线性代数知识点总结
一、 行列式
1、 N 阶行列式中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标（横行），
第二个下标 j 为列指标（竖列）。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
2、 在一个排列中，若数较大的数码排在较小的数码之前则称这两
个数组成此排列的一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 (每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数) 逆序数为奇数的为奇排列，偶数为偶排列。 3、 上/下三角行列式主对角线以下/上元素都是0，上/下三角行列
式的值为主对角线上所有元素乘积。（详见课本p4） 4、 （1）行列式与它的转置行列式相等既D=DT 。(把D 的各行换成
同序号的列的运算就是行列式的转置行列式)
（2）行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
（3）互换行列式的两行（列）, 行列式变号。推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k 乘此行列式。因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
（5）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
（6）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和那么可以把改行列式表达成两个行列式之和。（详见课本p8）
（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k 然后加到另一列(行) 对应的元素上去，行列式的值不变。
（8）计算行列式常用方法：(1)利用定义（详见课本p3）;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 5、在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij
a 11
A ij =(-1)
a 12a 13a 14
i +j
D =
a 22a 21
a 31a 41a 42
M ij 叫做元素a ij 的代数余子式
a 11a 12a 14
a 23a 33a 43
a 24a 34a 44
M 23=a 31
a 41
A 23=(-1)
a 32a 42
2+3
a 34a 44
a 32
M 23=-Mij
6、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in (i =1, 2, L , n )
7、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零既 a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0, i ≠j .
8、一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除a ij 外都为零，那末这行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积既D=aij A ij 二、矩阵及其运算
⎛1 0
E =E n =
L 0⎝
0L 0⎫
⎪
1L 0⎪L L L ⎪
⎪
0L 1⎪⎭
主对角线全为1其余的位置全是0的矩阵称为单位阵
（1） 两个矩阵的行数相等, 列数相等时, 称为同型矩阵。 （2） 两个矩阵为同型矩阵, 并且对应元素相等则称两矩阵相等。 （3） 两个M*N的矩阵相加既对应项相加（减法相同）；只有当两个矩
阵是同型矩阵时，才能进行加/减法运算（加法满足交换律和结合律既A+B=B+A；（A+B）=A+(B+C);
（4） 数λ与矩阵相乘等于λ和A 的每个元素相乘记作λA 或A λ； （5） 设A 和B 是m*n的矩阵λμ为数则有
(1)(λμ)A =λ(μA );
(2)(λ+μ)A =λA +μA ; (3)λ(A +B )=λA +λB .
（6）只有当第一个矩阵A 的列数等于第二个矩阵B 的行数时，两个矩阵才能相乘
（7）矩阵A 和矩阵B 相乘A 的第i 行和B 的第j 列的对应元素相乘之和就是C 的a ij （详见课本p34） （8）矩阵不满足交换律既
(AB )k
≠A k B k .
AB ≠BA ,
（9）矩阵乘法不满足消去律既AB=AC不能推出B=C; (10)
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转
置矩阵，记作A T ;
T T
(11)转置矩阵的运算性质 (1)(A T )T =A ; (2)(A +B )=A T +B T ; (3)(λA )=λA T ;
(4)(AB )T
=B T A T .
(12)若n 阶方阵A 满足A=AT 我们就称A 为对称阵，若-A=AT 就称反
对称阵。（对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. ）
（13）由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，
记作|A|
运算性质 (1)A T =A ;
(2)λA =λn A ;
(3)
AB =A B ; ⇒AB =BA |A*| =|A|-1；|A-1|=1/|A| ；AA *=E；
(14)方阵的幂运算满足下列运算规律：设A 为n 阶方阵，k 、L 为正整数，则 A k A l =A k +l ; (A k ) l =A kl . (15) P (x ) =a m x m +a m -1x m -1+ +a 1x +a 0
是m 次多项式，A 为n 阶方阵，记 P (A ) =a m A m +a m -1A m -1+ +a 1A +a 0E ,
P (A ) 称为矩阵多项式; 其中E 为n 阶单位矩阵，则
定义2.11
当A =(a ij )为复矩阵时，用ij 表示a ij 的共轭复数，记=ij )，称为A 的共轭矩阵.
设AB 为复矩阵, λ为复数, 且运算都是可行的 (1)A +B =A +B ; (2)A =A ; (3)AB =A B .
