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反函数专题练习试卷及解析
1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题
10x -1
, x ∈R ，函数y =f (x ) 是函数y =g (x ) 的反函数． 已知函数g (x ) =x
10+1
求函数y =f (x ) 的解析式，并写出定义域D
2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数f (x ) =a x -a +1,(a >0且a ≠1) 恒过定点(2,2) ．
(1)求实数a ；
(2)在(1)的条件下，将函数f (x ) 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函
数g (x ) ，设函数g (x ) 的反函数为h (x ) ，求的h (x ) 解析式；
(3)对于定义在(1,4]上的函数y =h (x ) ，若在其定义域内，不等式
[h (x ) +2]2≤h (x 2) +h (x ) m +6恒成立，求m 的取值范围．
3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数f (x )=lg (x +1).
(1)若0
(2)若g (x ) 是以2为周期的偶函数, 且当0≤x ≤1时, 有g (x ) =f (x ) , 求函数y =g (x )(x ∈[1, 2])的反函数.
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4.2014年华约自主招生数学试题第3题
（1）求证：y =f (g (x )) 的反函数是y =g -1(f -1(x )) ．
（2）F (x ) =f (-x ) ，G (x ) =f -1(-x ) ，若F (x ) =G -1(x ) ，求证f (x ) 为奇函数．
5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题
1+a x
设f (x ) = （a >0 且 a ≠1），g (x ) 是f (x ) 的反函数. x
1-a
（Ⅰ）求g (x ) ； （Ⅱ）当0
1t 时，恒有g (x ) >log a 2 成立，求t 的取值范围； 2(x -1)(7-x ) 1
时，试比较f (1)+f (2)+…+f (n ) 与n +4 的大小，并说明理由. 2
（Ⅲ）当 0
6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 已知f (x ) =lg(x +1) ．
(1)若0
(2)若是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g (x ) =y =g (x ) (x ∈[1,2]) 的反函数．
7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 已知函数f (x ) =lg(x +1) ．
f (x ，) 求函数
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(1) 若0
(2) 若g (x ) 是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x ) =f (x ) ，求函数y =g (x ) (x ∈[1,2])的反函数．
8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题
2x +a
设常数a ≥0，函数f (x ) =x ．
2-a
(1)若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ；
(2) 根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由．
9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题
2x +a
设常数a ≥0，函数f (x ) =x ．
2-a
(1) 若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ；
(2) 根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由．
答案和解析
1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 答案：见解析
10x -12
=1-x , x ∈R 分析：(1)∵g (x ) =x
10+110+1∴g (x )
. 又10+1>1，∴1-
x
22
>1-=-1.
10x +10+1
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∴-1
10x -11+y 1+y x
由y =x ，可解得10=. , x =lg
10+11-y 1-y ∴f (x ) =lg
1+x
，D =(-1,1) . 1-x
2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 答案：(1)2
(2)h (x ) =log 2x (x >0)
(3)m ≥1
分析：(1)由已知a
2-a
+1=2∴a =2．
(2)∵f (x ) =2x -2+1∴g (x ) =2x ∴h (x ) =log 2x (x >0) (3)要使不等式有意义：则有1
据题有(log2x +2) 2≤log 2x 2+m log 2x +6在(1,2]恒成立． ∴设t =log 2x (1
∴(t +2) 2≤2t +tm +6在(0,1]时恒成立.
t 2+2t -22
=t -+2在[0,1]时恒成立 即：m ≥
t t
设y =t -
2
+2，t ∈(0,1]单调递增 t
∴t =1时，有y max =1∴m ≥1.
