圆学子梦想 铸金字品牌
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课时提升作业(五)
函数的单调性与最值
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分, 共35分)
1.(2015·北京模拟) 下列函数中, 在区间(1,+∞) 上是增函数的是( ) A.y=-x+1 B.y=
1 1-x
C.y=-(x-1)2 D.y=31-x
【解析】选B. 函数y=-x+1在(1,+≦) 上为减函数;y=
1
在(1,+≦) 上为增函1-x
数;y=-(x-1)2在(1,+≦) 上为减函数;y=31-x 在(1,+≦) 上为减函数, 故选B. 2. 已知f(x)为R 上的减函数, 则满足f
>f(1)的实数x 的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) ∪(0,1) D.(-∞,0) ∪(1,+∞) 【解析】选D. 依题意得
>0,所以x 的取值范围是x>1或x
3.(2015·烟台模拟) 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对∀x 1,x 2∈[0,+∞), 且x 1≠x 2, 都有(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0,则( )
A.f(3)
【解析】选B. 因为(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在[0,+≦) 上是增函数, 所以f(3)>f(2)>f(1).因为f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).
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【加固训练】(2015·江南十校模拟) 已知定义在R 上的函数f(x),其导函数 f ′(x)的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的是(
)
A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)
【解析】选C. 依题意得, 当x ∈(-≦,c) 时,f ′(x)>0;当x ∈(c,e)时,f ′(x)0.因此, 函数f(x)在(-≦,c) 上是增函数, 在(c,e)上是减函数, 在(e,+≦) 上是增函数, 又af(b)>f(a).
4.(2015·厦门模拟) “a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞) 内单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】选C. 当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+≦) 上单调递增; 当a
;
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当a>0时, 结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+≦) 上先增后减再增, 不符合条件, 如图(2)所示.
所以, 要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+≦) 上单调递增只需a ≤0.
即“a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+≦) 内单调递增”的充分必要条件.
2⎧⎪x +ax +1, x ≥1,
【加固训练】已知函数f(x)=⎨2则“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R
⎪⎩ax +x +1, x
上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
⎧a
⎪-2≤1, ⎪
⎪a
【解析】选B.f(x)在R 上单调递增的充分必要条件是a=0或⎨
1⎪-≥1, ⎪2a
⎪12+a ⨯1+1≥a ⨯12+1+1, ⎩
解得a=0或-≤a
由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的必要而不充分条件, 故选B.
5. 定义域为R 的函数f(x)=ax2+b|x|+c(a≠0) 有两个单调区间, 则实数a,b,c 满足( )
A.b 2-4ac ≥0且a>0 B.b 2-4ac ≥0
b
≥0 2a b
D.-≤0
2a
1212
C.-
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2⎧⎪ax +bx +c, x ≥0,
【解析】选D. 因为f(x)=ax+b|x|+c(a≠0)=⎨2
⎪⎩ax -bx +c, x
2
不妨设a>0,作出图象如图
.
结合图象可得当-b
≤0时满足题意. 2a
6. 已知f(x)是定义在R 上的增函数, 函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 若对任意的x,y ∈R, 不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)3时,x 2+y2的取值范围是( )
A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49] D.(9,49)
【解析】选C. 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, 即函数y=f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x),
又因为f(x)是定义在R 上的增函数且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)
设M(x,y),则当x>3时,M 表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,
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则x 2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方, 结合圆的知识可知13
7.(2015·开封模拟) 设x ∈R, 若函数f(x)为单调递增函数, 且对任意实数x, 都有f(f(x)-ex )=e+1(e是自然对数的底数), 则f(ln 2)的值等于( ) A.1 B.e+1 C.3 D.e+3
【解题提示】利用换元法, 将函数转化为f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出t 的值, 即可求出函数f(x)的表达式, 即可得到结论. 【解析】选C. 设t=f(x)-ex ,
则f(x)=ex +t,则条件等价为f(t)=e+1, 令x=t,则f(t)=et +t=e+1, 因为函数f(x)为单调递增函数, 所以函数为一对一函数, 解得t=1, 所以f(x)=ex +1,
即f(ln 2)=eln 2+1=2+1=3.故选C. 二、填空题(每小题5分, 共15分) 8.(2015·郑州模拟) 定义运算
a b c d
=ad-bc,若函数f(x)=
x -1 2-x x +3
在(-∞,m) 上
单调递减, 则实数m 的取值范围是 .