(16)下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调ij 记作r i j ；（2）以数k 不等于0乘以某一行（列）全部元素。（3）把某一行所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上；如果矩阵A 有限次初等变经换变成矩阵B 就称AB 等价
（17）设A 是m*n矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等方阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等方阵.
(18)矩阵经初等变换而秩不变. 因此，我们可以用初等变换把矩阵中的许多元素变为0，从而直接看出矩阵的秩。只用初等行 变换即可把矩阵变为一种称为行阶梯形矩阵，其中非零行的行数即
是矩阵的秩。例如
2050⎫ ⎪
6-1⎪ 3-23
A =, A 20 15-3⎪求 的秩；
⎪ 16-4-14⎪
⎝⎭
050⎫r 2r 4⎛16-4-14⎫⎛32
⎪ ⎪1
6-1⎪r 2⨯(-) 04-3-23⎪r +r 3-2343 A = , 4 ⎪0001-2⎪2015-3r 3+3r 2
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝000-12⎭⎝16-4-14⎭r 4+5r 2
⎛16-4-14⎫
⎪
3⎪ 04-3-2由阶梯形矩阵有三个非零行可知 :R(A)=3 ⎪0001-2
⎪ 00000⎪⎝⎭
⎛3
阶梯型行列式既第一行第一个不为0的数下面这列全是0，第2行第1个不为0的数这列全是0，（详见课本p43）
(19)对于n 阶方阵A 如果存在n 阶方阵B 使AB=BA=E则称A 可逆，B 为A 的逆矩阵。
注：若A 可逆，它的逆矩阵唯一；单位矩阵可逆，既E -1=E； （20）伴随矩阵：设有n 阶方阵A ，由行列式|A|的各元素a ij （i,j=123…n ）的代数余子式A ij 所构成的n 阶方阵就是A 的伴随矩阵记作A *（详见p45）
A =A , （21）矩阵可逆的充要条件是|A|≠0且当A 可逆是有-1
1
A
*
|A|≠0称为非奇异矩阵，|A|=0称为奇异矩阵。A 是可逆矩阵的充要条件是A 为非奇异矩阵
(22)若A 可逆则A -1亦可逆且（A -1）-1=A;若A 可逆数λ≠0则λA 可
-1
(λA )=A ；若. 逆且AB 为同阶方阵，则AB 可逆且有 （AB ）
-1
1
λ
-1
=B-1A -1; 若A 可逆则A T 亦可逆且有（A T ）-1=（A -1）T
(23)用初等行变换法求矩阵的逆；既对(A|E)施行初等行变换当把A 变成单位矩阵E 时原来的E 就变成A -1（详见课本p48）
（24）矩阵的分块是任意的，但是分块矩阵的加法要求A B 行数和列数相等并且分块方法相同然后对应项相加；A 是n*l的矩阵B 是l*m的矩阵，分块矩阵的乘法要求A 的列的分法和B 的行的分法相同然后按照矩阵的乘法法则运算。
三、向量组的线性相关与线性方程组
（1）n 维向量记为a=(a1,a 2……a n ) 第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。 （2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组
定义3.4 给定向量组α1, α2, , αm , 如果存在不全为零的数k 1, k 2, , k m 使
k 1α1+k 2α2+ +k m αm
则称该向量组线性相关;
一向量组α1, α2, , αm 称为线性无关，如果由
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0, 可以推出
k 1=k 2= =k m =0。
（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
=0,
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
⎛T ⎫
a 11a 12L a 1n ⎫（7） α1⎪⎛ ⎪ T ⎪a 22L a 2n ⎪(1)α1, α2, L αm ⇔R(A)
A = α2⎪= 21
M ⎪M M M ⎪
, α, L α ⇔R(A)=m 设向量组⎪(2)αα α1, 22, m , αm 线性无关，而 ⎪1 ⎪
T ⎪⎝a m 1a m 2L a mn ⎭⎝α αm ⎭, α, , α，β线性相关，则β可由α, α, , α
1
2
m
1
2
m
m =n
若
(2), , L
α1α2αn ⇔A ≠0
（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；
(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组
（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1
(13)等价的向量组有相同的秩。 (14)
(1)α1, α2, L αn ⇔A =0;
设线性无关的向量组(I)含r 个向量, 向量组(II)含s 个向
量，且(I)能由(II)线性表示，则r
(15)求最大无关线性无关组，将向量组依次写成对应的列向量，然后做初等行变换化简成最简阶梯行列式，看列向量组存在只有一个元素
不为0，所有这样的列向量组就是该向量组的最大无关向量组。 （16）设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间；注集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
α∈V , β∈V , α+β∈V ; α∈V , λ∈R , λα∈V .
