一、阿特金森社会福利函数（两个人的情况）
11-ε1-εU 1+U 2 W= （1） 1-ε[]
证明：我们可得阿特金森社会福利函数的边际替代率为：
∂W /∂U 1⎛U 1MRS == ∂W /∂U 2 ⎝U 2⎫⎪⎪ ⎭-ε
对于ε=1时, MRS =U 2。对于纳什社会福利函数W =U 1U 2而言，其边际替代率也为： U 1
MRS =∂W /∂U 1U 2 =∂W /∂U 2U 1
可见，当ε=1时，阿特金森社会福利函数和纳什社会福利函数的边际替代率是相等的，即它们代表了相同的偏好，因此可以认为两者是相同的。
当ε→-∞, 由阿特金森社会福利函数的边际替代率 ⎛U 1M R S = U ⎝2⎫⎪⎪⎭-ε→∞；当U 1U 2时，ε→-∞, M R S
ε→-∞, M R S →0。这与罗尔斯社会福利函数W =min{U 1, U 2}的边际替代率是相同的，因此二者具有相同的偏好，因此可以认为两者是相同的。
这就证明了：当ε=0时， 阿特金森社会福利函数就等于功利主义社会福利函数； 当ε=1时， 阿特金森社会福利函数就等于纳什社会福利函数； 当ε→-∞时，阿特金森社会福利函数就等于罗尔斯社会福利函数。
二、CES 社会福利函数（固定弹性社会福利函数）
W =U 1+U 2
用同样的方法可以证明：
当ε=1时， CES 社会福利函数就等于功利主义社会福利函数； 当ε=0时， CES 社会福利函数就等于纳什社会福利函数； 当ε→∞时，CES 社会福利函数就等于罗尔斯社会福利函数。 [εε1/ε] （2）
三、应用
通过估算ε来评估政府对公平和效率的权衡程度。
1．Behrman and Craig(1987)采用如下形式的CES 社会福利函数：
⎡ε⎤W =N αS ⎢∑j j j ⎥⎣j ⎦1/ε （3）
考察政府在不同辖区提供公共安全服务时对公平和效率的权衡。其中，αj 为对公平和效率的关注程度（政府在作出决策时，并非总是在公平和效率之间进行权衡，也有出于政治考虑）；N j 为j 个辖区的人口，S j 为公共安全服务。
由社会福利最大化给出一阶最优条件，建立经验回归方程估算ε。
2．Castells and Solé-Oll é(2005)利用相似的方法考察了公共基础设施投资在地区间分配时，政府对公平和效率的权衡：
⎡ε⎤W =N ψ(Y /N ) t ⎢∑it it it it ⎥⎣i ⎦
参考文献 1/ε （4）
哈尔〃瓦里安，1997，《微观经济学》（高级教程），经济科学出版社。
Atkinson,A., 1970，“On the Measurement of Inequility”, Journal of Economic Theory 2.
Berhaman,J.R. and S.G.Craig,1987, The Distribution of Public Services: An Exploration of Local Government Prefernces, American Economic Review 77.
Castells,A. and A.Solé-Oll é,2005，The Regional Allocation of Infrastructure Investment: The Role of Equity, Efficiency and Political Factors, European Economic Review 49.
一、阿特金森社会福利函数（两个人的情况）
11-ε1-εU 1+U 2 W= （1） 1-ε[]
证明：我们可得阿特金森社会福利函数的边际替代率为：
∂W /∂U 1⎛U 1MRS == ∂W /∂U 2 ⎝U 2⎫⎪⎪ ⎭-ε
对于ε=1时, MRS =U 2。对于纳什社会福利函数W =U 1U 2而言，其边际替代率也为： U 1
MRS =∂W /∂U 1U 2 =∂W /∂U 2U 1
可见，当ε=1时，阿特金森社会福利函数和纳什社会福利函数的边际替代率是相等的，即它们代表了相同的偏好，因此可以认为两者是相同的。
当ε→-∞, 由阿特金森社会福利函数的边际替代率 ⎛U 1M R S = U ⎝2⎫⎪⎪⎭-ε→∞；当U 1U 2时，ε→-∞, M R S
ε→-∞, M R S →0。这与罗尔斯社会福利函数W =min{U 1, U 2}的边际替代率是相同的，因此二者具有相同的偏好，因此可以认为两者是相同的。
这就证明了：当ε=0时， 阿特金森社会福利函数就等于功利主义社会福利函数； 当ε=1时， 阿特金森社会福利函数就等于纳什社会福利函数； 当ε→-∞时，阿特金森社会福利函数就等于罗尔斯社会福利函数。
二、CES 社会福利函数（固定弹性社会福利函数）
W =U 1+U 2
用同样的方法可以证明：
当ε=1时， CES 社会福利函数就等于功利主义社会福利函数； 当ε=0时， CES 社会福利函数就等于纳什社会福利函数； 当ε→∞时，CES 社会福利函数就等于罗尔斯社会福利函数。 [εε1/ε] （2）
三、应用
通过估算ε来评估政府对公平和效率的权衡程度。
1．Behrman and Craig(1987)采用如下形式的CES 社会福利函数：
⎡ε⎤W =N αS ⎢∑j j j ⎥⎣j ⎦1/ε （3）
考察政府在不同辖区提供公共安全服务时对公平和效率的权衡。其中，αj 为对公平和效率的关注程度（政府在作出决策时，并非总是在公平和效率之间进行权衡，也有出于政治考虑）；N j 为j 个辖区的人口，S j 为公共安全服务。
由社会福利最大化给出一阶最优条件，建立经验回归方程估算ε。
2．Castells and Solé-Oll é(2005)利用相似的方法考察了公共基础设施投资在地区间分配时，政府对公平和效率的权衡：
⎡ε⎤W =N ψ(Y /N ) t ⎢∑it it it it ⎥⎣i ⎦
参考文献 1/ε （4）
哈尔〃瓦里安，1997，《微观经济学》（高级教程），经济科学出版社。
Atkinson,A., 1970，“On the Measurement of Inequility”, Journal of Economic Theory 2.
Berhaman,J.R. and S.G.Craig,1987, The Distribution of Public Services: An Exploration of Local Government Prefernces, American Economic Review 77.
Castells,A. and A.Solé-Oll é,2005，The Regional Allocation of Infrastructure Investment: The Role of Equity, Efficiency and Political Factors, European Economic Review 49.