3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 答案：(1)-
21
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(2)y =3-10x , x ∈[0,lg2]
⎧2-2x >02-2x
0⎩
得1
2-2x
⎧-1
21⎪
因为x +1>0, 所以x +1
33-
得 -
21
(2)当 x ∈[1,2]时 , 2-x ∈[0,1]因
此 y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x )
由单调性可得y ∈[0,lg2]. 因为x =3-10, 所以所求反函数是y =3-10x , x ∈[0,lg2]
y
4.2014年华约自主招生数学试题第3题 答案：答案见解析
-1-1-1
分析：（1）由y =f (g (x )) 得g (x ) =f (y ) ，x =g (f (y )) ，
故所求反函数是y =g (f （2）由G (x ) =f
-1
-1-1
(x )) ．
(-x ) 得G -1(x ) =-f (x ) ，
-1
事实上，设y =G (x ) 和y =f
-1
(-x ) ，
-1
由y =G (x ) 得反函数y =G (x ) ；由y =f
(-x ) 得反函数y =-f (x ) ；
-1
于是由F (x ) =G (x ) 有f (-x ) =-f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数．
5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 答案：答案见解析
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分析：(1)由题意得：a =
x
x -1y -1
，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) . >0 故 g (x ) =log a
x +1y +1
(2) 由 log a
x -1t x -1t
得①当a >1时， >log a 2>2>0又因
x +1(x -1)(7-x ) x +1(x -1)(7-x )
为x ∈[2,6]，所以
0
所以h (x )=5 ，
所以02
t >(x -1) (7-x ) >令0
x -1t
, ∈h (x ) =(x -1) 2(7-x ) =-x 3+9x 2-15x +7, x ∈[2,6]由①知h (x ) =32x 所[2, 6以
t ="">32综上，
当a >1时，0
1
，则 p ≥1当 n =1时, 1+p
f (1)=1+
2
≤3
当n ≥2 时设 k ≥2, k ∈N *时则
1+a k 22f (k ) ==1+=1+1
1-a k (1+p ) k -1C k p +C k 2p 2+f (k ) ≤1+
2444
从而=1+=1+-1
C k +C k 2k (k +1) k k +1
+C k k p k
所以
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f (2)+f (3)+⋯+f (n ) ≤n -1+
所
以
44-
f (+1) f +(2f ) +⋯(f +3) n
+
f (+1) f +(2f ) +. ⋯(f +3) n
6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由 ⎨
⎧2-2x >0,
得-1
⎩x +1>0
2-2x 2-2x
21
因为x +1>0，所以x +1
33
由0
⎧-1
21⎪
-
33-
(2) 当 x ∈[1,2] 时，2-x ∈[0,1]
因此y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x ) 由单调性可得y ∈[0,lg2]．
因为x =3-10，所以所求反函数是x =3-10，x ∈[0,lg2]．
y
y
7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析
⎧2-2x >0
分析：(1) 由⎨，得-1
x +1>0⎩
2-2x 2-2x
21
因为x +1>0，所以x +1
33
由0
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⎧-1
21⎪
-
33-
(2) 当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此
y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x )，
由单调性可得y ∈[0,lg2]，
因为x =3-10，所以所求反函数是y =3-10x ，x ∈[0,lg2]．
y
8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) y =f
-1
(x ) =log 2
4x +4
，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ；(2) 见解析 x -1
2x +44y +44y +4
=y ，∴2x =分析：(1)∵a =4，∴f (x ) =x ，∴x =log 2， 2-4y -1y -1
∴y =f
-1
(x ) =log 2
4x +4
，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ． x -1
2x +a 2-x +a
=-x (2) 若f (x ) 为偶函数，则f (x ) =f (-x ) ，∴x ，
2-a 2-a
x -x
整理得a (2-2) =0，∴a =0，此时为偶函数
2x +a 2-x +a
=--x 若f (x ) 为奇函数，则f (x ) =-f (-x ) ，∴x ， 2-a 2-a
2
整理得a -1=0，∵a ≥0，∴a =1，此时为奇函数．
当a ∈(0,1)⋃(1,+∞) 时，此时f (x ) 既非奇函数也非偶函数．
9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) f
-1
(x ) =2+log 2
x +1
, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞) (2) 见解析 x -1
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4(y +1)2x +4
分析：(1) 因为y =x ，所以2x =，得y 1，且x =2+l o g
2-4y -1
因此，所求反函数为f
-1
2
y +1
． y -1
(x ) =2+log 2
x +1
, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞)． x -1
(2) ①当a =0时，f (x ) =1，定义域为R ，故函数y =f (x ) 是偶函数；
2x +1
②当a =1时，f (x ) =x ，定义域为(-∞,0)⋃(0, +∞)，
2-12-x +12x +1
f (-x ) =-x =-x =-f (x ) ，故函数y =f (x ) 为奇函数；
2-12-1
③当a >0且a ≠1时，定义域为(-∞,log 2a )⋃(log 2a , +∞)关于原点不对称， 故函数y =f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数． 综上可知，①当a =0时，故函数y =f (x ) 是偶函数； ②当a =1时，函数y =f (x ) 为奇函数；
③当a >0且a ≠1时，故函数y =f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．
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反函数专题练习试卷及解析
1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题
10x -1
, x ∈R ，函数y =f (x ) 是函数y =g (x ) 的反函数． 已知函数g (x ) =x
10+1
求函数y =f (x ) 的解析式，并写出定义域D
2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数f (x ) =a x -a +1,(a >0且a ≠1) 恒过定点(2,2) ．
(1)求实数a ；
(2)在(1)的条件下，将函数f (x ) 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函
数g (x ) ，设函数g (x ) 的反函数为h (x ) ，求的h (x ) 解析式；
(3)对于定义在(1,4]上的函数y =h (x ) ，若在其定义域内，不等式
[h (x ) +2]2≤h (x 2) +h (x ) m +6恒成立，求m 的取值范围．
3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数f (x )=lg (x +1).