n 维向量的集合是一个向量空间, 记作R n
（17）若V 是向量空间如果有r 个向量a 1，a 2…..a r ∈V 并且它们线性无关，且V 中任意向量能用a 1，a 2…..a r 线性表示就称a 1，a 2…..a r 是V 的一组基，r 是V 的维数，并称V 是r 维向量空间
（18）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 R(A)
（19）若ξ1，ζ2是Ax=0的解那么ξ1+ζ2也是Ax=0的解，另如果ξ
1
是Ax=0的解，k 为实数，k ξ1也是Ax=0的解
t
（20）齐次线性方程组的一组解ξ1ζ2….. ξ系
称为他的一组基础解
（21）求齐次线性方程组的方法：对系数矩阵A 作初等行变换，变为最简阶梯矩阵，再右乘X(x1x 2….x n ) T 将特殊位置（第一行第一个不为0的位置和第二行第一个不为0的位置）的未知量移到等号左边，其余不变，然后将等号右边的一个未知量赋值为一个1剩下的全为0，然后再换下一个未知量赋值为一个1剩下的全为0，直到所有元素都被赋值为1为止，代入方程组解的基础解系ξ1ζ2….. ξt 通解为x=k1
ξ1+k2ζ2….. kt ξt （k 1 k2….. kt 为任意实数）
（22）设η1和η2都是Ax=b的解则η1 -η2为对应的齐次方程组方程组Ax=0的解；
（23）设η是方程组Ax=b的解，ζ是对应齐次方程组Ax=0的解，那么η+ζ仍是方程组Ax=b的解。
v *
X =k ξ+L +k ξ+η11n -r n -r （24）非齐次方程组的通解为 （ξ1+k2ζ2….. k t
v
v
ξt 是齐次方程组方程组Ax=0的解η*是Ax=b的一个特解） （25）非齐次方程组有解的充要条件为系数矩阵A 的秩等于增广矩阵(Ab)的秩既R(A)=R(Ab)
(25)当r=n时方程组有唯一解，当r
化
成行阶梯最简形，写出同解方程组2、求特解. 取自由未知量都为零，即可得出一个特解 3、求出对应齐次方程组的基础解系ξ1+k2ζ2…..
*
k t ξt 4、写出通解 x =k 1ξ1+L +k n -r ξn -r +η.
四、相似矩阵与二次型
(1 ) [x , y ]=[y , x ]; (2) [λx , y ]=λ[x , y ]; （1）内积的运算性质：
(3) [x +y , z ]=[x , z ]+[y , z ]; xyz为n 维向量，λ为任意实数；
222
x =x , x =x 1+x 2+L +x n , 为n 维向量x 的长度，（2当||x||=1
时称x 为单位向量。
（3）||x||≠0 ||y||≠0 θ=arcos[x,y]/||x||y||θ是xy 的夹角， （4）当[x,y]=0就称xy 正交，若n 维向量a 1，a 2…..a r 是一组两两
正交的非0向量那么他们线性无关
（5）若a 1，a 2…..a r 是向量空间的一组基且是两两正交的非0向量，就称a 1，a 2…..a r 是V 的一组正交基（当a 1，a 2…..a r 全部是单位向量时就是V 的规范正交基）
（6）求规范正交基的方法； a1，a 2…..a r 是V 的一组基1、正交化 令
[b 1, a 2]b , b =a -[b 1, a 3]b -[b 2, a 3]b
b =a -2 b 1=a1 22
[b 2, b b 1, b 1133[b 1, b 1]12]
[b 1, a r ][b 2, a r ][b r -1, a r ]
b =a -b -b -L -b r -1、单位化 r r 12[b 1, b 1][b 2, b 2][b r -1, b r -1]
b 1b 2b r
e =, e =, L L , e =, 12r 那么e 1e 2…..e r 就是V 的一组规范正b 1b 2r
交基；
（7）若n 阶方阵满足A T A=E（既A -1=AT ）则A 为正交矩阵；注(A为正交矩阵的充要条件为A 的行(列) 向量为单位向量并且两两正交) （8）正交矩阵的性质：A 为正交矩阵那么(1)AT 为正交矩阵(2)|A|=1 |A|=-1（3） A可逆且A -1=AT
（9）若P 为正交矩阵那么线性变换y=Px称为正交变换 （10）特征值与向量：求特征值|A-λE|=0即可求出特征值λ |A- E|=0等价于
a 11-λa 21L a n 1
a 12L a n 2
L L
a 1n a 2n L
=0
a 22-λL
L a nn -λ
（11）若A 为n 阶方阵且特征值为λ1λ2……λn 则有 (1) λ1+λ2+L +λn =a 11+a 22+L +a nn ; (2) λ1λ2L λn =A .
