎫2⎛m ⎫ m ′⎪H ＝H . 由①②式可得H ′＝ 16⎝R ⎭⎝⎭
1【答案】 16H
4．一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力) 为9 N ，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度取10 m/s2)( )
A ．2倍
C ．4倍 B ．3倍 D ．0.5倍
【解析】 设此时火箭离地球表面高度为h .
由牛顿第二定律得F N －mg ′＝ma ，①
Mm 在地球表面处mg ＝G R
由①可得g ′＝0.625 m/s2. ③
Mm 又因h 处mg ′＝G ，④ (R ＋h )g ′R 2
由②④得g ＝. (R ＋h )代入数据，得h ＝3R ，故选B.
【答案】 B
割补法求解万有引力
万有引力定律的公式只适用于质点间的相互作用．均匀球体可视为质量集中于球心的质点，r 是两球心间的距离．如果球体被挖空后不再是均匀球体，可假设将球形空腔填满恢复完整的球体来求解．
已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图6-2-4所示，有一半径为R 的均匀球体，球心
R 为O 1，质量为8 M ，今自其内挖去一个半径为2O 2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O 3，图中O 1、O 2、切点和O 3四点共线，求此时小球与大球剩余部分之间的万有引力．
图6-2-4
【思路点拨】 (1)求出挖出小球的质量．
(2)假设将球形空腔填满恢复均匀球体．
(3)分别计算填补后的球体和补上去的球体对小球的引力．
(4)作差求解小球与大球剩余部分之间的万有引力．
4πR 33⎝2⎭V 小【解析】 小球质量为m ＝8M ＝48M ＝M V 大33πR 假设将球形空腔填满恢复均匀球形
M ·8M 大球对小球O 3的万有引力为F 1＝G 3＝ ⎛⎫2 2⎪⎝⎭
32M 2
G R 9·
M ·M M 2
小球O 2对小球O 3的万有引力为F 2＝G R G R 小球O 3与大球剩余部分之间的万有引力为
23GM 2
F ＝F 1－F 2＝9R .
23GM 2
【答案】 9R ——[先看名师指津]——————————————
割补法的应用技巧
(1)应用公式求解问题时，首先明确公式是否适用，本题中
球体被挖去一部分后，质量不是均匀分布的，不能再看成质点，不能再直接
Mm 用公式F ＝G r 求解．
(2)割补法巧妙地把一般物体转化成了质点，简化了问题．
——[再演练应用]———————————————
如图6-2-5所示，一个质量均匀分布半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为
图6-2-5
R F ，如果在球体中央挖去半径为r 的球体，且r ＝2点P 的万有引力变为多少？
【解析】 设原球体质量为M ，质点P 的质量为m ，球心与质点P 之间的
Mm 距离为r 0，则它们之间的万有引力F ＝r ； 0
4π⎛R ⎫3 ⎪3⎝2⎭V 小M 被挖去的球的质量：m 1＝·M ＝4·M ＝8 V 大3πR 3
被挖去的球原来与质点P 的万有引力 M
8m F m 1m
F 1＝G r ＝G r ＝8
00
7
所以，原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为F 2＝F －F 1＝8. 7
【答案】 8 F 小结
课时作业(九) 太阳与行星的引力 万有引
力定律
[全员参与·基础练]
1．关于万有引力定律和引力常量的发现，下列说法正确的是( ) A ．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的 B ．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的 C ．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的 D ．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的 【答案】 D
2．(多选)(2015·杭州高一检测) 对于太阳与行星间的引力及其表达式F ＝Mm
r ，下列说法正确的是(
)
A ．公式中G 为比例系数，与太阳、行星有关 B ．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C ．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力为零，M 、m 都处于平衡状态
D ．太阳、行星彼此受到的引力是一对相互作用力
Mm
【解析】 太阳与行星间引力表达式F ＝G r 中的G 为比例系数，与太阳、行星都没有关系，A 错误；太阳与行星间的引力分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成，B 、D 正确，C 错误．
【答案】 BD
3．(多选) 卡文迪许利用如图6-2-6所示的扭秤实验装置测量了引力常量G . 为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是(
)
图6-2-6
A ．减小石英丝的直径 B ．增大T 形架横梁的长度 C ．利用平面镜对光线的反射 D ．增大刻度尺与平面镜之间的距离
【解析】 利用平面镜对光线的反射，可以将微小偏转放大，而且刻度尺离平面镜越远，放大尺寸越大，故只有选项C 、D 正确．
【答案】 CD
m m 4．对于质量为m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G r ，下列说法正确的是( )