【解析】由已知得f(x)=(x-1)(x+3)+2x=(x+2)2-7, 在(-≦,-2]上单调递减, 要使函数f(x)在(-≦,m) 上单调递减, 所以m ≤-2. 答案:(-≦,-2]
【加固训练】设函数f(x)=是 .
ax +1
在区间(-2,+∞) 上是增函数, 那么a 的取值范围x +2a
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ax +2a 2-2a 2+12a 2-1
=a -, 【解析】因为f(x)=
x +2a x +2a
函数f(x)在区间(-2,+≦) 上是增函数,
⎧2a 2-1>0,
所以⎨
⎩-2a ≤-2,
解得a ≥1. 答案:[1,+≦)
9. 函数
. 【解析】方法一:
≥0), 所以x=1-t2.
所以
2+2t =-t2+2t+1=-(t-1)2+2. 所以当t=1,即x=0时,y max =2. 方法二:f(x)的定义域为{x|x≤1}, f ′
由f ′(x)=0,得x=0. 当00,f(x)为增函数. 所以当x=0时,f(x)max =f(0)=2. 答案:2
10. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值. 设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x≥0), 则f(x)的最大值为 .
【解析】由f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x≥0) 画出图象,
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最大值在A 处取到, 联立⎨答案:
6
(20分钟 40分)
1.(5分) 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x0,则函数f(x)在[a,b]上有( )
A. 最小值f(a) B. 最大值f(b) C. 最小值f(b) D. 最大值f(
a +b
) 2
⎧y =x +2,
得y=6.
y =10-x, ⎩
【解题提示】先探究f(x)在[a,b]上的单调性, 再判断最值情况. 【解析】选C. 设x 1
又x 1-x 20,
所以f(x1)>f(x2), 即f(x)在R 上为减函数, 所以f(x)在[a,b]上亦为减函数, 所以f(x)min =f(b),f(x)max =f(a),故选C. 2.(5分)(2015·太原模拟) 使函数y=
2x +k
与y=log3(x-2)在(3,+∞) 上具有相同x -2
的单调性, 则实数k 的取值范围是 .
【解析】由y=log3(x-2)的定义域为(2,+≦), 且为增函数, 故在(3,+≦) 上是增函
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数. 又函数y =
2x +k 2(x-2) +4+k 4+k
==2+, x -2x -2x -2
使其在(3,+≦) 上是增函数, 故4+k
3.(5分)(2015·武汉模拟) 如果对定义在R 上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x 1,x 2, 都有x 1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), 则称函数f(x)为“H 函数”. 给
⎧⎪ln x , x ≠0,
出下列函数①y=e+x;②y=x; ③y=3x-sin x;④f(x)=⎨
⎪⎩0, x =0.
x
2
以上函数是“H 函数”的所有序号为 .
【解析】因为对任意两个不相等的实数x 1,x 2, 都有x 1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) 恒成立,
所以不等式等价为(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立, 即函数f(x)是定义在R 上的增函数.
①函数y=ex +x在定义域上为增函数, 满足条件. ②函数y=x2在定义域上不单调, 不满足条件.
③y=3x-sin x,y′=3-cos x>0,函数单调递增, 满足条件. ④f(x)=⎪⎨
⎧ln x , x ≠0, ⎪⎩0, x =0,
当x>0时, 函数单调递增, 当x
件. 综上, 满足“H 函数”的函数为①③. 答案:①③
4.(12分)(2015·宁波模拟) 已知函数f(x)=lg(x+-2), 其中a 是大于0的常数. (1)求函数f(x)的定义域.
a x
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(2)当a ∈(1,4)时, 求函数f(x)在[2,+∞) 上的最小值. (3)若对任意x ∈[2,+∞) 恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围.