（12）解出特征之后代入矩阵中然后右乘(x1x 2….x n ) T 让这个式子等于0向量解出特征向量
（13）若λ是矩阵A 的特征值，x 是A 的属于的特征向量，则
λm 是A m 的特征值；当A 可逆时λ
征向量 -1是A -1的特征值；x 仍是它们的特
（14）如果n 阶方阵A 有m 个不同的特征值，则A 有m 个线性无关的特征向量.
（15）若AB 都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P 满足P -1AP=B就称A 和B 相似
（16）若AB 都是n 阶矩阵，并且A 和B 相似那么它们的特征多项式相同并且特征值相同
（17）若n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 的秩相同
（18）n 阶方阵A 若存在可逆矩阵P 使P -1AP=∧为对角阵就称能把方阵A 对角化；方阵A 对角化的充要条件为A 有n 个线性无关的特征向量；
（19）实对称矩阵是指的特征值为实数的矩阵
（20）n 阶对称矩阵A ，λ是特征矩阵的r 重根则有R （A-λE ）=n-r 从而对应的特征值λ恰有n 个线性无关的特征向量，且实对称矩阵一定与对角阵相似
（21）n 阶对称矩阵A 必存在可逆矩阵P 使P -1AP=∧其中∧是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵
（22）根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具
1求A 的特征值○2|A-λE|=0求出特征值λ○3将特征向量正体步骤为○
交化单位化；
线性代数知识点总结
一、 行列式
1、 N 阶行列式中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标（横行），
第二个下标 j 为列指标（竖列）。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
2、 在一个排列中，若数较大的数码排在较小的数码之前则称这两
个数组成此排列的一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为 (每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数) 逆序数为奇数的为奇排列，偶数为偶排列。 3、 上/下三角行列式主对角线以下/上元素都是0，上/下三角行列
式的值为主对角线上所有元素乘积。（详见课本p4） 4、 （1）行列式与它的转置行列式相等既D=DT 。(把D 的各行换成
同序号的列的运算就是行列式的转置行列式)
（2）行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
（3）互换行列式的两行（列）, 行列式变号。推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k 乘此行列式。因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
（5）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
（6）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和那么可以把改行列式表达成两个行列式之和。（详见课本p8）
（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k 然后加到另一列(行) 对应的元素上去，行列式的值不变。
（8）计算行列式常用方法：(1)利用定义（详见课本p3）;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 5、在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij
a 11
A ij =(-1)
a 12a 13a 14
i +j
D =
a 22a 21
a 31a 41a 42
M ij 叫做元素a ij 的代数余子式
a 11a 12a 14
a 23a 33a 43
a 24a 34a 44
M 23=a 31
a 41
A 23=(-1)
a 32a 42
2+3
a 34a 44
a 32
M 23=-Mij
6、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in (i =1, 2, L , n )
7、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零既 a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0, i ≠j .
8、一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除a ij 外都为零，那末这行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积既D=aij A ij 二、矩阵及其运算
⎛1 0
E =E n =
L 0⎝
0L 0⎫
⎪
1L 0⎪L L L ⎪
⎪
0L 1⎪⎭
主对角线全为1其余的位置全是0的矩阵称为单位阵
（1） 两个矩阵的行数相等, 列数相等时, 称为同型矩阵。 （2） 两个矩阵为同型矩阵, 并且对应元素相等则称两矩阵相等。 （3） 两个M*N的矩阵相加既对应项相加（减法相同）；只有当两个矩
阵是同型矩阵时，才能进行加/减法运算（加法满足交换律和结合律既A+B=B+A；（A+B）=A+(B+C);
（4） 数λ与矩阵相乘等于λ和A 的每个元素相乘记作λA 或A λ； （5） 设A 和B 是m*n的矩阵λμ为数则有
(1)(λμ)A =λ(μA );
(2)(λ+μ)A =λA +μA ; (3)λ(A +B )=λA +λB .