(1)若0
(2)若g (x ) 是以2为周期的偶函数, 且当0≤x ≤1时, 有g (x ) =f (x ) , 求函数y =g (x )(x ∈[1, 2])的反函数.
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4.2014年华约自主招生数学试题第3题
（1）求证：y =f (g (x )) 的反函数是y =g -1(f -1(x )) ．
（2）F (x ) =f (-x ) ，G (x ) =f -1(-x ) ，若F (x ) =G -1(x ) ，求证f (x ) 为奇函数．
5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题
1+a x
设f (x ) = （a >0 且 a ≠1），g (x ) 是f (x ) 的反函数. x
1-a
（Ⅰ）求g (x ) ； （Ⅱ）当0
1t 时，恒有g (x ) >log a 2 成立，求t 的取值范围； 2(x -1)(7-x ) 1
时，试比较f (1)+f (2)+…+f (n ) 与n +4 的大小，并说明理由. 2
（Ⅲ）当 0
6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 已知f (x ) =lg(x +1) ．
(1)若0
(2)若是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g (x ) =y =g (x ) (x ∈[1,2]) 的反函数．
7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 已知函数f (x ) =lg(x +1) ．
f (x ，) 求函数
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(1) 若0
(2) 若g (x ) 是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x ) =f (x ) ，求函数y =g (x ) (x ∈[1,2])的反函数．
8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题
2x +a
设常数a ≥0，函数f (x ) =x ．
2-a
(1)若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ；
(2) 根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由．
9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题
2x +a
设常数a ≥0，函数f (x ) =x ．
2-a
(1) 若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ；
(2) 根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由．
答案和解析
1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 答案：见解析
10x -12
=1-x , x ∈R 分析：(1)∵g (x ) =x
10+110+1∴g (x )
. 又10+1>1，∴1-
x
22
>1-=-1.
10x +10+1
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∴-1
10x -11+y 1+y x
由y =x ，可解得10=. , x =lg
10+11-y 1-y ∴f (x ) =lg
1+x
，D =(-1,1) . 1-x
2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 答案：(1)2
(2)h (x ) =log 2x (x >0)
(3)m ≥1
分析：(1)由已知a
2-a
+1=2∴a =2．
(2)∵f (x ) =2x -2+1∴g (x ) =2x ∴h (x ) =log 2x (x >0) (3)要使不等式有意义：则有1
据题有(log2x +2) 2≤log 2x 2+m log 2x +6在(1,2]恒成立． ∴设t =log 2x (1
∴(t +2) 2≤2t +tm +6在(0,1]时恒成立.
t 2+2t -22
=t -+2在[0,1]时恒成立 即：m ≥
t t
设y =t -
2
+2，t ∈(0,1]单调递增 t
∴t =1时，有y max =1∴m ≥1.