A ．m 1和m 2所受引力总是大小相等的
B ．当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大
C ．当有第3个物体m 3放入m 1、m 2之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D ．m 1和m 2所受的引力性质可能相同，也可能不同
【解析】 物体间的万有引力是一对相互作用力，是同种性质的力且始终等大反向，故A 对D 错．当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万
有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，B 错；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m 1、m 2和物体间的距离r 有关，与是否存在其他物体无关，故C 错．
【答案】 A
5．一个物体在地球表面所受的重力为G ，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )
G
A. 2 G C. 4Mm
＝F 万＝G R ；
在距地面高度为地球半径的位置， Mm G
F ′万＝C 正确．
(2R )4【答案】 C
6．设想把质量为m 的物体(可视为质点) 放到地球的中心，地球质量为M 、半径为R . 则物体与地球间的万有引力是( )
A ．零 GMm C. R B ．无穷大 D ．无法确定 G B. 3 G D ．9【解析】 在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G
【解析】 把物体放到地球的中心时r ＝0，此时万有引力定律不再适用．由于地球关于球心对称，所以吸引力相互抵消，整体而言，万有引力为零，A 对．
【答案】 A
7．地球质量大约是月球质量的81倍，在“嫦娥三号”探月卫星通过月、地之间某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )
A ．1∶3 C ．1∶27
B ．1∶9 D ．9∶1
M 月m
【解析】 由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力F ＝r ，地球
1M 地m r 1
对探月卫星的引力F ＝G r ，由以上两式可得r 22
M 月
＝M 地
11
故选项B 81＝9
正确．
【答案】 B
8．地球表面重力加速度为g ，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h 的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R .
【解析】 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引Mm
力．设地球质量为M ，物体质量为m ，则在地面：mg ＝G R h 高处：mg ′g ′Mm R 2
＝g (R ＋h )(R ＋h )R 2【答案】 倍
(R ＋h )[超越自我·提升练]
9．某物体在地球表面受到地球的万有引力为F . 若此物体受到的引力减小为F
4，则其距离地面的高度应为(R 为地球半径)( )
A ．R B ．2R C ．4R D ．8R
Mm F Mm
【解析】 由万有引力定律可知，F ＝G R ，4G ；由以上两式解
(R ＋h )得h ＝R ，故选项A 正确．
【答案】 A
10. 随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其他星球成为可能．假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的( )
A ．0.5倍 C ．4倍
B ．2倍 D ．8倍
Mm gR 243g
【解析】 由G ＝mg 得M ＝M ＝ρR 3，由两式可得R ＝，
R G 34πρG9g 3
所以M ＝16πρG ，易知该星球质量大约是地球质量的8倍．D 对．
【答案】 D
11．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，如图6-2-7所示，现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起(三个球心在一条直线上) ，试计
算它们之间的万有引力大小．
图6-2-7
mm
【解析】 用“割补法”处理该问题．原来是个实心球时可知F ＝G .
(2r )mm 1
假如挖空部分为实心球，则该球与左边球之间的万有引力为F 1＝G 5，
⎛⎫2 2r ⎪⎝⎭⎛1⎫33
m 1∶m ＝ 2r ⎪∶r ＝1∶8，
⎝⎭
2
联立得F 1＝25F .
剩余部分之间的万有引力大小为 23
F ′＝F －F 1＝25F . 23
【答案】 25F
12．如图6-2-8所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以g
2的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为启17
动前压力的18. 已知地球半径为R ，求火箭此时离地面的高度．(g 为地面附近的重力加速度
)
图6-2-8
【解析】 火箭上升过程中，物体受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h 时，重力加速度为g ′.
17g
由牛顿第二定律得18mg －mg ′＝m ×2 4
得g ′＝9. ①
Mm
由万有引力定律知G R ＝mg ，②
Mm mg ′. ③ (R ＋h )R
由①②③联立得h ＝2R
【答案】 2