（6）只有当第一个矩阵A 的列数等于第二个矩阵B 的行数时，两个矩阵才能相乘
（7）矩阵A 和矩阵B 相乘A 的第i 行和B 的第j 列的对应元素相乘之和就是C 的a ij （详见课本p34） （8）矩阵不满足交换律既
(AB )k
≠A k B k .
AB ≠BA ,
（9）矩阵乘法不满足消去律既AB=AC不能推出B=C; (10)
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转
置矩阵，记作A T ;
T T
(11)转置矩阵的运算性质 (1)(A T )T =A ; (2)(A +B )=A T +B T ; (3)(λA )=λA T ;
(4)(AB )T
=B T A T .
(12)若n 阶方阵A 满足A=AT 我们就称A 为对称阵，若-A=AT 就称反
对称阵。（对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. ）
（13）由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，
记作|A|
运算性质 (1)A T =A ;
(2)λA =λn A ;
(3)
AB =A B ; ⇒AB =BA |A*| =|A|-1；|A-1|=1/|A| ；AA *=E；
(14)方阵的幂运算满足下列运算规律：设A 为n 阶方阵，k 、L 为正整数，则 A k A l =A k +l ; (A k ) l =A kl . (15) P (x ) =a m x m +a m -1x m -1+ +a 1x +a 0
是m 次多项式，A 为n 阶方阵，记 P (A ) =a m A m +a m -1A m -1+ +a 1A +a 0E ,
P (A ) 称为矩阵多项式; 其中E 为n 阶单位矩阵，则
定义2.11
当A =(a ij )为复矩阵时，用ij 表示a ij 的共轭复数，记=ij )，称为A 的共轭矩阵.
设AB 为复矩阵, λ为复数, 且运算都是可行的 (1)A +B =A +B ; (2)A =A ; (3)AB =A B .
(16)下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调ij 记作r i j ；（2）以数k 不等于0乘以某一行（列）全部元素。（3）把某一行所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上；如果矩阵A 有限次初等变经换变成矩阵B 就称AB 等价
（17）设A 是m*n矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等方阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等方阵.
(18)矩阵经初等变换而秩不变. 因此，我们可以用初等变换把矩阵中的许多元素变为0，从而直接看出矩阵的秩。只用初等行 变换即可把矩阵变为一种称为行阶梯形矩阵，其中非零行的行数即
是矩阵的秩。例如
2050⎫ ⎪
6-1⎪ 3-23
A =, A 20 15-3⎪求 的秩；
⎪ 16-4-14⎪
⎝⎭
050⎫r 2r 4⎛16-4-14⎫⎛32
⎪ ⎪1
6-1⎪r 2⨯(-) 04-3-23⎪r +r 3-2343 A = , 4 ⎪0001-2⎪2015-3r 3+3r 2
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝000-12⎭⎝16-4-14⎭r 4+5r 2
⎛16-4-14⎫
⎪
3⎪ 04-3-2由阶梯形矩阵有三个非零行可知 :R(A)=3 ⎪0001-2
⎪ 00000⎪⎝⎭
⎛3
阶梯型行列式既第一行第一个不为0的数下面这列全是0，第2行第1个不为0的数这列全是0，（详见课本p43）
(19)对于n 阶方阵A 如果存在n 阶方阵B 使AB=BA=E则称A 可逆，B 为A 的逆矩阵。
注：若A 可逆，它的逆矩阵唯一；单位矩阵可逆，既E -1=E； （20）伴随矩阵：设有n 阶方阵A ，由行列式|A|的各元素a ij （i,j=123…n ）的代数余子式A ij 所构成的n 阶方阵就是A 的伴随矩阵记作A *（详见p45）
A =A , （21）矩阵可逆的充要条件是|A|≠0且当A 可逆是有-1
1
A
*
|A|≠0称为非奇异矩阵，|A|=0称为奇异矩阵。A 是可逆矩阵的充要条件是A 为非奇异矩阵
(22)若A 可逆则A -1亦可逆且（A -1）-1=A;若A 可逆数λ≠0则λA 可
-1
(λA )=A ；若. 逆且AB 为同阶方阵，则AB 可逆且有 （AB ）
-1
1
λ
-1
=B-1A -1; 若A 可逆则A T 亦可逆且有（A T ）-1=（A -1）T
(23)用初等行变换法求矩阵的逆；既对(A|E)施行初等行变换当把A 变成单位矩阵E 时原来的E 就变成A -1（详见课本p48）