3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 答案：(1)-
21
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(2)y =3-10x , x ∈[0,lg2]
⎧2-2x >02-2x
0⎩
得1
2-2x
⎧-1
21⎪
因为x +1>0, 所以x +1
33-
得 -
21
(2)当 x ∈[1,2]时 , 2-x ∈[0,1]因
此 y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x )
由单调性可得y ∈[0,lg2]. 因为x =3-10, 所以所求反函数是y =3-10x , x ∈[0,lg2]
y
4.2014年华约自主招生数学试题第3题 答案：答案见解析
-1-1-1
分析：（1）由y =f (g (x )) 得g (x ) =f (y ) ，x =g (f (y )) ，
故所求反函数是y =g (f （2）由G (x ) =f
-1
-1-1
(x )) ．
(-x ) 得G -1(x ) =-f (x ) ，
-1
事实上，设y =G (x ) 和y =f
-1
(-x ) ，
-1
由y =G (x ) 得反函数y =G (x ) ；由y =f
(-x ) 得反函数y =-f (x ) ；
-1
于是由F (x ) =G (x ) 有f (-x ) =-f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数．
5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 答案：答案见解析
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分析：(1)由题意得：a =
x
x -1y -1
，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) . >0 故 g (x ) =log a
x +1y +1
(2) 由 log a
x -1t x -1t
得①当a >1时， >log a 2>2>0又因
x +1(x -1)(7-x ) x +1(x -1)(7-x )
为x ∈[2,6]，所以
0
所以h (x )=5 ，
所以02
t >(x -1) (7-x ) >令0
x -1t
, ∈h (x ) =(x -1) 2(7-x ) =-x 3+9x 2-15x +7, x ∈[2,6]由①知h (x ) =32x 所[2, 6以
t ="">32综上，
当a >1时，0
1
，则 p ≥1当 n =1时, 1+p
f (1)=1+
2
≤3
当n ≥2 时设 k ≥2, k ∈N *时则
1+a k 22f (k ) ==1+=1+1
1-a k (1+p ) k -1C k p +C k 2p 2+f (k ) ≤1+
2444
从而=1+=1+-1
C k +C k 2k (k +1) k k +1
+C k k p k
所以
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f (2)+f (3)+⋯+f (n ) ≤n -1+
所
以
44-
f (+1) f +(2f ) +⋯(f +3) n
+
f (+1) f +(2f ) +. ⋯(f +3) n
6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由 ⎨
⎧2-2x >0,
得-1
⎩x +1>0
2-2x 2-2x
21
因为x +1>0，所以x +1
33
由0
⎧-1
21⎪
-
33-
(2) 当 x ∈[1,2] 时，2-x ∈[0,1]
因此y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x ) 由单调性可得y ∈[0,lg2]．
因为x =3-10，所以所求反函数是x =3-10，x ∈[0,lg2]．
y
y
7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析
⎧2-2x >0
分析：(1) 由⎨，得-1
x +1>0⎩
2-2x 2-2x
21
因为x +1>0，所以x +1
33
由0
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⎧-1
21⎪
-
33-
(2) 当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此
y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x )，
由单调性可得y ∈[0,lg2]，
因为x =3-10，所以所求反函数是y =3-10x ，x ∈[0,lg2]．
y
8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) y =f
-1
(x ) =log 2
4x +4
，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ；(2) 见解析 x -1
2x +44y +44y +4
=y ，∴2x =分析：(1)∵a =4，∴f (x ) =x ，∴x =log 2， 2-4y -1y -1
∴y =f
-1
(x ) =log 2
4x +4
，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ． x -1
2x +a 2-x +a
=-x (2) 若f (x ) 为偶函数，则f (x ) =f (-x ) ，∴x ，
2-a 2-a
x -x
整理得a (2-2) =0，∴a =0，此时为偶函数
2x +a 2-x +a
=--x 若f (x ) 为奇函数，则f (x ) =-f (-x ) ，∴x ， 2-a 2-a
2
整理得a -1=0，∵a ≥0，∴a =1，此时为奇函数．
当a ∈(0,1)⋃(1,+∞) 时，此时f (x ) 既非奇函数也非偶函数．
9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) f
-1
(x ) =2+log 2
x +1
, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞) (2) 见解析 x -1
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4(y +1)2x +4
分析：(1) 因为y =x ，所以2x =，得y 1，且x =2+l o g
2-4y -1
因此，所求反函数为f
-1
2
y +1
． y -1
(x ) =2+log 2
x +1
, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞)． x -1
(2) ①当a =0时，f (x ) =1，定义域为R ，故函数y =f (x ) 是偶函数；
2x +1
②当a =1时，f (x ) =x ，定义域为(-∞,0)⋃(0, +∞)，
2-12-x +12x +1
f (-x ) =-x =-x =-f (x ) ，故函数y =f (x ) 为奇函数；
2-12-1
③当a >0且a ≠1时，定义域为(-∞,log 2a )⋃(log 2a , +∞)关于原点不对称， 故函数y =f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数． 综上可知，①当a =0时，故函数y =f (x ) 是偶函数； ②当a =1时，函数y =f (x ) 为奇函数；
③当a >0且a ≠1时，故函数y =f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．