【解析】(1)由x+a x 2-2x +a
x -2>0,得
x
>0, 当a>1时,x 2-2x+a>0恒成立, 定义域为(0,+≦), 当a=1时, 定义域为{x|x>0且x ≠1},
当0
(2)设g(x)=x+a
x
-2, 当a ∈(1,4),x∈[2,+≦) 时,
g ′(x)=1-a x 2-a
x 2=x
2>0恒成立,
所以g(x)=x+a x
-2在[2,+≦) 上是增函数.
所以f(x)=lg(x+a x -2) 在[2,+≦) 上是增函数.
所以f(x)=lg(x+a
x
-2) 在[2,+≦) 上的最小值为
f(2)=lg a
2
.
(3)对任意x ∈[2,+≦) 恒有f(x)>0, 即x+a x
-2>1对x ∈[2,+≦) 恒成立. 所以a>3x-x2, 令h(x)=3x-x2,
而h(x)=3x-x2=-(x-3) 2+92
4
在x ∈[2,+≦) 上是减函数, 所以h(x)max =h(2)=2.所以a>2.
5.(13分)(能力挑战题) 已知定义在区间(0,+∞) 上的函数f
=f(x1)-f(x2), 且当x>1时,f(x)
(1)求f(1)的值.
f(x)满足
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(2)证明:f(x)为单调递减函数.
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. 【解析】(1)令x 1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. (2)任取x 1,x 2∈(0,+≦), 且x 1>x2, 则>1, 由于当x>1时,f(x)
即f(x1)-f(x2)
(3)因为f(x)在(0,+≦) 上是单调递减函数, 所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9). 由f f
=f(x1)-f(x2) 得,
=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.
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课时提升作业(五)
函数的单调性与最值
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分, 共35分)
1.(2015·北京模拟) 下列函数中, 在区间(1,+∞) 上是增函数的是( ) A.y=-x+1 B.y=
1 1-x
C.y=-(x-1)2 D.y=31-x
【解析】选B. 函数y=-x+1在(1,+≦) 上为减函数;y=
1
在(1,+≦) 上为增函1-x
数;y=-(x-1)2在(1,+≦) 上为减函数;y=31-x 在(1,+≦) 上为减函数, 故选B. 2. 已知f(x)为R 上的减函数, 则满足f
>f(1)的实数x 的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) ∪(0,1) D.(-∞,0) ∪(1,+∞) 【解析】选D. 依题意得
>0,所以x 的取值范围是x>1或x
3.(2015·烟台模拟) 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对∀x 1,x 2∈[0,+∞), 且x 1≠x 2, 都有(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0,则( )
A.f(3)
【解析】选B. 因为(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在[0,+≦) 上是增函数, 所以f(3)>f(2)>f(1).因为f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).
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【加固训练】(2015·江南十校模拟) 已知定义在R 上的函数f(x),其导函数 f ′(x)的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的是(
)
A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)
【解析】选C. 依题意得, 当x ∈(-≦,c) 时,f ′(x)>0;当x ∈(c,e)时,f ′(x)0.因此, 函数f(x)在(-≦,c) 上是增函数, 在(c,e)上是减函数, 在(e,+≦) 上是增函数, 又af(b)>f(a).
4.(2015·厦门模拟) “a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞) 内单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】选C. 当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+≦) 上单调递增; 当a
;
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当a>0时, 结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+≦) 上先增后减再增, 不符合条件, 如图(2)所示.
所以, 要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+≦) 上单调递增只需a ≤0.
即“a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+≦) 内单调递增”的充分必要条件.