（24）矩阵的分块是任意的，但是分块矩阵的加法要求A B 行数和列数相等并且分块方法相同然后对应项相加；A 是n*l的矩阵B 是l*m的矩阵，分块矩阵的乘法要求A 的列的分法和B 的行的分法相同然后按照矩阵的乘法法则运算。
三、向量组的线性相关与线性方程组
（1）n 维向量记为a=(a1,a 2……a n ) 第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。 （2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组
定义3.4 给定向量组α1, α2, , αm , 如果存在不全为零的数k 1, k 2, , k m 使
k 1α1+k 2α2+ +k m αm
则称该向量组线性相关;
一向量组α1, α2, , αm 称为线性无关，如果由
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0, 可以推出
k 1=k 2= =k m =0。
（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
=0,
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
⎛T ⎫
a 11a 12L a 1n ⎫（7） α1⎪⎛ ⎪ T ⎪a 22L a 2n ⎪(1)α1, α2, L αm ⇔R(A)
A = α2⎪= 21
M ⎪M M M ⎪
, α, L α ⇔R(A)=m 设向量组⎪(2)αα α1, 22, m , αm 线性无关，而 ⎪1 ⎪
T ⎪⎝a m 1a m 2L a mn ⎭⎝α αm ⎭, α, , α，β线性相关，则β可由α, α, , α
1
2
m
1
2
m
m =n
若
(2), , L
α1α2αn ⇔A ≠0
（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；
(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组
（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1
(13)等价的向量组有相同的秩。 (14)
(1)α1, α2, L αn ⇔A =0;
设线性无关的向量组(I)含r 个向量, 向量组(II)含s 个向
量，且(I)能由(II)线性表示，则r
(15)求最大无关线性无关组，将向量组依次写成对应的列向量，然后做初等行变换化简成最简阶梯行列式，看列向量组存在只有一个元素
不为0，所有这样的列向量组就是该向量组的最大无关向量组。 （16）设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间；注集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
α∈V , β∈V , α+β∈V ; α∈V , λ∈R , λα∈V .
n 维向量的集合是一个向量空间, 记作R n
（17）若V 是向量空间如果有r 个向量a 1，a 2…..a r ∈V 并且它们线性无关，且V 中任意向量能用a 1，a 2…..a r 线性表示就称a 1，a 2…..a r 是V 的一组基，r 是V 的维数，并称V 是r 维向量空间
（18）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 R(A)
（19）若ξ1，ζ2是Ax=0的解那么ξ1+ζ2也是Ax=0的解，另如果ξ
1
是Ax=0的解，k 为实数，k ξ1也是Ax=0的解
t
（20）齐次线性方程组的一组解ξ1ζ2….. ξ系
称为他的一组基础解
（21）求齐次线性方程组的方法：对系数矩阵A 作初等行变换，变为最简阶梯矩阵，再右乘X(x1x 2….x n ) T 将特殊位置（第一行第一个不为0的位置和第二行第一个不为0的位置）的未知量移到等号左边，其余不变，然后将等号右边的一个未知量赋值为一个1剩下的全为0，然后再换下一个未知量赋值为一个1剩下的全为0，直到所有元素都被赋值为1为止，代入方程组解的基础解系ξ1ζ2….. ξt 通解为x=k1
ξ1+k2ζ2….. kt ξt （k 1 k2….. kt 为任意实数）
（22）设η1和η2都是Ax=b的解则η1 -η2为对应的齐次方程组方程组Ax=0的解；
（23）设η是方程组Ax=b的解，ζ是对应齐次方程组Ax=0的解，那么η+ζ仍是方程组Ax=b的解。
v *
X =k ξ+L +k ξ+η11n -r n -r （24）非齐次方程组的通解为 （ξ1+k2ζ2….. k t
v
v
ξt 是齐次方程组方程组Ax=0的解η*是Ax=b的一个特解） （25）非齐次方程组有解的充要条件为系数矩阵A 的秩等于增广矩阵(Ab)的秩既R(A)=R(Ab)
(25)当r=n时方程组有唯一解，当r
化
成行阶梯最简形，写出同解方程组2、求特解. 取自由未知量都为零，即可得出一个特解 3、求出对应齐次方程组的基础解系ξ1+k2ζ2…..
*
k t ξt 4、写出通解 x =k 1ξ1+L +k n -r ξn -r +η.
四、相似矩阵与二次型
(1 ) [x , y ]=[y , x ]; (2) [λx , y ]=λ[x , y ]; （1）内积的运算性质：
(3) [x +y , z ]=[x , z ]+[y , z ]; xyz为n 维向量，λ为任意实数；
222
x =x , x =x 1+x 2+L +x n , 为n 维向量x 的长度，（2当||x||=1
时称x 为单位向量。
（3）||x||≠0 ||y||≠0 θ=arcos[x,y]/||x||y||θ是xy 的夹角， （4）当[x,y]=0就称xy 正交，若n 维向量a 1，a 2…..a r 是一组两两
正交的非0向量那么他们线性无关
（5）若a 1，a 2…..a r 是向量空间的一组基且是两两正交的非0向量，就称a 1，a 2…..a r 是V 的一组正交基（当a 1，a 2…..a r 全部是单位向量时就是V 的规范正交基）
（6）求规范正交基的方法； a1，a 2…..a r 是V 的一组基1、正交化 令
[b 1, a 2]b , b =a -[b 1, a 3]b -[b 2, a 3]b
b =a -2 b 1=a1 22
[b 2, b b 1, b 1133[b 1, b 1]12]
[b 1, a r ][b 2, a r ][b r -1, a r ]
b =a -b -b -L -b r -1、单位化 r r 12[b 1, b 1][b 2, b 2][b r -1, b r -1]
b 1b 2b r
e =, e =, L L , e =, 12r 那么e 1e 2…..e r 就是V 的一组规范正b 1b 2r
交基；
（7）若n 阶方阵满足A T A=E（既A -1=AT ）则A 为正交矩阵；注(A为正交矩阵的充要条件为A 的行(列) 向量为单位向量并且两两正交) （8）正交矩阵的性质：A 为正交矩阵那么(1)AT 为正交矩阵(2)|A|=1 |A|=-1（3） A可逆且A -1=AT
（9）若P 为正交矩阵那么线性变换y=Px称为正交变换 （10）特征值与向量：求特征值|A-λE|=0即可求出特征值λ |A- E|=0等价于
a 11-λa 21L a n 1
a 12L a n 2
L L
a 1n a 2n L
=0
a 22-λL
L a nn -λ
（11）若A 为n 阶方阵且特征值为λ1λ2……λn 则有 (1) λ1+λ2+L +λn =a 11+a 22+L +a nn ; (2) λ1λ2L λn =A .
（12）解出特征之后代入矩阵中然后右乘(x1x 2….x n ) T 让这个式子等于0向量解出特征向量
（13）若λ是矩阵A 的特征值，x 是A 的属于的特征向量，则
λm 是A m 的特征值；当A 可逆时λ
征向量 -1是A -1的特征值；x 仍是它们的特
（14）如果n 阶方阵A 有m 个不同的特征值，则A 有m 个线性无关的特征向量.
（15）若AB 都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P 满足P -1AP=B就称A 和B 相似
（16）若AB 都是n 阶矩阵，并且A 和B 相似那么它们的特征多项式相同并且特征值相同
（17）若n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 的秩相同
（18）n 阶方阵A 若存在可逆矩阵P 使P -1AP=∧为对角阵就称能把方阵A 对角化；方阵A 对角化的充要条件为A 有n 个线性无关的特征向量；
（19）实对称矩阵是指的特征值为实数的矩阵
（20）n 阶对称矩阵A ，λ是特征矩阵的r 重根则有R （A-λE ）=n-r 从而对应的特征值λ恰有n 个线性无关的特征向量，且实对称矩阵一定与对角阵相似
（21）n 阶对称矩阵A 必存在可逆矩阵P 使P -1AP=∧其中∧是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵
（22）根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具
1求A 的特征值○2|A-λE|=0求出特征值λ○3将特征向量正体步骤为○
交化单位化；