2⎧⎪x +ax +1, x ≥1,
【加固训练】已知函数f(x)=⎨2则“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R
⎪⎩ax +x +1, x
上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
⎧a
⎪-2≤1, ⎪
⎪a
【解析】选B.f(x)在R 上单调递增的充分必要条件是a=0或⎨
1⎪-≥1, ⎪2a
⎪12+a ⨯1+1≥a ⨯12+1+1, ⎩
解得a=0或-≤a
由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的必要而不充分条件, 故选B.
5. 定义域为R 的函数f(x)=ax2+b|x|+c(a≠0) 有两个单调区间, 则实数a,b,c 满足( )
A.b 2-4ac ≥0且a>0 B.b 2-4ac ≥0
b
≥0 2a b
D.-≤0
2a
1212
C.-
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2⎧⎪ax +bx +c, x ≥0,
【解析】选D. 因为f(x)=ax+b|x|+c(a≠0)=⎨2
⎪⎩ax -bx +c, x
2
不妨设a>0,作出图象如图
.
结合图象可得当-b
≤0时满足题意. 2a
6. 已知f(x)是定义在R 上的增函数, 函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 若对任意的x,y ∈R, 不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)3时,x 2+y2的取值范围是( )
A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49] D.(9,49)
【解析】选C. 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, 即函数y=f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x),
又因为f(x)是定义在R 上的增函数且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)
设M(x,y),则当x>3时,M 表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,
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则x 2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方, 结合圆的知识可知13
7.(2015·开封模拟) 设x ∈R, 若函数f(x)为单调递增函数, 且对任意实数x, 都有f(f(x)-ex )=e+1(e是自然对数的底数), 则f(ln 2)的值等于( ) A.1 B.e+1 C.3 D.e+3
【解题提示】利用换元法, 将函数转化为f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出t 的值, 即可求出函数f(x)的表达式, 即可得到结论. 【解析】选C. 设t=f(x)-ex ,
则f(x)=ex +t,则条件等价为f(t)=e+1, 令x=t,则f(t)=et +t=e+1, 因为函数f(x)为单调递增函数, 所以函数为一对一函数, 解得t=1, 所以f(x)=ex +1,
即f(ln 2)=eln 2+1=2+1=3.故选C. 二、填空题(每小题5分, 共15分) 8.(2015·郑州模拟) 定义运算
a b c d
=ad-bc,若函数f(x)=
x -1 2-x x +3
在(-∞,m) 上
单调递减, 则实数m 的取值范围是 .
【解析】由已知得f(x)=(x-1)(x+3)+2x=(x+2)2-7, 在(-≦,-2]上单调递减, 要使函数f(x)在(-≦,m) 上单调递减, 所以m ≤-2. 答案:(-≦,-2]
【加固训练】设函数f(x)=是 .
ax +1
在区间(-2,+∞) 上是增函数, 那么a 的取值范围x +2a
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ax +2a 2-2a 2+12a 2-1
=a -, 【解析】因为f(x)=
x +2a x +2a
函数f(x)在区间(-2,+≦) 上是增函数,
⎧2a 2-1>0,
所以⎨
⎩-2a ≤-2,
解得a ≥1. 答案:[1,+≦)
9. 函数
. 【解析】方法一:
≥0), 所以x=1-t2.
所以
2+2t =-t2+2t+1=-(t-1)2+2. 所以当t=1,即x=0时,y max =2. 方法二:f(x)的定义域为{x|x≤1}, f ′
由f ′(x)=0,得x=0. 当00,f(x)为增函数. 所以当x=0时,f(x)max =f(0)=2. 答案:2
10. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值. 设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x≥0), 则f(x)的最大值为 .
【解析】由f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x≥0) 画出图象,
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最大值在A 处取到, 联立⎨答案:
6
(20分钟 40分)
1.(5分) 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x0,则函数f(x)在[a,b]上有( )
A. 最小值f(a) B. 最大值f(b) C. 最小值f(b) D. 最大值f(
a +b
) 2
⎧y =x +2,
得y=6.
y =10-x, ⎩
【解题提示】先探究f(x)在[a,b]上的单调性, 再判断最值情况. 【解析】选C. 设x 1
又x 1-x 20,
所以f(x1)>f(x2), 即f(x)在R 上为减函数, 所以f(x)在[a,b]上亦为减函数, 所以f(x)min =f(b),f(x)max =f(a),故选C. 2.(5分)(2015·太原模拟) 使函数y=
2x +k
与y=log3(x-2)在(3,+∞) 上具有相同x -2
的单调性, 则实数k 的取值范围是 .
【解析】由y=log3(x-2)的定义域为(2,+≦), 且为增函数, 故在(3,+≦) 上是增函
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数. 又函数y =
2x +k 2(x-2) +4+k 4+k
==2+, x -2x -2x -2
使其在(3,+≦) 上是增函数, 故4+k
3.(5分)(2015·武汉模拟) 如果对定义在R 上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x 1,x 2, 都有x 1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), 则称函数f(x)为“H 函数”. 给
⎧⎪ln x , x ≠0,
出下列函数①y=e+x;②y=x; ③y=3x-sin x;④f(x)=⎨
⎪⎩0, x =0.
x
2
以上函数是“H 函数”的所有序号为 .
【解析】因为对任意两个不相等的实数x 1,x 2, 都有x 1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) 恒成立,
所以不等式等价为(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立, 即函数f(x)是定义在R 上的增函数.
①函数y=ex +x在定义域上为增函数, 满足条件. ②函数y=x2在定义域上不单调, 不满足条件.
③y=3x-sin x,y′=3-cos x>0,函数单调递增, 满足条件. ④f(x)=⎪⎨
⎧ln x , x ≠0, ⎪⎩0, x =0,
当x>0时, 函数单调递增, 当x
件. 综上, 满足“H 函数”的函数为①③. 答案:①③
4.(12分)(2015·宁波模拟) 已知函数f(x)=lg(x+-2), 其中a 是大于0的常数. (1)求函数f(x)的定义域.
a x
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(2)当a ∈(1,4)时, 求函数f(x)在[2,+∞) 上的最小值. (3)若对任意x ∈[2,+∞) 恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围.
【解析】(1)由x+a x 2-2x +a
x -2>0,得
x
>0, 当a>1时,x 2-2x+a>0恒成立, 定义域为(0,+≦), 当a=1时, 定义域为{x|x>0且x ≠1},
当0
(2)设g(x)=x+a
x
-2, 当a ∈(1,4),x∈[2,+≦) 时,
g ′(x)=1-a x 2-a
x 2=x
2>0恒成立,
所以g(x)=x+a x
-2在[2,+≦) 上是增函数.
所以f(x)=lg(x+a x -2) 在[2,+≦) 上是增函数.
所以f(x)=lg(x+a
x
-2) 在[2,+≦) 上的最小值为
f(2)=lg a
2
.
(3)对任意x ∈[2,+≦) 恒有f(x)>0, 即x+a x
-2>1对x ∈[2,+≦) 恒成立. 所以a>3x-x2, 令h(x)=3x-x2,
而h(x)=3x-x2=-(x-3) 2+92
4
在x ∈[2,+≦) 上是减函数, 所以h(x)max =h(2)=2.所以a>2.
5.(13分)(能力挑战题) 已知定义在区间(0,+∞) 上的函数f
=f(x1)-f(x2), 且当x>1时,f(x)
(1)求f(1)的值.
f(x)满足
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(2)证明:f(x)为单调递减函数.
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. 【解析】(1)令x 1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. (2)任取x 1,x 2∈(0,+≦), 且x 1>x2, 则>1, 由于当x>1时,f(x)
即f(x1)-f(x2)
(3)因为f(x)在(0,+≦) 上是单调递减函数, 所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9). 由f f
=f(x1)-f(x2) 得,
=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.
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